专题讲座——数列求和的基本方法和技巧

★数列在高考中的要求：

1．等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列，其他数列问题的解决往往借助它们完成，或经过变形转化为等差或等比数列，或利用等差、等比数列的研究方法。所以等差数列与等比数列的基础知识是数列中最基本、最重要也最易把握的知识。

2．数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心。应弄清通项公式的意义——项数的函数；理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值及对数列进行一般性的研究。

3．数列的递推式是数列的另一种表达形式，可以是一阶线性递推、二阶线性递推、二次函数形式递推、勾函数形式递推、与奇偶联系的递推等，是高考的热点。要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。

4．数列求和的问题往往和其他知识综合在一起，综合性教强。数列求和就显得特别重要，数列求和就需要根据数列的特点选择最适合的方法，那么必须掌握几种常用的数列求和方法。

5．自从文科不考数学归纳法以来，数学归纳法几乎成了一个理科必考的内容。而且常常和放缩法、函数单调性、构造法等联系在一起，能力要求较高。

6．纵观近几年的高考，每年都有求极限的题目。常以选择题、填空题的形式命题，有时也作为某一大题的某一问出现，难度不大。

7．数列的应用极其广泛，因此尽管现在的应用题多为概率统计，但不排除考数列应用题的可能，也有可能是数列与概率交汇。

8．数列常与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的中档题或压轴题。

一、利用常用求和公式求和

1、  等差数列求和公式：  

2、等比数列求和公式：

3、                   4、

5、 

 [例1] 已知数列，（x≠0），数列的前n项和，求。

解：当x=1时，

  当x≠1时，为等比数列，公比为x

由等比数列求和公式得                      （利用常用公式）

                               ＝

【巩固练习】1：已知数列的通项公式为，为的前n项和，

（1）求；                （2）求的前20项和。

     解：

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a_n·　b_n}的前n项和，其中{ a_n }、{ b_n }分别是等差数列和等比数列.

[例2] 求和：………（）

解： 当x=1时，

当x≠1时，    ………………. ①

①式两边同乘以x得   ………②  （设制错位）

①－②得     （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

                 ∴   

【巩固练习】2：求数列前n项的和.

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

设…………………………………①

    ………………………………②        （设制错位）

①－②得                  （错位相减）

               

        ∴  

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

[例3] 求证：

证明： 设………………………….. ①

       把①式右边倒转过来得

                         （反序）

       又由可得

       …………..…….. ②

   ①+②得         （反序相加）

        ∴  

【巩固练习】3：求的值

解：设…………. ①

将①式右边反序得

      …………..②         （反序）

     又因为

   ①+②得                                                              （反序相加）

＝89

∴  S＝44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如：的形式，其中{ a_n }、{ b_n }是等差数列、等比数列或常见的数列.

[例4] 求数列的前n项和：，…

解：设

将其每一项拆开再重新组合得

                     （分组）

当a＝1时，＝                          （分组求和）

当时，＝

【巩固练习】4：求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设

    ∴  ＝

将其每一项拆开再重新组合得 

S_n＝                                        （分组）

＝       

           ＝                         （分组求和）

           ＝

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）       （2）

（3）   （4）

（5）

(6)

（7）

（8）=－       （9）

[例5]  求数列的前n项和.

解：设                                        （裂项）

则                            （裂项求和）

          ＝

          ＝

【巩固练习】5：①在数列{a_n}中，，又，求数列{b_n}的前n项的和.

解： 　 ∵

    　         ∴                                       （裂项）

∴  数列{b_n}的前n项和

                   （裂项求和）

                ＝ ＝

②求证：

解：设

∵                                     （裂项）

   ∴                    （裂项求和）

       ＝

       ＝＝＝

      ∴　原等式成立

       ③求和：

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S_n.

 [例6]  求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设S_n＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵                                       （找特殊性质项）

∴S_n＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos89°+ cos91°）+ cos90°                                （合并求和）

              ＝ 0

【巩固练习】6：在各项均为正数的等比数列中，若的值.

解：设

由等比数列的性质                       （找特殊性质项）

和对数的运算性质   得

     （合并求和）

   ＝

   ＝   ＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例7]  求之和.

