《小学数学教学中错误资源利用的研究与实践》结题报告
临海市河头镇中心校课题组
【内容提要】 在数学课堂上，每天都有学生在出错。课堂是学生出错的地方，错误是伴随着学生一起成长的。作为新时代的教师，应本着以人为本的教育观，面对学生已出现的错误换位思考，不斥责、挖苦学生，应更多地关注学生的情感体验，让学生在纠错、改错中感悟道理，领悟方法，发展思维，实现创新，促进学生的全面发展；并从课堂教学出发，正确引导对错误的分析评价，从错误中领略成功，实现学生的全面发展。
【关键词】 数学课堂教学 有效利用 错误资源
一 课题研究的背景
1、 课堂教学的现状
新的《数学课程标准》指出：“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上获得不同的发展。”数学教学应最大限度地满足每一个学生的需要，最大限度地开启每一个学生的智慧潜能。学生错误是其积极参与学习过程必然伴随的现象之一。心理学家盖耶认为：“谁不愿意尝试错误,不允许学生犯错误，就将错过最富有成就的学习时刻。”是的，真实的课堂会因错误、发现、探究、进步的良性循环而充满活力。作为教师，绝不能以成人的眼光去要求学生，更不必去追求学生的绝对正确，要确立“学生的错误是一种动态资源”的观念，帮助他们分析错误产生的原因，并将错误作为一种促进学生情感发展，智力发展的教育资源，正确地、巧妙地加以利用。但是当我们深入课堂，不难发现我们的课堂存在着许多不如意的地方：当前的教学中，还有很多教师对“错误”唯恐避之不及，课堂教学追求的效果是“对答如流”、“滴水不漏”、“天衣无缝”，稍有闪失，便自责不已。课堂教学中，对学生回答的问题或板演，有些教师总是想方设法使之不出一点差错，特别是在一些公开课的教学中，即使是一些容易产生典型错误的稍难问题，教者也有高招使学生按教师设计的正确方法去解决，这样就掩盖了错误的暴露以及纠错过程。
来自一线的教师，面对课堂的学生资源，我们教师往往看中哪些准确无误的资源。对学生的错误资源往往加以躲避，更不要说去寻找、利用、开发这些错误资源。笔者在一些各等级的观摩课中听到老师不停的表扬声，有时学生的发言并不好甚至是错误的，老师还是一律表扬，殊不知一次辨错、纠错的大好机会丧失在一片表扬声中了。教师在课堂教学中不敢暴露学生的错误，使得课堂教学一路凯歌高奏，给人感觉学生上课一听就懂，但是真正做题时却错误不断。
新课程改革要求从生命的高度、用动态生成的观点看待课堂教学。教学过程本是学生认识和发展的过程，是学生由不懂到懂、从不会到会、从人格尚不完善到逐渐完善的过程。在这个过程中，学生说错话、做错事是正常的。动态生成式教学追求真实自然，应该敢于“暴露”意料之外的情况，课堂再现的应该是师生“原汁原味”的生活情景。课堂上应该不怕学生出错误，因为课堂就是学生出错的地方。学生的错误也是一种很好的教学资源，处理得好，会使整节课锦上添花！有一句话说的好：孩子是在错误中学会成长的，课堂因差错而精彩！
2、国内现状研究
目前我国对学生课堂资源的研究比较少，对课堂的错误资源研究的更少。许多研究注重学生课堂的生成资源的研究，而这个研究中往往是研究生成资源的正确资源进行研究。而对生成资源中的错误资源往往采用一笔带过，甚至避而不谈。
3、理论背景：
著名教育学家帕克赫斯特说过：“经验对儿童的价值如同对成人的价值一样，无论怎样估计都不会过高。”经验是在实践过程中获得的知识和技能，或者说是一种经历。如果老师采用“预防”或“扼杀”的方法对学生的错误进行纠正，只是起到事倍功半的作用，而让学生在实践中尝试错误，有了错误的经历后，再寻找“灵丹妙药”根治错误，就起到了事半功倍的效果。
叶澜教授在“新基础教育”探索性的研究时，就提出：一个真实的课堂教学过程是一个师生及多种因素间动态的相互作用的推进过程，由于参加教育活动有诸多复杂的因素，因此教育过程的发展有多种可能性存在，教育过程的推进就是在多种可能性中作出选择，使新的状态不断生成，并影响下一步发展的过程。
《基础教育课程改革纲要（试行）解读》一书中也明确指出：“课堂教学不应当是一个封闭系统，也不应当拘泥于预先设定的固定不变程式。预设的目标在实施过程中需要开放地纳入直接经验、弹性灵活的成分以及始料未及的体验，要鼓励师生互动中的即兴创造，超越目标预定的要求。”
教育专家指出：教材是实现课程目标，实施教学的重要资源，但不是唯一的资源，而更多的教学资源则是在课堂中产生的。这其中，学生在学习过程中出现的错误，就是一种教学资源。
二 课题研究的内涵及理论依据
1．课题内涵：
［错误］教师在教学中和学生在学习过程中，反映在各方面，出现违反教学结论或数学方法的现象。认知心理学派认为：错误是学习的必然产物，学生的知识背景、思维方式、情感体验、表达形式往往和成人截然不同，他们在学习过程中出现各种各样的错误是十分正常的。
［教育契机］教师应善于利用课前预设错误资源，善于捕捉课中错误资源，善于课后反思错误资源，将学生的学习错误当作一种教育的契机，让错误变成宝贵的课堂教学资源。
［反思］反思是数学的重要活动，是数学活动的核心和动力。 学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须有一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反思作前提。在实际教学中，教师应帮助学生树立纠错追因意识，把学生的错误当作宝贵的教学资源，引导学生反思一下错题错在哪里？为什么错？然后让学生有针对性的纠错，让错误发挥最大的育人功效。
英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。” 每个学生都有分析、解决问题和创造的潜能，都有一种与生俱来的把自己当成探索者、研究者、发现者的本能。在数学教学活动中，学生是活动的主体，而学生犯错的过程就是一种尝试和创新的过程。课堂是学生出错的地方，出错是学生的权力。心理学家盖耶认为：谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻。
2. 理论依据
(1) 建构主义学习观：建构主义在知识观上强调知识的动态性，强调意义的生成，强调学习者通过与外部信息的相互作用而生成理解、发展智能，建构自己的“经验现实”。学习不是知识经验由外向内的“输入”，而是学习者的经验体系在一定环境中自内而外的“生长”。
(2)课堂生命观基本理念：让课堂充满师生的生命活力
课堂教学应视作师生生命历程的重要组成,课堂中的生命意义,在于使每一个生命个体感受并获得新的成长和发展。
(3)加涅的学生素质结构观
认知策略是“学习者用以支配自己的心智加工过程的同部组织起来的技能”，是处理内部世界的能力。如果一组概念和规则支配了人的认知加工活动，提高了其信息加工能力，则他就习得了认知策略。
(4)苏格拉底—产婆术：苏格拉底在教学中并不直接向学生传授各种具体知识，而是通过问答、交谈或争辩的方法来宣传自己的观点。他先向学生提出问题，回答错了，也不直接指出错在什么地方和为什么错了，而只是提出暗示性的补充问题，使对方不得不承认答案的荒谬和处于自相矛盾的地步。最后，从苏格拉底的引导和暗示中得出苏格拉底认为是正确的答案。
三课题研究的目标
