数列求和例题精讲

1．  公式法求和

（1）等差数列前项和公式 

   （2）等比数列前项和公式  时 

                              时 

   （3）前个正整数的和 

前个正整数的平方和 

前个正整数的立方和 

公式法求和注意事项  （1）弄准求和项数的值；

                        （2）等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类。

例1．求数列的所有项的和

例2．求和()

2．分组法求和

例3．求数列1，，，…，的所有项的和。

例4．已知数列中，，求。

3．并项法求和

例5．数列中， ，求。

例6．数列中，，，求及。

4．错位相减法求和

       

 

 

例7．求和（）。

5．裂项法求和:把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

例8．求和。

例9．求和。

［练习］

   

   

6 . 倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

        

       

 ［练习］ 

        

           

          

专题训练  数列求和练习

1、数列的通项，则数列的前项和为               (    )

　A．　 　   B．　      　C．　  　D．

2、数列的前项和可能为                                    (    )

A．　　    　  　B．

C．　          　D．

3、已知数列的前项和，则等于                    (    )         

A．　  　 B．　  　C．　　   D．

4、数列的通项公式,若前项和为10，则项数为    (    )                                                              

A．11　　     　B．99　　        　C．120　　   　　D．121

5、在数列中，且，则       ．

6、已知，则        ．

7、已知等差数列的前项和为，若，则＝　　　　　　．

8、已知数列中，，当时，其前n项和满足。

（1）求的表达式；   （2）设，求的前n项和．

9、等比数列同时满足下列条件：①，②，③三个数依次成等差数列．（1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和T_n．

10、等差数列各项均为正整数，，前项和为，在等比数列中，且，公比为8。

（１）求和；（２）证明：。

第二篇：涵盖所有高中数列求和的方法和典型例题

数列的求和

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：  

（2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）

2．公式法：       

3．错位相减法：比如

4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：   ；            

（三）例题分析：

例1．求和：①

           ②

           ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和

思路分析：通过分组，直接用公式求和。

解：①

②

（1）当时，

（2）当

③

总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比讨论。

2．错位相减法求和

例2．已知数列，求前n项和。

思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列对应项积，可用错位相减法求和。

解：    

当 

当

3.裂项相消法求和

例3.求和

思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.

解:

练习:求   答案:

4.倒序相加法求和

例4求证：

思路分析：由可用倒序相加法求和。

证：令

则   

  等式成立

1．{a_n}是首项a₁＝1，公差为d＝3的等差数列，如果a_n＝2 005，则序号n等于(     )．

解析：由题设，代入通项公式a_n＝a₁＋(n－1)d，即2 005＝1＋3(n－1)，∴n＝699．

2．在各项都为正数的等比数列{a_n}中，首项a₁＝3，前三项和为21，则a₃＋a₄＋a₅＝

解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．

设等比数列{a_n}的公比为q(q＞0)，由题意得a₁＋a₂＋a₃＝21，

即a₁(1＋q＋q²)＝21，又a₁＝3，∴1＋q＋q²＝7．

解得q＝2或q＝－3(不合题意，舍去)，

∴a₃＋a₄＋a₅＝a₁q²(1＋q＋q²)＝3×2²×7＝84．

3．如果a₁，a₂，…，a₈为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则(   B  )．

A．a₁a₈＞a₄a₅                           B．a₁a₈＜a₄a₅              C．a₁＋a₈＜a₄＋a₅       D．a₁a₈＝a₄a₅

解析：由a₁＋a₈＝a₄＋a₅，∴排除C．

又a₁·a₈＝a₁(a₁＋7d)＝a₁²＋7a₁d，

∴a₄·a₅＝(a₁＋3d)(a₁＋4d)＝a₁²＋7a₁d ＋12d²＞a₁·a₈．

4．已知方程(x²－2x＋m)(x²－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则

｜m－n｜等于(  C   )．

解法1：设a₁＝，a₂＝＋d，a₃＝＋2d，a₄＝＋3d，而方程x²－2x＋m＝0中两根之和为2，x²－2x＋n＝0中两根之和也为2，∴a₁＋a₂＋a₃＋a₄＝1＋6d＝4，

∴d＝，a₁＝，a₄＝是一个方程的两个根，a₁＝，a₃＝是另一个方程的两个根．

∴，分别为m或n，∴｜m－n｜＝，故选C．

f2：设方程的四个根为x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＋x₂＝x₃＋x₄＝2，x₁·x₂＝m，x₃·x₄＝n．

由等差数列的性质：若g＋s＝p＋q，则a_g＋a_s＝a_p＋a_q，若设x₁为第一项，x₂必为第四项，则x₂＝，于是可得等差数列为，，，，∴m＝，n＝，∴｜m－n｜＝．

5．等比数列{a_n}中，a₂＝9，a₅＝243，则{a_n}的前4项和为∴S₄＝＝＝120．

∵a₂＝9，a₅＝243，＝q³＝＝27， ∴q＝3，a₁q＝9，a₁＝3，

6．若数列{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，a_{2 003}＋a_{2 004}＞0，a_{2 003}·a_{2 004}＜0，则使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是(     )．．4 005 ．4 006       ．4 007   ．4 008

解法1：由a_{2 003}＋a_{2 004}＞0，a_{2 003}·a_{2 004}＜0，知a_{2 003}和a_{2 004}两项中有一正数一负数，又a₁＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a_{2 003}＞a_{2 004}，即a_{2 003}＞0，a_{2 004}＜0.

