教学案例
感悟数学思想的解题魅力
--------一节高中数学思想专题复习的导入课
[教学目的和意义]
在第一轮复习告一段落之际，如何引导学生自主转入下一轮的复习？下一轮的复习重在解决什么问题？为什么要解决这样的问题？
本节课设置的意图和目的就在于帮助学生感受到数学思想的解题魅力，认识到数学思想在解题中的重要性，从而顺利地、自然的进入“数学思想”专题的复习。这节课为下一阶段的复习起了铺垫作用，导向作用，承前启后的作用。
[教学过程设计]
一、引例：在
中（ ）内分别填入一个正整数，并使它们的和最小．
分析：这是一道看似小学“奥数”智力题，乍一看好象与我们高中数学知识没有什么联系，但引入字母x，y后将问题转化为“已知x,y为正整数，
，试求x+y的最小值”。这样就将这道题转化为一道高二不等式的题了。
思考：1.这样一道新的、复杂的问题，通过变形，变成了一道常见的最值问题，折射出解答数学问题的的本质通常就是“变形”。为什么变？怎样变？变成什么样？不这样变行吗？这一思维的蜕变过程体现了重要的数学思想：转化与化归思想。
2．常见的变形方式：①繁变简，难变易，抽象变具体。②数变形，形变数，数形常结合。③函数、方程、不等式问题的合理转化。
二、老题新看：
第一组：①集合A=｛1，2，3｝，则满足A∪B=A的集合B的个数是 。
②若方程sin2x+cosx=a有解，则实数a的取值范围是 。
学生在思考中会发现的问题：
对①利用并集运算，一一罗列出了集合Ｂ的所有情况,找到了集合Ｂ的个数。显然这种方法是学生对此题只停留在对并集运算的理解上，一旦集合Ａ中元素多了，此法就显然不可取了。
对②这样的方程判断是否有解不能直接套用一元二次方程的求根公式和根的判别式，将如何研究？
如何帮助学生走出疑惑：
对①中A∪B=A准确理解为“Ｂ是Ａ的子集”将此问题转化成了“求集合Ａ＝｛１，２，３｝的子集的个数是 ”是关键,很容易得知:２３个.
对②方程中a＝－sin２x－cosx以函数的面孔出现，把问题转化为: “求函数f（x）＝－sin２x－cosx的值域”.体现了函数与方程思想。
[小结]：通过对已知条件的正确理解，把问题转化为己有知识范围内可以解决的问题，这是一种成功的解题思维方式。
第二组：（1）设A={x|1<x<3}, B是关于x的不等式组
的解集，若
，求a,b满足的条件。
（2）实系数方程x2+ax+b=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，求
的取值范围。
学生在思考中常存在的问题：
对（1）来说，部分学生可能想通过解出不等式组的解，从而写出集合B,但解不等式组会遇到了麻烦，因为a,b的不确定性，使不等式组的解集需要通过繁杂的讨论才能完成，显然这条路不好走。
对（2）来说，部分学生通过解根去转化“大于0且小于1”，“大于1且小于2”，但两根 
所引发的不等式也较难解。会使问题的解决陷入重重困境。
如何帮助学生走出困惑：
分析两道题的共性：他们无论是一元二次不等式，还是一元二次方程都与一元二次函数有密切关系。而谈到一元二次函数时，我们多借助于二次函数的图象来研究问题，从而启发学生：“如何用二次函数的图象来反映相对应的不等式的解集或方程的解。”这样的引导会使学生茅塞顿开。
令f（x）＝χ2－2χ+a; g（x）=x2－2bx+5。则要满足如图；
当且仅当f（1）
且f（3）且g（1）且g（3）时满足
，得a
且 b
[小结]：“形”的直观性往往会帮助我们找到解“数”的捷径 ，数与形的有机结合，相辅相成，优化了解题的过程，是一种有效的解题途径。
问题引申：图的直观性的确起一个“化抽象为具体”的作用，但就仅仅只靠形的直观感觉判断数的结果是否可靠？
第三组：(1) 已知
的图象有几个交点？
（2）已知
的图象有几个交点？
（1） （2）
学生的困惑：通过画图：（1）有三个交点，（2）就没有交点
教师的解惑：图（1）不正确性在于：平时在一个坐标系内没有把两个函数图象比较，由于画图的不精确产生了一种错误信息,因而造成错误的判断。但事实上,根据方程sinx=tanx（
）只能解出x=0一个根,说明只有一个交点.另一方面，在
时 ,sinx<tanx是恒成立的,也能说明在范围内,方程tanx=sinx只有一个解.因此图（1）的错误原因不言而喻:只靠直观的形,有时是不能够得出准确的结论。图（2）是我们常画的草图，其实稍微细心一点, 会发现:当
时，若x=2则
,
, x=4则
,
说明a>1时有可能使
和
有一个交点（2，2）和（4，4），因此，在a>1的变化当中也一定会出现一个交点的情形。