1、描绘教师捕捉与利用学生错误资源能力的形成轨迹，形成一定的课堂错误资源捕捉、利用的策略。
2、针对学生在各学科的学习，对课堂教学中出现的不同错误，研究各种错误作为教学资源的利用率和利用的效果，提高课堂教学效率。
3、提高教师捕捉并利用学生错误资源的能力、自我的思辩的能力。
四 课题研究的主要内容
（一）确立主体性的教育理念。
随着信息时代的来临，在人才培育的目标模式中，错误资源这一新概念在引起世界各国越来越广泛的重视。围绕课堂错误资源的讨论，也日益成为世界各国教育界乃至社会各界关注的重大理论与实践课题。教师作为教学活动的组织者、引导者、合作者，应有较强的主体意识。同时要明确学生才是学习的主体，教师的一切教学行为都要以学生为本。一旦学生内部产生自主学习的强烈愿望，其主动性、创造性才能得到充分发挥，才能最大限度地发展自己的学习潜能。
（二）探索学生错误的成因
在数学教学中，教师往往比较注重对错误的订正过程，忽视对学生所犯错误的分析。实际上，对学生所犯错误的分析，可以使我们更加深入了解学生产生错误的原因，便于教师针对原因纠错，有效发挥错误的积极作用，发展学生的学习能力。
1、 从知识的形成规律分析
（1） 知识衔接“断裂”产生错误。小学生受其年龄限制在知识积累方面有他们自己的特点，那就是在学习新知识后，在短时间内，遗忘的速度相对较快。而数学知识的系统性很强，知识之间的前后联系非常紧密。为了符合小学生的认知规律，在教材的编排上，许多内容都是分几个不同阶段、在不同的年级出现。只不过在不同阶段教学目标层次不一样，都是通过循序渐进达到逐步抽象、逐步提高，直至完成整体知识的教学。
（2）语言理解能力发展不完善产生错误。小学生的文字理解能力受语文知识的限制，数学学习中经常出现因语言理解能力发展不完善而产生错误。这种现象在低年级中较普遍，在中高年级中也经常存在。
（3）新旧知识干扰产生错误。心理学告诉我们，前面学习的知识影响后面知识的学习，这是前摄抑制；后面学习的知识对前面学习的知识反过来干扰，这是后摄抑制。学生在学习中常常会受到新旧知识的前后抑制，产生错误。
2、从学生的心理原因分析
（1） 强视觉信息刺激产生错误。心理学家实验表明，人类获取的信息约80%来源于人的视觉，约14%来源于人的听觉，触觉、嗅觉、味觉为人类获取的信息约为6%。可见视觉对人产生的影响是其他任何一种感觉所不能比拟的。学生在数学学习中，知觉对象的各个部分对大脑的刺激具有强弱的差别。强知觉对象往往会抑制弱知觉对象在大脑中产生的兴奋，造成对弱知觉对象的遗忘而产生错误。
（2）思维定势产生错误。学生的思维定势是指在学习过程中学生的思维心理准备状态。它的作用具有双重性，既有积极的一面，又有消极的一面。在知识的迁移过程中，思维定势促进正迁移的产生，就能使问题得到正确的解决；当它束缚了学生的思维，就会产生错误。
（3）思维中的“灵感突发”产生错误。从心理学上分析，当人的感觉器官受到某一强刺激的持续作用时，神经中枢就产生相当稳定的、集中的兴奋区，形成优势兴奋中心。由于优势原则的影响，在解题时，常常会忽略细节而产生错误。
（三）探索课堂错误资源的有效利用的策略
1、主动引错——通过示错培养思维能力
格式塔心理学家韦特海默尔（M.Weitheimer）早在1959年就发现，学生只要照搬老师的例题，就能运用底乘高的方法解决平行四边形的面积计算问题，但在头脑中并没有真正形成“平行四边形面积”的科学概念，所以遇到和平行四边形稍有不同的图形时就束手无策了。教师在教学中如果不重视这种现象，学生就会在新授课上把数学学习简单化。这种简单化的学习一旦进入综合练习，学习障碍就凸现出来，成为影响学生思维发展的主要原因。所以教师在教学活动中，要通过主动的引导，充分暴露学生的思维过程，特别是要暴露错误的思维过程。
2、自主纠错——通过找错提高辨析能力
费赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确方法就是实行‘再创造’，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生。”对待纠错这一学习过程，教师的态度也应同样如此。在教学过程中，教师要引导学生自己对自己的解题思路进行认真的回顾和分析，让学生明白为何出错，才能使学生避免重蹈覆辙。
3、引导评错——通过议错加强学习验证能力
由于学生对结果的验证能力的薄弱，所以在教学中要加强验证习惯的培养，将数学与生活实际联系起来，让学生通过判断结果的合理性来知道解题的对错。通过这样操作，不仅使学生找到了错误的原因，实现了纠错的目的，而且还能够培养学生联系实际、利用实践操作来检验结果的学习习惯，也加强了学生学习验证能力的培养。
4、将错就错——通过用错激发创新能力
对于学生在学习中出现的错误，教师要巧妙利用，因势利导，让学生在探讨、尝试中沟通新旧知识的联系和区别，发现规律、掌握方法，这样不但能保护学生的自尊心和学习数学的积极性，而且能培养学生的思维能力和创新精神。
这里利用将错就错的方法，不是采取简单方式轻易否定错误，而是充分利用错误中的合理的、可利用的因素。这样处理既不会使学生由于思维偏差而产生自卑感，又可以使学生从简便方法中看到自己思维的价值，增强了学习的信心。更为重要的是，让全体学生感悟“出错”是很正常的，并不可怕，更不可耻，将学生从对错误的恐惧中解放出来，化消极情感为积极情感，使学生“敢”出错，从而达到激发学生创新热情的目标。
5、错误日记——通过理错培养自我评价能力
为了充分发挥错误的积极作用，教师要及时对学生在学习中出现的典型错误以及错误产生的原因、矫正对策进行搜集、整理、记录。可以通过多种形式进行对比练习，让学生辨析提高。而教师更应该做的工作是指导学生记录个人学习错误的方法，养成错误日记的习惯。
通过这样的日记，学生在纠错的同时也对自己的错误有了一个更为深刻的反思过程，总结自己的学习方法、学习态度等方面的问题，正确的评价了自己。通过这种形式，对自己的错误认识更加透彻，加深印象，有效实现了防错的目的，提高了学生独立学习的能力。
五课题研究的方法和研究策略
(一)研究方法
本课题以行动研究法为主，综合运用调查法、文献法、总结法等教育科研方法，力求提高研究的可信度和实效性。
１、行动研究法：主要采用协作性的行动研究，指导学生把错误学习资源如何运用到他们的学习中去，如何运用错误资源有效地解决实际问题作出分析、评价。
２、调查法：定期对学生课堂的错误资源作一调查分析，查阅文献资料，包括他人的理论和经验，以便更好地促进他们的学习。
３、文献法：通过查阅文献资料，包括他人的理论和经验，分析、整理他人的研究成果，特别要收集整理网络资源，以指导本课题的研究。
４、总结法：对课题分阶段实施情况定期分析总结。
(二)研究策略
“学生的错误是有价值的。”一般来说，只要学生经过思考，其错误中总会包含某种合理的成分，有的甚至隐藏着一种超常，一种独特，反射出智慧的光芒。老师应该让学生充分展示思维过程，显露错误中的“闪光点”，并顺着学生的思路，将合理成分“激活”，这将利于学生后继学习。
1、正视错误，关注学生的感受
