第一章 不等式
不等式的概念和性质
基本知识：
1．不等式的定义：用不等号“>,?,<,?,?”将两个代数式连接而成的式子叫做不等式。
2．两个实数的大小：
用作差运算定义： a?b?0?a?b; a?b?0?a?b; a?b?0?a?b.
用作商运算定义：
a?1?a?b; ab?1?a?b; ab?1?a?b; b
3．不等式的性质：
不等号不改变方向的：
① a?b?b?a （对称性）
② a?b,b?c?a?c （传递性）
③ a?b?a?m?b?m （不等量加等量）
a?b?④（注意：异向不等式不能相加！） ??a?c?b?d（同向不等式相加）c?d?
⑤a?b?（注意：同向不等式不能相减！） ??a?c?b?d（异向不等式相减）c?d?
a?b?a?b?⑥； ??ac?bc （不等量乘正量）??ac?bc （不等量除正量） c?0?c?0?
⑦ a?b?0?（注意：异向不等式不能相乘！） ??ac?bd（同向不等式相乘）c?d?0?
a?b?0?ab??（异向不等式相除）（注意：同向不等式不能相除！） ?0?c?d?cd
nn⑧ ⑨ a?b?0?a?b（不等式的乘方）
⑩ a?b?0?na?nb（不等式的开方）
不等号要改变方向的：
a?b?a?b?⑾．； ??ac?bc （不等量乘负量）??ac?bc （不等量除负量） c?0?c?0?
⑿．a?b?11??（不等量取倒数） ?ab?0?ab
1
均值不等式
基本知识：
1．均值不等式1：如果a,b?R，那么a2?b2?2ab（当且仅当a?b时取“=”） 证明：a2?b2?2ab?(a?b)2
当a?b时，(a?b)?0?22?a?b?2ab ?2当a?b时，(a?b)?0?2
2．均值不等式2：如果a,b是正数，那么a?b
2?） ab（当且仅当a?b时取“=”
证明：∵(a)2?(b)2?2ab ∴a?b?2ab 即：
3．变式：ab??a?b22?ab 当且仅当a?b时 ?ab????a?2b????
22a?b2?ab ?a?b???2?（a,b?R?）（当且仅当a?b时取“=”） 2
4．均方——方均不等式：(
5．推广：（不作要求） a?b2)?2a?b2
（1） 定理：如果a,b,c?R?，那么a3?b3?c3?3abc（当且仅当a?b?c时取“=”）
证明：∵a3?b3?c3?3abc?(a?b)3?c3?3a2b?3ab2?3abc
?(a?b?c)[(a?b)?(a?b)c?c]?3ab(a?b?c) 22
?(a?b?c)[a?2ab?b?ac?bc?c?3ab] 222
?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca)
?1
2(a?b?c)[(a?b)?(b?c)?(c?a)] 222222
∵a,b,c?R? ∴上式≥0 从而a3?b3?c3?3abc 指出：这里a,b,c?R? ∵a?b?c?0就不能保证
（2）推论：如果a,b,c?R?，那么a?b?c
3?“=” ） abc（当且仅当a?b?c时取
2
（3）若a1,a2,...,an?R?，则
） a1?a2?..?an时取“=”
6．不等式链：若x,y?R，则?a1?a2?...?ann?na1a2...an（当且仅当21
x??