[小结] 形帮数以直观，数助形以精确，数形一定要有机结合。对问题（1）的解决也充分体现了函数与方程思想。
［课堂小结］：
提问：1.这节课对你们有什么启发？
2.你们有什么样的收获？
3如果这节课是一篇作文，这节课的中心思想是什么？
［课后记］
这节课在上的过程中，学生的状态一直很好，似乎是这节课的内容极大的激发了他们的求知欲（从学生的眼神中和他们积极思考、积极发言诸多方面的表现上可以看出）。这也许是第一轮复习时间太久，教师在复习的方法上一尘不变，对知识在讲解时的入角点不变，学生有了一定的疲倦感。这节课使学生在审视知识上换了角度，也发现了仅仅完成第一轮的复习是不够的，缺少了数学思想的导向作用，在解决综合的数学问题时，往往会找不着解题的思路。
作为教师，针对不同的学生，不同内容的课，采取不同的教学方式，会提高上课的效率，体现出因材施教的教学原则，也是素质教育的体现。
尤其在每个章节，每一轮的复习，每一个知识板块的教学中，搞好引导工作，衔接工作，会充分调动学生自主学习的意识，使教与学充分和谐。
第二篇：品味数学之美 感悟数学魅力
品味数学之美 感悟数学魅力
苏屯小学 李传令
品味数学之美 感悟数学魅力
苏屯小学 李传令
【内容摘要】：本文主要是针对当前小学数学教学的现状——忽略学生体验的重要性而完成的。主要结合自己的教学实践，从兴趣、内容、情境、合作以及拓展五个方面来论述学生体验学习的重要性以及自己在教学过程中所采取的方法来说明。
【关键词】：体验 兴趣 合作 情境
《数学课程标准》指出：要强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。从现在的小学数学教学可以看出:学生的知识水平和认知的能力之间存在着一道不可逾越的鸿沟,阻碍了学生的发展!让学生坐在教室里听老师讲课——间接学习；而让学生自己亲身感受到知识的获取——体验学习。两种学习方法相比较，后者的效果肯定比前者要好得多。因为后者是学生在亲身感受的基础上理解和感受数学。而像这种学习活动是知情合一的学习，所以能给学生留下深刻的印象。由此可见，学生要发展，就必须体验学习的过程，而获得体验的最好方法就是要亲身参与。
那么，什么是体验呢？所谓的“体验”是指“通过实践来认识周围的事物”，是人类的一种心理感受，是带有主观经验和感情色彩的认识，与个人的经历有着密切的关系。数学学习中的体验是指学生个体在数学活动中，通过行为、认知和情感的参与，获得对数学事实与经验的理性认知和情感态度。下面，就如何进行“体验教学”谈谈自己的
几点看法：
一、激发兴趣，准备体验。
在备课时，教师要了解和掌握学生的学习水平和思维水平，以此为基础，根据教材内容和预定拓展内容，确定学习目标，精心设计教学，充分考虑如何激发每个学生的学习兴趣，学生积极的动机。使学生处于待体验状态。
例如：教学“认识人民币”，课前我以争当“人民币小宣传员”为情境，请学生调查人民币的有关知识，让他们先去生活中获取新知识的素材。教学时我就播放有关人民币的宣传片，让学生从中认识、了解人民币，知道那些是自己通过调查知道的，那些是自己现在知道的，你还想说点什么呢？学生在介绍时他们兴致勃勃，有的从颜色、图案、大小等特点上介绍人民币，有的介绍有关识别假币的知识，还有的说起外国货币的名称和钱币发行的历史。听了学生丰富多彩的介绍，我都给予肯定的评价，其他学生也发出了称赞的声音，这样学生在一种自然和谐的氛围中得到了知识，更积极的意义在于，通过参与，体验到了成功的快乐。
又如，在教学《厘米的认识》前，给学生布置任务，回家收集一些不同类型的尺，向家长询问这些尺的不同用途，并和爸爸、妈妈一起量一量自己和家人的身高。在正式上《厘米的认识》这一课时，先让学生介绍带来的不同的尺子和它们的不同用途，再观察这些尺有什么相同的地方，在学生的交流中就不知不觉地认识了尺上的刻度线、数字还引出了《厘米的认识》的课题。当问学生对厘米的认识想知道
些什么，学生也答得很轻松了，有学生说：“我想知道1厘米有多长。”马上有学生站起来，做个手势：两个手指靠拢着，“是这样长，差不多”。而且，还有学生向老师提出了许多超出本节内容的东西。正是因为学生有了课前的亲身体验，所以上课时才非常投入，热情很高，学习起来也就感觉特别轻松。
二、开放内容，进入体验。
教育是人的教育，是科学教育与生活教育的融合。因此，数学内容必须与学生的生活实际相结合。小学数学教学内容绝大多数可以联系生活实际。在教学中，教师只要把教材与现实生活有机的结合起来，就能使学生体会到数学离不开生活，体会到数学的用途，才能很好地把数学与生活挂上钩，更好地理解和掌握基础知识，并运用所学的知识解决实际问题，减少学生对数学的畏惧感和枯燥感。这对于培养学生对数学的浓厚兴趣、探索意识、应用意识和实践能力具有重要意义。
