无穷递缩等比数列求和教学案例及反思
如“无穷递缩等比数列求和”是在学生学习了数列及数列极限等知识的基础上提出来的，它与数列、方程、函数和极限等知识有内在的联系，能与实际生产和生活中的问题相结合，但是，学生对无穷数列各项和，有限到无限的思想方法，以及用极限的方法去解决实际问题还缺少思想基础，因此，我在设计这一节课时，设计情景，提出问题，通过实际问题、具体问题，以引起学生情感体验，引导学生学会建构、探究，最终达成教学目标。
（一）设计情境——提出问题
问题1：如果不停地往一只空箱子内放东西，箱子会满吗？为什么?
这问题表面上看是一个游戏，事实上，它隐含着无穷数列各项和知识，有一定的趣味和魅力，能引起学生的思考，不同层次的学生都有发言权，也不乏味，有能力发展点、个性和创新精神培养点，学生从实际背景出发，通过动脑思考，动手操作，动口说明，能经历从抽象表示到符号变换和检验应用全过程，能培养学生的数学建模能力。
（二） 自主探究——感知问题
我提示学生用数学眼光去看上述问题，即将上述问题转化为数学模型,然后让学生展开讨论。
（三） 合作交流——形成共识
（1）问题1的讨论结果：
S1：箱子即使很大也会满，因为，设第一次放入的量为a1, 第二次放入的量为a2,?设第n次放入的量为an，?,则a1＋a2＋a3＋?＋an＋?可能很大，总能放满箱子。
S2：箱子即使很小也不会满，因为，设第一次放入的量为a1, 第二次放入的量为a2,?第n次放入的量为an ，?,则a1＋a2＋a3＋?＋an＋?可能也很小。
（2）引导学生对问题进行探究，构建数学模型
问题2：你能尽可能多地举出箱子不会满的例子吗？
S3：把一支粉笔的一半放入空箱子中去，剩下粉笔的一半再放入空箱子中去，如此下去，?，放入空箱子中的充其量也只有一支粉笔，不会满，其数学模型是：a＋a＋a＋?=a(a是粉笔的长)
S4：把一杯水的倒入空容器中去，剩下水的再倒入空容器中去，如此下去，?，倒入容器中的只有一杯水，也不会满，其数学模型是：
b＋b＋b＋?=b(b是一杯水)
??
问题3：你能否将S3与S4这类问题一般化？若设第一次放入空箱子中去的量为a1，第二次放入空箱子中的量为a2，?第n次放入空箱子中去的量为an，?，数列{an}有何特点？
同学们得出结论：数列{an}是等比数列，也是递减数列，且项数无穷的。
接着再让学生自主研究无穷递缩等比数列的定义，并判定数列{an}是否为无穷递缩等比数列？再进一步思考无穷递缩等比数列是否一定是递减数列？总结无穷递缩等比数列的几个特征，加深对概念的理解。
（3）Sn与S的关系
问题4：当|q|<1,qn=a1qn,可以证明，当n→＋∞时，an→0(让学生课后证明)
请学生思考：若设数列{an}前n项和为Sn，，所有项的和为S，运用极限的思想，你能否发现Sn与S的关系？讨论结果：S=limSn
（4） 求无穷递缩等比数列的和
问题5：怎样求无穷递缩等比数列{an}的和？
Sn=a1＋a2＋a3＋?＋an=,lim Sn=lim
因为当|q|<1时，limqn=0, 所以S= lim Sn=
我这时就说：好！我们通过自主探索与合作交流，得出了无穷递缩等比
数列的求和公式：S=（|q|<1）
（5）公式的应用（略）
通过应用交流，使学生加深对公式的认识，体验了数学模型化思想，让学生在交往中学习数学。
（四）总结反思——共同创新
本课我们运用情景化、问题形象化、探究化等数学方法，将游戏问题转化为数学模型——无穷递缩等比数列的和。为了概括所学内容的逻辑结构，提炼思想观点，引导学生创新，我将本课研究过程和方法概括如下：
抽象概括 应用
教学全过程概括为：具体问题——————数学模型—————解决实际问题。
改造 抽象概括
解决问题的思想方法：现实问题————现实模型————数学模型——
数学方法 检验 探究、深化、拓展、
————数学模型的解————现实问题的解————————现实问题
是否符合实际？
由此课例，不难看出，问题式、情景式教学交互设计，促进了学生形象思维和抽象思维的相互补充、相互促进，这种设计以培养兴趣为前提，以指导观察思考为基础，以发展思维为重点，以自主探究、合作交流为手段，让学生在感情体验中真正地用“心”去学习。
数学本身是为人的，是开放的，是丰富多彩的，一句话，数学是为人所用的。而这一事例生动地告诉我们，作为数学老师，不同的教育观念、不同的思想方法会有不同的数学思路和教学方法，学生会有不同的发展结果，只要我们用心地去备好每一节课，设计得当的教学程序，我们的学生将会把数学掌握得更好，我们的数学教学将会更好地服务于社会。
第二篇：等比数列求和试题[1]
等比数列及其求和
一、典型例题：
1.(1) 若
成等比数列，则
的值为__________ . 
