Frobenius秩不等式取等号的一个新的充要条件
颜丽萍（071112404）
(孝感学院数学与统计学院，湖北 孝感，432100)
摘要：19xx年，Frobenius给出了三个矩阵乘积秩的一个不等式：
rank(ABC)?rank(AB)?rank(BC)?rank(B)
本文给出使Frobenius不等式取等号的一个充要条件，获得一些有趣的结果，讨论了它的若干应用． 关键词：矩阵的秩；Frobenius不等式；三幂等阵
A New Necessary and Sufficient Condition for Equality
in Frobenius Inequality
YAN Li-ping（071112404）
(School of Mathematics and Statistical of Xiaogan University, Xiaogan Hubei 432100)
Abstract: The well-known Frobenius rank inequality established by Frobenius in 1911 states that the rank of the product ABC of three matrices satisfies the inequality rank
rank(ABC)?rank(AB)?rank(BC)?rank(B)
A new necessary and sufficient condition for equality to hold is presented and then some interesting consequences and applications are discussed.
Key word: rank of matrix; Frobenius inequality; tripotent matrix
1
1 引言
矩阵秩的不等式及等式问题一直是矩阵理论中令人关注的课题，在最近的一些文献
[1-8]中，研究了任意域或除环上矩阵秩的一些恒等式问题，文献[1]利用两个矩阵多项式秩的和的一个恒等式，给出了下列一些秩等式：
命题1[1] 设A?Pn?n，则
rank[(E?A)(E?A)]?rank[(E?A)A]?rank[(E?A)A]?n?2rank(A?A3) （1） rank(E?A)?rank[(E?A)A]?n?rank(A?A3) （2） rank(E?A)?rank[(E?A)A]?n?rank(A?A3) （3） rank?A??rank(E?A)?rank(E?A)?2n?rank(A?A3) （4）
命题2[1] 设A?Pn?n，t?1，则
rank(A)?rank(At?At?2)?rank(At)?rank?A?A3? （5） 在命题1与命题2的基础上，刻画了三幂等矩阵的若干秩特征[1]．
文献[2]以矩阵Schur补的秩可加性为基础，得到了任两个矩阵的秩之间联系的恒等式，由此给出了具有重要意义的秩恒等式：
命题3[2] 设A?Pn?n，则
rank(A)?rank(A?A3)?rank(A?A2)?rank(A?A2) （6） 由此得到了判定矩阵是三幂等的充要条件的秩恒等式，即刻画三幂等矩阵的秩特征等式：
命题4[2,3,4]设A?Pn?n，则
A?A?rank(A)?rank(A?A)?rank(A?A)322 （7）
文献[5]也从另一角度给出了刻画三幂等矩阵的秩的特征：
命题5 设A?Pn?n，则
A?A3?rank(A)?rank(E?A2)?n （8） 此外，文献[1,3]中还给出了若干刻画三幂等或m幂等矩阵的秩特征等式[1，3][5]，主要方法 2
是利用文献[6]的关于矩阵多项式的如下一个恒等式：
命题6[4] 设A?Pn?n，f(x),g(x)?P[x]，则
rank(f(A))?rank(g(A))?rank(d(A))?rank(m(A)) （9）
其中d(x),m(x)分别是f(x),g(x)的最大公因式与最小公倍式．
分析这些恒等式可以发现，许多结果都与矩阵秩的Sylvester或Frobenius不等式取等号的条件相关联．关于矩阵秩的Frobenius不等式分别是指
命题7[4] (Frobenius不等式) 若A,B,C分别是域P上的m?n，n?s，s?t矩阵，则 rankA(BC?)ranAkB?()rBa?nCk() B （10） 特别地，当命题1中矩阵B是单位矩阵时，由Frobenius不等式就得到了Sylvester不等式．
在文献[7]中，给出了矩阵秩的Frobenius不等式取等号的一个充分条件，在此基础上获得了一类矩阵多项式秩的恒等式，并由此推广了近期一些文献中的相关结论．而文献[8-10]也对Sylvester或Frobenius不等式取等号的充分必要条件条件进行了探讨，而文献[11]中证明了
命题8[11] 对任意的广义逆(AB)?和(BC)?，有
AB?
