“等比数列前n项和公式的推导”教学设计与反思

数学组 吴淑雄

《数学课程标准》明确指出，在教学中应鼓励学生积极参与教学活动,包括思维的参与和行为的参与。既要有教师的讲授和指导,也有学生的自主探索与合作交流。鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径,使他们经历知识形成的过程。 因此，丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学新课程教学的基本理念之一，数学探究活动也就成了课堂教学的一种全新的教学方式。下面以等比数列的前n和公式的推导为例,谈谈设计的探究方案和反思。

一、探究《等比数列的前n和公式的推导》的设计方案

方案1:直接给出等比数列的前n项和公式:当q?1时, a1(1?qn)a1?anq;当q?1时, Sn?na1.引导学生给出公式的推导方法.Sn??1?q1?q

预设了如下3种方法。

方法一:(迭代法见教材推导过程,此处略)

aa2a3????n?q a1a2an?1a?a3???an根据等比的性质,得2?q， a1?a2???an?1Sn?a1即?q， Sn?ana?anq∴(1?q)Sn?a1?anq.即 当q?1时, Sn?1. 1?q

方法三： 方法二:由等比数列的定义,知

?Sn?a1?a2?a3???an?a1?q(a1?a2?a3???an?1)?a1?qSn?1?a1?q(Sn?an) ?(1?q)Sn?a1?anq. (结论同上)

方案2: 从情境提炼问题: S64?1?2?22?23???263. ① (教师引导:上式中的数有何规律?若用公比2乘以上面等式的两边所得新式 1

子有何特点?)

若用公比2乘以上面等式的两边,得到

② 2S64?2?22?23???263?264.

(教师引导:①与②两式有何关系?)

为了便于比较①、②两式,我们将它们列在一起：

S64?1?2?22?23???263, ①

② 2S64?2?22?23???263?264.

(教师引导:①与②两式可作如何处理?)

若②式减去①式,可以消去相同的项,得到: S64?264?1.

回归问题:能否仿照上述解题方法,给出一般等比数列的前n项和公式? 方案3: 等比数列有两大类:公比q?1和q?1两种情形.当q?1时, Sn?na1.

当q?1时,

Sn?a1?a1q???a1qn?1??

S1?a1,

S2?a1?a2?a1?a1q?a1(1?q),

S3?a1?a2?a3?a1?a1q?a1q2?a1(1?q?q2).

引导学生从1?q?q2的代数结构出发,联想到立方差公式,得出

a1?a1q3

,再退一步1?q?(1?q)(1?q?q),从而S3?1?qa1?a1q2a1(1?a1q1)a1(1?qn),S1?.归纳猜想: Sn?.最后对公式进行变S2?1?q1?q1?q

形,寻求公式的推导方法.由?Sn?qSn?a1(1?qn)的左式结构,考虑对?Sn与qSn32作差,从而引出错位相减法。

2

方案4: 引导学生对Sn?20?21?22???2n?1的结果进行猜想:

由S1?1,S2?3,S3?7,?,猜想20?21?22???2n?1?2n?1；

进一步在教师的适时引导下及学生的共同努力下可得出:

3n?14n?1012n?13?3?3???3?; 4?4?4???4? . 23nq?1再猜想出更一般的结论: 1?q1?q2???qn?1?(q?1). q?1a1?qn?1

2n?1等比数列的求和公式也呼之欲出: a1?a1q?a1q???a1q)?(q?1). q?1

最后在教师的启发下,通过多项式的变形,引出错位相减法。 012n?1

方案5:复习等差数列的前n项和公式的推导方法:将a1与an、a2与an?1,所有与首末等距离两项交换位置,得到Sn的倒序和的形式,然后两式相加.这样2Sn就是一个有n项的每一项都是a1?an的常数列,从而导出Sn的公式.

