运用波利亚“怎样解题表”

有效实施数学解题教学

（原载《中国数学教育》［高中版］20##年第11期）

●时红军●严晓凤●

【摘要】

在数学教学中,解题是最重要的活动形式之一。学生对数学概念的形成、数学命题的掌握、数学思维方法和技能技巧的获得以及学生智力的培养和发展,都必须通过解题教学来实现。而波利亚的“怎样解题表”给我们提供了一种解题方法和套路，本文初步探讨了如何运用波利亚“怎样解题表”有效实施数学解题教学。

【关键词】

解题表  解题教学  数学问题

    乔治·波利亚(G.Polya,1887-1985年)是美籍匈牙利数学家、教育家、数学解题方法论的开拓者.他十分重视解题在数学学习中的作用,并对解题方法进行了多年的研究和实践,绘制出举世闻名的“怎样解题表”,被各国数学界奉为解题宝典. “怎样解题”表的主要内容，分为“弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾”四个阶段。弄清问题,即明了已知数、未知数和条件;拟定计划,即找出已知数与未知数之间的联系或者考虑辅助问题,并具体拟定一个求解的计划;实现计划,即实现求解计划,检验每一步骤;回顾,即验算所得到的解,并将结果和方法试着用于其他问题^[1]。每一个阶段又有一系列启发性问句。譬如：未知数是什么，（在证明题中要求证什么），已知数据是什么、你以前见过它吗、你是否见过相同的问题而形式稍有不同、你能利用它吗、你能利用它的结果吗、你能利用它的方法吗、你能用别的方法导出这个结果吗，等等。

    数学解题教学不同于平常的概念教学,它是运用前面所学的基础理论、基本方法和一些特殊方法来解数学问题的一种教学方法,它充分体现教师和学生的数学素质,是目前素质教育不可忽视的内容。 本文试图对如何利用波利亚“怎样解题表”有效实施数学解题教学作初步探讨。

   一  “弄清问题”阶段，重述问题，教会学生形成正确的审题方法

    首先，必须让学生了解问题的文字叙述。已知是什么?未知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数,条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 教师可以要求学生重新叙述题目，并能够指出问题的主要部分。

    其次，要教会学生形成正确的审题方法。数学问题的给出是通过“数学语言”达到的。符号语言简洁抽象，图形语言直观形象，而文字语言则通俗易懂。教师可以教学生利用数学语言的转换来培养学生好的审题习惯，形成正确的审题方法。例如：对于文字应用题，可以指导他们借助图像、图表将题目中条件之间的关系表示出来，将冗长拗口的文字叙述，直观的体现在图上，一看就能明白。这样用简洁明了的图形呈现的视觉形象进行问题表征，能简化看似复杂的问题，减少工作记忆的负担。再如：对于几何题，要求他们尽量将题目中的已知条件标在图上，这样文字与图形相结合，就不用看一下题，看一下图，分散时间和精力了。

    另外，还要注意引导学生挖掘已知条件与所求之间的关系，特别是挖掘题中的隐含条件。如计算+，很多学生无从下手，也有学生用组合数公式展开后一看烦琐而丢笔，其实在组合数公式中隐含着限制条件且,,所以先解不等式组即可求得n=10.

二“拟订计划”阶段，充分暴露思维过程，传授解题策略

    很多时候，解题的过程并不是从已知条件到问题目标，而是从问题目标层层向上反推的过程，有些教师在上课时，分析课文内容似乎顺利流畅，讲解例题、习题似乎一气呵成。然而，这种表面上的“顺利流畅”，其实掩盖了教师备课中的深入思考，也可能掩盖教师解决问题时所经历的曲折或失误。这就容易给一些学生造成错觉:“为什么老师这么聪明，我这样笨?”这不利于学生思维的发展和自信心的形成。