??rank(AB)?rank(BC) B??0rank??BC
?rank[(E?(BC)(BC))B(E?(AB)(AB))] ?? （11）
?rank(B)?rank(ABC) （12）
由命题2立即得到（10）等号成立的充分必要条件是，对任意选定的(AB)?和(BC)?，有
?))B?(E (E?(BC)(BC(AB)(?AB ) ) ? （13）
正如[12]中作者在文末中评论的：“文献[11]给出了式（10）中等号成立的条件，但用到了广义逆矩阵的概念，比较复杂.能否得出等号成立的较为简洁的条件? 这看来也是一个不简单的问题．”
本文将给出一个使(10)等号成立的较为简洁的充分必要条件，利用我们的结果可以把文[1-8]中诸多结论统一起来并进行推广．
本文中所有记号与文[1]相同．
3
2 主要结果
引理1[13,14]（Roth） 设A?Pm?s，B?Pt?n，C?Pm?n，则矩阵方程
AX?YB?C （14） 有解的充分必要条件是矩阵 ?A0?? 与 ?AC?
?0
B????0
B? ?
等价（相抵）.
定理1 设A?Fm?n，B?Fn?s，C?Fs?t，则
rank(ABC)?rank(AB)?rank(BC)?rank(B) 的充分必要条件是存在矩阵X、Y使得XAB?BCY?B.
证明 由（16）式得到
rank(ABC)?rank(B)?rank(AB)?rank(BC)
因此式（16）等价于 rank?B0
??BC0?
??0
ABC??rank??
?0AB? ?
由于
?E0??B0
??E?C??B
?BC?
?
?A
E????0
ABC????0E?????AB0? ?
?B
?BC??0
E???E0??BCB?
?
?AB0????E0????0
E?????0
AB? ?
其中方阵
?E0??C?
0E???E0???A
E?，?E?
?
?0E?，??
?
?E0?，?
?
?0E?
?
都是可逆的，由（18）、（19）式得
rank?B0
??BCB?
?
?0
ABC??rank???0AB? ?
由（20），得式（17）又等价于
4
（15） 16） 17） 18） 19） （20） （（（（
rank??BC?00??BC?rank??AB??0B?? （21） AB?根据引理1，式（21）成立的充分必要条件是存在矩阵X、Y，使得XAB?BCY?B. 3 应用
利用我们的结果，可以直接获文献[1-8]中相关结论.
推论1[7] 设f(x),g(x),h(x)?P[x],A?Pn?n,且(f(x),h(x))?1，则 rank(f(A)g(A))?rank(g(A)h(A))?rank(f(A)g(A)h(A))?rank(g(A)) （22） 证明 由(f(x),h(x))?1，故存在u(x),v(x)?P(x)使得u(x)f(x)?v(x)h(x)?1则有 u(A)f(A)?v(A)h(A)?E
等式两边同乘以g(A)，得：
u(A)f(A)g(A)?g(A)h(A)v(A)?g(A)
由定理1可得
rank(f(A)g(A)h(A))?rank(f(A)g(A))?rank(g(A)h(A))?rank(g(A)) 由此得（22）式成立，命题得证.
推论2 设f(x),g(x)?P[x]，而d(x),m(x)分别是f(x)与g(x)的最大公因式和最小公倍式.则
rank(f(A))?rank(g(A))?rank(m(A))?rank(d(A)) （23）
证明 设(f(x),g(x))?d(x)，则存在f1(x),g1(x)，使
f(x)?f1(x)d(x),g(x)?g1(x)d(x)[3]
2（f1(x),g1(x)）?1.因为m(x)d(x)?f(x)g(x)?f1(x)g1(x)d(x)，所以有 此处
m(x)?f1(x)g1(x)d(x)
（f1(x),g1(x)）?1，则存在u(x),v(x)?P[x]，使u(x)f1(x)?v(x)g1(x)?1，即 又
u(A)f1(A)?v(A)g1(A)?E
5
等式两边同乘以d(A)，得
u(A)f1(A)d(A)?d(A)g1(A)v(A)?d(A)
由定理1得
rank(f1(A)d(A)g1(A))?rank(f1(A)d(A))?rank(d(A)g1(A))?rank(d(A))
即得
rank(f(A))?rank(g(A))?rank(m(A))?rank(d(A)) （24） 推论2得证.
推论3[5] 设f(x),g(x)?P[x],A?Pn?n，且(f(x),h(x))?1，则
rank(f(A)g(A))?rank(f(A))?rank(g(A))?n （25） 证明 由推论1即得推论3成立.
推论4[6,7] 设fi(x)?P[x]，i?1,2,?,t，f1(x),f2(x),?,ft(x)两两互素，A?Pn?n.
则
t
rank(f1(A)f2(A)?ft(A))?
证明 由推论3对t用归纳法可证. ?rank(f(A))?(t?1)i1 （26）
推论5[4] 设A?Pn?n，则rank(A?A2)?rank(E?A)?rank(A)?n
证明 取f(x)?1?x,g(x)?x，由推论3即得证.