心理学分析：由于学生受生理、心理特征及认识水平的限制，出错是不可避免的。而学生学习中产生的错误,是一种来源于学生学习活动本身,具有特殊教育作用的学习材料。“错误”作为一种教学资源，只要合理利用，就也能较好地促进学生情感的发展。对激发学生的学习兴趣，唤起学生的求知欲具有特殊的作用。作为数学教师，要正确地对待学生在学习数学过程中出现的错误。
（1）关注学生出错的心理
面对学生所出现的各种“错误”，许多教师避之而不及，往往不由自主地对学生不够准确和近似的答案不于理会，甚至直接否定，转向其他学生进行提问，直到得出“正确答案”为止；或是当无人回答时干脆把答案“双手奉上”。这种做法在很大程度上挫伤了学生答题的积极性，学生只能被动地接受，逐渐成为学习的机器。有时甚至会对学生造成严重的伤害。有人回顾自己这方面的亲身经历说：“当老师提问时，在绝大多数情况下，我都是低头不语。然而，老师有时还是能够叫到自己的名字。每当这个时候，我的心里真是害怕，不知道自己能否回答老师所期望的答案。因为这种害怕，面红耳赤、语无伦次甚至结巴口吃都是有过的事。……”是啊，如果我们对待学生的“错误”就像秋风扫落叶一样，缺乏冷静的思考，终会使学生产生畏惧心理，从而课上不敢回答问题，怕出错，遇到问题不敢去独立思考、发表自己的观点，丧失学习的自信心。因此，在“错误”面前，要关注学生的感受，解除学生对错误的恐惧心。有时一些幽默的语言或一个鼓励的微笑，会化解学生受挫后尴尬和难堪的心理。
（2）交还学生出错的权利
当学生在课堂上出现错误或产生问题时，作为教师，首先要本着以人为本的主体教育观，交还学生出错的权利，尊重、理解、宽容出错的学生，不斥责、挖苦学生。让学生坦诚自己的想法，耐心倾听他们的表述，不轻易否定学生的答案，错了允许重答，答得不完整允许再想，不同的意见允许争论。在这样的课堂上学生没有答错题被老师斥责的忧虑，更没有被同学耻笑的苦恼，这样既尊重他们的人格，又保护他们的自尊心和学习积极性，从而使学生认识到，发生各种错误是自然的。同时教师要正确引导及鼓励学生，使他们积极地去思考错误，经历实践获得体验，正确构建新知。
错误是正确的先导，成功的开始。随着新一轮课改的深入，大家对课堂教学、对学生的学习错误有了更深的认识，课堂是学生出错的地方，错误是伴随着学生一起成长的。出错是学生的权利，帮助学生改正错误是教师的义务。
2、发现错误，善于捕捉错误信息
有了正确看待错误资源态度，教师还要善于捕捉错误资源的能力。由于受知识、经验、思维能力等各方面因素的限制，学生在数学学习活动中，必然会遇到这样那样的困难和障碍，进而产生一些错误的信息。如果我们将错就错捕捉这些错误信息，清晰地把这些错误信息汇聚起来，再放到学生中去，便能推动课堂教学动态生成。捕捉资源可从以下两方面着手。
（1）倾听中发现错误信息
随着课堂的开放，学生质疑、争论、反驳的机会大大增强，随之出现的信息量大增，其中既有正确的，也有错误的，这就需要教师学会倾听，成为学生的忠实听众。首先我们要学会倾听孩子们的每一个问题，每一句话。不管是响亮地还是轻微的，理直气壮的还是胆小害怕的，正确的还是错误的，我们都要认真地倾听，特别要在倾听中捕捉好学生的错误信息，把学生的错误信息也看作是孩子的思维火化。其次教师在倾听过程中要通过错误资源判断出学生困难的焦点，努力从学生发生错误的角度去解读学生，了解学生错误背后的学习障碍和蕴含的思维方式。最后教师还要培养学生良好地倾听习惯，通过分辨他人发言的正误，使学生之间产生思维的碰撞，形成正确的理解，提升学生评价和判断的能力。
（2）比较中选择错误信息
课堂教学是一个动态的变化、发展过程，也就是师生、生生之间交流、互动的过程，在这个过程中，必然会不断产生许多学习信息，学生随即发生的错误是每位教师必然遇到且须直面的学情信息。而错误信息本身也存在着重要和次要、有用和无用之分。这就需要我们教师在众多的错误信息中通过比较、判断、选择出有价值的的信息作为教学的资源。在课堂信息的选择过程中，我们要有敏锐地判断能力，特别关注那些典型错误资源，抓住时机推动课堂教学动态生成。
如在上《商中间有零的除法》一课时，我出示了例题：432÷4，让学生自主探究。在学生解题过程中，我及时下去巡视，收集各种信息，以便了解学生解决问题的能力。当时学生呈现的信息可以说是纷繁复杂，有6种之多。
① 18 ② 18 ③ 108 ④ 108 ⑤ 112
4 432 4 432 4 432 4 432 4 432
4 4 4 4 4
32 32 32 3 13
32 32 32 0 13
0 0 0 32 2
32 2
0 0
⑥ 400÷4=100
32÷4=8
100+8=108
针对这些信息，是一一呈现还是抓典型呢？最后我选择了①②③④⑥这五个有用的信息，呈现在黑板上，作为学生讨论的资源，而把⑤淘汰了，因为这一信息是属于低级的错误，无用的资源。也正因为有了①②这样的典型的错误资源，在接下来的学习中，学生兴趣盎然，“讨论、辩论、明了”的动态课堂场景就此开演，学生的错误资源有效地诱发了学生学习的动力。
学生的错误资源如果直接校正，由于没有学生的主动参与，往往效果不佳，而抓住这些错误资源，作巧妙地引导和利用，能进一步促使学生深入了解所学内容，通过学生之间产生思维的碰撞，感知获取知识的思维过程。
3、利用错误，深化知识的理解。
学习错误是一种来源于学习活动本身，直接反映学生学习情况的生成性教学资源。面对学生自己“创造”出来的宝贵的教学资源，教师若能善于捕捉，灵活处理，以新的观念、新的眼光，站在新的视角对其价值进行重新定位，对其进行新的探索和实践。让学生在纠错、改错中感悟道理，领悟方法，发展思维，实现创新，能把课堂教学引向深入，推至高潮。
（1）课前预设错误
英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。”是的，“问渠哪得清如许，为有源头活水来”。我们不仅要宽容错误，更要挖掘利用好学生的错误资源，学生对新知理解常常会遇到一些常见的、易犯的错误，尽管老师反复讲解，多次强调，总有些学生不能彻底改正、往往一错再错，这些情况教师通过认真钻研教材，根据学生发生错误的规律，凭借教学经验，可以预测学生学习某知识时可能发生哪些错误。在课堂教学中运用形形色色的“错误”资源，让学生在思索、讨论中展现多姿多彩的课堂。教师应该首先根据教学内容，对学生在认知过程中可能出现的种种问题给予充分估计，
①显示错误
“数学学习与学生的身心发展”研究表明：每个学生都有分析、解决问题和创造的潜能，都有一种与生俱来的把自己当成探索者、研究者、发现者的本能。在数学教学活动中，学生是活动的主体，而学生犯错的过程就是一种尝试和创新的过程。在课堂教学过程中，如果我们能故意制造一些美丽的错误并主动呈现错误，引导学生从自己的认识角度，凭借自己已掌握的数学知识找错、知错和改错，让学生产生强烈的纠错欲望，让学生在“尝试错误”的过程中比较、判断、思考、甚至引发争议。让学生在错误中反思，在反思中探究，从而让学生了解并改正，预先实行控制。那么课堂就会展现出它真实、精彩的魅力，学生也因此兴趣盎然。