解：由于                          （找通项及特征）

∴

＝                  （分组求和）

＝

＝

＝

【巩固练习】7： 已知数列{a_n}：的值.

解：∵       （找通项及特征）

                       ＝               （设制分组）

                       ＝      （裂项）

∴    （分组、裂项求和）

                         

第二篇：专题--数列求和的基本方法和技巧 2

数列求和的基本方法和技巧

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

   利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、  等差数列求和公式：  

2、等比数列求和公式：

3、                   4、

5、 

[例1] 已知，求的前n项和.

解：由

    由等比数列求和公式得                      （利用常用公式）

                               ＝＝＝1－

[例2] 设S_n＝1+2+3+…+n，n∈N^*,求的最大值.

     解：由等差数列求和公式得 ，     （利用常用公式）

         ∴ ＝

                 ＝＝

       ∴ 当 ，即n＝8时，

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a_n·　b_n}的前n项和，其中{ a_n }、{ b_n }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：………………………①

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积

设………………………. ②    （设制错位）

①－②得     （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

                 ∴   

[例4] 求数列前n项的和.

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

设…………………………………①

………………………………②            （设制错位）

①－②得                  （错位相减）

               

        ∴  

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

[例5] 求证：

证明： 设………………………….. ①

       把①式右边倒转过来得

                         （反序）

       又由可得

       …………..…….. ②

   ①+②得         （反序相加）

        ∴  

[例6] 求的值

解：设…………. ①

将①式右边反序得

      …………..②         （反序）

     又因为

   ①+②得                                                              （反序相加）

＝89

∴  S＝44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例7] 求数列的前n项和：，…

解：设

将其每一项拆开再重新组合得

                     （分组）

当a＝1时，＝                          （分组求和）

当时，＝

[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设

    ∴  ＝

将其每一项拆开再重新组合得 

S_n＝                                        （分组）

＝       

           ＝                         （分组求和）

           ＝

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）       （2）

（3）   （4）

（5）

(6)

[例9]  求数列的前n项和.

解：设                                        （裂项）

则                            （裂项求和）

          ＝

          ＝

[例10]  在数列{a_n}中，，又，求数列{b_n}的前n项的和.

解： 　 ∵

    　         ∴                                       （裂项）

∴  数列{b_n}的前n项和

                   （裂项求和）

                ＝ ＝

[例11]  求证：

解：设

∵                                     （裂项）

   ∴                    （裂项求和）

       ＝

       ＝＝＝

      ∴　原等式成立

      

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S_n.

 [例12]  求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设S_n＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵                                       （找特殊性质项）

∴S_n＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos89°+ cos91°）+ cos90°                                （合并求和）

              ＝ 0

[例13]  数列{a_n}：，求S₂₀₀₂.

解：设S₂₀₀₂＝

由可得

……

∵                   （找特殊性质项）

∴　S₂₀₀₂＝                                    （合并求和）

     ＝

＝

＝

＝5

[例14]  在各项均为正数的等比数列中，若的值.

解：设

由等比数列的性质                       （找特殊性质项）

和对数的运算性质   得

     （合并求和）

   ＝

   ＝

   ＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15]  求之和.

解：由于                          （找通项及特征）

∴

＝                  （分组求和）

＝

＝

＝

[例16]  已知数列{a_n}：的值.

解：∵       （找通项及特征）

                       ＝               （设制分组）

                       ＝      （裂项）

∴    （分组、裂项求和）

                          ＝

                                 ＝

说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。

基本练习

1.等比数列的前ｎ项和S_ｎ＝2^ｎ－１，则＝________________.

2.设，则＝_______________________.

3.         .

