数学文化课程学习报告

一般的数学课是以数学的知识系统为线索来组织材料、进行教学的。“数学文化”课则不然，它可以从数学典故、数学问题、数学方法、数学观点、数学思想等角度切入，并以它们为线索来组织材料、进行教学。例如，历史上三次数学危机的典故、有限与无限的问题、类比的方法、抽象的观点、数学审美的思想，等等。                                                                                

一般的数学课是以讲授数学的理论知识及其应用为主要目的。“数学文化”课虽然也要以知识为载体，却并不以传授数学理论知识为主要目的，而是以教授数学思想提升学生的数学素养为主，同时提升学生的文化和思想素养。

一，有限与无线

    　与初等数学相比，高等数学更多地采用“无限”的手段和工具，更多地在“无限”的领域中进行研究。例如，“取极限”、“求导”、“求定积分”，都是采用“无限”的手段和工具。所以，让学生了解“无限”与“有限”有何本质的区别，又有何联系，是很重要的。关于“无限”与“有限”的本质区别，我们在教学中用“有无限个房间”的旅馆的例子作为知识载体，鼓励学生的独立思考，在师生互动中培养学生的创新思维。

　　客观世界的旅馆都只有有限个房间，客满以后再来客人就无法安排了，老板只好请客人到别的旅馆去住。但是，“有无限个房间”的旅馆则不然，客满以后再来客人仍然可以安排；从而看出“无限”与“有限”的本质区别。当然，“有无限个房间”的旅馆是人脑的产物。假设一个房间只住一个客人。所谓“客满”，就是有无穷个客人，住进了这无穷个房间，每一个房间都有人住（为简单起见，这里所说的“无穷”均指“可数无穷”）。我们在课堂上分以下三个层次提出问题，师生互动，逐渐深入，培养学生的创新思维。

　　（1） 这样的旅馆客满后又来了1位客人，老板能否安排？

　　这时，老板可以先让原来房间里的客人都出来，然后重新安排，让1号房间的客人搬到2号房间去住，让2号房间的客人搬到3号房间去住，让3号房间的客人搬到4号房间去住，等等，让k号房间的客人搬到k+1号房间去住；这样原来的客人就都有房间住了，而1号房间就空出来了，可以让新来的客人去住（这段叙述如图1所示）。

　　图1  已经客满的旅馆如何再安排1位旅客

　　这样，原来在“有穷”的情况下做不到的事情，在“无穷”的情况下就做到了。由此看出，“无限”与“有限”有本质的区别。

　　（2） 这样的旅馆客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人，老板能否安排？

这时，老板可以先让原来房间里的客人都出来，然后重新安排，让1号房间的客人搬到2号房间去住，让2号房间的客人搬到4号房间去住，让3号房间的客人搬到6号房间去住，等等，让k号房间的客人搬到2k号房间去住；这样原来的客人就都有房间住了，而只占了偶数号房间，所有的奇数号房间都空出来了；有无穷多个奇数，这无穷个房间，正好可以让新来的无穷个客人去住（这段叙述如图2所示）。

 　　图2  已经客满的旅馆如何再安排1个具有无穷客人的旅行团

　　(3）这样的旅馆客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人，老板能否安排？

　　这时，老板可以先让原来房间里的客人都出来，然后重新安排，让1号房间的客人搬到10001号房间去住，让2号房间的客人搬到20002号房间去住，让3号房间的客人搬到30003号房间去住，等等，让k号房间的客人搬到10001×k 号房间去住，这样原来的客人就都有房间住了（这段叙述如图3所示）。

　　图3  已经客满的旅馆如何再安排1万个具有无穷客人的旅行团同时，给出了10000个、又10000个的空房间 ，第一个10000个空房间 ，可以让新来的10000个旅游团每个团的第1号客人住，第二个10000个空房间 ，可以让新来的10000个旅游团每个团的第2号客人住，等等；第k个10000个空房间 ，可以让新来的10000个旅游团每个团的第k号客人住，于是新来的10000个旅游团中每一个客人就都有房间住了

    该问题进一步发展下　其实，如果我们对第二个层次的问题有了本质的理解，第三个层次的题就可以迎刃而解了。在第二个层次的问题中，让k号房间的客人搬到2k号房间去住，我们是用“偶数、奇数”的语言解释的。如果换一种说法，更能揭示问题的本质。

　　“让k号房间的客人搬到2k号房间去住”，这个2k里的2怎么来的？

　　如果把原来客满的旅馆中住的客人当作一个有无穷个客人的旅游团，现在又新来了一个有无穷个客人的旅游团，1+1=2，共有两个这样的旅游团；本质上，2k里的2是这样来的。正是因为共有两个这样的旅游团，所以把房间按两个一份地进行分份，可以让这两个旅游团的第一号客人、第二号客人、…… 分别入住。

