FoShan University
本科生毕业论文
几类非线性发展方程的特解
学 院： 理 学 院
专 业： 信息与计算科学
学 号： 2008254202
学生姓名： 王明明
指导教师： 杨灵娥 教授
二〇一二 年 六 月
摘 要 (研究目的、研究方法、成果和结论,不少于300)
在本文中，我们通过正弦余弦和sh-ch的方法，建立非线性波动方程的实数特解。在研究过程中，我们可以发现正弦余弦方法局限较大，只能在限定的条件下才可以求解。但是sh-ch方法却可以弥补其带来的缺陷，故我在研究非线性发展方程的实数特解过程中，运用两个方法求解，从而获取某些模型行波的解决方法，以最小的代数。正弦余弦方法应用到选定的物理模型，来说明我们的主要成果的使用。
关键字：非线性波动方程;正弦余弦；sh-ch
2
Abstract
A Sine-Cosine Method for Handling Nonlinear Wave Equations
In this paper, we establish exact solutions for nonlinear wave equations. A sine-cosine method is used for obtaining traveling wave solutions for these models with minimal algebra. The method is applied to selected physical models to illustrate the usage of our main results.
Key words: A sine-cosine method ；nonlinear wave equation
3
目 录
引言................................................................................................................................ 5
1 几种非线性发展方程求解方法的简介.................................................................... 6
2 不同方程的求解........................................................................................................ 8
22.1 utt?uxt?(u)xx?uxxxx?0方程..................................................................... 8
2.2 BOUSSINESQ方程 ............................................................................................... 11
2.3 改进的KORTEWEG-DE VRIES方程.................................................................... 13
2.4 改良的BOUSSINESQ方程.................................................................................. 17
结语.............................................................................................................................. 20
参考文献...................................................................................................................... 21
致谢.............................................................................................................................. 22
4
引言
在工业化发达的今天，非线性发展方程被广泛应用于描述复杂的物理现象的模型中。在各个领域的科学，特别是在流体力学，固体物理，等离子体物理，等离子体波和化学物理中，我们用非线性发展方程来描述不同类型的物理模型的解决方案。但是处理这些模型时，我们遇到基本数学问题之一是，处理非线性发展方程。所以在数学中，解决非线性发展方程问题变得尤其重要。
一般情况下，非线性发展偏微分方程是不能直接求出结果，我们必须通过平衡方程中的非线性项的次数和系数,以取得他们的行波解。在过去的几十年里，不少取得的显式行和非线性演化方程的孤立波解的一些方法提出了一个强大的方法，如正弦余弦的方法，sh-ch方法，齐次平衡法，Jacobi椭圆函数方法，Hirota双线性方法和F-展开法已被用来研究非线性发展方程。现在我们简单的用正弦余弦的方法和sh-ch方法来求解几个非线性发展方程的特解。
5
1 几种非线性发展方程求解方法的简介
对于一般非线性方程：
p(u,ux,uxx,uxt,utt,...)?0 （1） 其中P 为关于未知函数u(x,t)及其导数的多项式，而现在我们用正弦余弦方法和sh-ch方法来处理u(x,t)。
因为u是关于x、t的因式，故我们可以令
??x-ct, 其中c为未知常数，故我们令
u(x,t)?u(?). (3) 由上面等式的代换，则可以得到
???cd?2
2d2
?td?2
，?t?cd?2
，
?d?22
2d
?x?d?2d?2
，?x?c
，…
由（4）式 带入（1）式，得
p(u,u?,u??,...)?0 其中， u?du(?)
?d?。
为了方便求解，我们再通过多次积分将（5）式中最小求导次数化成0.
1.1 sine-cosine法
令
?
u(x,t)????sin?(??);???
?;
??0;其他
或者
6 （2） （4） （5） （6）
???
??cos(??);??
u(x,t)?? ?; （7）
??0;其他其中，λ，μ，β为常量
求得（6）、（7）对ζ的一阶导数、二阶导数等等；
u(?)??sin
?
(??);
un
(?)??sinn?(??),(un
)n
??n???
cos(??)sin
n??1
(??),
(un
)?n2
?2?2?nsin
n?
(??)?n?2
?n
?(n??1)sinn??2
???(??),
......和
u(?)??cos?
(??);un
(?)??cosn?(??),
(un)??n???
n
sin(??)cos
n??1
(??),
(un
)?n2
?2
?2
?n
cosn?
(??)?n?2
?n
?(n??1)cosn??2
???(??)
.......
1.2 sh-ch方法 令
u(x,t)??sh?
(??); 和
u(x,t)??ch?(??); 而对应上式的求导为
u(?)??sh?(??)u?????sh
??1(??)ch(??)
u2
??2
2
2
?????(??)?sh
(??)ch(??)????sh?