(2) 在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为________ . 
2. 如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（ B ）
（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在
3. 设等比数列
的前n项和为
，前n项的倒数之和为
，则
的值为（ A ）.
（A）
（B）
（C）
（D）
4. 在等比数列
中，
（ C ）.
A．
B．
C．或 D．－或－
5. 等比数列的首项
，前n项和为Sn，若
,
_________ . 
6. 已知数列是公比
的等比数列，给出下列六个数列：（1）
； (2) 
；
(3) 
；(4) 
；(5) 
；(6) 
. 其中仍是等比数列的个数为（ B ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）3
7. 若
六个数成等比数列，则
= . 
8. 设是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若｛Sn｝是等差数列，则q= _____. 1
9. 在正项数列中，
，则
___________ .
10. 已知数列的通项公式为
，求数列的前n项和为 .
11. 已知定义在R上的函数
和数列满足：
，
且
（1）令
，证明数列
是等比数列； （2）求数列的通项公式 .
解（1）
由此推知：
…2分
当
…4分
是一个首项为2公比为2的等比数列………………………6分
（2）由（1）知：
………7分
当
时，
…9分
而
……11分
对n=1时
也成立，………………12分
12. 设数列的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：
，其中
为
已知常数.
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）设的公比为
，作数列
，使
，
，求的通项bn ；
（3）求和：b1b2－b2b3+b3b4－b4b5…+b2n－1b2n－b2nb2n+1.
12. 解：（1）由a1=S1=1，S2=1+a2，得a2=
又3tSn－（2t+3）Sn－1=3t ①
3tSn－1－（2t+3）Sn－2=3t ② ①－②得3tan－（2t+3）an－1=0 ∴
，
所以{an}是一个首项为1，公比为
的等比数列.
（2）由f（t）=
，得bn=f
+bn－1. ∴bn=1+
（n－1）=
（3）由bn=，可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和
，公差均为
的等差数列于是
b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1 =b2（b1－b3）+b4（b3－b5）+b6（b5－b7）+…+b2n（b2n－1+b2n+1）
=－（b2+b4+…+b2n）=－
=－
（2n2+3n）
二、练习题：
1. 已知正项数列为等比数列，且
，则
_______ . 5
2. 等差数列的公差
，且
成等比数列，则
= . 
3. 设等比数列的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比
_________. 
3.解：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1. 因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.
由S3+S6=2S9，得
，整理得q3（2q6－q3－1）=0，由q≠0，得
2q6－q3－1=0，从而（2q3＋1）（q3－1）=0，因q3≠1，故q3=－
，所以q=－
.
4. 等比数列的前
项的乘积记为
，若
，则
_______ . 
5. 设An为数列的前n项和，An=
（an－1）
，且
.
（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；
（Ⅱ）若d∈｛a1，a2，a3，…，an，…｝∩｛b1，b2，b3，…，bn，…｝，则称d为数列｛an｝与｛bn｝的公共项，将数列｛an｝｛bn｝的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列｛dn｝，求证：数列
的通项公式为：
.
5.解：（Ⅰ）由已知An=（an－1）（n∈N），当n=1时，a1=（a1－1）， 解得a1=3，
当n≥2时，an=An－An－1=（an－an－1），由此解得an=3an－1，即
=3（n≥2）. 故an=3n（n∈N*）；
（Ⅱ）证明：由计算可知a1，a2不是数列｛bn｝中的项， 因为a3=27=4×6＋3，所以d1=27是数列｛bn｝中的第6项
设ak=3k是数列｛bn｝中的第n项，则3k=4m+3（k，m∈N），
因为ak+1=3k+1=3·3k=3（4m+3）=4（3m+2）+1， 所以ak+1不是数列｛bn｝中的项.
而ak+2=3k+2=9·3k=9（4m+3）=4（9m+6）+3， 所以ak+2是数列｛bn｝中的项
由以上讨论可知d1=a3，d2=a5，d3=a7，…，dn=a2n+1
所以数列｛dn｝的通项公式是dn=a2n+1=32n+1（n∈N*）
练习题答案： 1. 5 2. 3. 4. 5. 