第二章 解析几何

直线的方程

基本知识：

1．直线方程与方程的直线（略）

2．直线的倾角：直线与x轴正向所成的最小正角。

3．直线倾角?与斜率k：

① 关系： k?tan??y2?y10 (?≠90) x2?x1

② 表示： 当k?0时，??arctank;

当k?0时，????arctank; pai+arctank

③范围：??[0,180)；k?R

④对比：

4．直线方程的形式：

① 点斜式：

③ 两点式：

⑤00y?y1?k

(

x?x1)；②斜截式：y?kx?b； y?y1x?x1xy??1； ； ④截距式：?y2?y1x2?x1ab⑥ 垂直于x轴且横截距为a的直线方程是x?a，y轴的方程是x?0 1

垂直于y轴且横截距为b的直线方程是y?b，x轴的方程是y?0

5．特殊形式和一般形式之间的关系：

① 点斜式是四种特殊形式中最基本、最特殊的。

② 在一定条件下，特殊形式和一般形式之间可以互化。

6．直线方程的一般求法：

① 直接法：选用符合条件的方程形式直接写出。

② 待定系数法：设方程、求系数、定答案。

两直线的位置关系

基本知识：

1． 点与直线的位置：

点到直线的距离：①点P（x0,y0）到直线l:Ax?By?C?0的距离：d?Ax0?By0?C

A?B

C1?C2

A?B2222 ②两平行直线Ax?By?C1?0和Ax?By?C2?0间的距离：d?

2．两直线的平行与垂直：

直线位置关系：设直线l1和l2分别有斜截式方程(此时，斜率存在)：l1:y?k1x?b1， l2:y?k2x?b2.

?k1?k2且b1?b2； ②两线垂直：l1?l2?k1k2??1；①两线平行：l1∥l2

3．两直线所成的角： ①tan??k2?k1k2?k100(??(0,180)；②tan??1?k2k11?k2k1 (??(0,90]) 00

4．两直线的交点： 设直线l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2?C2?0，则

A1B1C1?A1x?B1y?C1?0?? （1）? 无 解?l1∥l2?A2B2C2?A2x?B2y?C2?0.

2

A1B1?A1x?B1y?C1?0?? （2）?有唯一解?l1与l2相交A2B2?A2x?B2y?C2?0

（3）. ?A1x?B1y?C1?0??A2x?B2y?C2?0有无穷解?l1与l2重合?A1B1C1.或??A2B2C2A1B1?,且C1?C2 A2B2

5．巧设直线方程：

①过两点(x1,y1),(x2,y2)的任意直线：(y?y1)(x2?x1)?(y2?y1)(x?x1)； ②过点P(x0,y0)的直线：A(x?x0)?B(y?y0)?0(A?B?0)或y?y0?k(x?x0)； ③与直线Ax?By?C?0平行的直线：Ax?By?m?0(m?C)或y??（B?0,m?C）

④与直线Ax?By?C?0垂直的直线：Bx?Ay?m?0或y?Ax?m;BBx?m（A?0） A

⑤过直线A1x?B1y?C1?0与A2x?B2y?C2?0的直线：A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0（不表后直线）；

简单的线性规划

基本知识：

1．平面区域的判断 设直线l:Ax?By?C?0

①若A>0,则Ax?By?C?0表示l右半平面区域；

则Ax?By?C?0表示l左半平面区域.

（同正右方，否则左方）

②若B>0,则Ax?By?C?0表示l上半平面区域；

则Ax?By?C?0表示l下半平面区域.

（同正上方，否则下方）

2．线性规划

①线性约束条件:对于变量x,y的约束条件，都是关于x,y的一次不等式； ②目标函数：欲达到最值所涉及的变量x,y的解析式Z=f (x,y)称… ③线性目标函数：当解析式Z=f (x,y)是x,y的一次式时…

④线性规划：求线性目标函数在约束条件的最值问题…

3

⑤可行解：满足约束条件的解(x,y)…

⑥可行域：由所有可行解构成的集合…

⑦最优解：使目标函数取得最值的解…

⑧整点的求法：

⑨目标函数的斜率为正、为负时的区别：

曲线与方程

基本知识：

1．曲线的方程，方程的曲线

在直角坐标系中，如果某曲线C（看着适合某条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)?0的实数解建立了如下的关系：

（1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)?0的解；（纯粹性）

（2） 方程f(x,y)?0的解为坐标的点都是曲线上的点，（完备性）

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）

2．若曲线C的方程是f

(x,y)?03．求曲线方程的一般步骤：

（1）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点的坐标为M（x,y）.