　　再类似地看第三个层次的问题，也就可以抓住本质了。如果把原来客满的旅馆中住的客人当作一个有无穷个客人的旅游团，现在又新来了10000个有无穷个客人的旅游团，1+10000=10001，共有10001个这样的旅游团；只要让k号房间的客人搬到10001×k号房间去住，就解决问题了，因为这相当于把房间按10001个一份地进行分份，可以让这10001个旅游团的第一号客人、第二号客人、……分别入住。

　　所以，即使都是正确的解答，其中有的可能抓住了本质，有的则可能没有抓住本质（应该教育学生在平常做习题时也注意这一点）。

　　有了这个抓住本质的解答，该旅馆客满后再来多少个有无穷个客人的旅游团，问题都能轻而易举地解决了。比如，再来1753462个这样的旅游团，因为1+1753462=1753463，所以只要让k号房间的客人搬到1753463×k号房间去住，就解决问题了。可见，抓住本质的解答，是容易推广的。

去还可以问：这样的旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，老板还能否安排？这时，刚才的方法就用不上了；原因是新来的旅游团从有限个发展为无限个，所以需要另起炉灶，寻找新的方法。由此进一步看出，“无限”与“有限”有本质的区别。

二，在数轴上有理数多还是无理数多？

按照现代集合论观点，有理数与整数一样多（也与自然数、偶数或奇数一样 多），无理数与实数一样多；整数比实数少，有理数也比无理数少

在柯西、魏尔斯特拉斯开始把微积分建立在严格的基础之上（主要是以数学语言明确了极限和连续性概念）后，康托更使数学进入了一个“反直觉”的新天地，要将微积分建立在集合论的严格基础上，考虑集合的大小——包含元素的多少，如果两个集合包含相同多元素，称它们是等价的，或等势的或基数相同。对于有限集合，可以数数其中元素个数进行比较，而对于无穷集合，这么做显然不行，不过判断它们是否等价另有一个办法，就是“一一对应”——如果两个集合中的元素可以按一定规则一一对应起来，那么这两个集合就是等价的。 

进而有理数集合与自然数集合也可以建立一一对应关系，它们也等价，称为可数无穷集；无理数集合、实数集合就不行了。可以说，在数轴上有理数是 “稠密”的，任何两个无理数之间都有无穷多个有理数（当然任何两个有理 数之间也有无穷多个无理数），但有理数更是“稀疏”的，如果我们能够在数轴上任取一点并判断它是否有理数，那得到有理数的概率几乎为零

     再看看实数集合，考虑一条直线上的点，和线上一个区间内的点，究竟谁多谁少呢？显然直线上的点比一个区间内的点多无数倍——不幸的是，这里的“显然”错了。仍旧可以通过一一对应法则判断它们等价，也就是说，它们包含有同样多的点，甚至，一个平面、一个空间中的点也并不比一条直线或一个区间上的点多，它们都等价。

证明： 

要证明这个命题需要从实无限去证。 
1. 实数在数轴上连续，在数轴上任取一点，将有2.与3.二种情况； 
2. 若该点为有理数，因有理数不连续，再取右则（也可用左则）紧相连的一点必为无理数，用新邻点取代原选点，可转入3.； 
3. 若该点为无理数，再取右则紧相连的一点，将有4.与5.二种情况； 
4. 若该点为有理数，因有理数不连续，再取右则紧相连的一点必为无理数，又可转入3.； 
5. 若该点仍为无理数，那么就存在该二个无理数之间就不存在有理数； 
6. 如果从3.总是不进入5.而转入4.，则由3. 4. 3. 4. 3. 4. 3. …… 的循环中将得到数轴上有理数点与无理数点是穿插排列的，那么将得到有理数与无理数一样多的结论。 

因此就证明了以下二个结论中仅有一个成立 
7. 存在非常靠近的二个无理数，它们之间不再穿插有理数； 
8. 有理数与无理数一样多。根据目前数学界的公认的“无理数比有理数多”，应当是否定8.；根据“任何两个无理数之间都有无穷多个有理数”，应当是否定7.； 

三，体会与心的

   “数学文化”这门课程给我们介绍了很多数学知识，包括数学的

历史，数学的发展等等，实际上，我们每一个人，天天都在跟数学打交道一个人不识字完全可以生活，但是若不识数，就很难生活了，现代科技进步，对数学的要求越来越高，所以我觉得“数学文化”这门课程为我们剖析“数学”这门神秘而又与我们息息相关的科学，对我们来说是获益匪浅的。

