一：级数的灵活运用
1：求极限
其中
解：考虑级数
因为
，故级数
收敛，由级数收敛的必要条件知
2：求极限
其中
解：考虑级数
该级数收敛域为
令
，
两边同时对上式积分，得
故 
即
3：求和
解法一：运用幂级数，
有
由
得
所以
时，
即
令
代入上式得
此方程的根为
由韦达定理知，此方程根的倒数和为一次项系数的负值，即 
所以
解法二：运用
级数，设
按余弦展开成级数为
其中
，所以
，取
代入上式得
即
4：求积分
解：因为
，所以
5
:计算
二：三角级数求和
方法一：展开，设函数
是定义在
上的连续偶函数且在
有连续的二阶导数，则的级数为：
其中
其实，在此种情形下，有
同理，若为奇函数则有：
例1：求级数
的和.
解：由上式讨论知，应满足
，此时有
所以有
令
，可得
例2：求级数
的和函数.
解：由讨论知满足
其中
为任意常数，此时有
.接下来介绍如何利用复变函数的幂级数求三角级数的和函数.
解法三：由复变函数知识有
，并且
令
由于
又由于
由上述等式知
最近的不等式
1设
的可积函数，且
设
证：
2 设是连续函数，且
求证：
3 是可导函数，且
求证：
4 设
有二阶导数，且
都是连续函数，若
证明：
5 设是在
上的可积实函数，且