在上课开始，组织学生自主学习，并鼓励学生积极投入到学习实践活动、参加“体验”，创造良好的课堂氛围，并贯穿于课堂教学全过程。培养学生在自主学习中主动体验的良好习惯。
如教学“认识物体和图形”时，为了使学生体验到自我创造的成功感，我设计了一个不同于课本的教学内容：小组合作用不同形状的实物搭一搭，为北京20xx年奥运会献上一份礼物。这样，学生很高兴的融入到这个情景中，并且能够很好的掌握学习内容，是学生在玩中
学，在玩中掌握知识。同时也对学生的每一幅作品都给予肯定与赞赏，让学生有一种成功感，自然学习的劲头就更浓了，效果也就更好了！
同样在教学《克和千克》的过程中，我把枯燥的教学内容与生活密切联系，让学生举出生活中的例子，设计生活中的问题，让学生用所学知识去解决。如：在教学中，我给学生出示了这样一个场景：小明拿10元钱去超市买水果，价格表里显示：苹果每1000克2元；梨子每1000克3元；葡萄每1000克4元。你知道小明可能买了哪些水果吗？越是身边的数学越能激发学生的学习兴趣。克和千克本身就是生活中的问题，所以把问题还原到生活中去后，学生感到很亲切。 这样，学生用所学的数学知识来解决生活中的问题，学以致用，对数学更产生浓厚的兴趣。在实际应用中，我既要引导学生体验到生活中处处有数学，处处用数学；又让学生体验到用数学知识解决生活问题带来的愉悦和成功，逐步养成带着问题的眼光观察生活中的问题。
三、创设情境，再次体验。
教师向学生提供各种情境，让学生在亲身实践中，再次体验。这里的情境有：图像回放、开放性练习、大自然奥秘探索等等，浓厚的气氛激起学生的体验（如刺激感觉、交流感受、思维影响），这样既吸引了学生的注意力，有效地掌握知识，形成初步的概念和经验，又为学生提供更多值得回味的情境和氛围。教师创设的情境远要具有互动性，这样容易产生共鸣，进而产生进一步学习的冲动。如在“租车方案”的学习活动中，为学生提供学习材料：全年级215人去抗日山祭扫烈士墓，大巴限坐40人，租金200元/天；中巴限坐25人，租
金130元/天；面包车限坐10人，租金100元/天。你打算怎样安排车辆租借？学生感觉到终于可以当一回大人，自己做主了，所以设计的兴致很高，最后在交流中发现学生设计了很多不同租车方案，还能说明自己如此租车的理由，有考虑价格便宜一点的，有考虑路况，选择中巴的，有选择舒适度的等等。让我深深感到真不能小看我们的学生。在活动中学生都经历了一次生活的考验，体验了数学的乐趣，与此同时还学会了生活。
四、合作学习，加深体验。
学生的体验是他们已有生活经验的积累与对学习对象的感知，产生碰撞而形成的对问题的新认识，是学生情感、态度、价值观的综合反映。合作学习过程中，学生在多种与不同个体经验、心理因素之间交融、碰撞、融合产生知识经验，这些又在独立的个体心灵之中被激活催化，并赋予新的意义，由此产生更强烈更深刻的活力。同时也是外部世界和自我生命的存在状态的展开和渲染的过程，是通过生命活动中的感受、理解、领会、欣赏等一系列活动。
在教学“分数化成小数”的过程中，我没有去讲例题，没有告诉学生方法，而是让学生在合作交流中自己去摸索，自己提出问题，自己去解决问题，让学生在交流中不断地提出问题，不断的否决问题......这样不断的重复,不断的探讨交流,直到得出正确的结果。这样不但可以营造出适合学生发展的民主、平等、和谐的学习氛围，而且也为学生进行更深层的体验提供条件。
五、拓展深化，多元体验。
由于体验是直接的，无需中介的，因此体验自然是自我的。例如学习“比例尺”后，让学生动手画自己家到学校的路线图；学习《统计图表》后，让学生课余时间调查每天下午1点到2点经过你家门口的车辆的统计表；学习了《长方体》的表面积后，我设计了这样一个练习：让学生帮4块香皂放在一起，设计包装盒，并说说自己设计的意图；学习了《长方体和正方体的体积》后，让学生设法测出一块土豆的体积；还可以每天让学生写数学日记等。因此，在教学中，充分利用课余时间，开展拓展性活动，如大量课外扩展，寻找数学材料等，让不同的学生感受的体验也不同。
总之，“纸上得来终觉浅，绝知此事须躬行，心中悟出始知深。”数学从某种意义上来说，是一种体验学习。体验是最好的教育，只有学生真心感悟，亲身体验到有东西，才能最终沉淀到他的内心深处，成为一种素质，一种能力，伴其一生，受用一生。教学中，教师要给学生提供更多机会去体验，体验生活，体验自主，体验过程，体验创新，体验成功，进而培养学生的数学情感，培养学生的创新精神和实践能力。正如专家们所预言的那样，给孩子一些机会，让他们自己去体验，给孩子一片天空，让他自己向前走。