求递推数列通项公式的常用方法

                  

一  公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有，等差数列或等比数列的通项公式。

例一  已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？

反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.

跟踪训练1.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列.

二  归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.

例二  已知数列中，，，求数列的通项公式.

反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.

跟踪训练2.设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有自然数，与1的等差中项等于与1的等比中项，求数列的通项公式.

三  累加法：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）.

例三  已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足，，求数列的通项公式.

反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为.

跟踪训练3.已知,,求数列通项公式.

四  累乘法:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积).

例四  已知,,求数列通项公式.

反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为.

跟踪训练4.已知数列满足,.则的通项公式是.

五  构造新数列:

类型1   

 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1:已知数列满足，，求。

类型2    

 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例2:已知数列满足，，求。

例3:已知， ，求。

变式:（2004，全国I,）已知数列{a_n}，满足a₁=1， (n≥2)，则{a_n}的通项  

类型3  （其中p，q均为常数，）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

例4:已知数列中，，，求.

变式:（2006，重庆,文,14）

在数列中，若，则该数列的通项_______________

类型4  （其中p，q均为常数，）。    （或,其中p，q,  r均为常数） 。

例5:已知数列中，,，求。

类型6 递推公式为与的关系式。(或)

解法：利用与消去 或与消去进行求解。

例7：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.

数列求和的常用方法

数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：

一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、  等差数列求和公式：  

2、等比数列求和公式：

例1（07高考山东文18）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．

（1）求数列的等差数列．

（2）令求数列的前项和．

练习：设S_n＝1+2+3+…+n，n∈N^*,求的最大值.

二、错位相减法

设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。

例3（07高考全国Ⅱ文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，

（Ⅰ）求，的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

三、逆序相加法

把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

四、裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： 

例5 求数列的前n项和.

解：设     （裂项）                                  

例6（06高考湖北）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

评析：一般地，若数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：首先考虑则=。下列求和：  也可用裂项求和法。

五、分组求和法

所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

例7数列{a_n}的前n项和，数列{b_n}满 .

（Ⅰ）证明数列{a_n}为等比数列；（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和T_n。

　例8(1)1-2+3-4+….

(2)求（）

第二篇：递推数列通项公式的常用方法(1)

求递推数列通项公式的常用方法

          

求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列。

一  公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有，等差数列或等比数列的通项公式。

例一  已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？

【解析】： ， ， ，又，

 .

反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.

跟踪训练1.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列.

二  归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.

例二  已知数列中，，，求数列的通项公式.

【解析】：，，，

猜测，再用数学归纳法证明.（略）

反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.

跟踪训练2.设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有自然数，与1的等差中项等于与1的等比中项，求数列的通项公式.

三  累加法：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）.

例三  已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足，，求数列的通项公式.

【解析】：,,=1+++

=.

反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为.

跟踪训练3.已知,,求数列通项公式.

四  累乘法:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积).

例四  已知,,求数列通项公式.

【解析】：,,又有=

1×=,当时，满足，.

反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为.

跟踪训练4.已知数列满足,.则的通项公式是.

五  构造新数列: 将递推公式（为常数，，）通过与原递推公式恒等变成的方法叫构造新数列.

例五  已知数列中, ,,求的通项公式.

【解析】:利用,求得,是首项为

,公比为2的等比数列,即,

反思:.构造新数列的实质是通过来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.

跟踪训练5.已知数列中, ,求数列的通项公式.

六  倒数变换：将递推数列,取倒数变成 的形式的方法叫倒数变换.

例六  已知数列中, ,,求数列的通项公式.

【解析】:将取倒数得: ,,是以为首项,公差为2的等差数列. ,.

反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了.

跟踪训练6.已知数列中, ,,求数列的通项公式.

小结:求递推数列的通项公式的方法很多,以上只是提供了几种常见的方法,如果我们想在求递推数列中游刃有余,需要在平时的练习中多观察,多思考,还要不断的总结经验甚至教训.

参考答案:

1.      证明：由已知可得：，当时，时，

满足上式. 的通项公式,时为常数,所以为等比数列.

2.      解:由已知可求,,,猜测.(用数学归纳法证明).

3.      由已知,=

 .

4.时, ,

作差得: ,,,,,

,,,.

5.     6.

数列

一、        求递推数列通项公式

基础类型

类型1   

 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1:已知数列满足，，求。

解：由条件知：

分别令，代入上式得个等式累加之，即

  所以

，

类型2    

 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例2:已知数列满足，，求。

解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

又，

例3:已知， ，求。

解：

       。

变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a_n}，满足a₁=1， (n≥2)，则{a_n}的通项  

解：由已知，得，用此式减去已知式，得

当时，，即，又，

，将以上n个式子相乘，得

类型3  （其中p，q均为常数，）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

例4:已知数列中，，，求.

解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.

变式:（2006，重庆,文,14）

在数列中，若，则该数列的通项_______________

（key:）

类型4  （其中p，q均为常数，）。    （或,其中p，q,  r均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。

例5:已知数列中，,，求。

解：在两边乘以得：

令，则,解之得：

所以

类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。

解 (特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。

若是特征方程的两个根，

当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；

当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。

例6: 数列：， ,求

解（特征根法）：的特征方程是：。,

。又由，于是

    故

练习:已知数列中，,,，求。

。

变式:（2006，福建,文,22）

已知数列满足求数列的通项公式；

（I）解：

类型6 递推公式为与的关系式。(或)

解法：利用与消去 或与消去进行求解。

例7：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.

解：（1）由得：

于是

所以.

（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：

由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以

类型7 

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。

例8：已知数列｛｝中，，求数列

解：由两边取对数得，

令，则，再利用待定系数法解得：。

类型8

解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。

例9：已知数列｛a_n｝满足：，求数列｛a_n｝的通项公式。

解：取倒数：

是等差数列，

变式:（2006，江西,理,22）

已知数列｛a_n｝满足：a₁＝，且a_n＝ 求数列｛a_n｝的通项公式；

解：（1）将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得a_n＝（n³1）

类型9周期型

解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

例10：若数列满足，若，则的值为___________。

变式:（2005，湖南,文，5）

已知数列满足，则=  （    ）

     A．0                        B．                C．                   D．

二、数列的求和

：(1)公式法：必须记住几个常见数列前n项和 ； ；

10．（辽宁卷）已知等差数列的前项和为

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）若a₁与a₅的等差中项为18，b_n满足，求数列的{b_n}前n项和.

. (Ⅰ)解法一：当时，,

当时,.

是等差数列,

,

············4分

解法二：当时,,

当时,.

当时,.

.

又,

所以,得.············4分

(Ⅱ)解：,

.

又,

,

············8分

又得.

,,即是等比数列.

所以数列的前项和

 (2)分组求和：

如：求1+1,,,…,,…的前n项和（注：）

(3)裂项法：

如求S_n  

常用的裂项有； ； 

（湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。

（Ⅰ）、求数列的通项公式；

（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x²－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n²－2n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，

故T_n＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

 (4)错位相减法：其特点是c_n=a_nb_n 其中{a_n}是等差，{b_n}是等比

如：求和S_n=1+3x+5x²+7x³+……+(2n－1)x^n－1  注意讨论x，

 

(5)倒叙相加法：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。

如求证：C_n⁰+3C_n¹+5C_n²+…+(2n—1) C_nⁿ=(n+1)2ⁿ