∴S_{4 006}＝＝＞0，

∴S_{4 007}＝·(a₁＋a_{4 007})＝·2a_{2 004}＜0，

故4 006为S_n＞0的最大自然数. 选B．

解法2：由a₁＞0，a_{2 003}＋a_{2 004}＞0，a_{2 003}·a_{2 004}＜0，同解法1的分析得a_{2 003}＞0，a_{2 004}＜0，

∴S_{2 003}为S_n中的最大值．

∵S_n是关于n的二次函数，如草图所示，

∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，

∴在对称轴的右侧．

根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B的左侧，4 007，4 008都在其右侧，S_n＞0的最大自然数是4 006．

7．已知等差数列{a_n}的公差为2，若a₁，a₃，a₄成等比数列, 则a₂＝－8＋2＝－6．

∵{a_n}是等差数列，∴a₃＝a₁＋4，a₄＝a₁＋6，

又由a₁，a₃，a₄成等比数列，∴(a₁＋4)²＝a₁(a₁＋6)，解得a₁＝－8，

8．设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若＝，则＝(     )

∵＝＝＝·＝1

9．已知数列－1，a₁，a₂，－4成等差数列，－1，b₁，b₂，b₃，－4成等比数列，则 设d和q分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d且－4＝(－1)q⁴，

∴d＝－1，q²＝2，∴＝＝．

10．在等差数列{a_n}中，a_n≠0，a_n－1－＋a_n＋1＝0(n≥2)，若S_2n－1＝38，则n＝( 10   )．

∵{a_n}为等差数列，∴＝a_n－1＋a_n＋1，∴＝2a_n，又a_n≠0，

∴a_n＝2，{a_n}为常数数列，而a_n＝，即2n－1＝＝19，     

11．设f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为                     .

∵f(x)＝，∴f(1－x)＝＝＝，

∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝＝．

设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)，

则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)，

∴2S＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋[f(－5)＋f(6)]＝6，

∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝3．

12．已知等比数列{a_n}中，

(1)若a₃·a₄·a₅＝8，则a₂·a₃·a₄·a₅·a₆＝                ．

由a₃·a₅＝，得a₄＝2，∴a₂·a₃·a₄·a₅·a₆＝＝32

(2)若a₁＋a₂＝324，a₃＋a₄＝36，则a₅＋a₆＝                ．

，∴a₅＋a₆＝(a₁＋a₂)q⁴＝4．

(3)若S₄＝2，S₈＝6，则a₁₇＋a₁₈＋a₁₉＋a₂₀＝                  .

，∴a₁₇＋a₁₈＋a₁₉＋a₂₀＝S₄q¹⁶＝32．

14．在等差数列{a_n}中，3(a₃＋a₅)＋2(a₇＋a₁₀＋a₁₃)＝24，则此数列前13项之和为     .

∵a₃＋a₅＝2a₄，a₇＋a₁₃＝2a₁₀，∴6(a₄＋a₁₀)＝24，a₄＋a₁₀＝4，

∴S₁₃＝＝＝＝26

15．在等差数列{a_n}中，a₅＝3，a₆＝－2，则a₄＋a₅＋…＋a₁₀＝－49   

∵d＝a₆－a₅＝－5，∴a₄＋a₅＋…＋a₁₀＝＝＝7(a₅＋2d)

17．(1)已知数列{a_n}的前n项和S_n＝3n²－2n，求证数列{a_n}成等差数列.

(2)已知，，成等差数列，求证，，也成等差数列.

判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．

证明：（1）n＝1时，a₁＝S₁＝3－2＝1，

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝3n²－2n－[3(n－1)²－2(n－1)]＝6n－5，

n＝1时，亦满足，∴a_n＝6n－5(n∈N*)．

首项a₁＝1，a_n－a_n－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6(常数)(n∈N*)，

∴数列{a_n}成等差数列且a₁＝1，公差为6．

（2）∵，，成等差数列，∴＝＋化简得2ac＝b(a＋c)．

 ＋＝＝＝＝＝2·，∴，，也成等差数列

18．设{a_n}是公比为 q 的等比数列，且a₁，a₃，a₂成等差数列．

(1)求q的值；

(2)设{b_n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S_n，当n≥2时，比较S_n与b_n的大小，并说明理由．

（1）由题设2a₃＝a₁＋a₂，即2a₁q²＝a₁＋a₁q，

∵a₁≠0，∴2q²－q－1＝0，∴q＝1或－．

（2）若q＝1，则S_n＝2n＋＝．

当n≥2时，S_n－b_n＝S_n－1＝＞0，故S_n＞b_n．

若q＝－，则S_n＝2n＋ (－)＝．

当n≥2时，S_n－b_n＝S_n－1＝，

故对于n∈N₊，当2≤n≤9时，S_n＞b_n；当n＝10时，S_n＝b_n；当n≥11时，S_n＜b_n

19．数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁＝1，a_n＋1＝S_n(n＝1，2，3…)．

求证：数列{}是等比数列．

∵a_n＋1＝S_n＋1－S_n，a_n＋1＝S_n，∴(n＋2)S_n＝n(S_n＋1－S_n)，整理得nS_n＋1＝2(n＋1) S_n，

所以＝．故{}是以2为公比的等比数列

20．已知数列{a_n}是首项为a且公比不等于1的等比数列，S_n为其前n项和，a₁，2a₇，3a₄成等差数列，求证：12S₃，S₆，S₁₂－S₆成等比数列.

