艺术生高三数学复习问题的思考
---陈莉(中学组收集)
艺术类考生在高三复习时由于要备考术科,能用于文化课学习的时间就是每天一节课.中途还有两个月的时间要外出学习术科,因此时间上不能保证正常的复习;我在高三接手时两个班的期末考试和摸底考试成绩平均都不到三十分(满分150分),且这些分数主要是从选择题上得的分,解答题平均3分左右,大部分学生基本没做解答题.因此这个分数很大程度上就是一个运气分.有近三十个学生都是二十分以下.学生学习数学的态度是不端正的,一部分学生告诉我说他们已经不学数学了,到时靠个运气拿个二、三十分就可以了,要把精力用来学容易提高的科目.还有一些学生想提高数学成绩,但苦于自己的基础太差,缺乏信心,不知从何下手.只有极个别几个学生有一定的基础,有五十分左右. 布卢姆的”掌握学习”理论认为,只要提供合适的环境和足够的学习时间以及适当的帮助,95%的学生能够学好每一门功课.那么怎样去创造一个学习数学的环境?学习时间也不多,又怎样利用这短短的几个月时间,以及提供怎样的帮助?才能使高三的复习取得最好的效果?我尝试着从如下几个方面去做,希望能取得效果.
一. 认清艺术生的高考情况,端正教师的心态
高考数学是难度和速度要求均有的考试,大部分考生是不能全部答完的。数学由于其高度的抽象性,系统性和逻辑性,只靠机械的记忆,凭直观和印象作答的题目很少,总要求考生具备一定的观察,分析和推理能力才能解决,充满思辨性。因此问题本身都有一定的难度。对我们艺术班的学生无疑是残酷的现实。但随着高等教育由精英教育向大众教育的转变,高考试题的难度也随之有所调整。试题中难:中:易约为2:5:3,容易题的分数应该约有45分。艺术类考生的数学成绩要求不高,虽然他们的基础差,但只要认真复习,拿下这部分分数也是有可能的;且对数学基础知识的考查,要求全面而又突出重点,对于支撑学科的知识体系的重点知识,考查是要保持较高的比例作为构建数学试题的主体,注重学科的内在联系和综合性,不刻意追求知识的覆盖面。根据这个原则,我们的复习就不需要各部分知识平均用力。对有用的,必考的内容有针对性的重复过关训练;对学生学得较好的内容要让它发挥其优势,如向量部分。这样也可以提高学生的应试能力。基于此,复习还是有希望成功的,自己应有信心。这样才能对学生有积极的影响.
二. 帮助学生认清高考形势,建立适当的学习目标
学习动机是直接推动学生达到学习目的的内在动力,直接影响学习效果。在教学活动中,教师要向学生阐明学习数学的重要性及目的要求,调动学生学习的主动性和积极性。学生的需要作为动机的控制者,对学生的动机有重要的影响.目前学生最大的需要就是能考上大学.而数学作为必考的一门学科有座举足轻重的作用,因为它比其他科目具有更好的区分度,在这种情况下还要放弃数学,要么是对高考清情况认识不清,要么是对在数学学习过程中失败太多已没有了信心.而且时间有限已没有希望把数学学好了.针对厌学和厌恶数学的种种原因,首现就是进行信心的教育.用考过的高考试题和以前成功学生的例子帮学生分析,他并不学要全部都会做才能考上大学,有哪些分数通过努力可以拿到而单凭运气是靠不住的.且在复习过程中还不时找一些学生能解决的高考题给他们做,使之明白通过努力复习达到一定成绩并不难, 从而对自己的数学能力有较高的知觉,树立信心并培养学习动机.稳住几个对数学有点兴趣的人,借着辅导他们学习数学的机会在同学们面前大势讨论学习数学上的一些问题,并利用他们的每一点成功激励更多的人行动起来,在班上营造出一个学习数学的环境.
三. 帮助学生养成良好的学习态度和科学的学习方法
由于学生散慢的习惯已经养成,常常不能持之以恒.加之多数学生对自己不正确的知觉可能会导致其不能积极地完成作业,不去努力参与学习活动.因此帮助为学生树立现实的、具体的、可达到的目标,及制定计划以实现目标.培养他们的自控能力,养成良好的学习态度是一开始就要做的事.