听讲了几次课后，我觉得我收获蛮多，在老师的带领下，我们在数学的王国里漫游着，学习着，就像参观景点一般浏览了数学世界的奥秘，第一堂课的时候，老师就给我们讲了数学的历史：数学，起源于人类早期的生产活动，为中国古代六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起源。

通过这门课程的学习拓宽对数学的认识；引起对数学的兴趣；感悟数学的思想；提高数学素养；学会用理性思维的方式观察世界、认识世界。

通过选修“数学文化”课开阔了视野。既把多年来学习的数学知识上升到观点、精神、方法、思想的层面上，又从文化和哲学的角度反观数学发展中的规律；既学习了历史上的重大数学事件，又学习了科学家、数学家的情感、品德和价值观；既了解了社会进步对数学的推动作用，又了解了数学发展对社会文明的推动作用。

                                电气1083班：杨波

                                日期：20##年11月18日星期五

第二篇：数学文化课程学习报告 肖美玲

数学文化课程学习报告

经过为期五周的数学文化课程的学习，我渐渐的发现自己从一开始对数学不甚了解和不感兴趣到现在的深深喜欢。从中我感受到了数学文化的神奇的奥妙和深刻的思想内涵。这也多亏了老师为期五周孜孜不倦的教导以及对课堂上及课后思考题耐心的讲述。下面我将针对老师上课讲述的数学问题及上课期间布置的思考题进行讨论。 首先针对老师上课讲的“阿基米斯能追上乌龟吗”这一数学问题展开讨论。公元前5世纪，芝诺发表态了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10,乌龟仍然前于他10米。当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1米。 关于阿基里斯悖论的另一个解释是：阿基里斯的确永远也追不上乌龟。因为当阿基里斯遵循乌龟的轨迹的时候，会不由自主的慢下来，以跟随着乌龟的节奏前进。其实，我们根据中学所学过的无穷等比递缩数列求和的知识，只需列一个方程就可以轻而易举地推翻芝诺的悖论：阿基里斯在跑了。但是不是所有的数列都能达到，所以，我们看问题不能太极端。例如无论多少个点也不能组成直线，对于点的个数来说，我们就永远无法穷尽它。

芝诺悖论的产生原因，是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，只不

过芝诺的“钟”已经无法度量它们了。 这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。阿基里斯悖论分离了运动与静止，把运动绝对化，否定客观标准。是相对主义诡辩论。辩证唯物主义认为，运动与静止是对立统一的辩证关系。一方面，运动与静止的对立表现在：运动是绝对的，静止是相对的，二者相互区别，不可混淆。所谓运动是绝对的是说，运动是物质的根本属性，任何事物在任何条件下都是永恒运动的，是无条件的。所谓静止是相对的是说，静止是运动在特定条件下的特殊状态，是有条件的。另一方面，运动与静止的统一表现在：运动和静止是相互依存、相互贯通的，即所谓动中有静、静中有动。在运动与静止关系上有两种形而上学的错误：一种是割裂运动与静止的关系，否认运动，只讲静止，将静止绝对化的形而上学不动论；一种是割裂运动与静止的关系，只讲运动，否认静止的形而上学相对主义和诡辩论。?? 芝诺解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。

此外老师课间还布置一些课后思考题，诸如斐波拉契数中的如何构造一个三阶递推公式、奥运五环能否一笔画成及怎么画等等。关于奥运五环的画法，我了解到凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。其他情况的图都不能一笔画出。(有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。)

因此我认为奥运五环的画法应该是从两个圆的交叉点开始画，然后顺着交叉的方向把上面画完。最后把下面的圆弧部分一笔画完就行。

总之为期五周的数学文化课程的学习让我深刻的感受到数学文化如此贴近我们的生活，如此的富有文化特有的魅力。通过老师上课期间讲解的数学问题如斐波那契数列中小兔子长成大兔子，大兔子又生小兔子，阿基米斯能不能追上乌龟等问题，让我们懂得了如何通过现有的问题及其解答去提出另外一个问题，并进行更深一步的思考和解答。老师布置的课后思考题比如：斐波拉契数列中的三阶递推公式以及如何一笔画成奥运五环的问题，让我们发现生活中也处处存在着数学，原来数学也是那么的具有趣味性与普及性。也让我们感受到了数学文化离不开数学史，但是不能仅限于数学史。当数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、溶入教学时，数学就会更加平易近人，数学教学就会通过文化层面让我们进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。从数学文化课的学习中，我感受到了强大的数学文化魅力，源远流长的数学文化历史，博大精深的数学文化内涵。

市场营销1002班 肖美玲