（2）写出适合条件p的点M的集合P?{Mp(M)};（可据情省略）

（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)?0；

（4）化方程f(x,y)?0为最简形式

（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.（可省略）

圆的方程

基本知识：

1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆. 定点就是

圆心（确定圆的位置），定长就是半径（确定圆的大小）

2．圆的方程：

① 圆的标准方程：(x?a)2?(y?b)2?r2，圆心在C（a,b），半径为r 4

② 圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0，

D2E2D2?E2?4FA．化为标准方程 (x?)?(y?)? 224

B．圆心坐标为（?DE1,?），半径r?D2?E2?4F?0. 222

?B?0?C．方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆??A?C?0

?D2?E2?4AF?0?

③ 圆的参数方程

?x?rcos?A．圆x2?y2?r2(r?0)的参数方程为?(?是参数) y?rsin??

?x?a?rcos?B．圆(x?a)?(y?b)?r的参数方程为?(?是参数) y?b?rsin??222

2．点、直线、圆的位置关系：

① 点在圆内、上、外；

② 直线与圆相离、切、交；

③ 圆与圆相离（内离和外离）、切（内切和外切）、交；

3．巧设与圆有关的方程：

若直线l:Ax?By?C?0，圆C：x2?y2?Dx?Ey?F?0 圆C1：x2?y2?D1x?E1y?F1?0，圆C2：x2?y2?D2x?E2y?F2?0（圆C、C1、C2均存在）

① 过直线l和圆C交点的圆系方程为：x2?y2?Dx?Ey?F??(Ax?By?C)?0 ② 过圆C1和圆C2交点的圆系方程为：

x2?y2?D1x?E1y?F1??(x2?y2?D2x?E2y?F2)?0（不含C2） 5

过圆C1和圆C2交点的直线（公共弦）方程为：

(D1?D2)x?(E1?E2)x?(F1?F2)?0

第三章 圆锥曲线

椭 圆

基本知识： 椭圆的一般式： mx2?ny2?1(m?0,n?0,m?n)

6

双曲线

基本知识：双 曲 线（一般式：mx?ny?1(mn?0)）

2

2

7

抛物线

基本知识：

（一）定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的动点（即比值为离心率e?1）的轨迹叫做 （二）相同点：

1.①p越大的开口越大；②没有渐进线；

p

③开口向右时，通径坐标(,?p)，通径长=2p；

2

2.过焦点的直线AB与抛物线相交，且与x轴、y轴均不平行时，设直线AB的斜率为k，

?y2?2px由?消去?p?y?k(x?)

2?

k2p2

?0， y得kx?(kp?2p)x?4

2

2

2

消去x得y2?

2p

y?p2?0，有 k

?

k2p?2p

k2

2

；②y1?y2??p（定值）； y1?y2

p2

①x1?x2?； x1?x2

4

?

2pk

；

③焦点弦长=x1?x2?p

?

2p

sin2?

（若直线AB的倾角为?），??900时为

通径；④焦点弦为直径的圆与准线相切

8

⑤抛物线的焦点弦中通径最短； ⑥若焦点弦被焦点分成m,n两部分，则

112??mnp

（定值）；

⑦焦点弦为直径的圆与准线相切；焦半径为直径的圆与y轴相切； ⑧A'F?B'F；

⑨若M为A'B'中点，则MF?AB

⑩梯形AA'B'B中，两对角线AB'与BA'交于抛物线顶点。 3．巧设：顶点在原点，焦点在x轴上时可设为y2?ax(a?0)；

顶点在原点，焦点在y轴上时可设为x2?ay(a?0)

9

第二篇：高二上数学知识点总结

第一章 不等式

不等式的概念和性质

基本知识：

1．不等式的定义：用不等号“>,?,<,?,?”将两个代数式连接而成的式子叫做不等式。

2．两个实数的大小：

用作差运算定义： a?b?0?a?b; a?b?0?a?b; a?b?0?a?b.

