反比例函数的应用

学习目标：

1、经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程；

2、体会数学与现实生活的联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．

教学重难点：

重点：要善于发现实际问题中变量之间的关系，进一步建立反比例函数模型。 难点：会数学与现实生活的联系，增强应用意识。

导学过程：

一、课前抽测：

2．反比例函数y?k（k为常数，k≠0）的图像中的两支曲线都与x轴、y轴x

（1）当k＞0时，图像在 象限， ，y随x的增大而 ；

（2）当k＜0时，图像在 象限， ，y随x的增大而 。

2、小明家离学校3600米，他骑自行车的速度x（米/分）与时间y（分）之间的关系式是_______________若他每分钟骑450米，需_____分钟到达学校。

二、自主学习：

学生自学教材P13-14，然后回答下列问题：

例1：使劲踩气球时，气球为什么会爆炸？

因为在温度不变的情况下，气球内气体的压强p（Pa）与它的体积V（m3）的乘积是一个常数k。即pV＝k（k为常数，k>0）

（1）在温度不变的情况下，气球内气体的压强p是气球体积V的反比例函数吗？写出它的

解析式。

（2）如果用力踩气球，气球的体积会发生什么变化？

（3）当气球内的压强大到一定程度时，气球便会爆炸吗？

例2、我校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十

几米宽的烂泥湿地。

（1）、为安全迅速通过这片湿地，想一想，我们应该

怎样做？

（2）、他们沿着前进路线铺垫了若干木板，构筑成一

条临时通道，从而顺利完成任务。你能帮助他们解释

这个道理吗？

（3）当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积

S（㎡）的变化，人和木板对地面的压强P （P）将如何变化？如果人和木板对湿地地面的a

压力合计为600N，那么①用含S的代数式表示P（P）， P是S的反比例函数吗？为什么？ a

②当木板面积为0.2 ㎡时，压强是多少？

③如果要求压强不超过6000 P ，木板面积至少要多少？ a

④在直角坐标系中作出相应的函数大致图象。并利用图象对（2）和（3）作出直观解释。

三、合作探究：

1、如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗．

(1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系?

2 (2)如果漏斗口的面积为100厘米，则漏斗的深为多少?

四、课堂检测：

1. 若反比例函数y= k?3的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则有( ) x

A.k≠0 B.k≠3 C.k<3 D.k>3

2.若一次函数的图象经过反比例函数y??

函数的解析式是

. 4图象上的两点（1，m）和（n，2），则这个一次x

3.已知（x1,y1），(x2,y2)为反比例函数y?

与y2的大小

4.已知:反比例函数y?k（k>o）图象上的点，当x1＜x2＜0时,比较y1xk和一次函数y?2x?1，其中一次函数的图像经过点（k,5）. x

（1） 试求反比例函数的解析式；

（2） 若点A在第一象限，且同 时在上述两函数的图像上，求A点的坐标。

五、课堂小结：

通过本节课的学习，你认为反比例函数对我们的生活有哪些帮助？你还能举出哪些反比例函数的生活实例？

六、教学反思：

这节课主要讲解反比例函数在实际生活中的应用，通过与生活实例的结合，让学生更加的体会到反比例函数的实用价值和重要性。首先学生在建立反比例函数的模型时候还不能很明确k的值，不能直接通过题意得出；其次就是在解析式确定的情况下还不能通过题目提供的信息准确的求出x或y的值。这些都是值得加强训练的内容，只有掌握了学生的差出才能将其补过，提高成绩。

第二篇：优质课反比例函数讲课

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 级　　别：十二五区级

                                     　课题编号：hgq125D32026

                                    审批年度：20##年度

“十二五”海港区第三批小课题

　课题研究课教案

《26.1.1反比例函数》

王丽娜

秦皇岛市第十八中学

《26.1.1反比例函数》——课题研究课教案

单位：秦皇岛市第十八中学 　主持人：王丽娜

一　教材内容分析

 本节的内容主要是反比例函数的概念，教材设计的基本思路是从现实生活中大量的反比例关系中抽象出反比例函数概念，让学生进一步感受函数是反映现实世界中变量关系的一种有效数学模型，逐步从对具体反比例函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识. 同时，本节的学习内容，直接关系到本章后续内容的学习，也是高中阶段继续学习其它各类函数的基础.另外，其中蕴涵的类比、归纳、对应和函数的数学思想方法，对学生今后研究问题、解决问题以及终身的发展都是非常有益的。