另外,学生对数学学习缺乏科学的学习方法,就算掌握了一些基础知识和基本理论,但新旧知识往往联系不上,孤立地贮存在头脑中,出现掌握不牢的现象。为了避免学生学习时的盲目思考,消除学生由于无效思维造成的倦怠情绪,要注重启发,细心引导,让学生能充分利用已有的知识去思考,去判断推理,逐步让他们将已有的知识形成网络,并让他们习得类比、归纳、总结等基本的数学方法。
四. 注重师生情感交流,提高学生学习数学的兴趣
师生情感交流是培养学生对数学兴趣的基础。情感是人类对客观事物的一种态度与心理体验。建立良好的师生关系,为教学创设良好的氛围,课堂上,应精神饱满、乐观豁达、热情幽默、张弛有度,这可让学生受到感染,自信地对待学习。兴趣是学习的内动力,在教学活动中激发学生的学习兴趣,是提高课堂教学效率的重要手段。我在教学中注意编选内容的趣味性,探索性和应用性,选择适当的教学方法和手段,利用数学学科的表象美、知识结构内在的逻辑美、数学语言的简洁美、思想方法的奇异美等,来激发差生学习数学的兴趣。
由于艺术班的学生多数是学美术的,也有部分是学音乐的,在复习数列之前我有意插入了一个与他们的专业有关的一个话题:斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,...这个数列非常有名,因为数列中相邻两项之和等于后一项,你算算相邻两项相除所得的商是多少? 1.618。它在自然界的构成中也起着极为重要的作用。植物、动物甚至人类都具有与这个比率惊人相似的特质,早期的科学家把1.618称为黄金分割.一个蜂巢里的雄蜂和雌蜂,雌蜂总是比雄蜂多,如果你将世界上任何一个蜂巢里的雄蜂和雌蜂分开数,你将得到一个相同的比率1.618,鹦鹉螺是一种靠吸入壳内的空气调节自身浮力的软体动物,它身上每圈罗纹的直径与相邻罗纹直径之比也是1.618;向日葵葵花籽在花盘上呈相反的弧线状排列你能猜想到相邻两圈之间的直径之比吗?当然也是1.618。螺旋形的松果、植物茎上叶子的排列、昆虫身上的分节——所有这些竟然都完全符合黄金分割,这和艺术有什么关系呢?列昂纳多·达·芬奇的著名男性裸体画《维特鲁威人》。这幅画画在一张羊皮纸上,羊皮纸已微微泛黄。画名是根据罗马杰出的建筑家马克·维特鲁威的名字而取的,这位建筑家曾在他的著作《建筑》中盛赞黄金分割。没有人比达·芬奇更了解人体的精妙结构。所有人,只要长得较为正常,测量一下你们的身高,再用身高除以你们肚脐到地面的距离结果是1.618。想再看一个例子吗?量一下你肩膀到指尖的距离,然后用它除以肘关节到指尖的距离,用臀部到地面的距离除以膝盖到地面的距离,再看看手指关节、脚趾、脊柱的分节,你都可以从中得到1.618。我们每个人都是离不开黄金分割的生物。纷繁复杂的自然界隐藏着规则,人们只能按自然规则活动,而艺术又是人们试图模仿造物主创造之美的一种尝试,在艺术作品中看到许多黄金分割的实例。如米开朗基罗、阿尔布莱希特·丢勒、达·芬奇和许多其他艺术家作品,这些艺术家在设计创作其作品时都有意识地、严格地遵循了黄金分割比率。希腊巴特农神殿、埃及金字塔等在建筑设计也充分运用了黄金分割,就连莫扎特的奏鸣曲、贝多芬的《第五交响曲》、甚至斯特拉迪瓦里在制造他那有名的小提琴时也运用了黄金分割来确定f形洞的确切位置。特别是五角星,在许多文化中被看作是神圣而神奇的,因为如果你画一个五角星,那么那几条线段会自动将它们自己按黄金分割的比率截为几段,使得它成为了黄金分割的首要代表。正是因为这个原因,五角星总是被作为美丽与完美的象征。而斐波那契数列,黄金
分割只是数学家从客观世界中发现的数量关系中的一个例子,数学并不是有些人认为的那样没用,它含有丰富的内容。数学的思想和方法,数学应用的广泛性,使得数学知识成为进一步学习的基础,而数学素质则成为人才的重要特征,因此每一个人都应该学习一定的数学知识,而不是逃避它。像这样多灌输一些数学的实用性,有趣性的例子,久之会让学生对数学心动的(可惜时间不多).
