离散数学实验报告
（实验ABC）
目录
第一章 实验概述... 2
1.1 实验目的... 2
1.2 实验内容... 2
1.3 实验环境... 2
第二章 实验原理和实现过程... 3
2.1 实验原理... 3
2.1.1建立图的邻接矩阵，判断图是否连通... 3
2.1.2 计算任意两个结点间的距离... 3
2.1.3对不连通的图输出其各个连通支... 4
2.2 实验过程（算法描述）... 4
2.2.1 程序整体思路... 4
2.2.2具体算法流程... 4
第三章 实验数据及结果分析... 6
3.1建立图的邻接矩阵并判断图是否连通的功能测试及结果分析... 6
3.1.1输入无向图的边... 6
3.1.2建立图的连接矩阵... 7
3.2 其他功能的功能测试和结果分析... 8
3.2.1计算节点间的距离... 8
3.2.2判断图的连通性... 8
3.2.3输出图的连通支... 9
3.2.4退出系统... 9
第四章 实验收获和心得体会... 10
4.1 实验收获... 10
4.2 心得体会... 11
第五章 实验源程序清单... 12
5.1 程序代码... 12
第一章 实验概述
1.1 实验目的
理解图论的基本概念，图的矩阵表示，图的连通性，图的遍历，以及求图的连通支方法。
通过实验，帮助学生更好地掌握计算机科学技术常用的离散数学中的概念、性质和运算，培养逻辑思维；通过实验提高学生编写实验报告、总结实验结果的能力，提高理论联系实际的能力；使学生具备程序设计的思想，能够独立完成简单的算法设计和分析。
1.2 实验内容
以偶对的形式输入一个无向简单图的边，建立该图的邻接矩阵，判断图是否连通（A），并计算任意两个结点间的距离（B），对不连通的图输出其各个连通支（C）。
注意：题目类型分为A，B，C三类，其中A为基本题，完成A类题目可达到设计的基本要求，其他均为加分题，并按字母顺序分数增加越高。
基本要求如下：程序需具有基本的容错控制，在输入错误时有处理手段；程序界面友好，需要输入的地方有输入说明，说明输入的内容和格式要求等；实验原理和实现过程应该详细分析问题，给出解决思路，描述算法思想，不能用源程序代替算法；测试数据应全面，包括非法输入的处理结果等都应包含在内。
1.3 实验环境
C或C＋＋语言编程环境实现。
第二章 实验原理和实现过程
2.1 实验原理
2.1.1建立图的邻接矩阵，判断图是否连通
根据图的矩阵表示法建立邻接矩阵A，并利用矩阵的乘法和加法求出可达矩阵，从而判断图的连通性。
连通图的定义：在一个无向图 G 中，若从顶点vi到顶点vj有路径相连(当然从vj到vi也一定有路径)，则称vi和vj是连通的。如果 G 是有向图，那么连接vi和vj的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。
判断连通图的实现：在图中，从任意点出发在剩余的点中，找到所有相邻点循环，直到没有点可以加入为止，如果有剩余的点就是不连通的，否则就是连通的。或者也可用WallShell算法，由图的邻接矩阵判断图是否连通。
2.1.2 计算任意两个结点间的距离
图中两点i，j间的距离通过检验Al中使得aij为1的最小的l值求出。
路径P中所含边的条数称为路径P的长度。在图G<V,E>中，从结点Vi到Vj最短路径的长度叫从Vi到Vj的距离，记为d<Vi，Vj>。
设图的邻接矩阵是A，则 所对应的aij的值表示，点Vi到点Vj距离为n的路径有aij条。
若aij(1)，aij(2)，…，aij(n-1)，中至少有一个不为0，则可断定Vi与Vj可达，使aij(l)≠0的最小的l即为d(Vi，Vj)。
问题求解原理为：
（1） 先构造初始邻接矩阵A=Vij，Vij为顶点Vi到顶点Vj的权。如果Vi和Vj之间不存在弧段或者是负向回路或者是i=j，则令Vij其值为∞。
（2） 再构造初始中间顶点矩阵。
（3） 然后开始迭代计算（迭代的次数等于顶点的个数1）
（4）最后查找Vi到Vj的最短路径。
计算节点Vi与Vj之间的距离的方法为：
利用邻接矩阵相互间相乘后得到的矩阵来判断节点间的距离。如果c2[s][i][j]==0，则这两个节点的距离为无穷大。如果c2[s-2][i][j]==0,c2[s-1][i][j]==1时，则这两点间的距离为s。
2.1.3对不连通的图输出其各个连通支
图的连通支的求法则可采用图的遍历算法，图的遍历有深度优先和广度优先两种方法，其中深度优先算法又分为递归和非递归两种。
在无向图中，如果任何两点可达，则称图G是连通的，如果G的子图G’是连通的，没有包含G’的更大的子图G’’是连通的，则称G’是G的连通支。
当有判断出关系不是连通的之后，将需要求出分支模块
实现方法如下：先定义一个二维数组用来存放相应的分块，先选定一个点，并将它放在数组中，然后判断，如果后面的和他是联通的便将它也放在同一个数组中，否则将其存入其他的数组中，后面以此类推，在输出相应的数组，便可判断出连通分支。
2.2 实验过程（算法描述）
2.2.1 程序整体思路
本程序完成了实验所要求的全部功能，其基本思路是——“运用模块化的思想，将实现“求连通支”、“输入结点关系”、“输出邻接矩阵”、“显示两结点间的距离”、“求可达矩阵”和“图的遍历”的子函数分开编写，然后将它们以子函数的形式添加到主函数main的代码后面，在要使用相应的子函数时，进行子函数调用就可以实现相应的功能了。”
