浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用
摘要：在高等数学的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。Vandermonde行列式是一类很重要的行列式。本文系统的阐述了Vandermonde行列式的相关性质及其应用,通过各种方法说明了行列式中的一些计算问题以及如何利用Vandermonde行列式计算一般的行列式，用多个例子论述并总结了Vandermonde行列式在科研和实践生活中如何更好的应用。
关键字: 行列式；Vandermonde行列式；Vandermonde
目 录
第一章 引言 ………………………………………………1
第二章 预备知识……………………………………………2
2.1 定义 ………………………………………………2
2.2 行列式的性质 ……………………………………2
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
第三章
3.1 Vandermonde
3.2 Vandermonde
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.3 Vandermonde
3.4 Vandermonde
第四章
第五章
第六章
行列式计算中的几种基本方法……………………3 三角形法……………………………………………3 加边法或升级法……………………………………4 递推法或数学归纳法………………………………5 行列式的一种特殊类型Vandermonde行列式……6 行列式的证法 ………………………6 行列式的性质 ………………………7 推广的性质定理[7]：行列式 ………………………7 一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件…9 Vandermonde行列式的偏导数[8]……………………9 行列式的翻转与变形 ………………11 行列式的应用 ………………………12 小结 …………………………………………………17 参考文献 ……………………………………………18 谢 辞 ………………………………………………19
引 言
在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。但是在数学研究和实际问题的解决过程中，经常会遇到由多个未知量而组成的多个方程组，并且未知量的个数和方程组的个数也未必相等。为了解决这些具体的问题，经过一代代数学家的不懈努力，终于由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明了行列式。经过一段时间的发展，法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离。后来又经过许多大数学家的不断发展完善，如柯西、詹姆士·西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894)、雅可比 (J.Jacobi,1804-1851)等人都对行列式的进步起到了巨大的推动作用[1]。美国当代数学家Bernard Kolman对行列式又做了进一步的解析与应用[2]。数学家Chongying Dong,Fu-an Li等人在Vandermonde 行列式方面的最新研究也被收录到Recent Developments in Algebra and Related Areas一书中[3]。
本文通过在行列式基本性质了解的基础上，进一步探讨一种特殊的行列式——Vandermonde行列式的相关性质及其应用。
2 预备知识
为了深入学习Vandermonde行列式的性质及其应用，我们有必要回顾一下行列式的相关知识。
2.1 定义1
行列式是由n2个元素（数）?ij(i,j=1,2,…,n)排成n行n列并写成
(1)
的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和：
① 每项是n个元素的乘积，这n个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的，可记a1p1a2p2?anpn为,式中p1,p2,?,pn是1,2,…,n的一个排列。
②每项a1p1a2p2?anpn应带正号或负号，以1,2,…,n的顺序为标准来比较排
列(p1,p2,?,pn)的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项?12?23?31排列(231)有2个逆序，即2在1之前，3在1之前,所以?12?23?31应带正号；而?12?21?33中(213)的逆序为1，因为这时只有2在1之前，所以应带负号。
2.2 行列式的性质[4]
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
性质2 交换行列式的两行（列），行列式改变符号。
性质3 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于0。 性质4 把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一个数k,等于以数k
乘这个行列式。
性质5 一个行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。
性质6 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是0，那么这个行列式等于0。
性质7 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于0。
性质8 设行列式D的第i行元素都可以表示成
a11a12
...
an2.........a1n...annD?bi1?ci1bi2?ci2...an1..bin?cin,
那么D等于两个行列式D1与D2的和，其中D1的第i行元素是bi1,bi2,...bin，D2的第i行元素是ci1,ci2,...cin，而D1与D2的其他各行都和D的一样。同样的性质对于列来说也成立。
性质9 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。
2.3 行列式计算中的几种基本方法
2.3.1 三角形法
就是利用行列式的性质，将给定的行列式化为上三角形或下三角形行列式，而上（下）三角形行列式的值即为其主对角线上所有元素的乘积。 例1 计算n级行列式
x
a
Dn?aaxaa...aa...ax...a.