五. 注重学法指导,加强个别化辅导,做到有的放矢
个别辅导可以对学生进行有针对性的教育,对其提出恰如其分的要求,是对差生进行帮助的最有效措施之一。造成学习成绩差的原因是错综复杂的,学习不得法,也是一个主原因.有的思维不灵活,不会进行预习、复习,听课时不知道怎样抓重点、难点,不会记简要的笔记,上课时跟不上。有的是思想问题.通过个别辅导可以从心理上和学习上帮助他们解决一定的困难,从而提高其成就动机.同时结合数学课的特点,随时渗透学习方法的指导,如指导学生怎样提高听课效率;怎样进行预习和复习;怎样自学;怎样培养数学能力等。在备课时不仅备教材,更重要的是立足于学生的思维,仔细揣摩他们学习的心理,努力体察学生可能发生的困惑和错误之处,做到未雨绸缪,估计在先;其次在课堂上要随时从学生的神态、表情中观察、揣摩,尽可能地掌握学生的思维进展程度,并作出相应的对策。如在复习集合的运算时,学生对交集和并集的符号总是弄错,当他们弄明白两个概念后,让他们记住”交”与”并”两个字的夸张的写法,使之留下深刻的印记.或注意联合国的英文缩写”UN”中的”U”的含义.也可知道并集的意思. 总之授之以鱼不如授之以渔.
六. 把复习课当新课来上,用好课堂45分钟
解决了学习环境和思想问题后,最好的帮助莫过于用好课堂45分钟了.他们的学习时间非常有限,课后时间根本指望不上.这么宝贵的时间还不赶快多压一点内容下去,还等什么!但我知道学生是无法接受的.由于学生本身就没怎么学,加之已近两个月都在外学习术科,多数知识点对他们最多也只是似曾相识了.而不知游戏规则,怎么做游戏呢!因此只有先从学知识入手,复习课有时就变成了新授课.这不能不需要更多的时间,又无法得到.因此精心设计教学目标,选择教学内容和教学方法及教学手段就显得尤为重要. 凡大纲和教材删去的,坚决不教;不增加难度;凡大纲规定理解的就不要求运用,只要求运用到什么程度的就练到什么程度; 不降低要求,凡大纲要求掌握的、运用的,一定当堂练习,当堂检测,决不满足于讲完例题,学生能够理解就行。凡是当堂教的定理、公式要当堂记忆、当堂运用、尽量当堂检测,及时反馈.精心设计好每一份练习题(因为没有那份资料完全适合我的学生),以保证学生集中精力学好基本知识,掌握基本技能.
七. 不断反复,螺旋式是上升
由于知识的学习和复习几乎是同时进行,不可能一步到位地达到某一高度,或为了巩固复习过的内容等都需要有一定次数的反复.我的学生底子本身薄弱,学习能力较差,理解知识较慢,且易于遗忘,因此有时需要不止一次的反复才能习得一定的技能.但这个反复不是纯粹的重复,而是呈螺旋式地上升.反复的时间不一定是连续的,但要遵循认知规律.一般在一周内一定反复一次,当然也可设计于与其它知识的联系中.不定时地巩固.
因为影响学生习行为的因素很多,所有策略最后取得的效果如何乃是一个变量.一切的帮助和激励都要通过学生自己才能起作用.所谓:谋事在人,成事在天.
第二篇:20xx届艺术生高三数学一轮复习:基础知识归纳(高中全部)
2013届艺术生高三数学一轮复习:基础知识归纳
第一部分 集合
1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值?还.....
是因变量的取值?还是曲线上的点??
2.数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩....
图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决
3.(1) 元素与集合的关系:x?A?x?CUA,x?CUA?x?A.
(2)德摩根公式: CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB.
(3)
A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA?A?CUB??
?CUA?B?R
注意:讨论的时候不要遗忘了A??的情况.
(4)集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2n 个;真子集有2n–1个;非空子集有2n–1个;
非空真子集有2n–2个.
4.?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
第二部分 函数与导数
1.映射:注意: ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一或多对一.
2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;⑤换元法 ; ⑥利用均值不等式 ab?a?b
2?a?b
222; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、
x绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(a、sinx、cosx等);⑨平方法;⑩ 导数法
3.复合函数的有关问题:
(1)复合函数定义域求法:
① 若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b解出
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域.
(2)复合函数单调性的判定:
①首先将原函数y?f[g(x)]分解为基本函数:内函数u?g(x)与外函数y?f(u) ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性
③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.
4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。
5.函数的奇偶性:
- 1 -
?函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 ....
