函数的奇偶性

教学目标

知识与技能：

理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；

过程与方法：

通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．

情感.态度与价值观

通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．

教学重点和难点：

    重点：函数的奇偶性及其几何意义

    难点：判断函数的奇偶性的方法与格式

教学方法与教学用具

    教学方法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念．

教学用具：三角板  投影仪

课型

新授课

课时

    2课时

教学过程

（一）课前检测

1、函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值是(　　)

A．10,6     B．10,8     C．8,6       D．以上都不对

2、函数f(x)＝x²－4x＋3，x∈[1,4]，则f(x)的最大值为(　　)

A．－1      B．0      C．3     D．－2

3、函数f(x)＝＋x的值域是(　　)

A．[，＋∞)    B．(－∞，]    C．(0，＋∞)    D．[1，＋∞)

（二）导入新课

    “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？

    观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．

                                         

                                                            

                                                                                                  

    通过讨论归纳：函数是定义域为全体实数的抛物线；函数是定义域为全体实数的折线；函数是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于轴对称．观察一对关于轴对称的点的坐标有什么关系？

归纳：若点在函数图象上，则相应的点也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．

（三）研讨新课

函数的奇偶性定义：

1．偶函数

一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．

2．奇函数

一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

3．具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

    例1．判断下列函数是否是偶函数．

（1）

（2）

解：函数不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．

函数也不是偶函数，因为它的定义域为，并不关于原点对称．

例2．判断下列函数的奇偶性

（1）    （2）   （3）   （4）

解：（略）

小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定；

③作出相应结论：

若；

若．

例3．判断下列函数的奇偶性：

①

②

分析：先验证函数定义域的对称性，再考察．

解：（1）＞0且＞=＜＜，它具有对称性．因为，所以是偶函数，不是奇函数．

（2）当＞0时，－＜0，于是

当＜0时，－＞0，于是

综上可知，在R^－∪R⁺上，是奇函数．

例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．

教材P₄₁思考题：

规律：偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．

例5．已知是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．

证明：在（－∞，0）上也是增函数．

证明：（略）

小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．

（四）反馈练习

（1）课本P₄₂  练习1．2   P₄₆  B组题的1．2．3

（2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由．

①

②

③

④

（五）总结归纳

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．

（六）作业安排．

    1．书面作业：课本P₄₆习题A组1．3．9．10题

    2．设＞0时，

    试问：当＜0时，的表达式是什么？

解：当＜0时，－＞0，所以，又因为是奇函数，所以

．

（七）板书设计

（八）教学反思

    本节课从生活中常见的对称实例入手，激发了学生学习奇偶性的兴趣，从感性的简单，到理性的复杂，使学生自始至终都处在一种思考状态，圆满完成了教学目标。

第二篇：举例说明函数奇偶性的几种判断方法

举例说明函数奇偶性的几种判断方法

胡彬

在函数奇偶性概念的学习中，应多方面、多角度地思考概念的内涵，要掌握函数奇偶性定义的等价形式，注重寻求简捷的解题方法，函数奇偶性的定义是：如果对于函数定义域内任意一个x，都有（或），那么函数就叫做奇函数（或偶函数）。函数奇偶性的定义反映在定义域上：若是奇函数或偶函数，则对于定义域D上的任意一个x，都有，即定义域是关于原点对称的。函数奇偶性定义给出了判断奇偶函数的方法。

下面给出函数奇偶性判断的其他等价形式，寻求比较简便的判别方法。

1. 相加判别法

对于函数定义域内的任意一个x，若，则是奇函数；若，则是偶函数。

例1  判断函数的奇偶性。

解法1：利用定义判断，由

，可知是奇函数。

解法2：由x∈R，知。因为

，所以是奇函数。

2. 相减判别法

对于函数定义域内任意一个x，若，则是奇函数；若，则是偶函数。

例2  判断函数的奇偶性。

解：由x∈R，知。因为

，所以是偶函数。

3. 相乘判别法

对于函数定义域内任意一个x，若，则是奇函数；若，则是偶函数。

例3  证明函数是偶函数。

证明：由x∈R，知。因为

，所以是偶函数。

4. 相除判别法

对于函数定义域内任意一个x，设，若，则是奇函数；若，则是偶函数。

例4  证明函数是奇函数。

证明：由，知且，所以定义域关于原点对称。

因为，所以是奇函数。

点评：上述各例，若用定义判定，则困难程度可想而知。用等价定义判断解析式较为复杂的函数的奇偶性时，方便快捷，可化繁为简，会使大家感到思路清晰，目标明确，思维视野大为开阔，值得同学们注意。

练一练：

已知是定义在R上的函数，，且对任意的x∈R，都有，。若，则________。

答案：1（提示：由

，所以其中等号均成立，。由得，，…，，从而有）