【案例】学完《圆的认识》，出示判断：“圆的直径是半径的2倍”让大家明白必须要在“同一个圆中”的前提下才能成立。出示“圆的直径是半径的2倍，那直径和半径必须在同一个圆中。”让学生先思考，再用画图来验证，使之理解其正命题、逆命题的逻辑关系。学完《面积单位》后，练习填写单位时，不仅仅出现“我们的教室大约是25（ ）”之类的面积单位，还出现“教室的黑板高2（ ）”等长度单位的习题，以加强对单位意义的理解。这样，老师主动出示题目显示错误，让学生在议错、辨错，进一步理解知识，既控制了可能发生的错误，防患于未然，把错误消灭在萌芽状态，又提高了学生分析和解决问题的能力。在新知的建构过程中，难免会出现这样那样的错误，正是这一次次的错误，使得学生从不懂到懂，从不会到会。在教学实践中，我认真钻研教材，根据学生发出错误的规律，估计学生学习某项数学知识时可能发生哪些错误，在所发出的信息尚未发生认识偏差之前，先把这些错误设法显示出来，引导学生从自己的认识角度，凭借自己已掌握的数学知识找错、识错和改错，从而预先实现控制。从中培养学生思维的辨析力。
②诱导错误
音乐界有这样一个故事，世界著名指挥家小泽征尔当初参加一次世界性的比赛时，曾连续三次中断了指挥，因为他认定乐谱中出现了“错误”。其实，这正是评委们故意设下的“陷阱”。事实上，对这个“陷阱”的大胆否定，正验证了小泽征尔作为音乐指挥家的真正实力。教师也应善于恰当设置一些这样的“陷阱”，甚至诱导学生“犯错”，使其“上当”，当他们落入“陷阱”而还陶醉在“成功”的喜悦中时，指出他们的错误，并通过正误辩析，让他们从错误中猛醒过来，记取教训，往往能收到“吃一堑长一智”的效果。由于高度的情感反差，伴随着明显的正误对照，自然给学生留下深刻的印象。
【案例】《面积与面积的单位》这节课当学生学会了用数方格的方法比较大小时，我故意设置“陷阱”：
师：那下面就用我们刚才所学的本领来做一个数方格的游戏，游戏的规则是男同学数的时候，女同学闭上眼睛。女同学数的时候，男同学闭上眼睛。（接下来男同学数了是8格，女同学数了是4格，所有同学都认为8格的长方形大，4格的长方形小，但出乎意外的是我拿出来的两个长方形的面积是一样刚好相反。这时学生情绪激昂）
生1：上当了，应该是4格的长方形大。
生2：是的，因为格子不一样大。
生3：这说明单单数格子多少还不能肯定哪个图形的面积大。
师：哪怎么办呢？
生4：要用一样大的格子去量。
师；说的好，要准确地知道面积的大小，就要学会测量和计算，而格的大小不同，无法比较面积的大小，说明统一方格的大小很有必要。计算面积要用面积单位，国际上规定一定标准的正方形大小叫做面积单位。
利用游戏使学生产生了激烈的认知冲突，学生恍然大悟，悟出了“统一格子大小”的必要性，面积单位的出现可谓水到渠成。没有教学谍谍不休的细碎讲解，也没有教师近乎武断的“国际规定”，学生在教师精心设计“陷阱”中，自己领悟出了“规定”后面的“道理”。这样学生走进了“陷阱”，又从“陷阱里”走了出来，继续去寻找新的答案，真是“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村。”
③故意错误
居里夫人上小学时，一次老师给同学们讲：在一只装满水的杯子里放入一颗小石子水就会溢出来，但是放入一条金鱼，水却不会溢出来。放学后，居里夫人觉得老师的结论值得怀疑，就亲自动手实验，结果满杯的水溢了出来。老师的一次故意“出错”培养了居里夫人善于质疑的优秀学习品质！其实，学生获取数学知识的过程实际上就是不断探究的过程，通过教师的主动呈现错误，让学生的心理泛起了涟波，引起了学生的好奇心，课堂上老师有意“出错”能有效地调节教学气氛，让平淡无奇的课堂变得更具诱惑力。
【案例】案例1：《圆锥的体积》
在教学圆锥的体积一课时（课前准备：等底等高、不等底不等高的空圆柱、圆锥、沙子。课前学生都预习过这一内容。）
师：下面分组做实验，在空圆锥里装满沙子，然后倒入空圆柱中，看看几次正好装满。
小组代表从教具箱中自选实验用的空圆锥圆柱各一个，分头操作。
师：请同学们利用手中的圆柱和圆锥、沙子，从倒的次数看，研究两者体积之间有怎样的关系？
生1：我们将空圆锥里装满沙子，然后倒入空圆柱中，三次正好装满。说明圆锥的体积是圆柱的三分之一。
生2：三次倒满，圆锥的体积是圆柱的三分之一。
生3（有些迟疑地）：我们将空圆锥里装满沙子，然后倒入空圆柱中，四次正好装满。说明圆锥的体积是圆柱的四分之一。
生1：是三分之一，不是四分之一。
生5：我们在空圆锥里装满沙子，然后倒入空圆柱中，不到三次就将圆柱装满了。……
师：并不都是三分之一呀。怎么会是这样！我来做。（教师从教具箱中随手取出一个空圆锥一个空圆柱）你们看, 将空圆锥里装满沙子，倒入空圆柱里。一次，再来一次。两次正好装满。圆锥的体积是圆柱的二分之一。怎么回事？是不是书上的结论有错误？（以前曾有学生对教材中的内容提出过疑问）学生议论纷纷。……
师：你们说该怎么办？
生6：老师，你取的圆柱太大了。（教师在他的推荐下重新使用一个空圆柱继续实验，三次正好倒满。）学生调换教具，再试。
师：什么情况下，圆锥的体积是圆柱的三分之一？
生：等底等高。
生：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一。
师：也就是说圆锥的体积等于圆柱体积的三分之一的前提条件是等底等高。
对于等底等高的概念，我没有回避，也没有遮掩，而是故意暴露错误，并留给学生足够的时间让学生充分讨论甚至发生争论，进而引发探究。我这样的故意出错，把学生引入矛盾的困惑境地，使他们对自己的认知产生怀疑、自主反思，从错误中吸取教训，从失败中找出原因，从而让学生在纠正错误中开启智慧，迈入知识的殿堂。
2、课中巧用错误
课堂教学过程应该是一个动态的、变化生成的过程。在师生、生生交流互动的过程中，随时可能发生错误的学情信息。教师要独具慧眼，善于及时捕捉稍纵即逝的错误作为教学资源，并巧妙运用于教学活动中。对于这些错误资源，教师要有机智地进行判断、筛选、提炼，并创设一个宽松和谐的的课堂氛围使师生之间、学生之间展开多向互动，在互动中完成了对新知识的意义建构。
①以联系实际纠正错误
Hands on （“动手做”）理念指出，学习是儿童自己的生活实践活动，小学数学教育应真正回归到儿童的生活中去，真正关心儿童关心什么，经历了什么，对什么感兴趣，在生活中发现了什么。生活是一个大课堂，数学知识来源于生活，也必须扎根于生活，并且应用于生活。有时学生在学习中产生的违背了生活常识的错误而且非常可笑，但他们却全然不知自己错了，要纠正这些错误，必须将数学与生活实际联系起来，让学生通过判断结果的合理性来知道解题的对错。在“识错”与“纠错”过程中，巧妙地将师生的生活经验融进课堂中来，加强数学与生活的联系，不但能激发学生主动参与的热情，而且往往还会收到意想不到的效果。
【案例】这是一节有关长度单位的新授课上，我出示一个练习是选用合适的长度单位来填空。反馈时部分学生闹出了类似这样的笑话：一张床长2分米，小明一步走了54米。这时我发现班中一些学生已经开始偷偷地笑了，弄出这样的笑话，主要是部分学生对长度单位的感悟不到位，他们没有真正地理解米、分米、厘米、毫米这些长度单位的实际含义。为了让学生在大脑中真正地建立起长度单位的表象，理解这些长度单位的概念，感悟每一个具体单位的实际长度，于是我决定来个迂回战术，不直接针对错例让学生纠正，而请发笑的学生说说为什么要笑。学生们的想象力和发言都很精彩，有的说：“××说的是小人国的床吧，才2分米，小矮人才能够睡得下吧。”有的说：“一步要走54米，我们的教室才9米长，这是大人国的人吧。”学生纷纷们用手比划2分米的长度和想象着54米的实际距离。我不住点头，抓住时机让学生用别人看得懂的方法来比一比米、分米、厘米、毫米的实际长度。学生有的用双手比在课桌的两边，告诉大家两手间的距离大约是一米，有的把一张磁卡插入食指和拇指之间，再轻轻地抽出来，说这里的距离大约有1毫米……水到渠成，我问出错的学生：“你现在能说说应该填上什么单位名称？”学生说出正确答案的后，我又不失时机地进行小结：“对，填好单位名称后，我们还要联系实际想一想是不是符合。”