...............
aaa...x.
分析 该行列式具有各行（列）元素之和相等的特点.可将第2,3,?,n列（行）
2，?，n?1列（行）加到第n列(行)）都加到第一列（行）（或第1，，则第1（或n）
列（行）的元素相等，再进一步化简即可化为三角形行列式或次三角行列式. 解
x?(n?1)a...aax?(n?1)aa
x?(n?1)ax...ax?aDn??.........x?(n?1)aa...x......an?1 ?[x?(n?1)a](x?a)x?
2.3.2 加边法或升级法
例2 计算n级行列式
a1
b
Dn?b
...
bba2b...bbb......bbba3...b............an) (b?ai,i?1,2,...,n
分析 该行列式的各行（列）含有共同的元素b,b,?,b可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列（称为升级发或加边法），适当选择所增加行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素.
解
1
Dn升级0
?0
bb?b
bb?b
...?
bb
1b0?0
b0?0
??
b00?
0a1?1a1?b
a2?
b??1??
?1
a2?b?
?an?an?bb
?
bb
???a1?ban?b
ba1?b
b?
?
a2?b
?
an?b
?[1?b?
i?1
n
1
](a1?b)(a2?b)?(an?b)ai?b
2.3.3 递推法或数学归纳法
例3 计算n级行列式
2?1Dn?
0?00
?12?1?00
02?00
???
000?2??1
000??12.
?1?
分析 对于三对角或次三对角行列式，按其第1行（列）或第n行（列）展开得到两项的递推关系，再利用变形递推的技巧求解. 解
?1?10
Dn按第1行展开2Dn?1?(?1)?(?1)
1?2
02?00
???
000?2
000??12
?2Dn?1?Dn?2
2?1?00
?1?
0?00
??1
直接递推不易得到结果（按低级是可以的），变形得
Dn?Dn?1?1?Dn?2?2???D1?(n?1)?2?(n?1)?n?1.
3 行列式的一种特殊类型——Vandermonde行列式 定义2 我们把型如
1
a1
Vn?
...a1n?1
1a2...n?1a2
...1...an
=(ai?aj)
......1??j?i?n
n?1
...an
的行列式叫做Vandermonde行列式，其中
1?j?i?n
?
(ai?aj)表示ai1,ai2,...ain这n个数
2
码的所有可能（ai?aj， j?i）因子共cn项的乘积（n?2）。
3.1 Vandermonde行列式的证法 方法一、消元法[6]
证：从第n行开始，每一行加上前一行的?a1倍。根据行列式的性质可知行列式的值不变，此时有
10
Vn=...
00
1a2?a1
...
.........
1an?1?a1
...
1an?a1
...
n?3n?3n?3a2(a2?a1)...anan(an?a1)?1(an?1?a1)n?2n?2n?2a2(a2?a1)...anan(an?a1)?1(an?1?a1)
a2?a1
...
an?1?a1an?a1
=1?
............
n?3n?3n?3
a2(a2?a1)...an(a?a)a(a?a)?1n?11nn1
n?2n?2n?2a2(a2?a1)...anan(an?a1)?1(an?1?a1)
（按行列式首项展开得到）
1a2
1a3...
......
1...
1an
... (2) n?3an
n?2an
...an?1
?(a2?a1)...(an?1?a1)(an?a1)
?...
n?3a2n?2a2
n?3n?3a3...an?1n?2n?2a3...an?1
注意到行列式（2）是n?1阶Vandermonde行列式Vn?1，即已经将Vn用Vn?1表示出来。重复用上述方法对Vn?1进行求解，经过有限步可以得到：
Vn?1=（(a2?a1)…(an?1?a1)(an?a1)）?((a3?a2)...(an?1?a2)?an?a2?)…(an?an?1)
=
1?j?i?n
?