二　学生分析

在前面的学习过程中，学生对函数的概念，函数所反映的是两个变量之间的关系的内涵有了一定的了解，在已经学习了正比例函数、一次函数，二次函数后，来学习反比例函数。九年级学生已经具备了思维的完备性、深刻性、实践性、批判性等思维品质，但尚待提高，学生抽象概括能力也有限，对函数的意义的理解、数量变化规律的把握还有一定的难度，特别是对抽象的表达式中的变量的取值理解不深.因此本节课的教学难点是：理解和领会反比例函数的概念；能根据已知条件求反比例函数解析式。

三　设计理念

根据基础教育课程改革的具体目标，结合我校学生的实际情况，改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和体验，实施探究式开放教学，主要主要体现：

1 生本课堂上，体现学生为主：学生多动脑，多动手，增强学生自我表达与合作互助能力。

2 传统教学与现代教学相结合，充分利用多媒体教学提高教学效率，让学生主动参与教学。

四　教学目标

1．使学生理解并掌握反比例函数的概念

2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式

3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想

五　教学方法

在本课的设计中，我主要采用 “启发引导法”“ 激发思维法”等多种教学方法充分发挥学生的主体地位，鼓励学生自己去观察，自己去判断，积极主动地参与教学过程。通过自制多媒体课件，丰富教学资源，增强感性认识，以激发学生兴趣。

六　教学重点

1理解和领会反比例函数的概念

2能根据已知条件求反比例函数解析式

七　教学难点

    　1  难点是根据已知条件确定反比例函数的表达式.

2　难点突破方法

（1）在引入反比例函数的概念时，复习前面学过哪些函数（正比例函数、一次函数、二次函数）这样以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解。

（2）注意引导学生对反比例函数概念的理解，看形式　　　，等号左边是函数y，等号右边是一个分式，自变量x在分母上，且x的指数是1，分子是不为0的常数k；看自变量x的取值范围，由于x在分母上，故取x≠0的一切实数；看函数y的取值范围，因为k≠0，且x≠0，所以函数值y也不可能为0。讲解时可对照正比例函数y＝kx（k≠0），比较二者解析式的相同点和不同点。

（3）　　　（k≠0）还可以写成（k≠0）或xy＝k（k≠0）的形式

八　教学过程

（一）  回顾与思考

我们学过哪些函数？

（二 ） 探索本节课内容

【活动1】思考

思考：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？

 (1)一辆以60km/h匀速行驶的汽车，它行驶的距离S(单位：km)随时间t(单位：h)的变化而变化。

（2）一辆汽车的油箱中现有汽油50升，如果不再加油，平均每千米耗油量为0.1升，油箱中剩余的油量y(单位：升)随行驶里程 x（单位：千米）的变化而变化。

（3）京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t（单位:h）随该列车平均速度v（单位:km/h）的变化而变化；

（4）某住宅小区要种植一个面积为1000m²的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；

（5）已知北京市的总面积为1.68×10⁴平方千米，人均占有土地面积S（单位：平方千米/人）随全市人口n（单位:人）的变化而变化.

（6）正方形的面积S随边长x的变化而变化。

师生活动：先让学生思考,再进行全班性的问答或交流.

解：（1）S=60t      （2）y=50－0.1x     （3）

（4） 　　　　　（5）　　（6）ｓ=x²

【活动2】类比旧知 探索新知

在上面所列出函数中哪些是我们学过的函数？那些是未学的函数？

　　  　　

你能否根据这一类函数的共同特点，类比正比例函数写出这种函数的一般形式？

师生活动：教师提出问题，学生思考，在活动中教师应重点关注：

（1）学生是否正确理解反比例函数的意义。

（2）学生是否具有应用数学语言表达反比例函数概念的能力。     

（3）学生是否注意到自变量的取值范围是不等于0的一切实数

（4）反比例函数的其他表示方法与一般形式的一致性。

总结反比例函数的定义

一般地，形如        (k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数，k是比例系数，自变量的取值范围是不为０的全体实数。

分析：

（1）反比例函数的一般形式     （k≠0）， 其一般式可以变形为：y＝kx^－1或xy＝k（k≠0）两种形式；

（2）自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.

