数学建模论文报告

数学建模题目：发动机生产问题

姓名1： 学号：姓名2： 学号：0911

姓名3： 学号：0911

专 业 ：软件工程

班 级 ：

指导教师 ：邱淑芳老师

2011 年 6 月 7 日

摘 要

随着社会的快速发展，数学在社会各领域中的应用越来越广泛，作用也越来越大，数学建模在企业生产中有着大量的运用，它成为企业解决实际问题、降低成本、提高经济效益和社会效益发挥了重要的作用。生产商要使获利润最高，工厂在生产产品时要考虑生产成本和贮存等费用控制在最低，好比在体育比赛中运动员要争取创造最佳成绩，动物的生理构造也在长期的进化过程中达到了某种意义下的最优状态。社会生活中普遍存在的优化问题经常成为人们的研究对象。

本文讨论了关于生产与存储的问题，这是一个多阶段决策的生产问题，就此可建立一个合理规划的数学模型。数学模型是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。利用运筹学和计算机的数学软件等相关知识，应用动态规划方法解决了这一问题，达到生产，需求与库存之间的平衡，以及在资源限制条件下的最优化得生产方案，并建立混合整体规划模型用LINGO数学软件进行检测，为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。在解决实际问题时，人们常常尽可能把某些线性规划的问题化为运输问题的数学模型。

本文根据工厂需要完成的生产量及其产生的储存量，对工厂每季度生产产品的总量的调配方案进行分析和优化，建立了数学模型，解决了因积压留下来的产品的储存费用的最优生产问题，得出了全年生产费用最小的调配方案。

1

一．问题重述

某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10，15，25，20台同一规格的发动机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台发动机的成本如下表所示。又如果生产出来的发动机当季不交货的，每台每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。要求在完成合同的情况下，作出使该厂全年生产(包括储存、维护)费用最小的决策 。

二．模型假设

1．假设工厂每季度能按时交货；

2．假设货运公司都是先考虑节省人力和出车次数最少的情况下再考虑如何安排运输方式以减少经费支出；

3．假设该厂每季度生产的产品的合格率保持稳定；

4. 假设该厂在生产过程中，生产能力不受环境因素的影响；

5. 假设该厂的员工能按时（不允许请假，迟到或早退）上班； 6. 假设每季度的生产量都是按原计划进行；

7. 假设每季度生产的产品的成本不受外界因素影响；

8. 假设市场销售量不随经济的波动而波动；

9. 假设每台每积压一个季度需储存、维护等费用保持不变；

10. 假设挤压下来的发动机各方面性能保持完好。

2

符号说明：

a：表示该厂第i季度的生产能力。 i

b：表示第i季度的合同供应量。

cij：第i季度生产的用于j季度交货的每台发动机的实际成本, 即i

是该季度单位成本加上储存、维护等费用。

ij：第i季度生产的用于第j季度交货的发动机数。

Z : 该厂全年生产(包括储存、维护)总费用。

三．模型分析

? 在社会生产生活中，理想情况下是以产销平衡为前提条件的，但是实际问题中产销往往是不平衡的。就需要把产销不平衡的问题化成产销平衡的问题。

? 当产大于销：

?a??bi

i?1j?1mnj

运输问题的数学模型可写成：

? 目标函数：

minz???cijxij

i?1j?1mn

? 满足：

?n??xij?ai,

?j?1

??m ??xij?bj,

?i?1

? ???xij?0(i?1,2,?,m)(j?1,2,?,n)

3

由于总的产量大于销量，就要考虑多余的物资在哪一个产地就地储存的问题。设xi, n+1是产地Ai的储存量，于是有： ?nn?1

xij?xi,n?1?,2,?,m)

j?1?xij?ai,(i?1j?1

,2,?,n)

i?mx?1ij?bj(j?1

?mmn

xi,n?1??

i?1?ai?bj?bn?1i?1j?1

令：c '

ij ? c ij , 当 i=1,…，m，j=1,…，n时 ,

c '

ij ? 0 , 当 i=1,…，m，j=n+1时,

将其分别代入，得到:

mn?1mnm minz'???c'x'ijij?

i?1j?1??cijxij?i?1j?1?c'i,n?1i?1

m

? n

??cijxij

i?1j?1

满足： ?n?1

??xij?ai

?j?1

??