y≤xy≤x?y2≤x?y222
（调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤加权平均数）
7．柯西不等式（特例）：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2) 柯西不等式
二维形式
(a^2+b^2)(c^2+ d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d) 扩展:（(a1)^2;+(a2)^2;+(a3)^2;+...+(an)^2;)((b1)^2;+(b2)^2;+(b3)^2;+...(bn)^2;)≥(a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2; 等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn(当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，
不考虑ai:bi，i=1,2,3,…,n） 三角形式 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2] 注：“√”表示平方根， 向量形式 |α||β|≥|α·β|，α=(a1,a,…,an)，β=(b1,b,…,bn)（n∈N，n≥2） 等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。 一般形式 (∑（ai^2;))(∑(bi^2;)) ≥ (∑ai·bi)^2; 等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或
ai、bi均为零。
上述不等式等同于图片中的不
等式。 推广形式 (x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n 注：“Πx”表示x1，x2，…，xnm*n中，各行元素之和的几何平均 不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和）
二维形式的证明(a^2+b^2)(c^2+d^2) （a,b,c,d∈R) =a^2·
c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2 =a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2 =(ac+bd)^2+(ad－bc)^2 ≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。
三角形式的证明
√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2] 证明：
≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注： | |*表示乘 ≥a^2+b^2+c^2+d^2-2（a*c+b*d） =a^2-2*a*c+c^2+b^2-2bd+d^2 =(a-c)^2+(b-d)^2 两边开根号即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]
一般形式的证明
求证：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 证明： 等式左边3
=(ai^2·bj^2+aj^2·bi^2)+.................... 共n^2 /2项 等式右边=（ai·bi）·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+...................共n^2 /2项 用均值不等式容易证明 等式左边≥等式右边 得证
向量形式的证明
令m=(a1, a2, …, an)，n=(b1, b2, …, bn) m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<m,n>=√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2) ×cos<m, n> ∵cos<m, n>≤1 ∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2) 注：“√”表示平方根。 注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。
8．绝对值不等式：定 理 |a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|；
三角不等式 a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|
(a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”)
推论1：|a1?a2???an|≤|a1|?|a2|???|an|.
推论2：|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|
不等式的证明
基本知识：证明不等式时，常用的基本方法是比较法、综合法、分析法。
1．比较法：
（1）求差比较法：a?b?0?a?b
??1?（2）求商比较法：b??a?b
b?0??a
2．综合法：由已证不等式和不等式性质推证结论。
3．分析法：从结论出发，分析使这个不等式成立的充分条件，若这些充分条件
均具备，则可判定欲证的不等式成立。
4．反证法：（正难则反）
①反设结论；
②推出矛盾；
③肯定回答。
5．换元法：常见类型（最常见的①—⑤）
①若x?y22?x?cos??1,则设??y?sin?，若x?y22?x?sec??1,则设?. y?tan??
4
②若x2?y2?1,则设??x?rcos?
?y?rsin?,且r?1.
③若x?1,则设x?sin?,(??R).
④若x?y22?x?acos??a,则设?. y?asin??2
⑤若ax2?by2?R2?ax?cos??ax2by2?R?()?()?1,则设?. RR?by?sin???R
⑥若0?x?1,则设x?cos?,(0???
⑦若x?1,则设x?sec?,(0???
⑧若x?R,则设x?tan?,(??
2?2)或x?sin?,(??2????2). ?2). ????
2).
6．放缩法：适当放缩，适应结论
7．判别式法：根据已知（或构造）的一元二次方程的根、一元二次不等式的解
集、二次函数的最值等性质确定其判别式应满足的条件，从而得证。
8．最值法：x?y恒成立?x?ymax； x?y恒成立?x?ymin
9．导数法、添项法、几何法、构造函数法（略）
不等式的解法
除已讲的一元一次不等式、一元二次不等式、简单高次不等式、分式不等式的解法外，掌握
无理不等式、指数不等式、对数不等式的解法。
基本知识：
1． 无理不等式：①?g(x)?0?g(x)?0f(x)?g(x)??或? 2f(x)?0f(x)?[g(x)]??
?g(x)?0
?f(x)?g(x)??f(x)?0或g(x)?0时无解 ?2?f(x)?[g(x)]
?f(x)?0???(定义域) g(x)型??g(x)?0???f(x)?g(x)?②③f(x)?
5
2． 指数不等式：①af(x)?ag(x)
a?1
f(x)???f(x)?g(x) ?
②a?ag(x)
0?a?1
log???f(x)?g(x) ??f(x)?0g(x)?? ???g(x)?0
??f(x)?g(x)?3． 对数不等式：① af(x)?logaa?1
② logaf(x)?loga
0?a?1?f(x)?0g(x)??? ??g(x)?0
??f(x)?g(x)?
含绝对值的不等式的解法
基本知识：
1．实数的绝对值的意义（前面已讲，此略）
2．和差的绝对值与绝对值的和差的关系： ① 定 理 |a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|； ② 三角不等式 a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|(a,b同号时右边取“=”，a,b异
号时左边取“=”)
③ 推 论 1 |a1?a2???an|≤|a1|?|a2|???|an|. ④ 推 论 2 |a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|
3．含绝对值的不等式的解法
x?a?x?a? ① ??x?(?a,a)； ??x?? a?0?a?0?
② x?a?x?a?x?a?；；?x?0?x?(??,?a)?(a,??)???x?R. ?a?0?a?0?a?0?