上述案例中发笑的学生就提供了很好的方法：和实际生活结合起来分析理解，把答案放入生活实际中进行验证是否符合。虽然不直接针对错例进行争辩，但是这联系生活实际进行“纠错”的迂回战术更有效果。学生的发言很精彩，有根有据，又不乏诙谐和幽默，出错的学生也利于接受。我又趁热打铁让学生用自己的方法来比一比有关长度单位，让学生又进一步感悟体验到了长度单位。通过这样联系实际纠正“错误”，不仅使学生找到了错误的原因，实现了纠错的目的，而且还能够培养学生联系实际来检验结果的学习习惯，也加强了学生学习验证能力的培养。
②以操作实践质疑错误
《数学课程标准（实验稿）》的基本理念中指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的主要方式。” 老师应该从学生的生活经验和已有的知识背景出发，给学生提供充分从事数学活动和交流的机会，促使学生在自主探究的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、思想方法，同时获得广泛的数学活动经验，实现“不同的人在数学上得到不同的发展”。小学生的抽象思维能力较低，对一些抽象的数学问题往往不能抓住事物的本质，因而数学的抽象往往制约着学生思维的发展和拓展，引发学生学习中错误的产生。运用动手操作、作图演示、画线段图等具体直观的形象，可以启发学生的思维和判断、辨析能力，只有让学生自己亲生经历实践过程，体验探索经历，新知识建构才是深刻而有意义的。
【案例】平行四边形的面积计算，我在提出“怎样计算平行四边的面积”后，让学生尽情猜想，动手实践。汇报时，有位学生说，平行四边形容易变形，可以转化成长方形，用长乘宽来计算。统计了一下出这样错误的同学还为数不少，这时，我没有做即时评价或全盘否定，而是以一种欣赏者的眼光让学生说说猜测的根据。学生说：“长方形的面积是等于相邻两条边的乘积，平行四边形就是长方形两条边左右摆动的四边形，所以，它的面积也是相邻两条边的乘积。”课堂上有学生附和着，也有学生露出疑惑的眼神。很显然，学生的猜测是以自己已有的知识经验为基础的，之所以出现这样的错误，主要是受长方形面积计算公式的负迁移影响。面对这样的错误，我把它看作一种可生成的动态资源，于是抛出这样的疑问：“那么长方形两条边若长度不改变，两条边无论怎样摆动它的面积大小都不变吗？”继而，学生自发地进行小组里合作讨论交流：有的在下意识的直观判断，有的用4支笔左右摆动的图形做素材进行实验操作证明。我又引导学生再次经历操作实践过程：用一个活动的平行四边形进行演示，把平行四边形拉得几乎重合时，使学生清楚的看到平行四边形的长和宽没变，乘积应该不变，可面积变小了。通过动手实践使不同层次的学生发现错误，提高学习的积极性，而且可以扬长补短，促进学生探究意识的发展。
善于捕捉课堂中各种资源,是探究性课堂互动生成的先决条件。然而很多时候那些“美丽”的错误犹如一些催化剂一样，更好地切入课堂。因此，教师要好好利用课堂中的突发性错误，化弊为利，将错就错，这样既拓宽了学生的思维空间，又训练思维的灵活性和创造性。给予学生充分的时间，让他们亲历整个辩错的过程，抹去了头脑中那些错误的猜想，主动去建构新知。
③以假设反证验证错误
中国成语中有一个“矛盾”的故事，有一个人同时贩卖矛与盾，他向买家吹嘘他的矛是“无坚不摧”的，盾呢，是刀枪不入的。于是，有人马上提议他“以子之矛，攻子之盾”来验证一下他的宣传是否可靠，于是这人当场弄得哑口无言。数学上的反证法在数学上人们也常用这种“以子之矛，攻子之盾”的方法来证明一些问题，这种证法不是直接证法，而是反证法，许多问题用反证法证明比直接证法还容易些。在我们的小学数学课堂中，也会经常用到假设反证法质疑错误，尤其是解决问题时，在不知不觉中进行思考探究活动中所体现的这种思想方法。
【案例】，在学习“有余数的小数除法”,学生练习时出现这误,0.97÷0.16=6……1,针对这一典型的错误,我先让学生判断答案正确接着问你可以用什么方法来证明这余数是错误的。我有意在引导学生用反证法来证明，学生在富有启发性的问题引导下，很快地找到了三种方法。生1：余数1与除数0.16比，余数大于除数，说明余数1是错的；生2：余数1与被除数0.97比，余数大于被除数，说明余数1是错的；生1：验算6乘以0.16加上1不等于0.97，说明余数1是错的。显然这三位学生已在应用假设法、反证法的思想了，虽然他未意识到。我们教者可不能错过这个由错误引出的闪亮智慧火花！不妨鼓励一下：刚才这三位学生是反证法来证明同学们练习上的错误，其实这就是一种科学探索的方法，在我们平时的学习就可以利用这种来自我纠正。由此激励学生在尝试错误之后，还能在后续学习活动中用反证法验证探究活动，通过反证法的训练，让学生排除思维定势的干扰，从而强化思维的批判性，开拓学生的思维的广阔性、敏捷性。
④以模糊估计更正错误
《新课标》指出：“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”“能选择合适的估算方法，养成估算的习惯”。在新课标中，估算能力的培养已放到了重要位置，并且在各册新版教材中都有相应渗透。在小学数学中，从几何形体、统计到实际问题解决等，几乎所有内容都涉及了计算，计算错误再所难免，因此我们很有必要在日常教学中培养学生模糊估计的意识与能力，在教学中，我重视对学生估算意识、估算能力的培养，让学生能通过估算来发现错误，同时发展了学生的数感。
[案例4]在教学“小数乘以小数”时，我发现学生的计算错误猛增，虽然也加强了说算理的训练，可是效果也不太明显。于是，我加强对乘法计算结果的估算，以“50.3×1.3、50.3×1、50.3×0.3、” 为例，我先让学生找出乘法的规律，一个数乘以比1大的数积比这个数大，一个数乘以等于1的数积就等于这个数，一个数乘以比1小的数积比这个数小。利用这一规律我先示范估算得数，然后让学生模仿估算，发展到说出“下面每题得数各是比谁多或比谁少”，再发展到“你能说出哪几题得数比谁小，哪几题得数比谁大？”这些估算练习除了有助于学生掌握估算方法，形成估算，还有利于学生对计算过程的把握，对计算结果起到监控和复查，有助于学生知错就改,增强学生的数感。因此我们很有必要在日常教学中培养学生模糊估计的意识与能力，以另一角度来培养学生探究能力。
⑤以简单例举改正错误
在小学数学中，概念教学也是一个重要部分，虽然很多只是根据不完全归纳法下的定义，大多是描述性定义，但如果理解不透彻，往往也影响问题解决，且积重难返。分析一些单元形成性测试，不难发现，学生最头疼、最易出错的内容都是与基本概念有关的问题。对于为数不多的逻辑思维水平较高者，他们不光能用简单例举法来说明，更能用抽象推理来论证。