?f(x)是奇函数?f(?x)??f(x);f(x)是偶函数?f(?x)?f(x). ?奇函数f(x)在0处有定义,则f(0)?0
?在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性 ?若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性 6.函数的单调性: ?单调性的定义:
①f(x)在区间M上是增函数??x1,x2?M,当x1?x2时有f(x1)?f(x2); ②f(x)在区间M上是减函数??x1,x2?M,当x1?x2时有f(x1)?f(x2);
?单调性的判定:①定义法:一般要将式子f(x1)?f(x2)化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;②导数法(见导数部分);③复合函数法;④图像法 注:证明单调性主要用定义法和导数法。 7.函数的周期性:
(1)周期性的定义:对定义域内的任意x,若有f(x?T)?f(x) (其中T为非零常数),
则称函数f(x)为周期函数,T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。
(2)三角函数的周期:①y?sinx:T?2? ;②y?cosx:T?2? ;
2?|?|
③y?tanx:T??;④y?Asin(?x??),y?Acos(?x??):T? ;
⑤y?tan?x:T?
?|?|
(3)与周期有关的结论:
f(x?a)?f(x?a)或f(x?2a)?f(x)(a?0) ?f(x)的周期为2a
8.基本初等函数的图像与性质:
x
㈠.?指数函数:y?a(a?0,a?1);?对数函数:y?log
a
x(a?0,a?1);
?幂函数:y?x (??R) ;?正弦函数:y?sinx;?余弦函数:y?cosx ; (6)正切函数:y?tanx;?一元二次函数:ax?bx?c?0(a≠0);?其它常用函数:
① 正比例函数:y?kx(k?0);②反比例函数:y?
kx
(k?0);③函数
y?x?
ax
(a?0)
2
?
- 2 -
m
㈡.
?分数指数幂:a
n
?
;a
?
mn
?
1
m
(以上a?0,m,n?N?,且n?1).
a
n
?.①ab?N?log
③log
M
a
a
N?b; ②log
a
?MN??
n
log
a
M?log
a
N;
N
?log
a
M?log
a
N; ④logamb?
nm
logab.
a
?.对数的换底公式:logaN?9.二次函数:
logmNlogma
.对数恒等式:alog
N
?N.
?解析式:①一般式:f(x)?ax2?bx?c;②顶点式:f(x)?a(x?h)2?k,(h,k)为顶点;
③零点式:f(x)?a(x?x1)(x?x2) (a≠0).
?二次函数问题解决需考虑的因素:
①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。 二次函数y?ax
2
?b4ac?b2
,顶点坐标是??bx?c的图象的对称轴方程是x????2a4a2a?
b
?
?。? ?
10.函数图象:
?图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法 ③导数法 ?图象变换:
① 平移变换:ⅰ)y?f(x)?y?f(x?a),(a?0)———左“+”右“-”; ⅱ)y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0) ———上“+”下“-”; ② 对称变换:ⅰ)y?f(x)????y??f(?x);ⅱ)y?f(x)????y??f(x);
ⅲ) y?f(x)???y?f(?x); ⅳ)y?f(x)????x?f(y);
③ 翻折变换:
ⅰ)y?f(x)?y?f(|x|)———(去左翻右)y轴右不动,右向左翻(f(x)在y左侧图象去掉);
ⅱ)y?f(x)?y?|f(x)|———(留上翻下)x轴上不动,下向上翻(|f(x)|在x下面无图象);
11.函数图象(曲线)对称性的证明:
(1)证明函数y?f(x)图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明函数y?f(x)与y?g(x)图象的对称性,即证明y?f(x)图象上任意点关于
对称中心(对称轴)的对称点在y?g(x)的图象上,反之亦然。
- 3 -
x?0
y?x
(0,0)
y?0
注:①曲线C1:f(x,y)=0关于原点(0,0)的对称曲线C2方程为:f(-x,-y)=0;
曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为:f(-x, y)=0;
曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为:f(x, -y)=0; 曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为:f(y, x)=0 ②f(a+x)=f(b-x) (x∈R)?y=f(x)图像关于直线x=
a?b2
对称;
特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R)?y=f(x)图像关于直线x=a对称. ③y?f(x)的图象关于点(a,b)对称?f?a?x??f?a?x??2b. 特别地:y?f(x)的图象关于点(a,0)对称?f?a?x???f?a?x?. ④函数y?f(x?a)与函数y?f(a?x)的图象关于直线x?a对称; 函数y?f(a?x)与函数y?f(a?x)的图象关于直线x?0对称。 12.函数零点的求法:
?直接法(求f(x)?0的根);?图象法;?二分法.
