金属杨氏模量的测定

杨氏模量是表征固体材料抵抗形变能力的重要物理量，是工程材料重要参数，它反映了材料弹性形变与内应力的关系，它只与材料性质有关，是工程技术中机械构件选材时的重要依据。本实验采用液压加力拉伸法及利用光杠杆的原理测量金属丝的微小伸长量，从而测定金属材料的杨氏模量。

一、    实验目的

（1）  学会测量杨氏弹性模量的一种方法

（2） 掌握光杠杆放大法测量微小长度的原理

（3） 学会用逐差法处理数据

二、仪器和量具

数显液压杨氏模量仪，光杠杆和标尺望远镜，钢卷尺，螺旋测微计。

三、原理

1．拉伸法测量钢丝的杨氏模量

任何物体在外力作用下都要产生形变，可分为弹性形变和塑性形变。弹性形变在外力作用撤除后能恢复原状，而塑性形变则不能恢复原状。发生弹性形变时，物体内部产生的企图恢复物体原状的力叫做内应力。对固体来讲，弹性形变又可分为4种：伸长或压缩形变、切变、扭变、弯曲形变。本实验只研究金属丝沿长度方向受外力作用后的伸长形变。

取长为，截面积为的均匀金属丝，在两端加外力相拉后，则作用在金属丝单位面积上的力为正应力，相对伸长定义为线应变。根据胡克定律，物体在弹性限度范围内，应变与应力成正比，其表达式为

                                                         （1）

式中称为杨氏模量，它与金属丝的材料有关，而与外力的大小无关。由于是一个微小长度变化，故实验常采用光杠杆法进行测量。

2．光杠杆法测量微小长度变化

   放大法是一种应用十分广泛的测量技术，有机械放大、光放大、电子放大等。如螺旋测微计是通过机械放大而提高测量精度的，示波器是通过将电子信号放大后进行观测的。本实验采用的光杠杆法属于光放大。光杠杆放大原理被广泛地用于许多高灵敏度仪表中，如光电反射式检流计、冲击电流计等。

  

     

光杠杆如图1（a）、1（b）所示，在等腰三角形板1的三个角上，各有一个尖头螺钉，底边连线上的两个螺钉B和C称为前足尖，顶点上的螺钉A称为后足尖，A到前两足尖的连线BC的垂直距离为b，如图3（a）所示；2为光杠杆倾角调节架；3为光杠杆反射镜。调节架可使反射镜作俯仰角调节。测量标尺在反射镜的侧面并与反射镜在同一平面内,如图1（b）所示。测量时两个前足尖放在杨氏模量测定仪的固定平台上，后足尖则放在待测金属丝的测量端面上，该测量端面就是与金属丝下端夹头相固定连接的水平托板。当金属丝受力后，产生微小伸长，后足尖便随测量端面一起作微小移动，并使光杠杆绕前足尖转动一微小角度，从而带动光杠杆反射镜转动相应的微小角度，这样标尺的像在光杠杆反射镜和调节反射镜之间反射，便把这一微小角位移放大成较大的线位移。这就是光杠杆产生光放大的基本原理。

 

图2(a)为光杠杆放大原理示意图。标尺和观察者在两侧，如图2（b）所示。当光杠杆反射镜的后足尖下降△L时，产生一个微小偏转角，在望远镜尺上读到的标尺读数即为放大后的钢丝伸长量N，常称作视伸长。当θ角很小时，tanθ≈θ,tan4θ≈4θ,则由图可知

则                                                           (2)

由式（2）可知，光杠杆的作用是将放大为标尺上相应的读数差，被放大了倍。把式（2）代入式（1）中，式中，可得杨氏模量的测量公式：

                                   （3）

式中称为光杠杆常数或光杠杆腿长，为金属丝的直径。

 

   为反射平面镜到标尺的距离，用光学方法测量：调节望远镜的目镜，聚焦后可清晰地看到叉丝平面上有上、中、下三条平行基准线，如图3(b)所示，其中心分别记为、、，中间基准线称为测量准线，用于读取金属丝长度变化的测量值,……,上下两条准线称为辅助准线。根据光学原理可以导出       

                               视距                              （4）

视距即为图3（b）中的︱-︱的距离。

四、实验装置

本实验装置是由“数显液压加力杨氏模量拉伸仪”和“光杠杆”组成。数显液压加力杨氏模量拉伸仪如图4所示，金属丝上下两端用钻头夹具夹紧，上端固定于双立柱的横梁上，下端钻头卡的连接拉杆穿过固定平台中间的套孔与拉力传感器相连。加力装置施力给传感器，从而拉伸金属丝。所施力大小由电子数字显示系统显示在液晶显示屏上。加力大小由液压调节阀改变。

 

 

