《数学实验》实验报告
20##-20##学年第1学期
学生姓名：
学 号：
院 部： 数理学院
专 业：
班 级：
任课教师：
实验报告1
实验目的：
熟悉Mathematica软件包的使用。
实验内容：
1、用两种方式编写如下自定义函数，并求其导数f’(x)在x=-2.0,x=1.0,x=5.0处的值
2、分别用Plot3D, ParametricPlot3D函数画出
（
）的图像。
3、用Mathematica实现一个四人追逐问题，给出结果并划出追逐路线（如下图）。
实验要求：
1、撰写实验报告；
2、写出试验过程中所使用的Mathematica程序或语句和计算结果；
实验步骤：
1、用两种方式编写如下自定义函数，并求其导数f’(x)及f’(x)在x=-2.0,x=1.0,x=5.0处的值
方法1
f[x_]:=E^x Sin[x]/;x<=0;f[x_]:=Cos[x]/;0<x<=E;
f[x_]:=Sin[x]*Cos[x]/;x>E;
g[x_]=D[f[x],x];N[{g[-2.0],g[1.0],g[5.0]}]
计算结果
{-0.179379,-0.841471,-0.839072}
方法2
h[x_]:= Which[x<=0,E^x Sin[x],0<x<=E,Cos[x],x>E,Sin[x] Cos[x]];
g[x_]=D[f[x],x];N[{g[-2.0],g[1.0],g[5.0]}]
计算结果
{-0.179379,-0.841471,-0.839072}
2、分别用Plot3D,ParametricPlot3D函数画出（）的图像。
Plot3D函数
f[x_,y_]:=Sqrt[1-x^2-y^2];
curve1=Plot3D[f[x,y],{x,0,1},{y,0,1}];
curve2=Plot3D[-f[x,y],{x,0,1},{y,0,1}];
Show[curve1,curve2]
图像
ParametricPlot3D函数
x[s_,t_]:=Sin[s] Cos[t];
y[s_,t_]:=Sin[s] Sin[t];
z[s_,t_]:=Cos[s];
ParametricPlot3D[{x[s,t],y[s,t],z[s,t]},{s,0,Pi},{t,0,Pi/2}]
图像
3、用Mathematica实现一个四人追逐问题，给出结果并画出追逐路线。
设正方形边长为10，以点D为圆心，DC、DA为x轴、y轴，建立平面直角坐标系。则A（0,10），B（10,10），C（10,0），D（0,0）。
设甲追乙，速度为v,t时刻甲、乙的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2），经过时间Δt,甲的坐标为
其中，
程序设计：
v=1;t=18;dt=0.02;n =t/dt;
T={{{0,10}},{{10,10}},{{10,0}},{{0,0}}};
d=Sqrt[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2];
For[j=1,j<=n,j++,
For[i=1,i<=4,i++,
x1=T[[i,j,1]];y1=T[[i,j,2]];
If[i!=4,x2=T[[i+1,j,1]];y2=T[[i+1,j,2]],
x2=T[[1,j,1]];y2=T[[1,j,2]]];
x1=x1+v*dt*(x2-x1)/d;y1=y1+v*dt*(y2-y1)/d;
T[[i]]=Append[T[[i]],{x1, y1}]]];
P=Graphics[{Line[T[[1]]],Line[T[[2]]],Line[T[[3]]],Line[T[[4]]],
Line[{{0,10},{10,10},{10,0},{0,0},{0,10}}]}];
Show[P,AspectRatio->1];
实验结果：
实验报告2
实验目的：
练习
的求解方法。
实验内容：
1、用反正切函数的幂级数展开式结合有关公式求，若要精确到40位、50位数字，试比较简单公式和Machin公式所用的项数。
2、用数值积分计算，分别给出用梯形法和Simpson法精确到10位数字、用Simpson法精确到15位数字时所用的项数n及的近似值
3、用计算机模拟Buffon实验，给出n=1,000、10,000、1,000,000时的模拟结果。
实验要求：
撰写实验报告
写出试验过程中所使用的Mathematica程序或语句和计算结果
实验步骤：
1、
m=N[Pi,40]
n=N[Pi,50]
T[n_,x_]:=Sum[(-1)^(k-1)*x^(2 k-1)/(2 k-1),{k,1,n}];
N[4*T[20000,1],40]
3.141592653589793238462643383279502884197
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751
3.141542653589824488462545727030247513093
Print[N[16*T[30,1/5]-4*T[30,1/239],50]]
3.1415926535897932384626433832795028841971693411490
当n=20000时，简单公式结果为：
3.141542653589824488462545727030247513093
只精确到第四位。
当n=30时，Machin公式结果为：
3.1415926535897932384626433832795028841971693411490
精确到44位。
2、当n=30000时，用简单公式可精确到第9位。
i=10;s=N[Pi, 20]
f[x_]:=4/(1+x^2);
s1[n_]:=(Sum[f[k/n],{k,1,n-1}]+(f[0]+f[1])/2)/n;