激发学生类比联想:等比数列是不是也可以用类似的方法进行求和呢?让学生亲自去试一试.这时候学生们很自然的会用倒序相加的方法来进行思考.结果显然是行不通的。

教师适时点拔,引导学生进行思维发散——从倒序相加的定势中解脱出来.等差数列的求和方法,形式上是倒序相加,本质上就是消去数列中项与项之间的差异,把省略号(??)的“无形”化为“有形”(上下对应两项的和都等于a1?an).对于等比数列而言,难点也是如何把省略号的“无形”化为“有形”.引导学生从等比数列的定义出发,进一步认识等比数列从第二项起,每一项都是前一项的q倍,也就是说将每一项乘以q以后就变成了它的后一项.那么将Sn这个和式的两边同时乘以q,则在qSn这个和式与Sn的和式中,就会出现许多相同的项.这样通过两个和式相减,自然可以将省略号(??)的“无形”化为“无影”(相同项相减等于0)。

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二、对探究方案的反思

数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式,它有利于学生形成功能良好的认知结构。在问题探究过程中,学生通过思考、操作、内化等学习过程,深化知识和方法的建构,同时也不断地促进学生主动参与学习,使课堂教学真正做到让学生“动起来”,让课堂“活起来”。

纵观5个方案可以发现,方案1是接受性学习,由教师直接“抛出”等比数列前n项和的公式,让学生寻求证明的方法,此时的探究是没有任何意义的.学生已经知道问题的结论,就失去探索未知的冲动,自然解决问题的内驱力也不会太高.再者,如果没有教师点拔引导,普通的学生能找到解题的思路吗?况且初中教材已经删去了等比定理.恐怕只能是由教师提供解题方法,学生更多的是惊叹于方法的神奇,却没有自主获得结论的成就感,同时也不可能使“错位相减法”得到应有的重视.方案2~4都采用从特殊到一般的思想方法,但方案2略显单薄,没有突破错位相减的认知“瓶颈”,依然有“抛出”的嫌疑.而方案3和4在特殊到一般的过程中,引领学生进行似真推理,归纳猜想出等比数列前n项和公式,并从结构分析获得解题灵感.是较好的探究方式。

相比之下,方案5借助推导等差数列求和公式的思想方法,类比寻求推导等比数列的前n项和公式的方法,则更符合高一学生的认知特征.应该说等差和等比数列的求和公式的推导方法,从数学思想和数学方法上讲是一致的,都是将“无限”化为“有限”,但是它们也有差异,即错位的方法不同.正是由于这种差异,致使很多参赛教师都错误地认为:不能通过类比推理探究等比数列的前n项和公式的推导方法.实际上,他们是基于这样的错误认识:通过运算方式的类比,由等差数列的前n项和公式只可以类比得出等比数列的前n项积公式.而这里却 4

是解题方法的类比。

从认知层面看,在陈述性知识、程序性知识与策略性知识的分类中, 等比数列的前n项和公式属于学生最高需求层次的掌握策略与方法的策略性知识.因此,本节内容的重点有两个,一个是掌握等比数列的前n项和公式,一个是掌握公式推导中涉及到的数列求和方法——错位相减法.在一节课的时间内要达到这样的双重目的,时间是教学设计时必须考虑的要素,方案5利用类比进行公式推导,应该说很好地解决了这个问题.既使求和方法得以同化,形成能力,又节省时间便于知识的强化.方案3、4的公式推导及证明势必占用大量的时间,完成本节课的两大学习任务是困难的;而方案1直接给出公式,介绍证明方法,虽然可以留有更多的时间供学生练习,但难免有“重结论轻过程”之嫌,这与新课标的教学理念似乎不大相符。

我们必须承认:在数学课堂教学中,实施探究教学是基于新课程理念下教师的一种追求,长期渗透于教学之中,势必会取得显著的成效.但我们还应该意识到,探究教学不仅需花费较多时间而且还受教学进度、教学内容、教师精力、班级人数等条件制约,特别是新教材课时紧、任务重,每课必探究是不现实的,真正意义上的探究教学也是不容易的。所以，教师应善于根据不同的教学内容、灵活应用不同的教学方法.教师谋求的应是不同教学方式之间的平衡与互补,寻求不同教学方法之间的最佳整合。该“探究”就探究,该“接受”就接受.只有多种教学方法取长补短、平衡互补、相辅相成,在有限的时间里，才能促使学生向最优发展。

总之，无论是对哪个章节教学设计进行探究,教学中都必须以学生为主体、教师为主导、训练为主线,并且设法从庞杂的知识中引导学生去寻找关系,挖掘书本背后的数学思想,建构基于学生发展的知识体系,教学生学会思考,让教学真正 5