22③ f(x)?g(x)?f(x)?g(x)
综合应用：
1．一元二次不等式的有解问题、恒成立问题。
2．一元二次的有解无解问题。
3．二次函数的最值问题。
4．多面体和旋转体的面积、体积的最值问题。
5．点、线、面之间的位置关系问题。
6
6．三角式的最值问题。
等等。
第二章 解析几何
直线的方程
基本知识：
1．直线方程与方程的直线（略）
2．直线的倾角：直线与x轴正向所成的最小正角。
3．直线倾角?与斜率k：
① 关系： k?tan??y2?y1
x2?x1 (?≠900)
② 表示： 当k?0时，??arctank;
当k?0时，????arctank; pai+arctank
③范围：??[00,1800)；k?R
④对比：
4．直线方程的形式：
① 点斜式：
③ 两点式：
⑤ 7 y?y1?k
(
x?x1)；②斜截式：y?kx?b； y?y1y2?y1?x?x1x2?x1； ④截距式：xa?yb?1；
⑥ 特殊的直线方程：
垂直于x轴且横截距为a的直线方程是x?a，y轴的方程是x?0 垂直于y轴且横截距为b的直线方程是y?b，x轴的方程是y?0
5．特殊形式和一般形式之间的关系：
① 点斜式是四种特殊形式中最基本、最特殊的。
② 在一定条件下，特殊形式和一般形式之间可以互化。
6．直线方程的一般求法：
① 直接法：选用符合条件的方程形式直接写出。 ② 待定系数法：设方程、求系数、定答案。
两直线的位置关系 基本知识：
1． 点与直线的位置：
d?点到直线的距离：①点P（x0,y0）到直线l:Ax?By?C?0的距离：
Ax0?By0?C
A?B
2
2
②两平行直线Ax?By?C1?0和Ax?By?C2?0间的距离：d?
C1?C2A?B
2
2
2．两直线的平行与垂直：
直线位置关系：设直线l1和l2分别有斜截式方程(此时，斜率存在)：l1:y?k1x?b1，
l2:y?k2x?b2.
①两线平行：l1∥l2?k1?k2且b1?b2； ②两线垂直：l1?l2?k1k2??1； 3．两直线所成的角： ①tan??
k2?k11?k2k1
(??(0,180)；②tan??
k2?k11?k2k1
(??(0,90])
00
4．两直线的交点： 设直线l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2?C2?0，则
A1B1C1?A1x?B1y?C1?0
?? （1）? 无 解?l1∥l2?. ABCAx?By?C?022222?2
8
A1B1?A1x?B1y?C1?0
? （2）?有唯一解?l1与l2相交?. ABAx?By?C?02222?2
?A1x?B1y?C1?0A1BC
（3）?有无穷解?l1与l2重合??1?1.或
A2B2C2?A2x?B2y?C2?0
A1A2
?B1B2
,且C1?C2
5．巧设直线方程：
①过两点(x1,y1),(x2,y2)的任意直线：(y?y1)(x2?x1)?(y2?y1)(x?x1)； ②过点P(x0,y0)的直线：A(x?x0)?B(y?y0)?0(A?B?0)或y?y0?k(x?x0)； ③与直线Ax?By?C?0平行的直线：Ax?By?m?0(m?C)或y??（B?0,m?C）
④与直线Ax?By?C?0垂直的直线：Bx?Ay?m?0或y?
BA
x?m（A?0）
ABx?m;
⑤过直线A1x?B1y?C1?0与A2x?B2y?C2?0的直线：A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0（不表后直线）；
简单的线性规划
基本知识：
1．平面区域的判断 设直线l:Ax?By?C?0
①若A>0,则Ax?By?C?0表示l右半平面区域； 则Ax?By?C?0表示l左半平面区域.
（同正右方，否则左方）
②若B>0,则Ax?By?C?0表示l上半平面区域； 则Ax?By?C?0表示l下半平面区域.
（同正上方，否则下方）
2．线性规划
①线性约束条件:对于变量x,y的约束条件，都是关于x,y的一次不等式； ②目标函数：欲达到最值所涉及的变量x,y的解析式Z=f (x,y)称? ③线性目标函数：当解析式Z=f (x,y)是x,y的一次式时? ④线性规划：求线性目标函数在约束条件的最值问题?
9
⑤可行解：满足约束条件的解(x,y)?
