1.3.2 奇偶性

编写者：赵友德

教材分析

　“函数的奇偶性”是人教版数学必修教材必修一第一章第三节的内容，本节的主要内容是研究函数的一个性质－函数的奇偶性，学习奇函数和偶函数的概念．奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的两个特殊函数入手，从特殊到一般，从具体到抽象，比较系统地介绍了函数的奇偶性．从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又为后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础，因此，本节课起着承上启下的重要作用。学习奇偶性，能使学生再次体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。

课时分配  

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解函数奇偶性的概念，奇偶性的判断及与其它知识交汇问题.

教学目标

重点：奇偶性的定义，奇偶性函数的图象特征，奇偶性的判定。

难点：奇偶性的判定及应用，特别是分段函数及抽象函数的奇偶性判断。

知识点：奇偶性的概念和性质。

能力点：判断或验证给定函数的奇偶性初步运用奇偶性，如求函数值、求函数解析式、作函数图象等。

教育点：体会具有奇偶性的函数图象的对称性，感受数学的对称美，渗透数形结合的数学思想。

自主探究点：函数的奇偶性与图像的对称性的关系。

考试点：函数奇偶性的判断，奇偶性在图像中的应用，分段函数的奇偶性判断。

易错易混点：例如函数f(x)=(x－1)， 学生一般在“-x-1”或“-x+1”上容易出错。

拓展点：对定义域的考虑和定义域的对称性的要求。

教具准备  多媒体课件和三角板

课堂模式  学案导学

一、引入新课

                  

1.据图1求解：（1）f(2),f(-2)   f(3),f(-3)       (2) 试判断f(a)与f(-a)的关系。

2.若条件不变，据图2求解.

【师生活动】教师分析1的求解思路：根据解析式，直接求得函数值。若用图像求，考虑误差的影响。

教师引导：上面求值结果有何规律，是否f(4)与f(-4)，f(5)与f(-5)…都有类似规律。

学生分析（2）的求解思路：由于有了（1）的思路分析，学生很容易得出f(a)与(-a)，并得出结论

对于2，学生可以自主完成。

【设计意图】 通过图像引入，简明易懂，化抽象为直观，便于得出结论，据解析式求函数值使学生体会数学求解的准确性、严谨性。

【设计说明】在分析（1）（2）的求解思路以后，引导学生体会从特殊到一般的数学发现过程。

二、探究新知

（一）归纳性质

师：对于的图象，我们可以从整体上直观地感受到，它关于轴对称，是轴对称图形。对于的图象呢？

生：我们可以从整体上直观地感受到，它关于原点对称，是中心对称图形。

师：那么如何利用函数值描述这种对称性呢？

生：填写下表中的函数值并比较

猜想: 在定义域中的任一对互为相反数的自变量取值，对应的函数值都相等或相反．

提出问题：通过以上函数值关系，你能归纳出一般性的结论么？

结论：对于，有；对于，有。

[设计意图] 给学生充分的感性材料,揭示性质的发现过程, 通过学生发现若干特例的共性, 培养学生归纳、概括、提出数学问题的能力（一般性探究），避免填充式教学。

（二）性质证明 

师:上述过程得出的结论，能否说明对所有的点结论一定成立？

生：我们取的是一些点，而不是全部，不能保证。

师: 对称性的本质是坐标的关系，为了突出一般性，我们任取一点，即取点，，如图所示，如果它们关于轴对称，则有，如果它们关于原点对称，则有。

[设计意图]从几个例子就得出结论，是学生常态思维，通过提醒学生这种方法的不完全性使学生感到此种推理方法的缺陷性，从而使学生在数学的严密推理上受到深刻的教育，培养了学生思维更加缜密的品质。

三、理解新知

由分析得到: 对于函数=：在其定义域内，奇函数：   偶函数: 。

[设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫.

四、运用新知

1、（课本，P35，例5）判断下列函数的奇偶性

（1）            （2）

（3）         （4）

解：（格式）（1）函数的定义域为，

                   又， ，

                   

                  是偶函数

   师：“函数的定义域为” 可否省略?

生:强调定义域的对称性，不可省略。

师：求函数奇偶性的一般步骤是什么?

生：①先求定义域，再求，②比较二者是否相等或相反③结论。

其余3题由学生自主完成。

[设计意图] 巩固函数奇偶性的概念，强调解题格式

2、变式：判断下列函数的奇偶性

（1）            （2）

（3）                      （4）

（5）

师：解题指导分析：对于（1）（2），由于定义域关于原点不对称，存在无意义的情形，对于（3）可举特例，得到非奇非偶的类型；对于（4）（5），先求定义域，适当化简解析式后，比较得出奇偶性，对于既是奇又是偶的函数，其解析式为 ，而由定义域不同可得不同函数

生：自主完成练习

[设计意图] 适当提高，让学生感受函数奇偶性的各种不同情形及巩固判断方法

3、思考：定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），求证：f（x）为奇函数．

师：抽象函数奇偶性的判断，从根本上仍是判断当时， 与的大小关系。

生：证明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．

令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y），得 f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，则有

0=f（x）+f（-x）．即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．

[设计意图] 让学生体会抽象函数的奇偶性一般判断方法。

五、课堂小结 

教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：

1．函数奇偶性的概念。

2．思想：数形结合的思想、特殊与一般的思想．

教师总结: “函数奇偶性”是一个重要的数学概念，其研究必须经历从直观到抽象，从图形语言到符号语言，整节课学生通过自主探究活动来体验数学概念的形成，学习数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力。让学生掌握利用定义进行判断奇偶性的基本方法，理解定义域的要求，理解图象的对称性，了解奇偶性的四种类型，并初步运用奇偶性。

[设计意图] 加强学法指导，使学生体会到自主学习的重要性，培养学生积极主动，勇于探索的学习方式。

六、布置作业 

1．阅读教材P33—36；

2. 书面作业  

必做题：P36 练习1.    P39 习题1. 3  A组 6.