(??)
和
u(?)??ch?
(??)u?????ch
??1(??)sh(??)
u??)?2
ch
??2
(??)sh2
(??)????2
?????(ch?
(??)
7
（8）
（9）
10） 11） 12）
13）
（（（（
将（8）（9）或（12）（13）带入方程（5）得到一个关于?的方程，通过平衡方程中的非线性项的次数和系数，求出λ，μ，β。然后带回（6）（7）或（10）（11），这样就可以求出u(x,t)的解，即是非线性方程（1）的解。
两类方法都是通过化简方程，取特殊形式，再从方程的平衡出发，求得方程的特解！ 2 不同方程的求解
2.1 utt?uxt?(u)xx?uxxxx?0方程 2
已知方程
utt?uxt?(u)xx?uxxxx?0 （2.1.1） 为把上方程方便求解，令u(x,t)?u(?)，其中??x?ct 则： 2
cu???cu???(u)???u?????0
(cu?cu?u?u??)???0 （2.1.2） 2222
通过积分，可以将（2.1.2）化简为
cu?cu?u?u???0 （2.1.3） 再将，（6）式带入（2.1.3）中，
(c?c)?sin222?(??)??sin22?(??)????sin22?(??)???(??1)?sin2??2(??)?0通过平衡上式方程中的非线性项的次数和系数，可以得到
?(c2?c)??2?2
?2????2?; ?22???????(??1)
???1≠0?
解上式方程组，得
????2?
2?c?c?2;c?c?0 （2.1.4） ???2?
????3(c2?c)?2?
8
如果我们用余弦的方法（7），带入（2.1.3）可以得到同样的解；
故将（2.1.4）带入（6）、（7），有 3
2??
??c?c22 u(x,t)??(c?c)sin2?2?2(x?ct)?;c?c?0
??
和 3
2??
??c?c22 u(x,t)??(c?c)cos2?2?2(x?ct)?;c?c?0
??
但是上式方程特解必须满足c2?c?0，而当?1?c?0时，上式方程特解就不能成立。为了求出方程在?1?c?0的实数方程特解，我们现在用sh-ch方法求解方程特解.
现在我们令
u(x,t)??sh(??); ?
和
u(x,t)??ch(??); ?
而对应上式的求导为
u(?)??sh(??)
u?????sh??1?(??)ch(??)
2 （2.1.5） 22u?????(??)?sh??2(??)ch(??)????sh(??)?
和
u(?)??ch(??)
u?????ch??1?(??)sh(??)
2 （2.1.6） 22u?????(??)?ch??2(??)sh(??)????ch(??)?
将上式（2.1.5）代入（1.4）
(c?c)?sh(??)?(?sh(??))???(??)?sh
??c?c??(??1)?2??22??2(??)ch(??)????sh(??)?0222??22???2?sh?(??)??sh22?(??)???(??1)?sh??2(??)?0 为了达到上式左边的等式恒等于0，所以我们令
2????2??222 ?c?c??(??1)?????0
22?????(??1)??0?
9
解上式方程组，有
?
????2
??（???-c2?c）;c2?c?0
?2
???3(c2
??2?c)
则，方程的特解为 ?2? u(x,t)?3(c2?c)sh?2
2??c?c(x?ct)?;?1?c?0
??2??
若用（2.1.6）代入方程（2.1.3），同样可以得到相同的答案，即?
????2
??（???-c2?c）;c2?c?0
?2
?????3
2(c2?c)
则方程的特解为 u(x,t)?3?(c2?c)ch?2?c?c2? 2?
??2(x?ct)?;?1?c?0
??
当??1?0时，将??1带入（2.1.3），有
(c2?1)?sin(??)??2sin2(??)??2?sin(??)?0
?(c2?1)sin(??)??sin2(??)??2sin(??)?0
????0
??(c2?1)??2
将（2.1.7）带入（6）故u(x,t)?0
同理，用余弦方法求解，有相同的解u(x,t)?0
10 2.1.7） （
2.2 Boussinesq方程
已知方程
utt?uxx?(u)xx?uxxxx?0
为把上方程方便求解，令u(x,t)?u(?)，其中??x?ct 则： 2
cu???u???(u)???u?????0
(cu?u?u?u??)???02222
通过积分，可以将上式化简为
cu?u?u?u???022
（2.2.1）
再将，（6）式带入（2.2.1）中，可整理出
(c?1)?sin2?(??)??sin22?(??)????sin22?(??)???(??1)?sin2??2(??)?0所以，
?(c2?1)??2?2
?2????2??22??????(??1)
???1≠0?
解上式方程组，得
????2?