五、实验内容与步骤

   （1）调节底脚，使杨氏模量测定仪上的水准器的水泡居中，保持杨氏模量仪的立柱铅直，平台水平。

   （2）将光杠杆的前足尖放在固定平台上，后足尖放在测量端面托板的平面上，并使其反射镜面基本在竖直面内，否则应调节光杠杆的倾角调节螺钉。

（3）调节望远镜筒与光杠杆镜面位于同一高度，并调节望远镜的倾角螺钉，使望远镜基本水平，然后将望远镜瞄准光杠杆镜面，用“三点成一线”的方法通过望远镜找到标尺的像，若找不到，应调节光杠杆和反射镜倾角螺钉和望远镜的位置。（三点即为：望远镜上的V型口，望远镜的锥形尖，光杠杆镜面里标尺的像）

（4）调节望远镜的目镜焦距看清叉丝平面的三条准线；调节物镜焦距看清反射回的标尺像。

（5）测量：

（a）按下数显测力秤的“开/关”键，打开标尺的照明灯。待显示器出现“0.000”后，用液压螺杆加力，显示屏上会出现所施拉力（注意：顺时针转动螺杆为加力方向，逆时针转动为减力方向）。

（b）首先将数显拉力从8Kg开始，每间隔2Kg记录标尺读数。隔数分钟后，连续减载，每减少2kg观测一次标尺读数。读取十组数据，填入记录表格中。注意，由于存在弛豫时间，一定要等数显拉力值完全稳定后才能记录标尺读数。

（c）为测量数据准确，重复上述步骤(b)。

（d）用螺旋测微计分别测出钢丝上、中、下3个部位的直径；然后用钢卷尺测量钢丝的原长；由公式（4）得出，,各测一次。

（e）的测量方法是，将光杠杆放在一张平放的纸上，压出3个足痕，用游标卡尺量出足尖到两前足尖连线的垂直距离。因实验中已给出，所以不用测量。

     （f）测量完毕将液压调节螺杆逆时针旋转，使测力秤指示“0.000”附近后，再关掉测力秤“电源”。

六、数据表格与数据处理

表1  标尺读数记录

表2  钢丝直径(mm)的测量

=  85.0mm           ,=             ,=           

1、    数据处理与结果表达

（1）  由表格的数据，计算出钢丝的杨氏模量的平均值

    式中=10×9.80N。

（2）  计算直接测得量、、、、的相对误差，指出实验结果产生误差的主

要因素。各仪器的额定误差查阅本书。

   （3）用算术合成法估算的相对误差 和绝对误差，测量结果表示为，式中的单位用N/mm² 。

七、思考题

（1）杨氏模量测量数据N若不用逐差法而用作图法，如何处理?

（2）两根材料相同但粗细不同的金属丝，它们的杨氏模量相同吗？为什么？

（3）利用光杠杆测量长度微小变化有何优点？如何提高它的灵敏度？

（4）本实验使用了哪些测量长度的量具？选择它们的依据是什么？它们的仪器误差各是多少？

（5）试证明：若测量前光杠杆反射镜与调节反射镜不平行，不会影响测量结果。

第二篇：大学物理实验《用伸长法测定金属丝的杨氏模量》

实验九  用伸长法测定金属丝的杨氏模量

【实验目的】

1. 用伸长法测定金属丝的杨氏模量。

2. 学习光杠杆原理并掌握使用方法。

3. 练习用逐差法处理数据。

【实验器材】

杨氏模量测定仪，光杠杆，尺读望远镜，螺旋测微计，砝码，米尺。

【实验原理】

1．胡克定律及杨氏模量

杨氏模量是由拉伸物体时的应力和应变的关系求得的常数。1808年由物理学家T.Young提案，因而得名杨氏模量。

有一均匀的金属丝（或棒），长为L，横截面积为S，丝之一端固定，另一端施以拉力F，结果伸长了DL。若用相对伸长DL／L表示其形变，则根据虎克定律：在弹性限度内，胁变（指在外力作用下的相对伸长DL/L）与胁强（单位面积上所受到的力）成正比，用公式表达为：

    或                          （1）

式中Y为金属丝的杨氏模量，它表征材料的强度性质，只与材料的质料有关，而与材料的形状、大小无关。在数值上，Y等于相对伸长为1时的胁强，所以它的单位与胁强的单位相同。

2．光杠杆镜尺法测量微小长度的变化

在（1）式中，在外力F的拉伸下，钢丝的伸长量DL是很小的量。用一般的长度测量仪器无法测量。在本实验中采用光杠杆镜尺法测量。

如图1所示，光杠杆是一块平面镜直立的装在一个三足底板上。三个足尖f₁，f₂，f₃构成一个等腰三角形。f₁，f₂为等腰三角形的底边。f₃到这底边的垂直距离（即距离三角形底边上的高）记为b。如果f₁，f₂在一个平台上，而f₃下降DL，那么平面镜将绕f₁，f₂转动q。

