案例四 监理公司人员配置问题

某监理公司侧重于国家大中型项目的监理。每项工程安排多少监理工程师进驻工地，一般是根据工程的投资、建筑规模、使用功能、施工的形象进度、施工阶段来决定，监理工程师的配置数量随着变化。由于监理工程师从事的专业不同，他们每人承担的工作量也是不等的。有的专业一个工地就需要三人以上，而有的专业一人则可以兼管三个以上的工地。因为从事监理业的专业多达几十个，仅以高层民用建筑为例就涉及到建筑学专业、工民建（结构）专业、给水排水专业、采暖通风专业、强电专业、弱电专业、自动控制专业、技术经济专业、总图专业、合同和信息管理专业等，这就需要我们合理配置这些人力资源。为了方便计算，我们把所涉及的专业技术人员按总平均人数来计算，工程的施工形象进度按标准施工期和高峰施工期来划分。通常标准施工期需求的人数教容易确定。但高峰施工期就比较难确定了，原因有两点：

（1）高峰施工期各工地不是同时来到，是可以事先预测的，在同一个城市里相距不远的工地，就存在着各工地的监理工程师如何交错使用的运筹问题。

（2）各工地总监在高峰施工期到来的时候要向公司要人，如果每个工地都按高峰施工期配置监理工程师的数量，将造成极大的人力资源浪费。

因此，为了达到高峰施工期监理工程师配置数量最优，人员合理地交错使用，遏制人为因素，根据历年来的经验对高峰施工期的监理工程师数量在合理交错发挥作用的前提下限定了范围。另经统计测得，全年平均标准施工期占7个月，人均年成本4万元；高峰施工期占5个月，人均年成本7万元。

标准施工期所需监理工程师如表1所示。

表1

另外在高峰施工期各工地所需监理工程师的数量要求如下：

第1和第2工地的总人数不少于14人；

第2和第3工地的总人数不少于13人；

第3和第4工地的总人数不少于11人；

第4和第5工地的总人数不少于10人；

第5和第6工地的总人数不少于9人；

第6和第7工地的总人数不少于7人；

第7和第1工地的总人数不少于14人。

问题：

（1） 高峰施工期公司最好配置多少个监理工程师？

（2）   监理工程师年耗费的总成本是多少？

解： （1）用建立数学模型加以描述，即：设高峰期的监工人数为X,工地数为i，(i=1,2,3,4,5,6,7)，每个工地高峰期监工人数为,求高峰施工期公司配置的最少的监理工程师人数，即求

Min Z==

有根据标准施工期时，

工程1所需最少监理师人数为5，则有≥5；

工程2所需最少监理师人数为4，则有≥4；

工程3所需最少监理师人数为4，则有≥4；

工程4所需最少监理师人数为3，则有≥3；

工程5所需最少监理师人数为3，则有≥3；

工程6所需最少监理师人数为2，则有≥2；

工程7所需最少监理师人数为2，则有≥2；

又根据在高峰施工期个工地所需监理工程师的数量要求：

第1和第2工地的总人数不少于14人，则有+≥14；

第2和第3工地的总人数不少于13人，则有+≥13；

第3和第4工地的总人数不少于11人，则有+≥11；

第4和第5工地的总人数不少于10人，则有+≥10；

第5和第6工地的总人数不少于9人，则有+≥9；

第6和第7工地的总人数不少于7人，则有+≥7；

第7和第1工地的总人数不少于14人，则有+≥14；

综上所述，即得到了数学模型：

Min Z==

满足约束条件：

 

≥5；

≥4；

≥4；

≥3；

≥3；

≥2；

≥2；

+≥14；

+≥13；

+≥11；

+≥10；

+≥9；

+≥7；

+≥14；

根据计算机软件对线性规划问题进行求解，得到：

**********************最优解如下*************************

             目标函数最优值为  : 39

             变量             最优解          相差值

           -------           --------        --------

              x1              9                0

              x2              5                0

              x3              8                0

              x4              3                0

              x5              7                0

              x6              2                0

              x7              5                0

则 =9 =5 =8 =3 =7 =2 =5

（2）设每年监理工程师的耗费的总成本为C；标准施工期所需监理工程师耗费成本为,高峰施工期所需监理工程师耗费成本为，由经统计测算得知，全年平均标准施工期占7个月，人均年成本4万元；高峰施工期占5个月，人均年成本7万元，则有：

C=+=+=+ =

       ≈167.42

则每年监理工程师的耗费的总成本为167.42万元。

结果分析

在计算高峰施工期公司配置最少工程师人数时，要考虑到标准施工期每个工地最少需要监理工程师人数，还要考虑到高峰施工期个工地所需监理工程师的数量要求，只有当着两个约束条件同时满足时，才能算出结果。然后经过线性规划的软件得出最优解的表格。

从变量、最优解、相差值一栏中知道最优解为工地1监理工程师人数为9，工地2监理工程师人数为5，工地3监理工程师人数为8，工地4监理工程师人数为3，工地5监理工程师人数为7，工地6监理工程师人数为2，工地7监理工程师人数为5。

在约束、松弛/剩余变量、对偶价格这一栏，有的工地人数对偶价格为-1，说明每增加一名监理工程师，总利润就减少1万元。

在目标函数系数范围内变化一栏中，所谓的当前值是指在目标函数中决策变量的当前系数值。例如，的当前值为1。所谓的的上限与下限是指目标函数的决策变量的系数在此范围内变化时，其线性规划得最优解不变。如系数      0≤≤+∞时，最优解都保持不变。