如判断题“圆柱的底面积扩大2倍，高扩大3倍，体积就扩大了5倍。”有一些同学认为是对的，显然是要用到因数与积的变化规律来推理的。固然会有个别学生完全以抽象公式的变换进行论证（∵v=sh V=SH=2s×3h=6sh ∴ V=6v），不过也有相当一些同学是用简单例举法来计算推理的。
生1：假设底面积是10，高是2，体积是20。底面积扩大后是20，高是6，体积是120，我发现体积扩大了6倍
生2：假设底面积是1，高是1，体积是1。底面积扩大后是2，高是3，体积是6，我发现体积扩大了6倍
．．．．．．
师：刚才同学们都简单例举法来计算，那么在这里假设底面积和高假设什么数，比较简单一点．
生３：假设底面积和高数字越小越好，便于计算，所以我认为假设底面积是1，高是1容易做些。
师：对，在符合题目的要求下，我们使用简单例举法时假设高数字越小越好，便于计算。
我们认为在提倡方法多样化的同时，很有必要让学生领悟例举法原理与基本思路，为学生从小学阶段以具体形象思维为主逐步过度到中学阶段以抽象思维为主的思考探究活动架构桥梁。
⑥以前后联系修正错误
小学生受其年龄限制在知识积累方面有他们自己的特点，那就是在学习新知识后，在短时间内，遗忘的速度相对较快。而数学知识的系统性很强，知识之间的前后联系非常紧密。学生在学习的过程中因为遗忘而产生知识“断裂”，势必无法在学习的过程中进行知识正迁移，必将产生错误。现代认知心理学认为：“在学习的过程中，总要有一个对原有知识的激活阶段，然后通过同化或顺应过程重建新知识与原有知识的联系，使认知发展从一个平衡状态进入另一个更高的发展状态。” 数学知识一般都有前后的联系性，可以让学生联系相同或者相似的知识以唤醒学生对新知识的理解和掌握。因此，教师在学生出现错误时，不要急于否定，让学生回忆学过的内容，引导他到正确的思路上来。
如在教学比的意义这一课时，当我出示1∶0问学生等于几时，有的学生认为是1，有的学生认为是0，这时我就有意引导学生回忆学过的内容。
师：两个数相除就叫两个数的比。1∶0这个比和我们学过的什么相似？
生1：两个数的比与除法相似，比的后项相当于除数，除数不能为0。
生2：两个数的比与分数相似，比的后项相当于分母，分母不能为0。
生3：老师，我有个疑问为什么我们比赛时可以用1∶0来表示呢？
生4：我知道这比赛的比与我们数学中的两个数的比不一样。
师：对，我们平时说的比赛的比指的是比分，而我们数学中的两个数的比指的是两个数相除，它们是不一样的。
对于学生在学习中出现的错误，我们可以前后联系修正错误，在本案例中我两次引导学生回忆学过的内容，巧妙利用，因势利导，让学生在探讨、尝试中沟通新旧知识的联系和区别，发现规律、掌握方法，这样不但能保护学生的自尊心和学习数学的积极性，而且能培养学生的思维能力和创新精神。
⑦以正反对比辨析错误
不少学生总是习惯于搬用已有的经验，被动记忆、机械模仿、生搬硬套，表现出思维的依赖性、呆板性，这些均是产生定势思维的温床。有比较才有鉴别，有鉴别才能避免定势的负效应，把干扰及时消灭于萌芽状态之中。教师要善于指导学生运用比较方法，通过比较分析、找出异同、发现问题，使学生对知识的可利用因素和易混的因素进行辨析分化，这是最有效的方法。
如学习了较复杂的归总应用题以后，我又出一道类似于例题的题目：李师傅加工一批零件，原计划8天完成，实际每天加工210个，实际比原计划每天多加工30个，实际多少天可完成？我首先让两位学生在黑板上演算。学生1列出的算式是：210×8÷（210+30），学生2列出的算式210×8÷（210-30），我在下面巡视了一下，竟大部分学生列的算式和学生1的一样。面对这样的错误是刚刚学了的例题的影响，很多同学就机械模仿、生搬硬套地刚学的方法套在这里，于是我就采用“正确纠正法”，启发学生说出该题的数量关系式：实际做的零件个数÷实际每天做的个数=实际时间。接着引导学生认真观察，仔细审题，逐一对比，了解题目中的已知条件和要求的问题。再问：210×8是实际做的零件个数吗？（210+30）是实际每天做的个数吗？学生恍然大悟，立即改正错误，列出正确算式8×（210-30）÷210, 然而我没有就此罢休，继续采用“反面纠正法”问：如果刚才学生1原来列的算式是210×8÷（210+30）一个正确算式，我们应当怎样改变题目里的条件？这一问，学生的思维一下子被激活了，纷纷举手回答：只要把题目里的第一句话“实际”换成“原计划”。学生1的答案得到老师的肯定，满意地回到自己的座位上。我接着又问，如果只改变题目的一个条件，再改变题目的问题，怎样才符合学生2的算式呢？这个问题一提出又给学生制造一个悬念，再次点燃了学生思维的火花，使他们沉浸在解题的欢乐之中。学生经过激烈地讨论最后得出：把“实际每天加工210个的实际”换成“原计划”，“实际比原计划每天多加工30个”换成“少”。
可见，经验是一把“双刃剑”，成功因为经验，错误也可能因为经验！教师在课堂中巧妙地把学生的错误作为一种智力发展的教学资源，机智、灵活地引导学生从正反不同角度去比较分析修正错误，训练学生思维的灵活性和创造性，利用错误，给学生创设良好的思维空间，引导学生多角度、全方位审视条件、问题、结论之间的内在联系，这是深化认识，培养学生创造性思维的有效办法。
(3)课后反思错误
从心理学的角度来说，反思是指自己思维和学习、工作过程中的自我意识和自我监控。反思是一种主动“再认识”的过程，是思维的高级形式。在新课程实施中，教师需要成为反思型教师，学生需要成为反思型学生。反思是一种习惯和意识，不断的反思，才会不断地进步。“教学相长”提醒我们要学会反思错误，师生在课堂中共同成长。
①日记反思
荷兰著名学者弗赖登塔尔说过：“反思是数学的重要活动，是数学活动的核心和动力。” 学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须有一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反思作前提。为了充分发挥错误的积极作用，平时我要求学生学生记录个人学习错误的方法，养成错误日记的习惯。我在教学中通过在部分学生中的尝试有了切身的体会。如一位学生在作业中出现了2.85千克=285克这一错误后，他的错误日记是这样记录的：“今天，我把2.85千克算成了285克，老师说我进率搞错了，其实我知道千克与克之间的进率是1000，我只不过习惯性地看到2.85有两位小数，就把它写成了285，其实我只要把1000写出来，就会移动三位了，下回做作业一定要多列算式。”还有一位学生在做判断“68%米”是否正确时，打了“√”而错误，她的错误日记是这样写的：“我以为68%和0.68相等，68%米和0.68米是一样的，所以对的，其实百分数只能用来表示一个数是另一个数的百分之几，不能表示一个具体量，我没有理解百分数的含义。”
通过这样的日记，学生在纠错的同时也对自己的错误有了一个更为深刻的反思过程，总结自己的学习方法、学习态度等方面的问题，正确的评价了自己。通过这种形式，对自己的错误认识更加透彻，加深印象，有效实现了防错的目的，提高了学生独立学习的能力。对于学生的学习错误，除了在课堂上及时地进行反馈外，还要经常引导学生反思、回顾。让学生自己在反思中对错误进行分析和改正，印象会更深刻，从而正确面对数学知识。在教学中，我经常引导学生对自己学习中的不足、练习中的错误进行反思。写反思从表面上看会花费学生一定的时间，但从长远的角度看，反思能够帮助学生养成及时发现并纠正错误的良好习惯，有助于培养学生养成独立思考、善于提出疑问、解决问题的能力。让学生找一找哪些题做错了？错在哪里？题目结构是怎样的？怎样订正？以后该怎样掌握它？学生通过自己的一番思考和梳理，就会加深对知识的理解和掌握。