⑥可行域：由所有可行解构成的集合?
⑦最优解：使目标函数取得最值的解?
⑧整点的求法：
⑨目标函数的斜率为正、为负时的区别：
曲线与方程
基本知识：
1．曲线的方程，方程的曲线
在直角坐标系中，如果某曲线C（看着适合某条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)?0的实数解建立了如下的关系：
（1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)?0的解；（纯粹性）
（2） 方程f(x,y)?0的解为坐标的点都是曲线上的点，（完备性）
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）
2．若曲线C的方程是f
(x,y)?03．求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点的坐标为M（x,y）.
（2）写出适合条件p的点M的集合P?{Mp(M)};（可据情省略）
（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)?0；
（4）化方程f(x,y)?0为最简形式
（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.（可省略）
圆的方程
基本知识：
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆. 定点就是
圆心（确定圆的位置），定长就是半径（确定圆的大小）
2．圆的方程：
① 圆的标准方程：(x?a)2?(y?b)2?r2，圆心在C（a,b），半径为r
10
② 圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0，
A．化为标准方程 (x?
D2
)?(y?
2
E2
)?
2
D?E
4
22
?4F
B．圆心坐标为（?
D2
,?
E2
），半径r
?
12
D
2
?E
2
?4F?0.
C．方程Ax2?Bxy?Cy
2
?B?0?
?Dx?Ey?F?0表示圆??A?C?0
?22
?D?E?4AF?0
③ 圆的参数方程
?x?rcos??y?rsin?
A．圆x2?y2?r2(r?0)的参数方程为?
(?是参数)
?x?a?rcos?
(?是参数)B．圆(x?a)?(y?b)?r的参数方程为?
y?b?rsin??
2
2
2
2．点、直线、圆的位置关系： ① 点在圆内、上、外； ② 直线与圆相离、切、交；
③ 圆与圆相离（内离和外离）、切（内切和外切）、交； 3．巧设与圆有关的方程：
若直线l:Ax?By?C?0，圆C：x2?y2?Dx?Ey?F?0
圆C1：x2?y2?D1x?E1y?F1?0，圆C2：x2?y2?D2x?E2y?F2?0（圆C、C1、C2均存在）
① 过直线l和圆C交点的圆系方程为：x2?y2?Dx?Ey?F??(Ax?By?C)?0 ② 过圆C1和圆C2交点的圆系方程为：
x?y?D1x?E1y?F1??(x?y?D2x?E2y?F2)?0（不含C2
2
2
2
2
）
11
过圆C1和圆C2交点的直线（公共弦）方程为：
(D1?D2)x?(E1?E2)x?(F1?F2)?0
第三章 圆锥曲线
椭 圆
基本知识： 椭圆的一般式： mx
2
?ny
2
?1(m?0,n?0,m?n)
12
双曲线
基本知识：双 曲 线（一般式：mx
2
?ny
2
?1(mn?0)）
13
抛物线
基本知识：
（一）定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的动点（即比值为离心率e?1）的轨迹叫做 （二）相同点：
1.①p越大的开口越大；②没有渐进线； ③开口向右时，通径坐标(
p2
,?p)，通径长=2p；
2.过焦点的直线AB与抛物线相交，且与x轴、y轴均不平行时，设直线AB的斜率为k，
?y2?2px由?
?py?k(x?)?
2?
消去y得kx?(kp?2p)x?
222
kp4
22
?0，
消去x得y2?
p
2
2pk
y?p?0，有
2
①x1?x2?； x
4
1
?x2?
k
2
p?2pk
2
2
；②y1?y2??p（定值）； y
1
?y2?
2pk
；
③焦点弦长=x1?x2?p
?
2psin
2
（若直线AB的倾角为?），?
?
?90
时为
通径；④焦点弦为直径的圆与准线相切
14
⑤抛物线的焦点弦中通径最短； ⑥若焦点弦被焦点分成m,n两部分，则
1m
?
1n
?
2p
（定值）；
⑦焦点弦为直径的圆与准线相切；焦半径为直径的圆与y轴相切； ⑧A'F?B'F；
⑨若M为A'B'中点，则MF?AB
⑩梯形AA'B'B中，两对角线AB'与BA'交于抛物线顶点。 3．巧设：顶点在原点，焦点在x轴上时可设为y2?ax(a?0)；
顶点在原点，焦点在y轴上时可设为x2?ay(a?0)
15