【活动3】牛刀小试 

下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？

 

①  　　② 　③ y=1-x 

　④  ⑤ 

师生行为：教师提出问题，学生思考，在活动中教师应重点关注：

（1）学生是否能够根据反比例函数解析式说出k的值.

（２）学生是否真正掌握了反比例函数的三种表达式。

【活动四】利用概念解题

例 1 当m为何值时，函数                   是反比例函数，并求出其函数解析式．

分析：主要考查学生对反比例函数概念的理解和领会

考 考 你

1.若函数y=(m+2)x       是反比例函数，则m_____ ,  n_____;

2.若函数y=　　          是反比例函数，则m=_____;

 

3.若函数y=(m+3)x      是反比例函数，则m=_______.

【活动五】典型例题练习

典型例题

例2  已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6.

(1) 求y与x的函数关系式:

(2) 求当x=4时y的值.

典型练习

１　已知y是x的反比例函数,当x=3时,y=-6.

     (1)求y与x的函数关系式.

     (2)求当x=9时y的值.

2  近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是___________。

【活动六】变式训练

已知y是x-1的反比例函数,当x=３时,y=-6.    

     (1)求出y与x的函数关系式.

(2)求当y=4时x的值.

【活动七】超越思维

　已知函数 y = y1＋y2 ，y1与x成正比例，y2与x成反比例，

且当x=1时，y=4；当x=2时，y=5。

(1)求y与x的函数关系式；

(2)当x=4时，求y的值。 

方法：先分别设y₁, y₂与x的关系式，将两组值代入所设的函数关系式中，求出函数的值。

在活动中教师应重点关注：

（1）学生是否深刻理解“y是x的反比例函数”这句话的意义。

（2）学生是否能够正确求解，书写是否规范。

【活动八】思考与实践

如何求求函数的解析式呢？

总结用待定系数法求函数解析式的一般步骤：

（1）设出含“未知系数”的函数一般式;

（2）根据已知条件列出含“未知系数”的方程（组）；

（3）解这个方程（组）,求出未知系数;

（4）将求出的未知系数的值代入所设的一般式中.

（三）  课堂小结

1反比例函数 : 一般地,如果两个变量x,y之 间的关系可以表示成：                   的形式,那么称y是x的反比例函数

2  要求反比例函数的解析式，可通过待定系数法求出k值，即可确定．

3  反比例函数等价形式

（k ≠0）的等价形式： xy=k  或  y=kx^-1

（四） 布置作业    《26.1.1反比例函数》练习

（五）板书设计

九　预期教学效果 

1  通过本节课学习，学生能够理解和领会反比例函数的概念，并能根据已知条件求反比例函数解析式。

2通过本节课的学习使学生进一步理解函数的内涵，让学生感受反比例函数是刻画现实世界变化规律数学模型。

3 在学习了图形与坐标和一次函数、二次函数的基础上，研究反比例函数，对反比例函数的理解以及用函数观念解决实际问题的经验，对于高中阶段其它函数的学习会奠定扎实的基础.

4.通过多媒体教学，充分调动学生的兴趣和主动性；教学中体现学生自主学习、合作学习、探究学习的数学学习策略。在今后的教学过程中，应注意把传统的教学方法融入到现代化多媒体教学当中去。

5在课堂教学中，做为数学老师，应努力培养学生的学习兴趣，因为兴趣是成功的秘诀，是获取知识的开端，是求知欲望的基础。只有这样，学习才能取得事半功倍的效果，教学质量才能得到有效提高，素质教育才能真正落到实处。

作业         《26.1.1反比例函数》练习题

1．函数y =  　　（k  　）叫做反比例函数，自变量的取值范围是               .

2．反比例函数y = 中的k值为             .

3.当m           时，y = 是反比例函数，任取一个m值写出这个反比例函数                           

4 下列各题中：（1）三角形的面积S一定时，它的底a与这个底边上的高h的关系；（2）多边形的内角和与边数的关系；（3）正三角形的面积与边长之间的关系；是反比例函数关系的是:                       （只填序号）

５.y与x成反比例，x与z成正比例，则y与z成               比例.