用作商运算定义： aa?1?a?b; ?1?a?b; bba?1?a?b; b

3．不等式的性质：

不等号不改变方向的：

① a?b?b?a （对称性）

② a?b,b?c?a?c （传递性）

③ a?b?a?m?b?m （不等量加等量）

a?b?④（注意：异向不等式不能相加！） ??a?c?b?d（同向不等式相加）c?d?

⑤a?b?（注意：同向不等式不能相减！） ??a?c?b?d（异向不等式相减）c?d?

a?b?a?b?⑥； ??ac?bc （不等量乘正量）??ac?bc （不等量除正量） c?0?c?0?

⑦ a?b?0?（注意：异向不等式不能相乘！） ??ac?bd（同向不等式相乘）c?d?0?

a?b?0?ab⑧ （注意：同向不等式不能相除！） ??（异向不等式相除）?0?c?d?cd

⑨ a?b?0?a?b（不等式的乘方）

⑩ a?b?0?a?b（不等式的开方）

不等号要改变方向的： nn

a?b?a?b?⑾．； ??ac?bc （不等量乘负量）??ac?bc （不等量除负量） c?0?c?0?

⑿．a?b?11??（不等量取倒数） ?ab?0?ab

1

均值不等式

基本知识：

1．均值不等式1：如果a,b?R，那么a2?b2?2ab（当且仅当a?b时取“=”） 证明：a2?b2?2ab?(a?b)2

当a?b时，(a?b)2?0?22a?b?2ab ??2当a?b时，(a?b)?0?

2．均值不等式2：如果a,b是正数，那么a?b?ab（当且仅当a?b时取“=”） 2

证明：∵(a)2?()2?2ab ∴a?b?2ab 即：a?ba?b?ab 当且仅当a?b时 ?ab 22

22?a???a?b???（a,b?R?）ab?3．变式：ab??，（当且仅当a?b时取“=”） ???2?2???

a?b2a2?b2

4．均方——方均不等式：( )?22

5．推广：（不作要求）

（1） 定理：如果a,b,c?R?，那么a3?b3?c3?3abc（当且仅当a?b?c时取“=”）

证明：∵a3?b3?c3?3abc?(a?b)3?c3?3a2b?3ab2?3abc

?(a?b?c)[(a?b)2?(a?b)c?c2]?3ab(a?b?c) ?(a?b?c)[a2?2ab?b2?ac?bc?c2?3ab]

?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca)

?1(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2] 2

∵a,b,c?R? ∴上式≥0 从而a3?b3?c3?3abc 指出：这里a,b,c?R? ∵a?b?c?0就不能保证

（2）推论：如果a,b,c?R?，那么a?b?c?（当且仅当a?b?c时取“=” ） 3

2

（3）若a1,a2,...,an?R?，则

） a1?a2?..?an时取“=”a1?a2?...?an?a1a2...an（当且仅当n

x?yx2?y2

6．不等式链：若x,y?R，则≤xy≤≤ 1?22?xy?2（调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤加权平均数）

7．柯西不等式（特例）：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2) 柯西不等式

二维形式

(a^2+b^2)(c^2+ d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d) 扩展:（(a1)^2;+(a2)^2;+(a3)^2;+...+(an)^2;)((b1)^2;+(b2)^2;+(b3)^2;+...(bn)^2;)≥(a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2; 等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn(当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，

不考虑ai:bi，i=1,2,3,…,n） 三角形式 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2] 注：“√”表示平方根， 向量形式 |α||β|≥|α·β|，α=(a1,a,…,an)，β=(b1,b,…,bn)（n∈N，n≥2） 等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。 一般形式 (∑（ai^2;))(∑(bi^2;)) ≥ (∑ai·bi)^2; 等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai

、bi均为零。

上述不等式等同于图片中的不等

式。 推广形式 (x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n 注：“Πx”表示x1，x2，…，xnm*n中，各行元素之和的几何平均 不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和）

二维形式的证明(a^2+b^2)(c^2+d^2) （a,b,c,d∈R) =a^2·c^2

+b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2 =a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2 =(ac+bd)^2+(ad－bc)^2 ≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。

三角形式的证明 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2] 证明：

[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)

≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注： | |*表示乘 ≥a^2+b^2+c^2+d^2-2（a*c+b*d） =a^2-2*a*c+c^2+b^2-2bd+d^2 =(a-c)^2+(b-d)^2 两边开根号即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

一般形式的证明

求证：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 证明： 等式左边3

=(ai^2·bj^2+aj^2·bi^2)+.................... 共n^2 /2项 等式右边=（ai·bi）·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+...................共n^2 /2项 用均值不等式容易证明 等式左边≥等式右边 得证

向量形式的证明

令m=(a1, a2, …, an)，n=(b1, b2, …, bn) m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<m,n>=√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2) ×cos<m, n> ∵cos<m, n>≤1 ∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2) 注：“√”表示平方根。 注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。

8．绝对值不等式：定 理 |a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|；

三角不等式 |a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

(a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”)

推论1：|a1?a2???an|≤|a1|?|a2|???|an|.

推论2：|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

不等式的证明

基本知识：证明不等式时，常用的基本方法是比较法、综合法、分析法。

1．比较法：

（1）求差比较法：a?b?0?a?b

a??1?（2）求商比较法：b??a?b

b?0??

2．综合法：由已证不等式和不等式性质推证结论。

3．分析法：从结论出发，分析使这个不等式成立的充分条件，若这些充分条件

均具备，则可判定欲证的不等式成立。

4．反证法：（正难则反）

①反设结论；

②推出矛盾；

③肯定回答。

5．换元法：常见类型（最常见的①—⑤）

?x?cos??x?sec?22①若x?y?1,则设?，若x?y?1,则设?. y?sin?y?tan???22

4

?x?rcos?②若x2?y2?1,则设?,且r?1.

?y?rsin?

③若x?1,则设x?sin?,(??R).

?x?acos?④若x?y?a,则设?. y?asin??222

??ax2y2?222⑤若ax?by?R?()?()?1,则设?RR???

⑥若0?x?1,则设x?cos?,(0???

⑦若x?1,则设x?sec?,(0???

⑧若x?R,则设x?tan?,(?ax?cos?R. y?sin?R?2)或x?sin?,(??2????2). ?2). ?

22

6．放缩法：适当放缩，适应结论

7．判别式法：根据已知（或构造）的一元二次方程的根、一元二次不等式的解

集、二次函数的最值等性质确定其判别式应满足的条件，从而得证。 ????).

8．最值法：x?y恒成立?x?ymax； x?y恒成立?x?ymi n

9．导数法、添项法、几何法、构造函数法（略）

不等式的解法

除已讲的一元一次不等式、一元二次不等式、简单高次不等式、分式不等式的解法外，掌握

无理不等式、指数不等式、对数不等式的解法。

基本知识：

1． 无理不等式：①?g(x)?0?g(x)?0f(x)?g(x)??或 ?2?f(x)?0?f(x)?[g(x)]

②?g(x)?0?f(x)?g(x)??f(x)?0或g(x)?0时无解 ?f(x)?[g(x)]2?

③?f(x)?0???(定义域) f(x)?g(x)型??g(x)?0???f(x)?g(x)?

5

af(x)?ag(x)?2． 指数不等式：①??f(x)?g(x) a?1?

af(x)?ag(x)?②??f(x)?g(x) 0?a?1?

?f(x)?0logaf(x)?logag(x)??3． 对数不等式：① ???g(x)?0a?1??f(x)?g(x)?

?f(x)?0logaf(x)?logag(x)???② ??g(x)?00?a?1??f(x)?g(x)?

含绝对值的不等式的解法

基本知识：

1．实数的绝对值的意义（前面已讲，此略）

2．和差的绝对值与绝对值的和差的关系：

① 定 理 |a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|； ② 三角不等式 |a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|(a,b同号时右边取“=”，a,b异

号时左边取“=”)

③ 推 论 1 |a1?a2???an|≤|a1|?|a2|???|an|. ④ 推 论 2 |a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

3．含绝对值的不等式的解法

① x?a?x?a??x?(?a,a)； ???x?? a?0?a?0?

② x?a?x?a?x?a??x?0?x?(??,?a)?(a,??)；；????x?R. a?0?a?0?a?0?