由此结果可以直接导出幂等阵的一个秩特征：
推论6[8] 设A?Pn?n，则A2?A?rank(A)?rank(E?A)?n.
结束语：本文利用矩阵的广义初等变换，并结合Roth引理，给出了三个矩阵乘积的Frobenius不等式取等号的一个充要条件，这个条件适合用于一类广泛的矩阵.重要的是利用这一结果可以把文献[1-12]中诸多结论同一起来并进行推广.
致谢：感谢胡付高老师的悉心指导.
6
参考文献
[1] 杨忠鹏, 陈梅香, 林国钦.关于矩阵方幂的秩恒等式的注记[J]. 福州大学学报(自然科学版), 2009 ,37(1): 24-28.
[2] 史及民. 关于Schur补应用的一点注记[J]. 应用数学学报, 2002 ,25(2):318-321.
[3] 杨忠鹏, 陈梅香, 林国钦. 关于三幂等矩阵的秩特征的研究[J]. 数学研究, 2008 ,41(3): 311-315.
[4] 王廷明, 黎伯堂. 一类矩阵秩恒等式的证明[J]. 山东大学学报(理学版), 2007 ,42(2) : 43-45.
[5] 李书超, 蒋君, 向世斌,等. 一类矩阵秩的恒等式及其推广[J]. 武汉科技大学学报(自然科学版), 2004, 27(1): 96-98.
[6] 林国钦, 杨忠鹏, 陈梅香. 矩阵多项式秩的一个恒等式及其应用[J] . 北华大学学报:自然科学版, 2008 ,9(1): 5-8.
[7] 胡付高, 曾玉娥. 一类矩阵多项式秩的恒等式与应用[J]. 山东大学学报(理学版), 2008 ,43(8): 51-54.
[8] 胡付高. 关于一类矩阵秩的恒等式注记[J]. 武汉科技大学学报(自然科学版), 2004 ,27(3): 321-323.
[9] 黄卫红, 杨兴东, 周月军. 矩阵Sylvester不等式与Frobenius不等式等号成立的条件[J]. 南京气象学院学报, 2007 ,30(2) : 279-283.
[10] 陈梅香, 杨忠鹏, 林国钦. 关于Sylvester与Frobenius不等式等号条件的研究[J]. 莆田学院学报, 2008,15 (2): 9-13.
[11] 王松桂, 贾忠贞. 矩阵论中不等式[M]. 合肥: 安徽教育出版社, 1994.
[12] 韩清. 若干矩阵乘积的秩的下界[J]. 佛山科学技术学院学报(自然科学版), 2003,21(1): 9-11.
[13] Roth W E. The equations AX?YB?C and AX?XB?C in matrices [J]. Proc. Amer. Math. Soc, 1952, (3): 392-396.
[14] WANG Qing wen. Generalization of roth's thearem[J]. J. Math. Res. Exposition, 1996, 16(1): 35-40
7
第二篇：数学科学学院本科生毕业论文规范3
数学科学学院本科毕业论文撰写样本
1、 论文需要有首页的英文翻译，请大家参照统一的翻译
2、论文顺序请依照后面所给样本排序、打印。
3、论文格式按学校的规范进行。
论文的文档格式
（1） 论文题目：三号黑体；
（2） 目录：三号黑体；
一、( 章的标题 )
XXXX ……………………………………………………………… 1
(一)、( 条的标题 )
XXXX……………………………………………………………… 2
1、( 款的标题 )
XXXX…………………………………………………………………3 或
1 ( 章的标题 )
XXXX…………………………… …………………………………… 1
1. 1 ( 条的标题 )
XXXX ……………………………………………………………… 2
1.1.1 ( 款的标题 )
XXXX…………………………………………………………… 3
（3） 中文摘要：小三号黑体，摘要内容：小四号宋体，行距20磅 ；英文摘要：小三号，摘要内容：四号，Times New Roman 字体，单倍行距；
（4） 关键词：四号黑体，关键词内容：小四号宋体；
（5） 正文标题：均加粗，段前后均 0.5 行。一级标题：三号黑体，二级标题：小三号黑体，三级标题：四号黑体；
（6） 正文：小四号宋体，行距 20 磅 ；
（7） 参考文献：五号宋体，行距 16 磅 。
5. 论文原则上用WORD97以上版本打印输出。纸张一律用 A4(210 mm × 297 mm) 大小的白纸双面打印并装订（左装订）成册。打印时，要求纸的四周留足空白边缘，以便装订、复制和读者批注。每一页面的上边距和左边距侧（订口）分别留边 30 mm ，下边距和右边距（切口）应分别留边 25 mm 。
二、 各部分规范的具体要求
毕业论文应包括论文封面、目录、论文题目、中英文摘要、引言、论文正文、结论、参考文献等主要组成部分，具体要求如下：
1
1. 论文封面
一律采用教务处统一的专用封面。封面内容均须打印，论文题目、姓名、院（系）、专业、学号、指导教师等为四号宋体加粗，日期为小四号宋体。
2. 题目
题目是反映论文内容的最恰当、最简明的词语组合。题目语意未尽可用副标题补充说明论文中的特定内容。要求如下：
（1） 题目准确得体并能准确表达论文的中心内容，恰当反映研究的范围和深度，不能使用笼统的、泛指性很强的词语和华丽不实的词藻。