(ai?aj) 即证。
方法二：数学归纳法
证：当n?2时,V2?a2?a1成立。假设对于n?1阶成立，对于n阶有：首先要把Vn降阶，从第n行起后一行减去前一行的?a1倍，然后按第一行进行展开，就有Vn?(a2?a1)(a3?a1)...(aVVn=?(ai?aj)，其中?表示连n?a1)n?，于是就有1乘，i,j的取值为2?j?i?n，原命题得证。
方法一与方法二的实质与算法是一致的，可以说是同一种方法。 3.2 Vandermonde行列式的性质 3.2.1 推广的性质定理[7]：行列式
1x1x12...x1k?1x1k?1...x1n
1x2
2
x2
............
1xn
2xn
V[k?1]=
......
k?1k?1x2...xnk?1k?1x2...xn
=
p1p2...pn?k
?
xp1xp2...xpn?k?V (k=0,1,2…n-1),
...
nx2
......
...
nxn
其中p1,p2...pn?k是1,2,...n中（n?k）个数的一个正序排列。
p1p2...pn?k
?
表示对所有
（n?k）阶排列求和。
证：（i）在行列式V[k?1](x1,x2...xn)中增补第（k?1）行和（n?1）列相应的元素考虑（n?1）阶Vandermonde行列式
1
x1
...
f(x)?V(x1,x2...xn,x)?x1k?1
x1k
x1k?1
...
x1n1x2...kx2..................1xn...kxn1x...xk?1xkxk?1...xn
k?1k?1x2...xnk?1k?1x2...xn...nx2...nxn
=(x2?x1)(x3?x1)...(xn?x1)(x?x1)?
(x3?x2)...(xn?x2)(x?x2)?
… … … …
(x?xn)
=(x?x1)(x?x2)...(x?xn)?
1?j?i?n?(x?x) (*) ij
(ii)由(*)式的两端分别计算多项式xk中项的系数，在(*)左端，由行列式计算：xk的系数为行列式中该元素对应的代数余子式(?1)k?n?V[k?1]，(*)式右端，由多项式计算x1,x2...xn为f(x)?0的n个不同根。根据根与系数的关系，xk项的系数为
an?k?(?1)n?k?
p1,p2...pn?k?xp1xp2...xpn?k?1?j?i?n?(xi-xj)(k?0,1,2...n?1)，
其中p1,p2...pn?k是1，2…n中（n?k）个数的一个正序排列，
有（n?k）阶排列求和。 p1,p2...pn?k?表示对所
（iii）比较f(x)中xk项的系数，计算行列式V[k?1]，因为(*)式左右两端xk项系
数应该相等，所以
(?1)k?n?V[k?1]?(?1)n?k?
即 V[k?1]?
p1,p2...pn?k
?
xp1xp2...xpn?k?
1?j?i?n
?
(xi-xj)
(xi-xj) （**）
p1,p2...pn?k
?
xp1xp2...xpn?k?
1?j?i?n
?
V[k?1]?(?1)n?k? 定理得证。
p1,p2...pn?k
?
xp1xp2...xpn?k?V(k?0,1,2...n?1)
利用此性质定理可以计算各阶准Vandermonde行列式，简便易行。特别，当
k?n时，令p0=1，（**）式即为Vandermonde行列式V。
例4 计算准Vandermonde行列式
1
a1
V[4]?
a12a14a15a16
解 由定理，n=6,k=3,所以 V[4]?
1a2
2a24a25a26a2
1a3
2a34a35a36a3
1a4
2a44a45a46a4
1a5
2a54a55a56a5
1a6
2a64a65a66a6
p1p2p3
?a
p1
ap2ap3?
1?j?i?6
?
(ai?aj)=
(a1a2a3?a1a2a4?...?a4a5a6)?
1?j?i?6
?
(ai?aj).
3.2.2 一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件是x1,x2,?,xn中至少有两个相等.
3.2.3 Vandermonde行列式的偏导数[8]. 定理 F(x1,x2,?,xn)?
1?j?i?n
?
(xi?xj)，
由Vandermonde行列式的定义知，F(x1,x2,?xn)是x1,x2,?,xn的n元函数.