s2[n_]:=(f[0]+f[1]+2*Sum[f[k/n],{k,1,n-1}] +
4*Sum[f[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/(6*n); While[
Abs[N[s2[i],20]-s]>10^(-10),i++];
Print[i]
N[s2[i],17]
3.1415926535897932385
14
3.1415926535074467
即当n=14时，用Simpson法可精确到第10位，Pi的近似值为3.1415926535
While[Abs[N[s2[i],20]-s]>10^(-15),i++];
Print[i]
N[s2[i],20]
93
3.1415926535897922801
即当n=93时，Simpson法可精确到第15位，Pi的近似值为3.14159265358979
3、
a=20;l=10;
s3[n_]:=
Block[{i,m=0},
For[i=n,i>0,i--,
m=m+If[Random[]*a/2<=l/2*Sin[Random[]*Pi/2],1,0]];
N[2*l*n/(a*m),20]];
s3[1000]
s3[10000]
s3[1000000]
3.0674846625766871166
3.1201248049921996880
3.1449310002138553080
实验报告3
实验目的：
熟悉差分方程的求解以及相关金融问题的数学建模方法。
实验内容：
1、假设住房贷款的年利率表为
试根据以上年率表，计算出每万元1~10年的月还款表。
2、小李夫妇曾经准备申请商业贷款10万元用于购置住房，每月还款880.66元，25年还清。
房产商介绍的一家金融机构提出：贷款10万元，每半月还款440.33元, 22年还清, 不过由于中介费手续费等原因，贷款时要预付4000元。
小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少三年还款期意味着减少还款近3万2千元，而每月多跑一趟，那不算什么.这机构的条件似乎还是蛮优惠的。
试通过计算两种贷款的利率水平，比较哪种贷款更优惠。
3、 试比较两种提前还款方式的优劣（附加）
A、提前还款额冲抵最后月份的本金，每月的还款额度不变，还款时间缩短；
B、提前还款额冲抵本金后，将剩余的贷款重新计算月还款额减少，还款时间不变。
实验要求：
撰写实验报告
写出试验过程中所使用的Mathematica程序或语句和计算结果
实验步骤：
1、设：n（n=1,2,…，10）年期月还款金额为a[n]元,n年期第k（k=0,1,…12*n）个月剩余本金为b[k]元，年利率为r,则b[12*n]=0元,当n<=5时，r=0.0477,当n>5时，r=0.0504
f[A0_,r_,n_]:= A0(1+r/12)^(12 n)/((1+r/12)^(12 n)-1) r/12;For[n= 1,n<=10, n++,r=If[n<=5,0.0477,0.0504];Print[f[10000,r,n]];];
855.021
437.685
298.677
229.253
187.66
161.235
141.527
126.79
115.366
106.261
每万元1~10年月还款如上。
2、商业贷款
FindRoot[f[100000,r,25]==880.66,{r,0.007}]
实验结果
{r->0.0960003}
即年利率为9.600%
金融机构贷款
f[A0_,r_,n_]:= A0(1+r/24)^(24 n)/((1+r/24)^(24 n)-1) r/24; FindRoot[
f[100000-4000,r,22] == 440.33,{r,0.04}]
实验结果
{r->0.0969953}
即年利率为9.699%
前者较为优惠
实验报告4
实验目的：
熟悉迭代法的基本概念，并用迭代法求解方程、方程组的根。
实验内容：
1、选用几种迭代格式求
的近似值，并比较收敛速度。
2、对方程组
，设A的对角元素
，
令
为对角阵，
将方程组改写成
，或
用这种迭代格式求解方程组，其中
，b=0
构造一种
迭代格式，进行迭代，
比较上述两种迭代格式的迭代次数和迭代精度。
实验要求：
撰写实验报告
写出试验过程中所使用的Mathematica程序或语句和计算结果
实验步骤：
1、一般迭代格式
Iterate[f_,x0_,n_Integer] :=
Module[{t={},i,temp=x0},AppendTo[t,temp];
For[i=1,i<=n,i++,temp=f[temp];AppendTo[t,temp]];t]
f[x_]:=x/2+1/x^2;
Iterate[f,1.,17]
实验结果
{1., 1.5, 1.19444, 1.29814, 1.24248, 1.26901, 1.25547, 1.26217, 1.2588,
1.26048, 1.25964, 1.26006, 1.25985, 1.25996, 1.2599, 1.25993, 1.25992,
1.25992}
所以，采用一般迭代格式，
近似值为1.25992，需迭代17次。
牛顿迭代
f[x_]:=x^3-2;g[x_]=Dt[f[x],x];
h[x_]:=x-f[x]/g[x];Iterate[h,1.,5]
实验结果
{1., 1.33333, 1.26389, 1.25993, 1.25992, 1.25992}
所以，采用牛顿迭代格式，近似值为1.25992，需迭代5次。
2、迭代格式
LSIterate[m_,f_List,f0_List,n_Integer] :=
Module[{i,var=f0,t=Table[{},i,n}]},