??m?xij?bj

i?1

?

???xij?0

因此这是一个产大于销的运输问题。

4

四．模型的建立与求解

由于每个季度生产出来的发动机不一定当季交货，所以设xij为第i季度生产的用于第j季度交货的发动机数。根据合同要求，必须满足 ：

?x11?x?12??x13??x14?10?x22?15?x23?x33?25?x24?x34?x44?20

又因为每季度生产的用于当季和以后各季交货的发动机数不可能超过该季度的生产能力，故又有：

第i季度生产的用于j季度交货的每台发动机的实际成本该季度单位成本加上储存、维护等费用。

?x

11?x12?x13?x14?25?x22?x23?x24?35??x33?x34?30??x44?10?cij应该是cij的具体数值见下表

5

设用ai表示该厂第i季度的生产能力，bi表示第i季度的合同供应量，则问题可写成：

? 目标函数：

? 满足：

minz???cijxij

i?1j?1

44

?

??xij?ai?j?1??4

??xij?bj?i?1

?xij?0???

4

显然，这是一个产大于销的运输问题模型。注意到这个问题中当i＞j时，xij=0，所以应令对应的

c

ij

=M，再加上一个假想的需求D，就

可以把这个问题变成产销平衡的运输模型，并写出产销平衡表和单位运价表

LINGO求解图示：

6

运行后出现窗口如下：

7

点击关闭后出现窗口如下：

8

五．结果分析

经用LINGO软件求解，可得出最优方案，下表中所列出的方案为最优方案。即第Ⅰ季度生产25台，10台当季交货，10台Ⅱ季度交货，5台Ⅲ季度交货；第Ⅱ季度生产5台，用于当季交货；第Ⅲ季度生产30台，其中20台于当季交货，10台于Ⅳ季度交货；第Ⅳ季度生产10台，于当季交货。按此方案生产，该厂总的生产(包括储存、维护)的费用为772.5万元。

六．模型检验

本次生产计划根据目标函数 min z ? ?? c ij x ij 得出第Ⅰ季度生

i?1

j?14

4

产25台，10台当季交货，10台Ⅱ季度交货，5台Ⅲ季度交货；第Ⅱ季度生产5台，用于当季交货；第Ⅲ季度生产30台，其中20台于当季交货，10台于Ⅳ季度交货；第Ⅳ季度生产10台，于当季交货。 第一季度末提供同一规格的发动机数：10=10 ； 第二季度末提供同一规格的发动机数：10+5=15 ； 第三季度末提供同一规格的发动机数：5+20=25； 第四季度末提供同一规格的发动机数：10+10=20 .

9

第一季度产量：10+10+5=25? 25 ；

第二季度产量：10+10+5=25? 35 ；

第三季度产量：10+10+5=25? 30 ；

第四季度产量：10+10+5=25? 10 .

由检验结果可知，模型求解结果满足题中的约束。

因此，按此方案生产，该厂全年生产(包括储存、维护)费用最小为772.5万元。

参考文献：

【1】王正东 主编《数学软件与数学实验》（第二版）科学出版社

【2】扬起帆等《数学建模案例集》高等教育出版社

【3】姜启源 谢金星 叶俊 《数学建模》（第三版）高等教育出版社

【4】胡知能 徐玖平编著 《运筹学线性系统化》科学出版社

【5】蔡锁章 范庆安 张洪斌《数学建模》中国林业出版社

【6】丁勇《理科爱好者: 教育教学版》20xx年 第4期

【7】肖华勇《实用数学建模与软件应用》西北工业大学出版社 2010-8

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东华理工大学长江学院

课程设计评分表

学生姓名： 、 、 班级： 学 号： 、 、 课程设计题目：发动机生产问题

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第二篇：合金制造的数学建模论文

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮

件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他

公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反

竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）： 三峡大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 熊辉

日期： 2010 年 7 月 16 日

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 指导教师组

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

合金的制造

摘要

本文讨论了合金的原材料的合理选取问题，属于优化问题中的线性规划问题。我们根据原始数据利用LINGO软件进行了系统分析，得出各种原材料的选取结果。

每个客户对于产品都有一定的要求，满足要求的产品，客户才会购买回去，从而加工制造出其他客户需要的物品。某家钢铁公司收到一份500吨造船用钢的订单，而客户对这些造船用钢有如下要求（品质）：