在计算监理工程师年耗费的总成本时，应是高峰期和标准期两个时间段各所耗费的成本之和，从而求出最优解前提下的，监理工程师年耗费的中成本为167.42万元。

提出建议

建议石华建设监理公司最少配备39名监理工程师，达到最优的人员配置。工地1配备9名监理工程师，工地2配备5名监理工程师，工地3配备8名监理工程师，工地4配备3名监理工程师，工地5配备7名监理工程师，工地6配备2名监理工程师，工地7配备5名监理工程师，此时，每年监理工程师的耗费的总成本为167.42万元。

第二篇：运筹学案例研究

案例研究

一、独立投资方案资金投资比的确定

独立方案是指各方案的现金流量是独立的，不具有相关性，任一方案的采用与否都不影响其它方案是否采用的决策。独立方案的特点是具有可加性，即各方案的投资和收益具有可加性。

独立方案的投资分为独立方案的整体投资和独立方案的部分资金的投资两类，整体投资是方案所需资金由一家企业或公司投入；部分资金的投资是方案所需资金由多家企业或公司分别按一定的百分比投入，其收益按各企业或公司投放的百分比来分配。整体投资可视为部分资金投资的特别情形，即资金投放的百分比为百分之百的情形。在多个独立的投资方案可供选择时，企业或公司在自有资金额的限定下需要科学地确定自己对哪些方案、按多大的比例投入而使自身所得达到最佳状态，实现企业或公司的资金最佳投放组合。

1．独立投资方案资金投资比确定的理论模型

企业或公司在确定自有资金的投放组合时，要考虑诸多因素，如各方案在投资各期（一般情况下方案的投资分几个时期投入）所需资金额；各方案预计的收益情况；企业或公司在各投资期拥有的资金额；投资项目对投资百分比的要求等等。设有n个独立的投资方案，各方案所需资金分为m期投入，方案j的各期所需资金分别为I₁^(j)、I₂^(j)、···I_m^(j) （j=1、2、3、··· n），根据各方案的现金流量和基准收益率测算内部收益率均大于行业基准收益率且各方案的净现值分别为NPV₁、NPV₂、NPV₃、NPV₄、···NPV_n，投资公司各期可用于投资的资金分别为A₁、A₂、A₃、A_m，投资项目对投资百分比的要求是投资各期投入所需资金的百分比相同。确定投资公司对n个投资项目的投资百分比。

对于这样的投资百分比的确定问题，可以利用线性规划理论，综合考虑各个因素，建立线性规划模型，通过对模型求解得到投资公司对各方案的投资百分比。建立线性规划模型时，以公司的资金投放所带来的净现值总和最大作为目标，为达到投资各期投入所需资金的百分比相同的要求，须对各方案各期所需资金及投资公司各期可用于投资的资金予以累计处理。对于投资公司按所确定的投资百分比投资后当期拥有资金的余额，留作与下期可投资资金和并并用于下期投资（为方便处理，不考虑资金余额的可获得的利息）。

设投资公司对n个投资项目的投资百分比：x₁、x₂、x₃、x₄、···x_n为n个决策变量。

以公司的资金投放所带来的净现值总和最大作为目标函数，即：

maxNPV=NPV₁x₁+NPV₂x₂+NPV₃x₃+ NPV₄x₄+…….+NPV_nx_n

约束条件为：

x₁+x₂+x₃+…….+x_n≤  （i=1、2、3、m）

根据以上分析，建立这类问题的线性规划模型一般形式为：

maxNPV=NPV₁x₁+NPV₂x₂+NPV₃x₃+ NPV₄x₄+…….+NPV_nx_n

2．独立投资方案资金投资比确定的实例分析

某投资公司利用自有资金对三个可行的投资方案投资，由于受公司自有资金额的限制，公司只能按一定的百分比对各方案予以投资，投资分四期进行（在每年的年末投入），各方案各期所需资金和公司各期可用于投资的资金，各方案预计的净现值等资料如表1所示：

表1                       原始资金资料（资金单位：万元）

各投资方案要求投资公司各期的投资百分比相同，方案运行后的净现值按所投的百分比予以分配。投资公司为使自有资金在该三个方案上投资所获净现值最大，对各方案的投资百分比应为多少？

首先，将公司各期拥有资金、各方案各期所需资金予以累积得资金累计如表2所示：

表2                       资金累计（资金单位：万元）

设投资公司对三个方案的投资百分比分别为：x₁、x₂、x₃，根据模型的一般形式，该问题线性规划模型如下：

maxZ=480x₁+680x₂+510x₃

利用Excel Solver求解结果如图1所示：

图1  利用Excel Solver求解线性规划模型

图1中 E4=SUMPRODUCT(B4:D4,$B$3:$D$3)；

           E5=SUMPRODUCT(B5:D5,$B$3:$D$3)；

           E6=SUMPRODUCT(B6:D6,$B$3:$D$3)；

           E7=SUMPRODUCT(B7:D7,$B$3:$D$3)；

           E8=SUMPRODUCT(B8:D8,$B$3:$D$3)；

           $E$3:$E$7≤$F$3:$F$7；

 B3:D3给出模型的最优解；E8给出模型的最优目标函数值。

由图1知x₁=0.2、x₂=0、x₃=0.2、E8=198（万元），即该投资公司利用自有资金对方案一投资20%；方案三投资20%；方案二不投资，按投资比分配各方案的净现值该公司共获得净现值198万元。