22③ f(x)?g(x)?f(x)?g(x)

综合应用：

1．一元二次不等式的有解问题、恒成立问题。

2．一元二次的有解无解问题。

3．二次函数的最值问题。

4．多面体和旋转体的面积、体积的最值问题。

5．点、线、面之间的位置关系问题。

6

6．三角式的最值问题。

等等。

第二章 解析几何

直线的方程

基本知识：

1．直线方程与方程的直线（略）

2．直线的倾角：直线与x轴正向所成的最小正角。

3．直线倾角?与斜率k：

① 关系： k?tan??y2?y10 (?≠90) x2?x1

② 表示： 当k?0时，??arctank;

当k?0时，????arctank; pai+arctank

③范围：??[0,180)；k?R

④对比：

4．直线方程的形式：

① 点斜式：

③ 两点式：

⑤00y?y1?k

(

x?x1)；②斜截式：y?kx?b； y?y1x?x1xy??1； ； ④截距式：?y2?y1x2?x1ab7

⑥ 特殊的直线方程：

垂直于x轴且横截距为a的直线方程是x?a，y轴的方程是x?0 垂直于y轴且横截距为b的直线方程是y?b，x轴的方程是y?0

5．特殊形式和一般形式之间的关系：

① 点斜式是四种特殊形式中最基本、最特殊的。

② 在一定条件下，特殊形式和一般形式之间可以互化。

6．直线方程的一般求法：

① 直接法：选用符合条件的方程形式直接写出。

② 待定系数法：设方程、求系数、定答案。

两直线的位置关系

基本知识：

1． 点与直线的位置：

点到直线的距离：①点P（x0,y0）到直线l:Ax?By?C?0的距离：d?Ax0?By0?C

A?B

C1?C2

A?B2222 ②两平行直线Ax?By?C1?0和Ax?By?C2?0间的距离：d?

2．两直线的平行与垂直：

直线位置关系：设直线l1和l2分别有斜截式方程(此时，斜率存在)：l1:y?k1x?b1， l2:y?k2x?b2.

?k1?k2且b1?b2； ②两线垂直：l1?l2?k1k2??1；①两线平行：l1∥l2

3．两直线所成的角： k2?k1k2?k100tan??tan??①(??(0,180)；②1?k2k11?k2k1 (??(0,90]) 00

4．两直线的交点： 设直线l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2?C2?0，则

A1B1C1?A1x?B1y?C1?0??? （1）? 无 解?l1∥l2A2B2C2?A2x?B2y?C2?0

. 8

A1B1?A1x?B1y?C1?0?? （2）?有唯一解?l1与l2相交A2B2?A2x?B2y?C2?0

（3）. ?A1x?B1y?C1?0??A2x?B2y?C2?0有无穷解?l1与l2重合?A1B1C1.或??A2B2C2A1B1?,且C1?C2 A2B2

5．巧设直线方程：

①过两点(x1,y1),(x2,y2)的任意直线：(y?y1)(x2?x1)?(y2?y1)(x?x1)； ②过点P(x0,y0)的直线：A(x?x0)?B(y?y0)?0(A?B?0)或y?y0?k(x?x0)； ③与直线Ax?By?C?0平行的直线：Ax?By?m?0(m?C)或y??（B?0,m?C）

④与直线Ax?By?C?0垂直的直线：Bx?Ay?m?0或y?Ax?m;BBx?m（A?0） A

⑤过直线A1x?B1y?C1?0与A2x?B2y?C2?0的直线：A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0（不表后直线）；

简单的线性规划

基本知识：

1．平面区域的判断 设直线l:Ax?By?C?0

①若A>0,则Ax?By?C?0表示右半平面区域；

则Ax?By?C?0表示l左半平面区域.

（同正右方，否则左方）

②若B>0,则Ax?By?C?0表示l上半平面区域；

则Ax?By?C?0表示l下半平面区域.

（同正上方，否则下方）

2．线性规划

①线性约束条件:对于变量x,y的约束条件，都是关于x,y的一次不等式； ②目标函数：欲达到最值所涉及的变量x,y的解析式Z=f (x,y)称? ③线性目标函数：当解析式Z=f (x,y)是x,y的一次式时?

④线性规划：求线性目标函数在约束条件的最值问题?

9

⑤可行解：满足约束条件的解(x,y)?