例5 设a1,a2,?,an是n个两两互异的数，证明对任意n个数b1,b2,?,bn，存在唯一的次数小于n的多项式
L(x)??bi?
i?1j?inx?ajai?aj，
使得L(ai)?bi，1?i?n.
证 从定义容易看出L(x)的次数小于n，且
L(ai)?bi，
故只需证明唯一性即可.
设f(x)?c0?c1x?c2x2???cn?1xn?1满足
f(ai)?bi，1?i?n，即
?c0?a1c1?a12c2???a1n?1cn?1?b1?2n?1?c0?a2c1?a2c2???a2cn?1?b2， ???
?c?ac?a2c???an?1c?bnn?1n?0n1n2
这个关于 c0,c1,?,cn?1的线性方程组系数行列式为
a1
a2
??
ana12?a1n?12n?1a2?a2??(ai?aj)?0， ??1?j?i?n2n?1an?an
故c0,c1,?,cn?1是唯一的，必须
f(x)?L(x).
这就是有名的拉格朗日插值公式。
例6 设f1(x),f2(x),?,fn(x)是n?1个复系数多项式，满足 1?x???xn?1f1(xn)?xf2(xn)???xn?2fn?1(xn). 证明： f1(1)?f2(1)???fn?1(1)?0.
证
w?cos
：设
f1(
n
x?)
n
x?(f?2?2
)x?n?
n
1
n
?x))?(?x?n?1xp((fx1，?x取)
2?2?
?isin，分别以x?w,w2,?,wn?1代入，可得 nn
?f1(1)?wf2(1)???wn?2fn?1(1)?0?22(n?2)
fn?1(1)?0?f1(1)?wf2(1)???w
?，这个关于f1(1),f2(1),?,fn?1(1)的齐次线
??
?f(1)?wn?1f(1)???w(n?1)(n?2)f(1)?0
2n?1?1性方程组的系数行列式为
?
ww2?
??
wn?2w2(n?2)
?
?0
wn?1?w(n?1)(n?2)
，
因此f1(1)?f2(1)???fn?1(1)?. 0
3.3 Vandermonde行列式的翻转与变形.
3.3.1 将Vandermonde行列式逆时针旋转90?，得
?xn?x1
n?1
?xn
n?1
xn?1?xn?1
??x1n?1
?(?1)
n(n?1)
2
Dn
.
3.3.2将Vandermonde行列式顺时针旋转90?，得
x1n?1?x11
n?1n(n?1)x2?x21
?(?1)2Dn
???n?1xn?xn1
.
3.3.3 将Vandermonde行列式旋转180?，得
n?1xn
?n?1xn?x1n?1?1
??
xn
1x?1
1??x1
1?Dn.
3．4 Vandermonde行列式的应用
3.4.1 Vandermonde行列式在Cramer法则中的应用.
例7 设a1,a2,?an,是互不相同的数，求解下面的方程组
?x1?x2???xn?1?ax?ax???ax?b22nn?11???
?an?1x?an?1x???an?1x?bn?1
22nn?11.
解： 系数行列式为
1
a1D??
a1n?11a2???1an??(ai?aj) ?1?j?i?nn?1n?1a2?an
Dk?
xk?1?j?i?n?(ai?aj)，其中ak?b，所以 Dk(b?a1)?(b?ak?1)(ak?1?b)?(an?b)?D(ak?1)?(ak?ak?1)(ak?1?ak)?(an?ak)，k?1,2,?,n.
3.4.2 如何利用Vandermonde行列式计算行列式[6]
法一 所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，但其方幂次数或其排列与Vandermonde行列式不完全相同，需利用行列好似性质（如提取公因式，调换各行（列）的次序等）将行列式化为Vandermonde行列式。
例8 计算
11?1222?2n
Dn?
???nn2?nn
解： Dn?n!
?11?1222?2n?1
???nn2?nn?1
?n!(2?1)(3?1)?(n?1)?(3?2)(4?2)?(n?2)?[n?(n?1)] ?n!?(n?1)!?(n?2)!?2!?1!.