②错误拼盘
杜威曾说过：“失败是有教导性的，真正懂得思考的人，从失败和成功中学得一样多！”课堂上，有些学生的错误是你根本预料不到的。所以，当课堂上来不及处理的错误，教师需要在课后静静地反思，尤其是带有普遍性的错误。大面积学生的错误在一定程度上折射出教师教学中的偏差！学生所表现出来的种种反应是教师课堂教学效果的一面镜子，它提供了各种教学效果的反馈信息。教师要根据学生在课堂中学习新知所表现出来的错误，审视自己，进行反思，发现不足之处，采取及时有效的方法进行调整，修正自身的不足之处。课后，为了充分发挥“错误”在教学中的积极作用，我及时对学生理解新知识过程中，出现的典型错误及错误产生的原因、反馈矫正的对策进行搜集、整理、记录。为了巩固理解新知识，我将搜集的典型错例进行错误拼盘，制作成选择题、连线题、问答题、判断题等多种形式的题型进行对比练习、强化训练，还把典型错例课前准备题或成为新课的引入，这样为学生更好理解新知识作好铺垫。同时，通过写教后小记等形式获得反馈信息，进而在以后的教学过程中不断优化反馈策略。反思是为了更好地解决教学中的失误寻找存在的问题，发现留下的遗憾，是教师自我教育、成长的最佳途径。从而追求教学水平的提升、完善，最终形成自己独特的教学风格。人人都要做一株“会思考的芦苇”。
③文本反思
《数学课程标准》中明确指出：“通过数学学习，应使学生在提出问题、分析问题、解决问题以及交流和反思等方面获得发展。”反思是对所得出的结论进一步锻炼和升华，是创造学习的一个重要组成部分。在学生反思、老师反思中难免还会留下一些遗憾，学生还可以从文本中吸取很多反思营养，在文本中去寻找其中一些的错题，如错题组成的基本练习、变式练习、拓展练习等多种形式的题型做为课后拓展延伸题，有困难同学之间可以互相讨论，共同解决。通过对错题进行找错、议错、纠错使同学反思产生错误的原因，知道改正的方法。这样可以进一步深化学生对所学知识建立的表象，以达到对知识的理解、掌握及应用，实现从感性知识到理性知识的升化。当然我们学生所学习文本中也会出错，在鼓励学生多看文本的同时，还要鼓励学生提出不同看法，怀疑书本结论，鼓励学生不拘泥于现成的知识，勇于海阔天空地“异想天开”，让学生大胆发表自己的见解，将错误转化为促进学习、促进探究的课程资源。这也为学生在日后的学习中不怕犯错、敢于质疑问难、敢于挑战权威，开展富有创造性的学习探究活动打下了良好的情感基础。
六、课题研究主要结论与成果
本课题自立项以来，围绕着文献资料的检索与学习，课题方案的确立与论证，研究内容的实施与思考，研究成果的整理与提炼等中心工作，本着求真务实的研究态度进行了认真地实践，并取得了一些初步的成效。
（一）提高了学生学习的主动性、积极性
1、学生学习热情高、情趣浓
据调查，在课堂上当学生答题遇阻或非自己期望的答案时，教师为了急于获得结论，采取不当的措施，这种做法在很大程度上挫伤了学生答题的积极性，甚至会对学生造成严重的伤害。“成功的教学所需要的不是强制，而是激发兴趣”。而“学习的最好刺激乃是对所学材料的兴趣”。学习错误是一种来源于学习活动本身，具有特殊教育作用的学习材料，它来自于学生、贴近学生，教学时回到学生的学习活动中，对激发学生的探究兴趣，唤起学生的求知欲具有特殊的作用，当教师把学生的错误及时捕捉并经提炼成为全班学生新的学习材料时，学生的探究兴趣被大大激发，我们《面积和面积的单位》这节课为例进行了课后的问调查 ：
2、学生各方面能力增长快速，特别是创造性思维能力
创新思维是指一个人在已有经验和一般思维的逻辑规律的基础上，用一种灵活、新颖的思维方式来解决问题、探索求知的思维活动。利用学习错误，挖掘错误中蕴含的创新因素，适时、适度地给予点拨和鼓励，能帮助学生突破眼前的思维障碍，进入创新求异的新境界，让学生体验思维的价值，享受思维的快乐。利用学生学习中出现的错误，鼓励学生从多角度、全方位审视自己在学习活动中出现的错误，突破原有条件，问题锁定的框框，进行将错就错修正条件或问题的训练，是培养学生创造性思维的有效手段。由于老师把错误资源作为探究的话题，引导学生从正反不同角度去修正错误，学生的探究热情高了，学习兴趣浓了，使他们的各方面的能力均有所提高。交流需要表达能力、讨论需要争辩能力、比较需要选择能力……培养了学生思维的深刻性和创造性。在实验了一个学期后，实验班和比较班进行抽样观察、检测作能力（思维能力）比较。
实验班学生的思维能力高于比较班，表现为实验班的运算能力比较正确、迅速；解题方向灵活，有较高的转换能力；智力活动有较高的广度、深度和难度；善于动脑筋，爱思考，不盲从。可见在小学数学课堂中运用新知错解策略，能有效促进学生学习，能有效提高学生的创造性思维能力，从而促进学生素质的发展。
3、提高了学生解题的正确率，学习成绩显著提高。
在教学过程中，我们充分利用学生的错误，并将学生的错误作为一种资源，因势利导，正确地、巧妙地加以利用，来达到使学生减少错误，提高了学生解题的正确率，学习成绩显著提高。
我们课题组分别在低中高三个年级段抽取了3个班级进行实验，对比班为非实验班，但相同年级段的实验与对比班在实验之前期终考试的各项数据相差不大。而且这几个班级的平均分属于年级段中等班级。
表1：低段20##学年度第2学期期终考试的各项数据对比（总分为100分）
表3：中段20##学年度第2学期期终考试的各项数据对比（总分为100分）
表4：高段20##学年度毕业会考的各项数据对比（总分为120分）
我们选定的实验班教师系本课题研究人员，而对照班教师非课题组研究人员，但实验班与对照班的教师稳定，无调离现象。因此实验数据具有一定的可比性。
经过上面三个附表的数据可粗略看出，横向比较：在教学中实验班与对照班对比，在优秀率、及格率、平均分上都有明显提高。纵向比较：在低段教学中实施（表1）， |Z|=1.50，呈现出有一定的差异。在中段教学中实施（表2）， |Z|=2.17，呈现出变化比低段有提高。在中段教学中实施（表3）， |Z|=4.32，呈现出变化更为显著。从以上数据表明我们研究的小学数学教学中错误资源利用的研究更适合高段学生。
综上所述，小学数学教学中实施错误资源利用的研究，它的教学功用是显著，呈现出螺旋上升的发展过程，是通过影响学生学习的情感、态度来促进学生的非智力因素的发展，在很大程度上难以用数据来量化的，是全面地促进学生数学素养的提高。施教教师的教学意识、实施方式将对学生的数学能力的形成有着非常重要的影响作用。
（二）促进了课题组教师的专业成长。
1、提高了对教材的分析和处理能力
通过一年来料分析与课堂实践，大家树立了比较正确的教材观。能对课堂的教学方式、方法在比较正确的认识的基础上进行了改造，不再是简单的回避错误，而是把学生的错误作为一种教育资源，引导他们从正反不同角度去修正错误，给他们一些研究雏鹰的时间和空间，从而让学生在争论中分析、反驳，在争论中明理，在争论中内化知识。