表一 造船用钢品质要求

化学元素 最低含量（%） 最高含量（%）

碳（C） 2 3

铜（Cu） 0.4 0.6

锰（Mn） 1.2 1.65

各种原材料的数据见附录表二。

对于问题一，我们综合考虑了用户对造船用钢的要求，和原材料的品质，可用存储量以及价格等各方面的条件，保证在不损害用户利益的同时，合理搭配各种原材料，最终达到使生产成本最低的目的。铁合金1，铜合金1，铝合金1这三种原材料分别取400.0000吨，1.785714吨，98.21429吨，其他原材料均不取时，满足问题一的要求，使得生产成本最低为90.21429万元。并可利用该模型对多种情况进行灵活运用。

对于问题二，在问题一的基础上，只需要将铁合金1的可用库存改为380吨，即将问题一中的400换为380，其他条件不变，即可得到最优解：铁合金1，铁合金2，铜合金1，铝合金1的选取量分别是380.0000吨，16.66667吨，1.770833吨，101.5625吨，生产成本最低为90.71250万元。

对于问题三，和问题一二的分析情况一样，铝合金1的的价格上50%，其他条件不变，只需将模型建设以及程序分析中的0.10换为0.15即可，最后获得满足条件的铁合金1，铜合金1，铝合金1这三种原材料的取值分别是：400.0000吨，1.785714吨，98.21429吨，此时生产成本最低为95.12500万元。

关键词：合金的制造 线性规划 最优解

1.问题重述

1.1问题背景

造船用钢一般含有三种化学元素：碳（C），铜（Cu），锰（Mn）。客户对产品有一定的要求，该造船用钢对这三种元素的含量都有限制，既不能超过最高含量，也不能低于最低含量 ，具体参数见附录表一。

在满足各种元素含量符合要求的条件下，根据原材料的品质和可用的存储量加以调配，最终达到生产成本最低的最优解。每种原材料中三种元素的含量是不一样的，可用库存也是有限的，并且每种原材料的单价也是各有所异。各种原材料的具体品质，可用存储量和价格见附录表二。

综合考虑各种原材料的品质和存储量，使得三种元素的含量符合要求，最后得三种情况下函数的最小解。

1.2需要解决的问题

题目附录中给出了客户对造船用钢的要求，以及原材料的品质，可用存储量和价格。根据这些要求和现有原料的相关信息，我们需要通过采用数学建模的方法来帮助解决以下问题：

问题一：分析并确定出合理的目标函数，用以获得该问题的最优选择方案，使得合金满足客户要求，同时生产成本最少。

问题二：在确定目标函数之前，必须满足客户要求。也就是造船用钢品质要达标，从而获得目标函数的约束条件，三种元素的含量必须保证在一定范围之内。

问题三：满足客户条件后，还要考虑自身条件。即在限量的库存内，使得自身成本消耗最少。

2.问题分析

工厂根据客户的需要生产出满足客户要求的产品是最基本的经营之道。既要满足客户要求又要降低成本，满足客户要求的生产之道是多样的，但是两者兼顾的方法却是唯一的。这种问题是线性规划中最常见的最优解问题，因此确定目标函数和约束条件，更加合理的利用有限资源，对于解决实际的问题是非常重要的。

2.1问题一的分析

问题一要求我们给出合理的目标函数，用以对原材料选取的优劣进行评价。我们首先找出了客户对造船用钢的三种元素的要求，从中列出一些指标来作为评价指标体系，用以对原材料的选取进行评价。另外，我们还必须考虑生产商的利益，花最少的钱做最好的事，在达到客户要求的同时，利用有限的资源，得到对各种原材料的最佳选取方案，这种方案的成本就是生产商的最低成本。