法二 利用行列式性质，改变原行列式中的元素，产生以新元素为行（列）的Vandermonde行列式。 例9 计算(n?1)阶行列式
a1nna2?
nan?1
Dn?1?
a1n?1b1
n?1a2b2?n?1an?1bn?1
a1n?2b12
n?22a2b2
?
?
a1b1n?1
n?1a2b2b1nnb2?
nbn?1
??
n?22n?1an?an?1bn?1bn?1?1
，其中bi?0，ai?0，
（i?1,2,?,n?1）.
解：提取Dn?1各行的公因式，得到
Dn?1
b1
a1b2nn
?a1na2?an?a2
??bn
an
b1n?1
)a1b?(2)n?1
a2?b?(n)n?1
an?(
（Vandermonde行列式）
上式右端行列式是以新元素行列式，所以
bb1b2
,,?,n?1为列元素的n?1 阶Vandermondea1a2an?1
nnn
Dn?1 =a1a2?an?
1?j?i?n?1
?
(
bibj
?). aiaj
法三 如n阶行列式Dn的第i行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含有相同分行（列），且Dn中含有n个分行（列）组成的Vandermonde行列式，那么将Dn的第i行（列）乘以（?1）加到（i?1）行（列），消除一些分行（列），即可化成Vandermonde行列式。 例10 计算行列式
1
11?sin?2
sin?2?sin2?2sin2?2?sin3?2
11?sin?3
sin?3?sin2?3sin2?3?sin3?3
1
1?sin?4
. 2
sin?4?sin?4sin2?4?sin3?4
△4=
1?sin?1sin?1?sin2?1sin2?1?sin3?12
解：在△4的第2行中去掉与第一行成比例的分行，得到
1
sin?1
△4=
sin?1?sin2?1
sin2?1?sin3?12
1sin?2
sin?2?sin2?2sin2?2?sin3?2
1sin?3
sin?3?sin2?3sin2?3?sin3?3
1sin?4
sin?4?sin2?4sin2?4?sin3?4
在上面行列式的第3行中去掉与第2行成比例的分行，得到一个新的行列式，在此新行列式的第4行中去掉与第3行成比例的分行，得到
1
1sin?2sin2?2sin3?2
1sin?3sin2?3sin3?3
1
sin?4
=(sin?i?sin?j).
sin2?41??j?i?4sin3?4
△4=
sin?1
sin2?1sin3?12
法四 各行（列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可用各种方法化成Vandermonde行列式。下面用加边法。 例11 （缺行Vandermonde行列式[1]）
1x1?
Dn,i?x1i?1
x1i?1?x1n
1x2?
??
1xn?
i?1i?1x2?xni?1i?1x2?xn
?
nx2
??
nxn
.
解：注意此行列式与Vandermonde行列式的区别在于xj的幂跳过xij，我们自然会想到把缺了的幂补起来，再利用Vandermonde行列式，故令
1x1
Vn?1(x1,x2,?,xn,z)?
?x1i?x1n
1x2?ix2?
?11z?zi?zn
?xn?i
?xn
?
nnx2?xn
=(z?x1)(z?x2)?(z?xn)?Vn(x1,x2,?,xn) =Vn(x1,x2,?,xn)??(?1)n?i?n?izi.
i?0n
另一方面，对Vn?1(x1,x2,?,xn,z)按最后一列进行Laplace展开，可知zi的代数余子式是Dn,i?(?1)n?i.因此视Vn?1(x1,x2,?,xn,z)为z的多项式，则Dn,i?(?1)n?i应是zi的系数，故
Dn,i?(?1)n?i?（z的系数）??n?iVn(x1,x2,?,xn)
??n?i
注1
缺行Vandermonde行列式也叫做超Vandermonde行列式或准Vandermonde行列式。
i
1?j?i?n
?(x
i
?xj).