成为发展学生能力的课堂活动。

虽然数学课堂由表演走向对话,由预设走向生成,已是大势所趋,但作为教师，必须清楚地认识到进行教学设计依然是重要的备课活动,只有充分研究教材中知识的形成与发展过程,关注学生的学情和思维“最近发展区”,学生的主体地位才有可能体现,真正做到以生为本；学生的潜能才有可能被开发,课堂教学才可能鲜活。

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第二篇：等比数列的通项公式(教案)

等比数列的通项公式（教案）

一、教学目标

1、  掌握等比数列的通项公式，并能够用公式解决一些相关问题。

2、  掌握由等比数列的通项公式推导出的相关结论。

二、教学重点、难点

 各种结论的推导、理解、应用。

三、教学过程

1、  导入

复习  等比数列的定义： 

      通项公式：   用归纳猜测的方法得到，用累积法证明

2、  新知探索

例1 在等比数列中，

（1）       已知；  （2）已知.，

分析 （1）根据等比数列的通项公式，得

（2）       可以根据等比数列的通项公式列出一个二元一次方程组

  解得  所以

问：上面的第（2）题中，可以不求而只需求得q就得到吗?

分析 在归纳猜测等比数列的通项公式时，有这样一系列式子：

注意观察等式右边各项的下标与q的次方的和，可以发现，的表达式中，始终满足

 

结论1  数列是等比数列，则有  。

再来看一下例1中（2）的另一种解法：，所以q=2，所以

习题2.3（1）  2、在等比数列中，

（1）       已知；  （2）已知.

分析  （1）可以根据定义和结论1给出两种解法。

方法一

方法二 ，所以q=3，所以。

（2），所以

例2 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列。

分析  设此三个数为，公比为q，则由题意得243，，3成等比数列；

，所以得

故插入的三个数为81，27，9或-81，27，-9.

问：观察一下例2中，当时，这5个数分别为243，-81，27，-9，3，可以发现什么规律？

答：在等比数列中，当公比小于零时，数列中的奇数项同号，偶数项同号。

习题2.3（1）

6、在等比数列中，，，求的值。

分析  得，同理得

例3 已知等比数列的通项公式为，求首项和公比q.

分析 

  在例3中，等比数列的通项公式为，是一个常数与指数式的乘积，因为数列是特殊的函数，故表示这个数列的各点均在函数的图像上。

问：如果一个数列的通项公式为，其中，都是不为零的常数，那么这个数列一定是等比数列吗？

分析  ，，所以是等比数列。

一般可以看作是等比数列通项公式的变形，，其中

结论2  等比数列的通项公式均可写成（，为不等于零的常数）的形式。反之成立。

习题2.3（1）  5、在等比数列中，

（1）是否成立？是否成立？

（2）（n>2）是否成立？

（3）你能得到更一般的结论吗？

分析  （1）

，所以成立。

（2），所以成立。

（3）从（1）（2）可以看出，等式两边各项的下表和相等，左边是同一项的平方，如果把左边换成两个不同项的乘积呢？

同时，类比等差数列中的一个结论：在等差数列中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有，可以猜测：在等比数列中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有.

证  ，

所以.

结论3  在等比数列中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有.

习题  在等比数列中，，是方程的两个实根，求.

分析 可以利用结论3.

因为，是方程的两个实根，所以可得=16，

所以==16.

在结论3中，当m=n或p=q时，可以发现此项总是处于另两项的中间。

结论4  若，G，b成等比数列，则称G为和b的等比中项，且。

习题2.3（1）

7、（1）求45和80的等比中项；

（2）已知两个数k+9和6-k的等比中项是2k，求k.

分析  （1）设此等比中项是G，则=4580=3600，所以G=60.

（2），化简，得，

所以

四、归纳总结

本节课的主要内容是由等比数列的通项公式引深而得到的几个结论，要求学生能牢记并灵活运用。

五、布置作业

做与本节课内容相关的练习册。

六、教学反思

本节课的内容都是由等比数列的通项公式推导而得到。在上课的时候，我先是把等比数列的通项公式推导一遍，再由相关的例题或习题引出相关的结论，在讲解中引导学生思考，充分发挥学生的主体作用，使学生能够与我产生互动，调节课堂气氛，使学生积极思考。

在上课的过程中，有些地方因缺乏经验不能很好地连贯在一起，这在以后的讲课中要注意。