2.2问题二的分析

问题二的要求是对问题一的细化。主要是为了满足客户要求，即根据附录表一确定对造船用钢的三种元素的约束条件，各元素的含量保持在一定的范围之内。

2.3问题三的分析

问题三希望可以使得生产成本最低。在问题二解决之后，只需要满足各种元素的用量不超过库存即可。

3.模型假设

1. 假定在利用原材料冶炼合金的过程中该材料没有损耗；

2. 假定在各种原材料综合使用时对任一材料对其他原材料的本身属性均没有

任何影响；

3. 假定最低成本不考虑运输费用和税收；

4. 假定题目附录中给定的数据真实可靠；

4.符号说明

x1:原材料铁合金1；

x2:原材料铁合金2；

x3:原材料铁合金3；

y1:原材料铜合金1；

y2:原材料铜合金2；

z1:原材料铝合金1；

z2:原材料铝合金2；

min:目标函数，即在满足造船用钢品质要求的同时充分利用库存原材料，最后得到的最低生产成本。

5.模型的建立与求解

现在我们可以根据模型假设和问题分析来确定目标函数和约束条件。

目标函数：min= 0.2*x1+0.25*x2+0.15*x3+0.2*y1+0.24*y2+0.10*z1+0.165*z2； 约束条件：（针对问题一：根据附录表中的数据，为了使生产成本最低，各种原材料应该各取多少）

（1）造船用钢的品质要求：

1.碳元素

最低含量为2%：(2.5*x1+3*x2)/500>=2

最高含量为3%: (2.5*x1+3*x2)/500<=3

2.铜元素

最低含量为0.4%：(0.3*x3+90*y1+96*y2+0.4*z1+0.6*z2)/500>=0.4 最高含量为0.6%: (0.3*x3+90*y1+96*y2+0.4*z1+0.6*z2)/500<=0.6

3.锰元素

最低含量为1.2%：(1.3*x1+0.8*x2+4*y2+1.2*z1)/500>=1.2

最高含量为1.65%: (1.3*x1+0.8*x2+4*y2+1.2*z1)/500<=1.65

（2）原材料的库存量：（单位：吨）

铁合金1：x1>=0；x1<=400；

铁合金2：x2>=0；x2<=300；

铁合金3：x3>=0；x3<=600；

铜合金1: y1>=0；y1<=500；

铜合金2：y2>=0；y2<=200；

铝合金1：z1>=0；z1<=300；

铝合金2：z2>=0；z2<=250；

（3）补充：

1. 针对问题二：如果铁合金1的可用库存为380吨，其他条件不变，此时各种原材料的选取方案。

只需将上面约束条件中原材料铁合金1的库存量x1<=400改为x1<=380。

2.针对问题三：如果铝合金1的的价格上调50%，其他条件不变，此时各种原 材料的选取方案。

只需将上面约束条件中原材料铝合金1的的价格由0.10换为0.15

6．模型优缺点

6.1模型优点：

1. 我们综合考虑生产商和客户的利益，确定出了合理的目标函数和准确的约束

条件。

2. 模型简洁易于理解和掌握，对于线性规划的初步运用有很好的锻炼。

3. 对于问题二三只需要在问题一所建立的模型基础上稍加修改，十分方便。

6.2模型缺点：

1. 我们没有考虑实际生产中的损耗，过于理想化。

2. 模型的建立是在考虑客户的利益为基础的条件下建立的，对于工厂来说，不

一定是最好的选取方法。

7.模型的推广

7.1模型的改进

对于LINGO软件，数值默认取正数，所以我们的模型建立中所有约束条件不需要限制大于零，使得模型更简洁。

7.2模型的推广

我们的模型均用到了线性规划中最优解的相关知识，这种模型可以运用到很多其他领域，比如说，钢体结构建筑，食品的生产，复合型材料的制作等等。

8.附录

一家钢铁公司收到一份500吨造船用钢的订单，对这些造船用钢有如下要求（品质）：

表一 造船用钢品质要求

化学元素 最低含量（%） 最高含量（%）

碳（C） 2 3

铜（Cu） 0.4 0.6

锰（Mn） 1.2 1.65

此公司储存有7种不同的原材料，都可以用于制造这种钢，表二列出了这些原材料的品质，可用存储量以及价格

表二 原材料品质，可用的存储量，与价格

原材料 C% Cu % Mn% 可用库存（吨） 单价（万元/ 吨） 铁合金1 2.5 0 1.3 400 0.2

铁合金2 3 0 0.8 300 0.25

铁合金3 0 0.3 0 600 0.15

铜合金1 0 90 0 500 0.22

铜合金2 0 96 4 200 0.24

铝合金1 0 0.4 1.2 300 0.10

铝合金2 0 0.6 0 250 0.165

问题一二三的程序以及结果：