证明：由a₁，2a₇，3a₄成等差数列，得4a₇＝a₁＋3a₄，即4 a₁q⁶＝a₁＋3a₁q³，

        变形得(4q³＋1)(q³－1)＝0，∴q³＝－或q³＝1(舍)．

        由＝＝＝；

        ＝－1＝－1＝1＋q⁶－1＝；

       得＝．∴12S₃，S₆，S₁₂－S₆成等比数列．

方法

四、数列通项与前项和的关系

1．

2．

题型一  归纳、猜想法求数列通项

【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式

     ⑴7，77，777，7777，…

⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9…

解析：⑴将数列变形为，

⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得数列的通项公式为

点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。

题型二 应用求数列通项

例2．已知数列的前项和，分别求其通项公式. ⑴

解析：⑴当，

当

又不适合上式，故 

三、利用递推关系求数列的通项

【例3】根据下列各个数列的首项和递推关系，求其通项公式

⑴

解析：⑴因为，所以

所以       

     以上个式相加得

     即：

点拨：在递推关系中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定系数法或迭代法。

是数列成等差数列的充要条件。

３．等差中项：

若成等差数列，则称的等差中项，且；成等差数列是的充要条件。

４．前项和公式

 ；

是数列成等差数列的充要条件。

６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：

是等差数列

②中项法：

是等差数列

③通项公式法：

是等差数列

④前项和公式法：

是等

2．等差数列中，

3．等差数列中，，则前10或11项的和最大。

解：

∴为递减等差数列∴为最大。

4．已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110

解：∵

　成等差数列，公差为D其首项为

，前10项的和为 

6.3等比数列

知识要点

1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为。

2． 递推关系与通项公式

3． 等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件。

4． 前项和公式

5． 等比数列的基本性质，

   ①反之不真！

   ②

   ③为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。

   ④仍成等比数列。

6． 等比数列与等比数列的转化

  ①是等差数列是等比数列；

②是正项等比数列是等差数列；

   ③既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。

7． 等比数列的判定法

①定义法：为等比数列；

②中项法：为等比数列；

③通项公式法：为等比数列；④前项和法：为等比数列。

二、性质运用

例2：⑴在等比数列中，

①求，

②若

  ⑵在等比数列中，若，则有等式

成立，类比上述性质，相应的在等比数列中，若则有等式        成立。

 解：⑴①由等比数列的性质可知：

       

      ②由等比数列的性质可知，是等差数列，因为

⑵由题设可知，如果在等差数列中有

成立，我们知道，如果，而对于等比数列，则有所以可以得出结论，若

成立，在本题中

典例精析

一、 错位相减法求和

例1：求和：

 解：⑴

 ⑵

          ①

    ②

   由①－②得：

点拨：①若数列是等差数列，是等比数列，则求数列的前项和时，可采用错位相减法；

      ②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论；

      ③当将与相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。

二、裂项相消法求和

例2：数列满足=8， （）

   ①求数列的通项公式；

则

所以，=8＋（－1）×（－2）＝―10－2

三、 奇偶分析法求和

例3：设二次函数 

1．  在等差数列中，=1，前项和满足

   ①求数列的通项公式

   ②记，求数列的前项和。

解：①设数列的公差为，由

所以=

②由，有

 所以   ①

 

②

①－②得

课外练习

１． 数列的前项和为，若等于（  B  ）

４．的定义域为，且是以2为周期的周期函数，数列是首项为，公差为1的等差数列，那么的值为（  0 ）

A．－1    B．1    C．0    D．10

解：因为函数的定义域为，且是以2为周期的周期函数，

所以

又数列是首项为，公差为1的等差数列

故原式=0，选C。

22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列中，

（I）设，求数列的通项公式

（II）求数列的前项和

分析：（I）由已知有

利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()

（II）由（I）知,

=

而,又是一个典型的错位相减法模型，

易得=

17.(2009陕西卷理)设等差数列的前n项和为,若,则                .

１． 已知在正项数列中，=2，且

在双曲线上，

数中，

点（，）在直线上，其中是数列的前项和，①求数列的通项公式；②求证：数列是等比数列。③若。

解：①由已知带点在上知，

 －＝１，所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列。

所以

②因为点（,）在直线上，

        

  ③

        

2.（2009辽宁卷理）设等比数列{ }的前n 项和为  ，若  =3 ，则   =        

【解析】设公比为q ,则＝1＋q3＝3  Þ  q3＝2

        于是     

16.（2009陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若,则                .     

解析:由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.