本程序的一大特色就是开发者灵活使用了C语言中的数组概念来进行开发，用数组来模拟矩阵的运算，通过相应的算法实现了全部的功能。
2.2.2具体算法流程
在main(){系统界面显示；用do…while循环语句和switch语句实现功能1,2,3……的选择，并调用相关的子程序；用start、goto start实现控制流的转移；}
liantongzhi(){求连通支，此子函数通过一个for循环控制遍历每个结点，并调用函数DFS（）求每个结点的连通支；}
DFS（int a）{通过实参与形参，将结点数据代入函数；定义顺序栈变量；通过for循环初始化；为a置已访问标志，已经访问了的元素为1；定义顺序栈的第一个元素；通过while循环实现结点遍历，栈不为空时执行循环；栈顶元素赋值；通过for循环寻找v的下个未访问的邻接点；通过if条件句，若x,i是边和节点i未被访问过，处理结点的访问，并进行访问标志，进栈等操作；通过if条件句，若v已访问到的出点，则将其退栈；}
shuru(){输入结点关系；通过for循环先将矩阵所有元素赋值0；再通过另一for循环，根据输入结点的关系，将矩阵中相应的元素赋值，有关系则为1；}
linjiejuzhen(){输出邻接矩阵；通过for循环，依次按格式输出邻接矩阵的元素；}
julijuzhen(){根据A的n次方矩阵及其中元素，判断并显示两结点间的距离；调用子函数linjiejuzhen()，以确定并显示距离为1的两结点；通过for循环显示距离为1的结点对；再通过一系列的for循环，计算A的n次方矩阵并显示结果，根据其中的元素，判断并显示结点间的距离；详细算法请见附录相关部分的注释；}
kedajuzhen(){求可达矩阵；通过一系列for循环，根据公式，计算可达矩阵；通过for循环，将矩阵中不为0的一切值赋为1以生成可达矩阵并显示；通过for循环和if条件句的组合，根据可达矩阵的元素特点，判断图的连通性，若可达矩阵矩阵中有0，则跳出循环，显示不可连接；根据判断结果显示内容，不可连通或可连通；}
第三章 实验数据及结果分析
3.1建立图的邻接矩阵并判断图是否连通的功能测试及结果分析
简单无向图的输入界面友好，有清楚的操作说明，方便用户进行使用。
这就是集合的输入界面。
3.1.1输入无向图的边
当“6,5”时 ，表示输入的是六个节点五条边的树。
程序会在屏幕上显示输入节点间关系的界面，输入的关系为“1,2；2,3；3,4；4,5；5,6”
3.1.2建立图的连接矩阵
程序返回主界面后，选择“2”，程序会显示建立的连接矩阵。
3.2 其他功能的功能测试和结果分析
3.2.1计算节点间的距离
当选择“3”时，程序便会输出各节点间的距离。
3.2.2判断图的连通性
当选择“4”时，程序会根据可达矩阵判断图的连通性。
3.2.3输出图的连通支
当选择“5”时，程序会输出个连通支。
3.2.4退出系统
当选择“6”时，程序会退出系统。
第四章 实验收获和心得体会
4.1 实验收获
这次离散数学实验是基于图论方面知识，以图的各种矩阵为基础，来研究图的一些性质、特点。
我独立完成了本次实验设计，实现了A、B、C三个功能，满足了实验的基本要求，心得如下。
通过这次实验，我学会了用C语言根据图的矩阵表示法建立邻接矩阵A，并利用矩阵的乘法和加法求出可达矩阵，从而判断图的连通性。巩固了课堂所学的图论方面的有关知识，并在实践中学到：图中两点i，j间的距离可以通过检验Al中使得aij为1的最小的l值求出；图的连通支的求法可采用图的遍历算法，图的遍历有深度优先和广度优先两种方法，其中深度优先算法又分为递归和非递归两种。我选择的算法是较为简单、易于实现的深度优先算法最简单，查阅了相关资料，掌握了此算法的核心，最后独立完成了本次实验设计。
这次离散数学实验，从拿到题目到完成整个编程，从理论到实践的日子里，我学到很多东西，不仅可以巩固了以前所学过的知识，而且通过查阅相关资料，学到了很多在书本上所没有学到过的知识。在这段时间里，我对于离散数学中的“逻辑”有了进一步的理解，对C语言的理解也更进了一步，并提高了编写实验报告、总结实验结果的能力，提高了理论联系实际的能力，初步具备程序设计的思想，能够独立完成简单的算法设计和分析。
感受最深的是，大量的上机实践是成为“编程高手”的必由之路，“质变”需要有“量”的积累。
完成程序的编写，决不意味着万事大吉。曾经自己认为万无一失的程序，实际上机运行时可能不断出现麻烦，如编译程序检测出一大堆错误。有时程序本身不存在语法错误，也能够顺利运行，但是运行结果显然是错误的。开发环境所提供的编译系统无法发现这种程序逻辑错误，只能靠自己的上机经验分析判断错误所在。有时候一个小小错误会消耗我好的时间去找，而高手一眼就看出错误所在，这就是熟练程度的不同，量变到质变的不同。
4.2 心得体会
这次真的使我意识到了很多原来没有意识到的问题，有时候一些很小的问题，也会令人很是头痛。
在刚开始编写程序的时候，为了实现最基本的输入和输出功能，我却花了大量的时间在那上面。原因在后来查阅的很多资料后才知道的，像scanf函数之类的小函数，其实是还有很多需要注意的地方的。
之后，在编写数组和指针的过程中，花了很大的一部分时间去研发算法，开发程序，在理论上反复证明没有问题之后，再在计算机上进行操作，编写代码，进行调试，反复了很久，才慢慢的实现了全部的功能，真的是来之不易。