６.下列函数中是反比例函数的是                          （      ）

A. x(y－1) = 1      B. y = x^{－1     C. y =} －     D. y = －3

７.甲地与乙地相距5千米，某人以平均速度v（km/h）从甲地向乙地行走，设他全程所需时间为t(h),则变量t是v的                       （      ）

A. 正比例函数      B.反比例函数     C.一次函数     D.以上都不对

８计划修建铁路skm,铺轨天数a天,每日铺轨长度b(km/天)，则正确的是 （     ）

①当s一定时，a是b的反比例函数；②当a一定时，s是b的反比例函数；③当b一定时，a是s的反比例函数；

A. ①              B. ②          C. ③             D. ①②③

９. 已知y与x+2成反比例，且当x=2时,y=3，求（1）y关于x的函数解析式；（2）当x=-2时的y值.

   

1０.．已知函数y = y₁＋y₂ ，y₁与x成正比例，y₂与x成反比例，且当x =1时，y = 6,当x = 2时，y = 5,求y与x的函数关系式.

【励志故事】　　　　　　　　愚钝的力量

    　　大科学家爱因斯坦曾做过一个实验：他从村子里找了两个人，一个愚钝且软弱，一个聪明且强壮。爱因斯坦找了一块两英亩左右的空地，给他俩同样的工具，让他们在其间比赛挖井，看谁最先挖到水。

愚钝的人接到工具后，二话没说，便脱掉上衣干起来。聪明的人稍作选择也大干起来。两个小时过去了，两人均挖了两米深，但均未见到水。聪明的人断定选择错了，觉得在原处继续挖下去是愚蠢的，便另选了块地方重挖。愚钝的人仍在原地吃力地挖着，又两个小时过去了，愚钝的人只挖了一米，而聪明的人又挖了两米深。愚钝的人仍在原地吃力地挖着，而聪明的人又开始怀疑自己的选择，就又选了一块地方重挖。又两个小时过去了，愚钝的人挖了半米，而聪明的人又挖了两米，但两人均未见到水。这时聪明人泄气了，断定此地无水，他放弃了挖掘，离去了。而愚钝的人此时体力不支了，但他还是在原地挖，在他刚把一锨土掘出时，奇迹出现了，只见一股清水汩汩而出。比赛结果，这个愚钝的人获胜。

爱因斯坦说，智商稍高、条件优越、聪明强壮者不一定会成功，成功有时需要一种近乎愚钝的力量啊！

《26.1.1反比例函数》——课题研究课教学反思

单位：秦皇岛市第十八中学 　王丽娜

１　《反比例函数》属于《数学课程标准》中“数与代数”领域的基本内容. 函数本身是数学学习中的重要内容，而反比例函数是基础函数之一，我们是在学习了图形与坐标和一次函数、二次函数的基础上，来研究反比例函数的，学生理解和领会反比例函数以及用函数观念解决实际问题的经验，对于高中阶段其它函数的学习会奠定扎实的基础。

２　本节的内容主要是反比例函数的概念，教学设计的基本思路是从现实生活中大量的反比例关系中抽象出反比例函数概念，让学生进一步感受函数是反映现实世界中变量关系的一种有效数学模型，逐步从对具体反比例函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识。

３　本节的学习内容直接关系到本章后续内容的学习，也是高中阶段继续学习其它各类函数的基础。另外，其中蕴涵的类比、归纳、对应和函数的数学思想方法，对学生今后研究问题、解决问题以及终身的发展都是非常有益的。

４　本节课教学重点：理解和领会反比例函数的概念；能根据已知条件求反比例函数解析式教学难点根据已知条件确定反比例函数的表达式，因此本节课精心设计了“利用概念解题”的习题，及“求函数关系式”的习题。

５　注意引导学生对反比例函数概念的理解，看形式，等号左边是函数y，等号右边是一个分式，自变量x在分母上，且x的指数是1，分子是不为0的常数k；看自变量x的取值范围，由于x在分母上，故取x≠0的一切实数；看函数y的取值范围，因为k≠0，且x≠0，所以函数值y也不可能为0。讲解时可对照正比例函数y＝kx（k≠0），比较二者解析式的相同点和不同点。

６　我的课题是《初中数学生本课堂上创设有效探究情境的研究》，为了让学生更好地理解和领会反比例函数，在引入新课之前复习了函数定义，一次函数定义，二次函数定义，这样以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解，使学生更系统地学习初中阶段的函数知识，也为高中阶段继续学习其它各类函数的打下了坚实的基础。