（2） 题目应简明，使读者印象鲜明，便于记忆和引用。题目一般不宜超过 20 字，并尽量不设副标题。
（3） 题目所用词语必须有助于选定关键词和编制题录、索引等二次文献，以便为检索提供特定的实用信息。
（4） 题目应避免使用非共知共用的缩略词、字符、代号等。
3. 摘要
摘要是对论文内容不加注释和评论的简明归纳，应包括研究工作的目的、方法和结论，重点是结果和结论。用语要规范，一般不用公式和非规范符号术语，不出现图、表、化学结构式等。采用第三人称撰写，一般在 200-300 字。
论文应附有英文题目和英文摘要以便于进行国际交流。 英文题目和英文摘要应明确、简练，其内容包括研究目的、方法、主要结果和结论。一般不宜超过 250 个实词。
4. 关键词
关键词是为了满足文献标引或检索工作的需要而从论文中选取出的用以表示全文主题内容信息的词或词组。关键词包括主题和自由词：主题词是专门为文献的标引或检索而从自然语言的主要词汇中挑选出来并加以规范化了的词或词组；自由词则是未规范化的即还未收入主题词表中的词或词组。
每篇论文中应列出 3 ～ 5个关键词，它们应能反映论文的主题内容。其中主题词应尽可能多一些，关键词作为论文的一个组成部分，列于摘要段之后。还应列出与中文对应的英文关键词（ Key words ）。关键词间以分号间隔。
5. 目录
目录页每行均由标题名称和页码组成，包括引言（或前言），章、节、参考文献、附录等序号。
6. 引言（或前言）
引言又叫前言，其目的是向读者交代本研究的来龙去脉，作用在于使读者对论文先有一个总体的了解。引言要写得自然，概括，简洁，确切。内容主要包括：研究的目的、范围和背景；理论依据、实验基础和研究方法；预期的结果及其地位、作用和意义等。
7. 正文
2
正文是论文的核心部分，占主要篇幅，论文的论点、论据和论证都在这里阐述。由于论文作者的研究工作涉及的学科、研究对象和研究方法和结果表达方式等差异很大，所以对正文的撰写内容不作统一规定。但总的思路和结构安排应当符合“提出论点，通过论据或数据对论点加以论证”这一共同的要求。正文应达到观点正确，结构完整、合乎逻辑、符合学术规范，无重大疏漏或明显的片面性。其他具体要求有：
（1） 主题的要求
A. 主题有新意，有科学研究或实际应用价值；
B. 主题集中，一篇论文只有一个中心，要使主题集中，凡与本文主题无关或关系不大的内容不应涉及，不过多阐述，否则会使问题繁杂，脉络不清，主题淡化；
C. 主题鲜明，论文的中心思想地位突出，除了在论文的题目、摘要、前言、结论部分明确地点出主题外，在正文部分更要注意突出主题。
（2） 结构的要求
A. 不同内容的正文，应灵活处理，采用合适的结构顺序和结构层次，组织好段落，安排好材料。 章、节、小节等分别以“一”、“（一）”、“ 1 . ”、“（ 1 ）” 或“ 1 ”、“ 1.1 ”、“ 1.1.1 ”、“ 1. 1.1.1 ” 、“1.1.1.2”等数字以树层次格式依次标出。
B. 正文写作时要注意抓住基本观点。数据的采集、记录、整理、表达等均不应出现技术性的错误；分析论证和讨论问题时，避免含混不清，模棱两可，词不达意；不弄虚作假。
8.结论和建议
结论即结束语、结语，是在理论分析和实验验证的基础上，通过严密的逻辑推理得出的有创造性、指导性、经验性的结果描述。反映了研究成果的价值，其作用是便于读者阅读和二次文献作者提供依据。主要包含本研究结果说明了什么问题，得出了什么规律性的东西，或解决了什么实际问题；本研究的不足之处、尚待解决的问题或提出研究设想和改进建议。
9. 参考文献
应是论文作者亲自考察过的对毕业论文有参考价值的文献，除个别专业的外，均应有外文参考文献。参考文献应具有权威性，要注意引用最新的文献。
按照参考文献在文中出现的顺序采用阿拉伯数字连续编号， 参考文献著录格式可因专业不同而有所差异，但各专业应统一著录格式 。建议院（系）按照本学科通行惯例 制定参考文献著录格式 ，也可参考国家标准“文后参考文献著录规则 GB/T 7714 — 2005 （见附件）”或参照下面格式。
著录格式：
(1). 著作图书：
[序号] 作者姓名．书名．出版地．出版者．出版年：引用部分起止页码
(2). 学术刊物：
3
[序号] 作者姓名．文章名．学术刊物名．年，卷（期）：引用部分起止页码
(3). 会议录、论文集、论文汇编中的析出文献书写格式：
[序号] 析出文献著者．题(篇)名．见(英文用In)：原文献著者．论文集名．出版地．出版者．出版年：引用部分起止页码
(4). 学位论文：
[序号] 作者姓名．论文题目．（学位授予单位）学位论文．年
(5). 专利：
[序号] 专利所有者．专利名称．专利号．年
(6). 报纸文章、资料：
[序号] 作者姓名．文献题名．报纸名．出版日期(版次)
(7). 网络文献：
[序号] 作者姓名（主要责任者）．文献题名．域名、网址．发表或更新日期/引用日期(任选)
注：文献中的作者数量低于三位时全部列出；超过三位时只列前三位，其后加“等”字即可；作者姓名之间用逗号分开；中外人名一律采用姓在前，名在后的著录法。
10. 附录
附录是论文主体的补充项目，为了体现整篇论文的完整性，写入正文又可能有损于论文的条理性、逻辑性和精炼性，这些材料可以写入附录段，但对于每一篇论文并不是必须的。主要包括以下几类：