For[i=1,i<=n,i++,t[[i]]=var;var=m.var+f];t]
M = {{3,-1,1},{1,2,1},{1,1,-1}};f={0,0,0};f0={0,0,
0};LSIterate[M,f,f0,10]
实验结果：
{{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}
Jacob迭代格式
JacobIterate[a_,b_List,x0_List,n_Integer]:=
Module[{ad=Length[a],i,j,k,var=var1=x0},
For[i=1,i<=ad,i++,
If[a[[i,i]] == 0,Print["a[",i,",",i,"]=0."];Abort[]]];
For[i=1,i<=n,i++,Print[var];
For[j=1,j<=ad,j++,
var[[j]]=
N[(b[[j]]-Sum[a[[j,k]]*var[[k]],{k,ad}])/a[[j,j]]+var[[j]],
20]]; var = var1;];]
a={{2, -1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, -2}};b={0,0,0};x0={0, 0,
0};JacobIterate[a,b,x0,10]
实验结果：
{0, 0, 0}
{0, 0, 0}
{0, 0, 0}
{0, 0, 0}
{0, 0, 0}
{0, 0, 0}
{0, 0, 0}
{0, 0, 0}
{0, 0, 0}
{0, 0, 0}
实验报告5
实验目的：
了解有关分形和混沌的基本理论，能够用Mathematica软件绘制出一些简单的分形和混沌图形。
实验内容：
1、用Mathematica软件绘制一个分形的图形，图形类别自选
2、令
，其中
，绘制出相应的IFS吸引子图形，并取不同的s，观察图形的变化。
3、用Mathematica软件绘制一个混沌的图形，图形类别自选
4、谈谈你所认识的分形和混沌
实验要求：
撰写实验报告
写出试验过程中所使用的Mathematica程序或语句和计算结果
实验步骤：
1、Koch雪花曲线
redokoch[ptlist_List]:=
Block[{tmp={},i,pnum=Length[ptlist]},
For[i=1,i<pnum,i++,
tmp=Join[
tmp,{ptlist[[i]],
ptlist[[i]]*2/3+
ptlist[[i+1]]/3,(ptlist[[i]]+ptlist[[i+1]])/
2+{ptlist[[i]][[2]]-ptlist[[i+1]][[2]],
ptlist[[i+1]][[1]]-ptlist[[i]][[1]]}*Sqrt[3]/6,
ptlist[[i]]/3+ptlist[[i+1]]*2/3,ptlist[[i+1]]}]];tmp]
lnko01={{0, 0}, {1, 0}};Show[
Graphics[Line[Nest[redokoch,lnko01,5]],AspectRatio->Sqrt[3]/6]]
2、
s=0.5+0.5*I;p1=0.5;w1[z_]:=s*z+1;p2=0.5;w2[z_]:=s*z-1;
w[z_]:=Block[{tmp},tmp=Random[];
Which[tmp<p1,w1[z],tmp<1,w2[z]]];
Array[mu,{150,150}];
showIFS[z0_,shrange_List,divi_List,nmax_]:=
Block[{i,j,z=z0,a=divi[[1]],b=divi[[2]],temp1,temp2,mumax=0},
For[i=a,i>=1,i--,For[j=b,j>=1,j--,mu[i,j]=0]];
For[i=nmax,i>=1,i--,
temp1=Floor[
divi[[1]]*(Re[z]- shrange[[1]][[1]])/(shrange[[2]][[1]]-
shrange[[1]][[1]])]+1;
temp2=Floor[
divi[[2]]*(Im[z]-shrange[[1]][[2]])/(shrange[[2]][[2]]-
shrange[[1]][[2]])]+1;mu[temp1,temp2]++;z=
w[z];];
For[i=a,i>=1,i--,
For[j=b,j>=1,j--,mumax=Max[mumax,mu[i,j]]]];
mu1=Table[GrayLevel[1-N[mu[j,i]]/mumax],{i,a},{j,b}];
Show[Graphics[RasterArray[mu1]]]]
showIFS[0+I 0,{{-0.1,-0.1},{1.1,1.1}},{150,150},100000]
实验结果：
3、
Feigenbaum[n_Integer,x0_]:=
Module[{A ={},a,i,temp,B={}},
For[a=1,a<=n,a++,temp=x0;A={};
For[i=1,i<=50,i++,temp=4*a*temp*(1-temp)/n];
For[i=51,i<=100,i++,temp=4*a*temp*(1-temp)/n;
AppendTo[A,{4*a/n,temp}]];
AppendTo[B,
ListPlot[A,PlotStyle->{PointSize[0.005]},
DisplayFunction->Identity]]];
Show[B,DisplayFunction->$DisplayFunction]];
Feigenbaum[1000,0.5]
实验结果：
4、分形：分形具有无限嵌套层次的精细结构，并且在不同尺度下保持相似属性。
混沌：对初值非常敏感，不是随机的。