选做题：1.已知且，那么­____________。

2. 判断函数的奇偶性。

3．课外思考  已知是奇函数，当时，，求当时，的表达式。

[设计意图]设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用函数奇偶性的概念判断奇偶性，以及在函数图象中的应用。课外思考的安排，是让学生认识到奇偶性与其它知识的联系及交汇应用，从而让学生深刻地体会到研究函数，必须从整体上把握函数的性质，学会综合应用，从而提高学生的分析能力和实际应用水平。

七、教后反思 

1.通过课堂实际使用情况看，本教案的成功之处在于展示概念是如何生成的，在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力。

2.例题及变式的设计难度适当，灵活多变，训练了本节课与其它知识交汇点的处理，提高了学生对综合题目的认识水平.

3.本节课的弱点在于对分段函数及抽象函数学生明显感觉不易掌握，在课堂上没有充分暴露学生解题误区，并给予较好的修正措施，仍需回顾复习。

八、板书设计

第二篇：函数奇偶性教学案

一、教学设计理念

按照新课程教学理念，“数学教学是数学活动的教学；在这个活动中，使学生掌握一定的数学知识和技能，同时身心获得一定的发展，形成良好的思想品质。”数学课已不仅仅是一些数学知识的学习，更要体现知识的认识和发展过程，同时要根据教学需要，关注学生已有的知识基础和学习经验，精心设计问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生积极探索，在探索过程中获得对数学的积极体验和应用。

二、教材分析

1、对教学内容教材的认识

函数的奇偶性是函数的重要性质，是对函数概念的深化。教材从观察实例开始，先动手操作实验（沿Y轴折叠偶函数图象），再观察函数图象的对称性、分析函数值表格，逐步领悟图形（函数图象）对称、点（函数图象上的点）对称、数（纵坐标）相等、式（函数式）相等之间的关系。在建立函数奇偶性的概念之后，应用定义判断简单函数的奇偶性，讨论函数图象的对称性。教学内容较好地渗透了数形结合的思想方法。

教学内容在教材中的呈现方式是：观察日常生活中的对称现象（产生对“对称”的感性认识）→观察数学图形（具有对称性的函数图象）→动手操作（折叠）实验→再观察思考→对称性的定性描述→尝试定量刻画→建立函数的奇偶性定义→性质讨论→问题解决与应用→再探究与引申。

2、教学目标

根据课程标准要求，我确定本节课的三维教学目标：

（1）知识目标

了解函数奇偶性的概念、图象和性质，并能判断一些简单函数的奇偶性。

（2）过程与方法

通过实例观察、具体函数分析、数与形的结合，定性与定量的转化，让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验。

（3）情感态度与价值观

在经历概念形成的过程中，培养学生内容、归纳、抽象、概括的能力，体验数学既是抽象的，又是具体的，提高学生数学地提出问题、分析问题、解决问题的能力。

3、教学重点、难点

重点是函数的奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性；

难点是对函数奇偶性概念的理解与认识。

重点确定的理由是，函数奇偶性概念的建立过程是本节课的“重头戏”.学生如何从身边生活中的实例（老师应再去挖掘）感受对称美，再观察函数图象的对称性，产生函数图象对称性的刻画描述的倾向，努力尝试定量（用式子）刻画进而建立函数奇偶性的定义.这应当是“独立思考、自主探索、师生互动”的学习过程.通过这样的学习过程，领悟的是数学学习的方法，学生得到的是自己探究的结果，体验的是成功的喜悦.努力创设有利于学生“自主探索、合作交流”学习的问题情境，推迟结论（结果）的达成，课堂教学不仅要注重知识的落实和结果，更要注重学生的学习过程，是新课改背景下的课堂教学的基本特征与要求.

难点确定的理由是，函数的奇偶性概念中蕴含着“具有奇偶性的函数的定义域关于数‘0’对称。”概念中的“对定义域内的任意一个”、“都有”等关键词，都是学生所不易理解的。故在教学过程设计中，注重了从正反两个方面的强化，并设计了概念在图象、判断、推理等方面的简单应用，以加深学生对所学概念的理解。

三、教学方法与教学手段

教学方法

根据建构理论与新课程教学理念，我注意结合学生所熟悉的生活实例、已掌握的对称函数的图象，来创设问题情境，启发引导学生自主学习，使学生学会思在问题的疑难处，想在真理的探索中，达到“学”有知“思”，“思”有所得的目的。

学习方法

自主探索、观察发现，合作交流、自主建构、引申升华。

教学手段

多媒体（Powerpoint、几何画板、实物投影仪等）辅助教学。特别是利用几何画板的“拖动”功能来刻画“任意一点”、“都有”，使抽象的数学问题变得直观，使概念的数学本质得以凸显。

教学过程