（ 1 ） 比正文更为详尽的理论根据、研究方法和技术要点，建议可以阅读的参考文献的题录，对了解正文内容有用的补充信息等；
（ 2 ）由于篇幅过长或取材于复制品而不宜写入正文的材料；
（ 3 ）一般读者并非必要阅读，但对本专业同行很有参考价值的资料； （ 4 ）某些重要的原始数据、数学推导、计算程序、框图、结构图、统计表、计算机打印输出件等。
附录段置于参考文献表之后，附录中的插图、表格、公式、参考文献等的序号与正文分开，另行编制，如编为“图一”、“图二”；“表一”、“表二”；“式（一）”、“式（二）”；“文献 [ 一 ] ”、“文献 [ 二 ] ”等。
11. 致谢
有些毕业论文不是一个人单独完成的，为此在必要时应增加本部分，以对论文工作直接提供过资金、设备、人力，以及文献资料等支持和帮助的团体和个人表示感谢。
后面是样本：
4
包头师范学院
本科毕业论文
题 目：××××××××××××学生姓名：×××
学 院：××××××
专 业：××××××
班 级：×××
指导教师：××× 副教授(或讲师、师)
二 〇〇九 年 五 月
5 老
Baotou Teachers’ College Undergraduate Thesis
Title：xxxxxxxxxxxxxxxxxx
Student Name：Xxxxxxxxx
Department：College of Mathematics Science Major：Mathematics and applied mathematics Classes and grades：2007 Undergraduate class x Faculty adviser ：Xxxxxxx Associate Professor
May 2010
6
摘 要
×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××。
关键词：
7 ×××××；×××××；×××××；×××××
Abstract
×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××.
Key words：××××; ××××; ××××; ××××
8
目 录
引言（绪论） ………………………………………………………………………… 1 1 ×××× ………………………………………………………………………… 5
1.1 ××× ……………………………………………………………………… 5
1.1.1 ××××× …………………………………………………………………6 2 ××××××××× ………………………………………………………… 11
2.1 ××××××××× ……………………………………………………… 11 ……
结论 …………………………………………………………………………………31 注释 …………………………………………………………………………………32 参考文献 ……………………………………………………………………………33 附录 …………………………………………………………………………………34 致谢 …………………………………………………………………………………35
9
引 言（绪 论）
××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××。 ………
10
1××××
××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××。
1.1 ×××××××
××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××。
1.1.1 ×××××××
××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××。
………
或
一、××××
××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××。
（一）、 ×××××××
××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××。
1、 ×××××××
××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××。
………
11
结 论
××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××。
12
注 释
〈1〉×××××××××××××××××××××××××××××××× 〈2〉×××××××××××××××××××××××××××××××× ………
13
参考文献
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
14
附 录
××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××。
15
致 谢
××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××。
16