数列递推公式求通项公式题型小结

宝坻区第四中学    刘红月

论文摘要：数列是特殊的函数，是高中数学的重点内容，也是与高等数学知识的接轨之处，因此深受高考命题人的青睐，是每年高考的必考内容，所占比例也较大，大约为13分至19分之间。本文从数列知识与高考试题的联系入手，分析了数列在高考命题中的常考察知识点，最后就数列中的递推公式的内容展开了讨论，在系统的复习了等差、等比数列的知识的基础上，对简单的已知相邻两项的数列的递推公式求数列的通项公式的问题进行了小结，并涉及到了数列中的常见的一些方法，如取倒数、累加、累乘、构造数列等。

纵观近几年的高考数列题，我们可以看出高考数列命题主要围绕以下方面进行考察：（1）数列自身内部知识的综合考察。如与的关系问题、递推数列问题的考察一直是高考的热点，求数列的通项与求数列的和是最常见的题目。（2）构造新数列的思想，累加、累乘、倒序相加、裂项相消、错位相减等方法的应用。（3）数列与其它知识的交汇考察，如数列与函数、方程、不等式、数学归纳法、三角等知识的综合。（4）数列的应用问题。

在高三一轮复习阶段，数列的复习面临着以下的任务：

1.掌握等差数列，等比数列的定义、性质、通项公式、前项和的综合应用，系统掌握等差数列与等比数列综合题的规律，掌握由递推公式求通项公式的方法，深化数学思想方法在解题中的指导，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题。

    2.通过对数列相关综合问题的复习，加深对基础知识，基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，进一步培养学生的阅读理解和创新能力，提高分析问题的能力和解决问题的能力。

3.我们的最终目标是使学生能够熟练运用等差数列、等比数列的概念、通项公式、前项和以及有关性质，分析解决有关数列的综合问题。

数列是特殊的函数，是高中数学的重点内容，也是与高等数学的知识的接轨之处，因此深受高考命题人的青睐，是每年高考的必考内容，所占比例也较大，大约为13分至19分之间。试题的难度有三个层次，小题大都以考察基础知识的中、低档试题为主，也有体现选拔功能的中，高档试题，还有与几何、函数、不等式等综合，以压轴题的形式出现在试卷中，难度较大。

下面就是高三一轮复习数列知识时，在系统地复习了等差、等比数列知识的基础上，递推公式的一节课内容。

定义：数列｛｝的第一项（或前几项），且任一项 与他的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则称此式为数列｛｝的一个递推关系式．由递推关系式及k个初始值可以确定的一个数列｛｝称为递推数列.（两个条件缺一不可）

下面是已知相邻两项的数列的递推公式求数列的通项公式。

1.在数列{}中，已知，，求数列{}的通项公式。

解：由，两边取倒数得，

可得

    所以{}成等差数列，首项为，公差为2

   

    所以。

总结：本题采用取倒数的方式，构造了等差数列，在利用等差数列的知识解决问题。

2.在数列{}中，已知，，求数列{}的通项公式。

解：由，两边取倒数得，

整理得到

所以有累加得

可得

所以。

总结：本题采用了取倒数得方式，可以理解为是第1题的一个变形应用，之后又应用累加的方法解决问题。

3.在数列{}中，已知，，求数列{}的通项公式.

解：因为      

    当时，

    两式相减，得

    则

    又不符合上式，所以。

总结：本题利用递推公式写出前一项，作差，从而求出，过程中应注意的取值范围。

4.在数列{}中，已知，，求数列{}的通项公式.

解：因为，所以

     可得累加得

     所以。

总结：本题符合的形式，适合用累加的方式解决问题。

5.在数列{}中，已知，，求数列{}的通项公式.

解：因为，所以

可得

累加得

     所以。

总结：本题为第4题的一个变式，采用累加的方法解决问题。

6.在数列{}中，已知，，求数列{}的通项公式.

解：因为，所以，

可得累乘得到

，所以。

总结：本题采用了累乘的方法解决问题。

7.在数列{}中，已知，，求数列{}的通项公式.

解：由两边加1，可得

      得到，所以{}等比数列，首项为公比为2.

      所以，

即。

总结：本题符合的形式，令，构造数列{为等比数列，首项为，公比为，再利用等比数列的性质解决问题。

8.在数列{}中，已知，，求数列{}的通项公式.

解：因为，所以两边同除以，可得

，整理得到

所以数列{}为等差数列，首项为，公差为。

 得，所以。

总结：本题通过两边同时除以同一个数，构造了等差数列，再利用等差数列的性质解决问题。

9.在数列{}中，已知，，求数列{}的通项公式.

解：因为，所以两边同除以，可得

，整理得到，

可得 累加得

    整理得到。

总结：本题是第7题的变式，两边同时除以，得到的不在是等差数列，而是要用到了累加的方法解决问题。

以上就是高三一节一轮复习课上对数列递推公式应用的一个小结。

第二篇：数列求通项公式方法总结

数列

练习题：

1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式为                     

2.在数列中，的值为                 

3．数列的通项公式为 ,则数列各项中最小项是                 

4．已知数列是递增数列，其通项公式为,则实数的取值范围是                

5．数列的前项和,，则               

典例精析

题型一  归纳、猜想法求数列通项

【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式

     ⑴7，77，777，7777，…

⑵

⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9…

题型二 应用求数列通项

例2．已知数列的前项和，分别求其通项公式.

⑴     

⑵

三、利用递推关系求数列的通项

【例3】根据下列各个数列的首项和递推关系，求其通项公式

⑴

(2)，

⑶

数学门诊

已知是数列的前项和，且满足，其中，又，求数列的通项公式。

课堂演练

1、若数列的前项的，那么这个数列的通项公式为

2．已知数列满足，　（），则

3.定义一种运算“﹡”，对于满足以下运算性质：=1，，则，用含的代数式表示为：

4.设从这三个整数中取值的数列，若且则中有0的个数为

5.已知数列满足，

⑴

⑵证明：

6.已知数列中，试问　取何值时，取最大值？并求此最大值．

课外练习

１.数列3，-5，7，-9，11，…的一个通项公式是

２.已知数列中，则的值为

3设，()，则的大小关系是

4、若数列满足：，，则的值为

5．已知数列的前项和则

6．已知数列中，，,

7．已知数列的通项（），则数列的前30项中最大项和最小项分别是

8．已知中，，前项和与的关系是，求

9．在数列中，（ ）为前项和.⑴求证：是以3为周期的周期函数

⑵求

10．设数列的前项和为，点，

（）均在函数的图像上，⑴求数列的通项公式

⑵设是数列的前前项和，求使得 对所有都成立的最小正整数。