4. =__________

5. 数列的通项公式      ，前n项和               

6  的前n项和为_________

提高练习

1．数列{a_n}满足：a₁＝1，且对任意的m，n∈N^*都有：a_m＋n＝a_m＋a_n＋mn，则    (    )

     A．                     B．                 C．              D．

2．数列{a_n}、{b_n}都是公差为1的等差数列，若其首项满足a₁＋b₁＝5，a₁＞b₁，且a₁，b₁∈N^*，则数列{}前10项的和等于    (    )

     A．100                          B．85                        C．70                     D．55

3．设m=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)·n，则m等于                           (    )

A.     B.n(n+4)     C.n(n+5)     D.n(n+7)

4．若S_n=1-2+3-4+…+(-1)^n-1·n，则S₁₇+S₃₃＋Ｓ₅₀等于                        (    )

A.1          B.-1          C.0          D.2

5．设{a_n}为等比数列,{b_n}为等差数列，且b₁=0,c_n=a_n+b_n,若数列{c_n}是1,1,2,…,则{c_n}的前10项和为                                                                (    )

A.978        B.557        C.467        D.979

6．100²-99²+98²-97²+…+2²-1²的值是                                         (    )

A.5000       B.5050       C.10100      D.20200

7．一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为          .

8．若1²+2²+…+(n-1)²=an³+bn²+cn，则a=          ,b=          ,c=          .

9．已知等差数列{a_n}的首项a₁＝1，公差d＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b_n}的第二、三、四项．

(1)求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；

(2)设数列{c_n}对任意自然数n均有成立．

求c₁＋c₂＋c₃＋…＋c₂₀₀₃的值．

10．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足:S_n=2an+(-1)ⁿ,n≥1.

(1)求证数列{a_n+(-1)ⁿ}是等比数列;

(2)求数列{a_n}的通项公式；

(3)证明：对任意的整数m>4,有

基础练习答案

1、 2、 3、 4、5、 6。

提高练习答案

1．解：∵a_m＋n＝a_m＋a_n＋mn，∴a_n＋1＝a_n＋a₁＋n＝a_n＋1＋n，

∴利用叠加法得到：，∴，

∴

．

答案：A.

2．解：∵a_n＝a₁＋n－1，b_n＝b₁＋n－1

∴＝a₁＋b_n－1＝a₁＋(b₁＋n—1)—1

＝a₁＋b₁＋n－2＝5＋n－2＝n＋3

则数列{}也是等差数列，并且前10项和等于：

答案：B.

3．解：因为 a_n=n²-n.，则依据分组集合即得.

答案;A.

4．解：对前n项和要分奇偶分别解决，即：  S_n=

答案：A

5．解  由题意可得a₁=1,设公比为q,公差为d,则

∴q²-2q=0,∵q≠0,∴q=2,∴a_n=2^n-1,b_n=(n-1)(-1)=1-n,∴c_n=2^n-1+1-n,∴S_n=978.

答案：A

6．解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.

答案：B

7． 解： 设此数列{a_n},其中间项为a₁₀₀₁,

则S_奇=a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₀₁=1001·a₁₀₀₁,S_偶=a₂+a₄+a₆+…+a₂₀₀₀=1000a₁₀₀₁.

答案:

8．解： 原式=

答案：

9．解：(1)由题意得(a₁＋d)(a₁＋13d)＝(a₁＋4d)²(d＞0)

解得d＝2，∴a_n＝2n－1，可得b_n＝3^n－1

(2)当n＝1时，c₁＝3；

当n≥2时，由，得c_n＝2·3^n－1，

故

故c₁＋c₂＋c₃＋…＋c₂₀₀₃＝3＋2×3＋2×3²＋…＋2×3²⁰⁰²＝3²⁰⁰³．

10．(1)证明  由已知得a_n=S_n-S_n-1=2a_n+(-1)ⁿ-2a_n-1-(-1)^n-1(n≥2),

化简得  a_n=2a_n-1+2(-1)^n-1(n≥2),

上式可化为  a_n+(-1)ⁿ=2［a_n-1+(-1)^n-1］(n≥2),∵a₁=1,∴a₁+(-1)1=.

故数列{a_n+(-1)ⁿ}是以为首项，公比为2的等比数列.

(2)解  由（1）可知a_n+(-1)ⁿ=.

∴a_n=×2^n-1-(-1)ⁿ=［2^n-2-(-1)ⁿ］,故数列{a_n}的通项公式为  a_n=［2^n-2-(-1)ⁿ］.

(3)证明  由已知得

=

=

=

故