⑥可行域：由所有可行解构成的集合?

⑦最优解：使目标函数取得最值的解?

⑧整点的求法：

⑨目标函数的斜率为正、为负时的区别：

曲线与方程

基本知识：

1．曲线的方程，方程的曲线

在直角坐标系中，如果某曲线C（看着适合某条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)?0的实数解建立了如下的关系：

（1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)?0的解；（纯粹性）

（2） 方程f(x,y)?0的解为坐标的点都是曲线上的点，（完备性）

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）

2．若曲线C的方程是f

(x,y)?03．求曲线方程的一般步骤：

（1）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点的坐标为M（x,y）.

（2）写出适合条件p的点M的集合P?{Mp(M)};（可据情省略）

（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)?0；

（4）化方程f(x,y)?0为最简形式

（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.（可省略）

圆的方程

基本知识：

1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆. 定点就是

圆心（确定圆的位置），定长就是半径（确定圆的大小）

2．圆的方程：

① 圆的标准方程：(x?a)2?(y?b)2?r2，圆心在C（a,b），半径为r 10

② 圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0，

D2E2D2?E2?4FA．化为标准方程 (x?)?(y?)? 224

B．圆心坐标为（?DE1,?），半径r?D2?E2?4F?0. 222

?B?0?C．方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆??A?C?0

?D2?E2?4AF?0?

③ 圆的参数方程

?x?rcos?A．圆x2?y2?r2(r?0)的参数方程为?(?是参数) y?rsin??

?x?a?rcos?B．圆(x?a)?(y?b)?r的参数方程为?(?是参数) y?b?rsin??222

2．点、直线、圆的位置关系：

① 点在圆内、上、外；

② 直线与圆相离、切、交；

③ 圆与圆相离（内离和外离）、切（内切和外切）、交；

3．巧设与圆有关的方程：

若直线l:Ax?By?C?0，圆C：x2?y2?Dx?Ey?F?0 圆C1：x2?y2?D1x?E1y?F1?0，圆C2：x2?y2?D2x?E2y?F2?0（圆C、C1、C2均存在）

① 过直线l和圆C交点的圆系方程为：x2?y2?Dx?Ey?F??(Ax?By?C)?0 ② 过圆C1和圆C2交点的圆系方程为：

x2?y2?D1x?E1y?F1??(x2?y2?D2x?E2y?F2)?0（不含C2） 11

过圆C1和圆C2交点的直线（公共弦）方程为：

(D1?D2)x?(E1?E2)x?(F1?F2)?0

第三章 圆锥曲线

椭 圆

基本知识： 椭圆的一般式： mx2?ny2?1(m?0,n?0,m?n)

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双曲线

基本知识：双 曲 线（一般式：mx?ny?1(mn?0)）

2

2

13

抛物线

基本知识：

（一）定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的动点（即比值为离心率e?1）的轨迹叫做 （二）相同点：

1.①p越大的开口越大；②没有渐进线；

p

③开口向右时，通径坐标(,?p)，通径长=2p；

2

2.过焦点的直线AB与抛物线相交，且与x轴、y轴均不平行时，设直线AB的斜率为k，

?y2?2px由?消去?p?y?k(x?)

2?

k2p2

?0， y得kx?(kp?2p)x?4

2

2

2

消去x得y2?

2p

y?p2?0，有 k

?

k2p?2p

k2

2

；②y1?y2??p（定值）； y1?y2

p2

①x1?x2?； x1?x2

4

?

2pk

；

③焦点弦长=x1?x2?p

?

2p

sin2?

（若直线AB的倾角为?），??900时为

通径；④焦点弦为直径的圆与准线相切

14

⑤抛物线的焦点弦中通径最短； ⑥若焦点弦被焦点分成m,n两部分，则

112??mnp

（定值）；

⑦焦点弦为直径的圆与准线相切；焦半径为直径的圆与y轴相切； ⑧A'F?B'F；

⑨若M为A'B'中点，则MF?AB

⑩梯形AA'B'B中，两对角线AB'与BA'交于抛物线顶点。 3．巧设：顶点在原点，焦点在x轴上时可设为y2?ax(a?0)；

顶点在原点，焦点在y轴上时可设为x2?ay(a?0)

15