    有些教师愿意向学生暴露自己的思维过程。当学生问到某些较困难的问题时，他们愿意和学生共同思考，寻找解决问题的思想方法。学生们不但有机会学习数学教师解决问题的思想方法，还有机会了解，原来数学教师在解决问题时也会遇到挑战，也会经历曲折与失误。这对于学生形成正确的解题观，树立自信心是十分有益的。著名数学家希尔伯特在哥尼斯堡大学学习时，他常常把自己置于危险困难境地，对要讲的内容总是现想现推。这样一来，就使得同学们有机会瞧一瞧高明的数学思维过程如何进行，数学家是如何接受困难挑战的。俗话说:失败是成功之母，有时候，失败的教训往往能让成功的过程更加深刻。例如，求函数的最值。第一次探索：解析式右边含根式，常用方法是将两边同时平方，得，经过一次平方后右边仍然含有根式，还得再次平

方。可是再平方一次后会出现项，运算非常麻烦。因此不得不转入第二次探索阶段。

第二次探索：通过观察发现右边的被开方式是二次式，能配方。配方的结果是,进一步变形为

，由此可看出,这个式子表示直角坐标平面内x轴上的点到两点的距离之和，通过画图就可以找出最小值，判断无最大值。这种解题方法确实巧妙，给学生以美的享受。然而不向学生暴露探索过程，学生只能陶醉在美的享受中，而受益甚微。这就要求教师把自己在解题时由“失败——成功——再失败——再成功”的过程展示给学生，让学生真正体会到研究问题的方法，从而自觉地培养自己。

其次，教师应指导学生对数学解题过程进行分析、归纳，把解题过程概括、提炼，形成数学学习最重要的内容——数学的思想和方法。指导学生理解和运用数学思想方法，传授中学数学解题常用的解题策略:模式识别、问题转化、以退求进、正难则反等等。

三“实现计划”阶段，加强基础教学，善用一题多变加深和提高解题能力

    1、重视非智力因素的作用，规范运算过程。在教学中要重视培养学生科学严谨一丝不苟的品质。在运算训练中，要抓好教师板书、学生板演、平时作业等环节，对解题格式、解题过程要作严格的规范;要帮助学生克服运算的惰性，鼓励学生敢于运算、合理运算、认真运算，不怕麻烦；要帮助学生克服不认真审题、不认真分析的习惯，使学生养成良好的运算习惯。

    2、重视基本知识的教学，强化运算基础。在教学中要注重基本知识的讲授，要帮助学生加强对数学概念的理解，区分邻近概念，对基本公式、法则透彻掌握。如运用公式和法则的错误：,等。在教学过程中，按照理解—掌握—熟练的要求，编写一些使用概念较多、形式较灵活的习题，使学生在学习过程中比较那些容易混淆的概念，从而为运算能力的提高夯实基础。

3、在教学中利用变式教学,将题设条件或结论作相应的变化,按照一定的梯度设置变式题。如对那些铺垫题、迁移题、深化题的练习,会使学生快速反馈,并能通过变式练习,将所学知识串成一线,联成一体,从而激发学生的学习热情,使学生达到充分感受学习数学的魅力。如在讲解二次函数闭区间上的极值时,设置变化题组:（1）铺垫题:求下列函数的极值。①②③；（2）迁移题：求函数的极值；（3）深化题：求函数的极值。显然,通过题组的练习，使学生总结归纳二次函数在闭区间上的极值的求解方法，得到解决相关的问题，从而增强了学生的数学素质,提高了数学解题能力。

四“回顾”阶段，加强解题后的反思教学

    所谓解题后的反思是指在解决了数学问题后，通过对审题过程、解题思路、解题途径、题目结论的反思来进一步暴露数学解题的思维过程，从而开发学习者的解题智慧，以达到事半功倍，提高中学生数学学科自我监控能力的目的。教师可以在课堂小结，单元复习时，适时地对某种数学思想方法的关键点或要素进行概括、强化和揭示，对它的内容、规律、运用等有意识地适度点拨。在解题后，教师可以训练学生进行以下三方面的反思：

