实验六 多元函数微分法及其应用
6.1 实验目的
掌握利用Mathematica软件计算偏导数、全微分、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线、二元函数的等值线、多元函数极值的方法； 通过实验进一步熟悉多元函数微分法及其应用的有关内容。
6.2 实验内容
一、 偏导数
实验题1 求
的偏导数。
[实验]输入：
得结果：
即有：
实验题2 验证函数
满足方程：
。
[实验]输入：
得结果：0
即有：。
二、 全微分
实验题3 计算函数
的全微分。
[实验]输入：
得结果：
即有：
三、 多元复合函数的求导
实验题4 
[实验]输入：
得结果：
即有：
四、 空间曲线的切线与法平面
实验题5 画出曲线 
在点
处的切线及法平面。
[实验]输入：
得结果：
再输入：
得结果：
五、 曲面的切平面与法线
实验题6 求曲面
在点（2，1，0）处的切平面及法线方程。
[实验]（1）输入：
得结果：1
2
0
-4+ x+2 y
即有：切平面方程为 x + 2 y – 4 = 0
法线方程为 
六、 二元函数的等值线
实验题7 作出二元函数z=ln(x+y)的等值线。
[实验]输入：
ContourPlot[Log[x+y],{x,0.1,5},{y,0.1,5}]
得结果：
七、 多元函数的极值
实验题8 求二元函数f(x,y)=4(x - y) - x2 - y2的极值。
[实验]输入：
得结果：{{x®2,y®-2}}
再输入：
得结果：-2
0
-2
4
8
即函数f(x,y)可能的极值只有一个点：（2，-2），又因为在该点处有：Ac-B2=4>0且A=-2<0
故点（2，-2）就是函数f(x,y)唯一的极值点且是极大值点，f(x,y)的极大值为f(2,-2) = 8 .
实验题9 求三元函数f(x，y，z)=xyz满足条件:x>0,y>0,z>0, 
的最小值。
[实验]输入：
得结果：{9261,{x®21,y®21,z®21}}
即当x = y = z = 21时，函数f(x,y,z)有最小值：9261.
评分 指导老师
第二篇：高等数学答案6
第3章 （之6）
第18次作业
教学内容：3.4.2几个常用函数的泰勒公式 3.4.3泰勒公式的应用
1. 利用泰勒公式求下列极限：
****（1）
.
解: 
.
***（2）
；
解： 
.
****（3）
；
解：原式
.
**** (4) 
.
解: 令
, 根据 
, 可得
原式
.
****2. 设
在
点连续，
，
，求
.
解：
***3. 
解: 
(
)
.
第4章 （之1）
第19次作业
教学内容：§4 .1 .1 函数的单调性 §4 .1 .2 函数的极值
1．填空题
**（1）
答：
*（2）
答：
2．选择题
***（1）
（ ）
答：
***（2）
（ ）
***（3）
答
3．求下列函数的单调区间:
**（1）
解：
， 
，
，
.
**（2）
解：
，
.
4．证明下列不等式
**（1）
。
证明：
，
，
，
.
***（2）当
时，
；
解：设
，
第4章 （之1）
第19次作业
教学内容：§4 .1 .1 函数的单调性 §4 .1 .2 函数的极值
3．填空题
**（1）
答：
*（2）
答：
4．选择题
***（1）
（ ）
答：
***（2）
（ ）
***（3）
答
3．求下列函数的单调区间:
**（1）
解：， ，
，
.
**（2）
解：，
.
4．证明下列不等式
**（1）。
证明：，，
，.
***（2）当时，；
解：设，
， 
，
当
时，
，
时，
，
， .
**（3）当
时，
.
解：设
，
， 即 .
5．求下列函数的极值
**（1）
（注：本题说明讨论极值时不可忽略导数不存在的点。）
解：
，
令
，得驻点
。 及不可导点为
。
当
时，
， 当
时，
，
当
时，。
时，
取极大值
，
时，取极小值
.
**（2）
.
解：
，
令， 
，
或
，
，
，
又
，
而
，
，
极大值
，
；
极小值
.
****6．设在
的某邻域内具有
阶连续导数，且
，而
.试证明：
①当为奇数时，
不是极值；
②当为偶数时，若
（或
），则是极大值（或极小值）。
证：在的某邻域内具有阶连续导数，由
阶泰勒公式，
，
在与
之间.
不妨设
，根据连续函数的局部保号性定理，可知存在点的某个邻域
，当在该邻域内时总有有
. 由于在与之间,可知也必然在该邻域内，所以有
. 于是
① 为奇数时，只要
，就有
，
当
时，
，
不是极值点.
② 当为偶数时，只要
，就有
，
为极小值.
第4章 （之2）
第20次作业
教学内容：§4 .1 .3 最大值与最小值 §4 .1 .4 方程根的个数
**1。
（ ）
**2．求函数
在指定区间
上的最大值和最小值.
解：
，
临界点为
，
。
考虑
，
，
在端点处
，
。
最大值为
，
最小值为
.
**3．
解：由于所给函数与函数
有相同的最大值与最小值点，
.
**4．设 
, 在心形线 
的第一象限部分上找一点
, 使
的面积最大.
解：由于线段
为一个确定的值, 所以本问题本质上是求点纵坐标
的最大值.
,
令
, 可得
上的唯一驻点 
,
根据实际意义可知, 所求之点就是对应于 的点
.
**5．欲造一个有上、下底的圆柱形铁桶，容积为定值
，试问当铁桶的底半径
和高度
取何值时，才能使用料最省？
解：所需材料为
。
定值
，
。
，
， 得到唯一驻点
。
此时
。
根据问题的实际情况，当，
时，所需材料最省.
**6 在铁道线（假设是直线）上有一点
与原料供应站
相距
，在铁道线外有一
解：
。
**7．
.
解：
.
***8. 讨论方程
实数根的个数.
解: 设 
, 则
在
上可导, 且 
,
当 
时, 有 
, 所以 
；
当 
时, 有 
, 所以 
,
所以 有极大值 
和极大值 
.
由于还有 
, 所以综合起来有:
当 
时, 方程有三个实数根；
当 
时, 方程有两个实数根；
当 
时, 方程有一个实数根.
第4章 （之3）
第21次作业
教学内容：§4.2 函数的凸性与拐点
1. 填充题
**(1). 曲线 
的拐点是
.
答案: 
**(2)．
.
**(3). 
是区间
上的凸函数；是区间上的凹函数.
答案 
，
. 说明:也可以填 
,
.
2．选择题
**（1）
（ ）
答：
**（2）
（ ）
. 
, 
根据连续函数的局部保号性可得结论.
**（3）
（ ）
答：
**3．求函数
的凸凹区间和它图形上的拐点.
解：
，
，
当
或
时，
，
当
时，
.
函数在区间
上是凸函数，在区间
，
上是凹函数.
其图形上的拐点为
，
.
***4．试决定常数
的值，使曲线
在拐点处的法线通过坐标原点.
解：
， 
，
令
，
。 此时，
，
过拐点处的法线为
或 
.
将
代入，解得
.
***5. 证明: 无论实数
取何值, 曲线 
的三个拐点总在同一条直线上.
证明: 
.
当 
或 
时, 
；
当 
或 
时, 
，
所以曲线有三个拐点： 
，
它们都在直线 
上.
****6. 若
, 证明: 点 
必是曲线
的拐点.
证明: 不妨设 
, 由三阶导数的定义可知
,
再根据局部保号性定理可知: 
,当 
时, 与 
同号,可知点 确是曲线的拐点.