2?c-1?2 ；c?1?0 （2.2.2）???2?
???3(c2?1)?2?
如果我们用余弦的方法（7），带入（2.2.1）可以得到同样的解；
故将（2.2.2）带入（6）、（7），有 3
22?2 u(x,t)?(c?1)sin?
?
??c?122?2(x?ct)?;c?1
??
和
11
u(x,t)?
32
(c?1)cos
2?2
????
c?12
2
?
2
(x?ct)?;c?1
??
但是上式方程特解必须满足c2?1，而当?1?c?1时，上式方程特解就不能成立。为了求出方程在?1?c?1的实数方程特解，我们现在用sh-ch方法求解方程特解.
现在我们令
u(x,t)??sh(??);
?
和
u(x,t)??ch(??);
?
而对应上式的求导为
u(?)??sh(??)u?????sh
??1?
(??)ch(??)
2
（2.2.3）
2
2
u?????(??1)?sh
??2
(??)ch(??)????sh(??)
?
和
u(?)??ch(??)u?????ch
??1?
(??)sh(??)
2
（2.2.4）
2
2
u?????(??)?ch
??2
(??)sh(??)????ch(??)
?
将上式（2.2.3）代入（2.2.1）
（c?1）?sh(??)??sh
22
?22?2
(??)???(??1)?sh
2?2
2??2
2
(??)ch(??)????sh(??)?0
??2
22?
?（c?1）?sh(??)??sh??c?1??(??1)?
?
(??)???(??1)?sh(??（)1?sh(??))????
2
22
sh(??)?0
?
?
22
???
?sh
?
(??)??sh
22?
(??)???(??1)?sh
??2
(??)?0
为了达到上式左边的等式恒等于0，则
2????2?
?222
?c?1??(??1)?????0
22?????(??1)??0?
解上式方程组，有
12
????2?
2?-c?2i；c?1?0 ???2?
???3(c2?1)?2?
所以，方程的特解为 u(x,t)?3?(c2?1)sh?2??c2?
2i(x?ct)?
??2??
u(x,t)?32?2?
2(c2?1)sin???c(x?ct)?;c2?1
??2??
若将（2.2.4）代入（2.2.1）可以得到方程特解 u(x,t)?3?(c2?1)cos?2?1?c2?
2(x?ct)?;c2?1
??2??
当??1?0时，将??1带入（2.2.1），有
(c2?1)?sin(??)??2sin2(??)??2?sin(??)?0
?(c2?1)sin(??)??sin2(??)??2sin(??)?0
????0
??(c2?1)??2
将上式带入（6）故
u(x,t)?0
同理，用余弦方法求解，有相同的解
u(x,t)?0
2.3 改进的Korteweg-de Vries方程
已知方程
2
ut?6uux?uxxx?0 13 2.3.1） （
为把上方程方便求解，令u(x,t)?u(?)，其中??x?ct 则：
?cu??6uu??u????0
32 ?cu??2(u)??u????0
3 ?(?cu?2u?u??)??0 （2.3.2）
通过积分，可以将上式（2.3.2）化简为
?cu?2u?u???03
（2.3.3）
再令
?????sin(??);??u(x,t)???;
?0;其他?
并将上式带入（2.3.3）中，
?c?sin?(??)?2?sin33?(??)????sin22?(??)???(??1)?sin2??2(??)?0 所以，
??c
?3???2?2??
??????222； ??(??1)?1≠0???2
解上式方程组，得
????1
? （2.3.4） ????c;c?0；
????c?
如果我们用余弦的方法（7），带入（2.3.3）可以得到同样的解；
????1
? ????c;c?0；
????c?
故将（2.3.4）带入（6）、（7），有
14
u(x,t)?
和 u(x,t)??csin?1??c(x?ct);c?0 （2.3.5） ??ccos?1??c(x?ct);c?0? （2.3.6） 但是上式（2.3.5）(2.3.6）必须满足c?0，
而当c?0时,为了求出方程的实数解
令
u(x,t)??sh(??); ?
和
u(x,t)??ch(??); ?
而对应上式的求导为
u(?)??sh(??)
u?????sh??1?(??)ch(??)
2 （2.3.7） 22u?????(??)?sh??2(??)ch(??)????sh(??)?
和
u(?)??ch(??)
u?????ch??1?(??)sh(??)
2 （2.3.8） 22u?????(??)?ch??2(??)sh(??)????ch(??)?
将（2.3.8）代入方程（2.3.3）可得到：
?c?ch(??)?（2?ch(??)）???(??)?ch
??c?ch(??)?2?ch
2??32??2(??)sh(??)????ch(??)?0??222??33?(??)???(??1)?ch22(??)1?ch(??)????ch(??)?02?2?2??(?c???(??1)?????)ch(??)?2?ch?33?(??)???(??1)?ch??2(??)?0
权衡上式等式可得到
?