2、教学设计时的关注点发生了明显的变化
不再只是关注学生掌握知识，而是关注了学生知识与能力、过程与方法以、情感、态度和价值观三个维度和谐的发展。教师的角色与发生的转变，树立了服务的思想，为促进学生的发展服务。
3、提高了老师的反思性研究能力的提高
课题研究的开展，在听课、自已上课过程中，包括整一个培训过程中，我们都联系着课题，用我们课题思想来审视、思考每天的学习，并能围绕这一点进行反思、交流、讨论，在反思能力提高的同时，也加深了对课题的理解。课题组的老师们做过县、镇、校级评优课或观摩课，并成为校教学骨干，其中何慧芳、侯山祝老师参加县级优质课比赛并获县三等奖的好成绩。
4、整个研究过程，也促进了教师教学理论水平的提高
在课题方案的撰写，教学实践、反思和资料的整理与总结的过程中，进行的资料的查阅、理论的考证与相关的学习，都有助于课题组教师的理论水平的提高。一年来，课题组教师撰写与课题有关的十篇的论文、八篇的案例，八篇的教学设计，其中有多篇论文获市、县级教学论文评比中获奖，《错误，一种可理用的探究资源》获市第五届中小学教师课改论文评比三等奖；《刍议小学数学课堂学习错误资源的生成和利用》获市20##年度教育科研优秀论文评比三等奖；《错误，是一种数学课堂教育契》获县一等奖，市小学数学论文评比三等奖；《善于捕捉学生的数学课堂信息》论文获镇二等奖；《利用开放学习点燃学生思维创新的火花》获镇二等奖。
通过小学数学教学中错误资源利用的研究，初步探索出更适合小学高段数学有效利用错误资源的若干策略，这些策略符合学生的认知规律和情感规律，而且这些策略具有一定的可操作性，目前正在我课题组成员的教学中体现、应用，并计划向其他数学教师推广应用。同时，经过本课题的研究，推动了本校师进行科研的热情，许多人都投入到了教育科研的行列中来，愿意为自己的设想做研究实验。
七 问题讨论与后续思考
第一,原以为利用学生的错误展开教学非常难，但是只要用心发现错误、捕捉错误、分析错误、利用错误，就会感觉到错误真的是宝贵的教学资源。
第二，教师只是学生学习的合作伙伴，课堂上要“教学相长”。珍视并利用学生这一教育资源，会使课堂的生成性变强，对教师要求就更高。教师不是“万能的”，他同学生一样需要学习、需要充电。身为学生的老师一定要储备足够的能量，以适应现代学生的需要。
第三，对研究的感受： 面对学生的错误，教师决不能躲避。只有在“容错”、“纠错”、“用错”的探究过程中，课堂才是活的，教学才是美的，教与学的活动才是最具有价值的。让“错误”美丽起来，让课堂因“错误”而更精彩！
总之，有效利用学生错误资源展开教学，是激发学生兴趣、提高数学课堂教学质量的有效途径，更重要的是提高学生的各方面能力、提高学生数学素养、对学生实施素质教育的重要途径，我们应继续实践、研究，让学生的“错误”激活师生的思维，让课堂真正成为师生共同成长的舞台。
主要参考文献
1 吴玉仙 数学学习中学生“错误”资源利用 小学数学教师 2003，第1期
2《小学数学教育》辽宁教育杂志社 20##年第一、二期
3斯苗儿. 小学数学教学案例专题研究[M].杭州：浙江大学出版社，2005.3
4邹煊享.小学数学教学建模[M].南宁：广西教育出版社，2003.5
5孔企平.小学数学课程与教学论[M]. 杭州：浙江大学出版社，2004.6
6 郑毓信.国际视角下的小学数学教育[M]. 北京:人民教育出版社，2003
7陈亚明 .小学数学教例研究[M]. 宁波：宁波出版社，2003.3
8龙小沛：《如何合理、有效地利用错误资源》，载《课程教材改革实验20##—2006论文集》 首都师范大学出版社，20##年9月
六、研究的过程
本课题20##年5月开题以来，我们从课题研究的“目标”切入开展了扎实有效的研究工作。通过对文献资料的查阅与学习，了解研究前沿的最新动态，提升教师教育教学的理论素养，提高课题研究的针对性与实效性。在研究中我们采取互动研究的方式，在研究中行动，在行动中研究，让“教研”与“课题研究”有机结合，提高了研究的效益。
（1）成立研究小组，细化研究内容
课题组5位成员在20##年的5至9月份对课题方案进行了两次认真学习和研讨，认为本课题研究在树立正确的错误观，广泛收集学生的学习错误，着重考虑如何将错误资源化。重点从以下几个方面进行：①小学生解题心理性错误原因分析与对策；②如何克服思维定势的消极影响；③教学反馈与矫正研究等。
（2）学习教学理论，提高理论素养
加强理论学习，不断提升课题组成员的理论素养，逐步转变教学观念，是我们一直坚持的信念。我们购买、学习了新课程及数学专业理论方面的书籍，如郑毓信的《国际视角下的小学数学教育》、郭思乐的《教育走向生本》、肖川的《教育理想与信念》，雷玲的《听名师讲课》等，认真组织省素质提升工程培训。业余时间坚持自学《小学数学教育》、《中小学数学》、《教学月刊·小学版》等杂志，并注意从中收集课题相关资料。我们也充分利用互联网资源，特别是特级教师华应龙的《让差错成为资源》对我们的影响很大。在不断的学习中，案例积累日渐丰富，理论底蕴也越来越丰厚。这为我们课题的开展、实践的探索提供了坚实的基础。
（3）开展沙龙活动，争辩中明方向
教科研“沙龙”活动是一种有效的教科研方式，应该说一次活动就是一次思想的交流，思维火花的的碰撞。教师们在交流中得到收益，感觉到自身学习的重要性。20##年9月、12月和20##年5月，我们分别就“差错资源化”、“教学案例”、“教学反思”等话题进行了沙龙研讨。如第一个话题“差错资源化”的交流中，老师们认识到：社会建构主义的学习观，使我们对于学习中的“错误”的态度开始转变，“由纯粹的否定转而采取了更为理解的态度，并力图去发现其中的积极成分”。在利用差错资源的同时，注意保护学生的自尊心。课堂教学中，让学生在自然状态下探究，给学生出错的时空。差错资源的合理利用是教学评价的一个亮点，学生的差错思维敢于暴露，这样才是真实有效的。总之，我们课题组活动，每次都确立研究的中心内容。组员从课题研究的内容、目标与教学实效出发，结合所教的内容谈自己的观点、想法。在一次次扎实有效的研究活动后，课题组成员的教学观念得到了改变，教育思想得到了升华。
（4）理论结合实践，追求有效课堂
课题研究的最终目的是成长学生、成就教师。在我们学习理论的同时，我们结合课题研究的目标，开展了扎实有效的研究活动，在每次研讨活动中，我们都是先听研究课，然后学习相关的理论，最后进行评教评学活动。如在20##年12月20日潘友生老师执教了《方程的意义》一课，然后大家结合平时的理论学习进行了点评。围绕课堂教学实践，大家不断总结。撰写的案例有：王春根的《谈谈课堂上错误的价值》、吴植松《“错误”的发现真精彩》、周美琴的《“错误”的珍贵——“小数除法的简便运算”的教学反思》、王春根的《错误——教学的宝贵资源》等。
（5）教科研一体化，提高研究实效
我们制订了详实有效的研究计划，抓实研究过程。课题研究的形式灵活多样，不拘泥于某种形式，有专题研究、学术沙龙、课题研究课等。我们还把平时的数学教研活动与本课题的研究结合开展。一次活动解决一个或某几个方面的问题，追求课题研究的实效，在学习——研究——总结中，我们的阶段性成果有：如何克服思维定势的消极影响、学生解答应用题的心理障碍及其矫正措施、影响学生计算的心理因素、小学数学教学反馈与矫正探究。