1、反思审题过程。对审题过程进行反思，就是在解题活动完成后，对自己最初审题时在理解题意过程中是这样“获取信息”进行再思考。特别是对那些有过反复曲折过程的问题进行反思，比如获得过哪些信息？遗漏过哪些信息？为什么会遗漏这些信息？题意中的哪些信息是自己比较清楚的，哪些信息自己还不清楚？为什么不清楚？是被题目表面形式所迷惑，还是遗忘了？对条件和结论之间的哪些关系没有发现，关系转化是否有错误？对条件和结论是否作过适当讨论？讨论是否全面？以后在理解题意时应该怎样去做？等等。

例如：设集合，集合，且,求实数a的值。错解：，要使，就是使方程组无解，所以a满足条件，解之，得。教师可引导学生反思：集合M的转化是否是等价变形？它与由得出有何本质区别？由方程组无解得出的根据是什么？（两条直线平行）一定表示直线吗？

 2、反思解题思路。做完一道题后，应考虑能否根据该题的基本特征与特殊因素，进行多角度的观察、联想，找到更多的思维通路，也即培养学生数学思维的广阔性。一般的，学生学会的第一种解题思路是老师交给的，并会在很长一段时间内相信和依赖这种思路，然而在解题实践中，解题的思路常常不止一条，当原来的惯用思路受阻时，学生就会开始迷茫。这就需要老师在解题教学中，指明多种解题思路，帮助学生学会观察、找出新的解题思路，这有助于中学生数学学科自我监控能力由局部向整体发展。同时，在做完一道题后，应认真分析解题过程有没有思维回路，哪些过程可以合并或转换，还有没有更好的解题途径?这样的反思，有助于缩短解题长度，从而培养了思维的批判性，促进中学生自我监控能力的发展。例如已知，求无穷数列：1，（1+b）a,,…的所有项之和。大多数学生从分析通项入手来解答：  =

 ，所以所求数列所有项之和为

      

该法符合学生思维特点，易于找到问题的突破口，但解题过程较长且有一定的计算量，易于出错。教师可引导学生反思题目结构特征，将已知题目与过去学过的知识比较联系，若注意到题中含字母a恰好构成等比数列，联想到等比数列前n项和公式的推导方法，便可得到如下简洁解法：设

   

则两式错位相减，即可求得S。通过这一反思，使学生的思维逐渐朝着灵活、广阔的方向发展，提高了学生灵活解题的能力。

3、反思题目结论。事实上，就问题解决的一个周期而言，问题是问题解决的端始，而一个问题的解决往往意味着一个新问题的产生。在做完一道题后，教师应指导学生思考该题所得出的结论：能否检验这个结论？能否以不同的方式来推导这个结论？能否在其他的问题中应用这个结论？能否从其它的角度重新审视题目，将问题的结论进行推广？这样的反思，有助于提高中学生数学学科自我监控能力，培养学生数学思维的深刻性。如已知圆与抛物线有公共点，求p的范围。这个问题在众多学生心目中是一个简单问题，他们知道两曲线公共点的问题等价于两曲线方程组成的方程组有实数解的问题，从而容易由方程组有解得出，进而求出错误答案或。教师引导学生思考：能否从图形上检验你的结论？为什么不可能？什么原因造成的？引导学生最终发现方程组有解且，从而得出正确答案（）。

    数学教育家波利亚曾谈到：在你找到第一个蘑菇时，继续观察，就能发现一堆蘑菇。在问题解决之后，教师可根据情况，进行适当的一题多解、一题多变、多题组合，注意数学思想和方法的总结、提炼和升华，进一步拓展学生的思维平台，优化解题过程。不断地引导学生进行解题后的反思，使学生完成自我意识、自我评价、自我调整的过程，提高中学生数学学科自我监控能力。

【参考文献】

 [1] G.Polya著,阎育苏译.HowtoSolveIt[M].北京:科学出版社,1982.4.

 [2]刘云章,赵雄辉.数学解题思维策略———波利亚著作选讲[M].长沙:湖南教育出版社, 1999. 3—4

 [3]苗建成. 浅谈如何在数学教学中培养学生的解题反思能力[J].数学通报, 20##年46卷1期. 54—56

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