?c???(??1)?2?????3????2?
22?2???(??1)????1?0?2
15
?
????1??c????? 3??c?3???3?
若用（2.3.7）代入方程（2.3.3）求解，通过上面相同解法，可以得到相同的结果 ?
????1??c? ???3??c????3?
所以，方程特解为 ?c
3??c?3 (x?ct)?; （2.3.9）?
?3? u(x,t)?3ch?1
和 ?c
3??c?3 (x?ct)??; （2.3.10）
?3? u(x,t)?3sh?1
可以看出，对于ch-sh方法求解改进的KDV方程，相对比sine-cosine方法对c的取值有较大范围。这里除对于(2.3.9)、（2.3.10）式c?0不满足，无论对c?0，还是c?0都可以满足(2.3.9)和（2.3.10）。
当??1?0时，将??1带入（4.5），有
?c?sin(??)?2?sin(??)???sin(??)?0332
??csin(??)?2?sin(??)??sin(??)?0232
??2?0??2?c??? （2.3.11） 或??sin(??)?0
?c、?为任意值 （2.3.12） 16
将（2.3.11）或（2.3.12）带入（6）故
u(x,t)?0
同理，用余弦方法求解，有相同的解
u(x,t)?0
2.4 改良的Boussinesq方程
已知方程
utt?auxx?b(u)xx?duxxxx?0n （2.4.1） 为把上方程方便求解，令u(x,t)?u(?)，其中??x?ct 则：
2n
cu???au???b(u)???du?????0
?(cu?au?bu2n ?du??)???0
通过积分并取常数为0，可把方程化简为特殊方程
cu?au?bu2n?du???0 （2.4.2） 再令
?????sin(??);??u(x,t)???;
?0;其他?
把上式代入（2.4.2），整理得
(c?a)?sin2?(??)?b?sinnn?(??)?d???sin22?(??)?d??(??1)?sin2??2(??)?0 为了使上式平衡，有
?c2?a?d?2?2
?n????2??n?12b???d??(??1)?
???1≠0?
解上式方程组，得
17
1?????n?1?2n?1c?a? ;b?0,n?1 （2.4.3）???2d?2?(c?a)(1?n)n?1???2b?
如果我们用余弦的方法（7），带入（2.4.2）可以得到同样的解； 故
（1） 当??1，n?1时，将（2.4.3）带入（6）、（7），有 (c?a)(1?n)
2b2u(x,t)?n
和
u(x,t)?n?1?n?1n?1sin?2???1c?ad2?(x?ct)?;b?0、d?0?? (c?a)(1?n)
2b2?n?1n?1cos?
?2??1c?ad2?(x?ct)?;b?0、d?0
??
（2） 当n?1时，方程（2.5.1）为
utt?a0uxx?duxxxx?0,a0?a?b
经过化简、积分等步骤，可得到
2 (c?a0)?sin?(??)?d???sin22?(??)?d??(??1)?sin2??2(??)?0
因在上式中没有能与sin??2(??)项相互平衡的项，故无解。
方程无法求解。 即，当n?1时，Boussinesq
（3） 当??1?0时，即??1，有
(c?a)?sin(??)?b?sin(??)?d??sin(??)?0 2nn2
?(c?a)sin(??)?b?2n?1sin(??)?d?sin(??)?0n2
??n?1?0??22?c?a?d? （2.4.4） 18
或??sin(??)?0 （2.4.5） ?c、?为任意值
将（2.4.4）或（2.4.5）带入（6）故 u(x,t)?0
同理，用余弦方法求解，有相同的解 u(x,t)?0
19
结语
以上，正弦余弦方法处理不同方程的解答过程。其实数学方法有许多种，但是只要我们真正理解一种方法，并能举一反三灵活运用，我们是可以解决许多不同的数学问题的。正弦余弦法利用了我们学习的求导、积分和正弦余弦的知识求解，方便大多数同学理解和记忆。亦如上文，我们用第一章的内容就可以笼统的概括正弦余弦法的求解过程，而第二章则是运用第一章的原理求解不同方程。
求解非线性方程的方法千奇百怪，正弦余弦法可以被大多数普通同学理解和掌握，方便易懂。
20
参考文献
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[15]
21
致谢
论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!
选题及研究过程中得到杨灵娥老师的悉心指导．她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．从课题的选择到论文的最终完成，杨灵娥老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持，多次询问研究进程，并为我指点迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励．在此我表示深深的感谢，谢谢您杨灵娥老师！同时感谢同窗好友们的对我的支持和鼓励。
22