注2
① 利用此例中的添加一些行和列的方法，还可计算跳过两个幂的超Vandermonde行列式，及其他行列式。
② 注意当xk?xi时，Dn,i?0，故Dn,i也含因子xk?xi。特别，知Dn,i?Vn(x1,x2,?,xn)?f(x1,x2,?,xn).因Dn,i和Vn(x1,x2,?,xn)都是齐次及对称多项式[12]，故f(x1,x2,?,xn)应是n?i次齐次对称多项式。按xn,xn?1,?,x1的次序排列时，Dn,i的首项为xnxn?1?xi?1`（Vn的首项），故知f的首项为xnxn?1?xi?1`，由此可得到f??n?i.
法五 行列式中其他各行（列）都是元素的不同方幂，只有一行（列）的元素不是相应元素的零次幂（即该行（列）元素都不是1），而是各行（列）元素的函数，利用行列式性质将这一行（列）元素化为全是1的元素。
abc
b2c2. 例12 证明△3=a2
b?cc?aa?b
证：将△3的第1行加到第3行上，得到
abc11
b
b21c c2△3=a2b2c2=(a?b?c)aa?b?ca?b?ca?b?ca2
?(a?b?c)(b?a)(c?a)(c?b).
3.4.3 Vandermonde行列式在多项式理论中的应用[8]
例13 设多项式f(x)??1xh1??2xh2????nxhn，?i?0，i?1,2,?,n；ki?kj,i?j，i,j?{1,2,?,n}，则f(x)不可能有非零且重数大于n?1的根。 证明：反设??0是f(x)的重数大于n?1的根，则f(?)?0,f'(?),?,f(n?1)(?)?0，
进而f(?)?0,?f'(?),?,?n?1f(n?1)(?)?0即
?a1?h1?a2?h2???an?hn?0?hhh
?k1a1?1?k2a2?2???knan?n?0?hh
?k1(k1?1)?(k1?n?2)a1?1?k2(k2?1)?(k2?n?2)a2?2????hn
?kn(kn?1)?(kn?n?2)an??0 （3） 把（3）看作以a1?h1，a2?h2，?，an?hn为未知量的齐次线性方程组，则（3）的系数行列式为
1k1
k1(k1?1)?
1k2
k2(k2?1)?
????
1kn
kn(kn?1)?
k1(k1?1)?(k1?n?2)k2(k2?1)?(k2?n?2)?kn(kn?1)?(kn?n?2)1?k1?k1n?1
1k2?
???
1
kn
??(ki?kj)?0. ?1?j?i?n
n?1n?1
k2?kn
故方程组（3）只有零解，从而ai?h?0,i?1,2,?,n，因此必须??0，这与??0矛盾，故f(x) 没有非零且重数大于n?1的根。 4 小结
以上我们在回顾行列式相关知识的基础上，进一步系统的阐述了Vandermonde行列式的一些重要性质和应用等知识。以便更好的为我们的科研和生活服务。 参考文献:
[1]张贤科，许甫华.高等代数[M].清华大学出版社，1998 [2]卢刚，冯翠莲.线性代数[M].北京大学出版社，2006.6
[3]Bernard Kolman,David R.Hill.Linear Algebra, High Education Press，2005,7. [4]樊恽，郑延履，刘合国.线性代数学习指导[M].北京:科学出版社，2003.2
[5]万勇，李兵.线性代数[M].上海：复旦大学出版社，2006.8
[6]毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].武汉：华中科技大学出版社，2000.3
[7]苏醒侨，卢陈辉.线性代数.冶金工业出版社，2004.9
[8]王新长， Vandermonde行列式在高等代数中的应用[J]，井冈山师范学院学报（自然科学），20xx年23（5），54-58.
[9]Linear Algebra and It’s Applications，David C.Lay[美]沈复兴，傅莺莺，莫单玉等译.人民邮电出版社.2007.7
[10]宴林，范德蒙行列式的应用[J],文山师范高等专科学校学报，2001，13（2），55-57.
[11]刘建中，范德蒙行列式的一个性质的证明及其应用[J],河北大学学报（自然科学版），2000，20（1），84-85.
[12]张禾瑞, 高等代数[M],北京：高等教育出版社，1989，7.
[13]Chongying Dong,Fu-an Li. Recent Developments in Algebra and Related Areas.High Education Press,2009.1.