如图2所示，初始时，平面镜处于垂直状态。标尺通过平面镜反射后，在望远镜中成像。则望远镜可以通过平面镜观察到标尺的像。望远镜中十字线处在标尺上刻度为n₀处。当f₃ 下降DL时，平面镜将绕f₁，f₂转q角。则望远镜中标尺的像也发生移动，十字线降落在标尺刻度为n_i处。由于平面镜转动q角，进入望远镜的光线旋转2q角。从图中看出望远镜中标尺刻度的变化Dn＝n_i－n₀ 。

又                                 

由此可得到                   

即                                                    （2）

所以望远镜中标尺读数的变化Dn比钢丝伸长量DL大得多，放大了2D/b倍。钢丝的截面积

                               （d为钢丝的直径）

将（2）代入（1）中，最后得到：

                          （3）

    实验装置如图3所示。

【实验步骤】

1．选取适当的仪器，测量L、D、d和b值。

测b时，将光杠杆放于平整的纸上印出刀口和后足尖的印迹，在纸上测出后足尖到刀口线的垂直距离即为b。

2．调节杨氏模量测定仪和尺读望远镜

(1) 用实验室准备的水平仪放置在平台上，调节支架底脚螺丝，确保平台水平。调平台的上下位置，使管制器顶部与平台的上表面共面。

A：钢丝悬挂端

B：钢丝 

C：光杠杆 

D：凹槽

E：钢丝夹紧端 

F：砝码 

G：支架底角螺丝

H：尺读望远镜 

I：目镜 

J：物镜  

K：标尺

(2) 测量钢丝长度，应注意两端点的位置，上端起于夹钢丝的两个半圆柱的下表面，下端止于管制器的下表面。  

(3) 将光杠杆放置于平台上，旋松固定螺丝移动杠杆使其前两锥形足尖(或刀口)放入平台的沟槽内，后锥形足尖放在管制器的槽内，再旋紧螺丝。之后再调节平面镜的仰角使镜面垂直，即光杠杆镜面法线与望远镜轴线大体重合，按先粗调后细调的原则，使其能将标尺上的刻度反射到望远镜里，利用望远镜上的准星瞄准光杠杆平面镜中的标尺像。

(4) 调节望远镜目镜看清叉丝，再调聚焦旋钮可以找到标尺，如果没找到标尺请不要过急调聚焦旋钮，重新瞄准光杠杆平面镜中的标尺像，重复以上调试。要注意：使标尺的像消除视差(即眼睛上下移动时，所看到的竖尺刻度像和叉丝之间应没有相对变动)。

(5) 光杠杆、望远镜、标尺调整好以后，整个实验中防止位置变动。加减砝码要轻放轻取避免晃动、倾斜，使钢丝与管制器之间发生摩擦，待钢丝静止后(约2分钟左右)再读数。

(6) 观测标尺时眼睛正对望远镜，不得忽高忽低引起视差。

3．关于Y的测量：

(1) 挂好金属丝后，加上砝码托及1～2㎏砝码，将线拉直。

(2) 安装尺度望远镜并调节好，从望远镜中的水平丝，读出直尺的数值为n₀。

(3) 逐次增加一定质量的砝码，相应的望远镜读数为n₁、n₂、n₃、…，至少加6次砝码。

(4) Y值的计算（用逐差法）

【数据处理】             

1. 金属丝的原长L =45cm         光杠杆常数 b =7.21cm        D =106.6cm

2. 表2   测钢丝直径数据表

3. 表3  记录加外力后标尺的读数

其中是每次加1kg砝码后标尺的读数，   (两者的平均)

【注意事项】

1．光杠杆、望远镜和标尺所构成的光学系统一经调好后，在实验过程中就不可再移动。否则，数据无效，实验应从头做起。

2．在金属丝上测直径，容易使线折弯，最好在备用线上测量。

【思考题】

1．仪器调节的步骤很重要，为在望远镜中找到直尺的象，事先应作好哪些准备，试说明操作程序。

2．材料相同，但粗细、长度不同的两根钢丝，它们的杨氏模量是否相同？

3．是否可以用作图法求杨氏模量？如果以协强为横轴，协变为纵轴作图，图线应是什么形状？

4．利用光杠杆把测微小长度△L变成测D等量，光杠杆放大率为2D／b，根据此式能否以增加D减少b来提高放大率？这样做有无好处？有无限度？应怎样考虑这个问题？

5．试试加砝码后立即读数和过一会读数，读数值有无区别，从而判断弹性滞后对测量有无影响。由此可得出什么结论？