(4)零点定理:若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点。 13.导数:
?导数定义:f(x)在点x0处的导数记作y?
?f?(x0)?lim
f(x0??x)?f(x0)
?x
x?x0
?x?0
?常见函数的导数公式: ①C'?0;②(xn)'?nxn?1;③(sinx)'?cosx;④(cosx)'??sinx;⑤(ax)'?axlna;⑥(ex)'?ex;⑦(log⑧(lnx)?
'
a
x)?
'
1xlna
;
1x
。
u
u?v?uv?v
2
?导数的四则运算法则:(u?v)??u??v?;(uv)??u?v?uv?;()??
v
;
??u??(理科)复合函数的导数:y?x?yu; x
?导数的应用:
①利用导数求切线:注意:ⅰ)所给点是切点吗?ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线?
②利用导数判断函数单调性:i)f?(x)?0?f(x)是增函数;ii)f?(x)?0?f(x)为减函数;iii)f?(x)?0?f(x)为常数;
③利用导数求极值:ⅰ)求导数f?(x);ⅱ)求方程f?(x)?0的根;ⅲ)列表得极值。 ④ 利用导数求最大值与最小值:ⅰ)求极值;ⅱ)求区间端点值(如果有);ⅲ)比较得最值。
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
?180????'
)?5718 1.?角度制与弧度制的互化:?弧度?180,1?弧度,1弧度?(
180?
- 4 -
12
12
?弧长公式:l??R;扇形面积公式:S?
lR?
2
?R。
2.三角函数定义:角?终边上任一点(非原点)P(x,y),设|OP|?r 则:
sin??
yr
,cos??
xr
,tan??
yx
3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦;(简记为“全s t c”) 4.诱导公式记忆规律:“奇变偶不变,符号看象限” 5.?y?Asin(?x??) 对称轴:令?x???k??
(k???
?
2
,得x??; 对称中心:
?
,0)(k?Z);
?y?Acos(?x??) 对称轴:令?x???k?,得x?
k??(
k???
?
;对称中心:
?2
??
?
,0)(k?Z);
?周期公式:①函数y?Asin(?x??)及y?Acos(?x??)的周期T?常数,
且A≠0).②函数y?Atan??x???的周期T?6.同角三角函数的基本关系:sin
2
2?
(A、ω、?为
??
(A、ω、?为常数,且A≠0).
?tanx
x?cos
2
x?1;
sinxcosx
7.三角函数的单调区间及对称性:
???
?y?sinx的单调递增区间为?2k??,2k??
22?
?
,单调递减区间为 ?k?Z
?
??3???
x?k??(k?Z),对称中心为?k?,0?(k?Z). ,对称轴为2k??,2k??k?Z?222???k???k?y?cosx的单调递增区间为?2k???,2
Z,单调递减区间为
?2k?
,2k??
??
?kZ ,
??
对称轴为x?k?(k?Z),对称中心为?k??
??
?
?
,0?(k?Z). 2?
?y?tanx的单调递增区间为?k??
?k??
,0??k?Z?. ??2?
?
2
,k??
??
?k?Z,对称中心为
2?
8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
①sin(???)?sin?cos??cos?sin?;cos(???)?cos?cos??sin?sin?;
- 5 -
tan(???)?
tan??tan?1?tan?tan?
.
②sin(???)sin(???)?sin2??sin2?;cos(???)cos(???)?cos2??sin2?. ③asin??
bcos????)(其中,辅助角?所在象限由点(a,b)所在的象限 决定,tan??
ba
).
2
9.二倍角公式:①sin2??2sin?cos?.(sin??cos?)?1?2sin?cos??1?sin2?
②cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?(升幂公式).
1?cos2?1?cos2?22
(降幂公式). cos??,sin??
2
2
10.正、余弦定理: ?正弦定理:
asinA
?
bsinB
?
csinC
) ?2R (2R是?ABC外接圆直径
注:①a:b:c?sinA:sinB:sinC;②a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC;
③
asinA
?
bsinB
2
?
csinC
2
?
a?b?csinA?sinB?sinC
。
b?c?a
2bc
2
2
2
?余弦定理:a?b?c?2bccosA等三个;cosA?
11.几个公式:?三角形面积公式:①S?b、c边上的高);②S?
S?OAB?
12
absinC?
1212aha?
12bhb?12
12
2
等三个。
chc(ha、hb、hc分别表示a、
bcsinA?casinB.
③
?内切圆半径r=
2S?ABCa?b?c
; 外接圆直径2R=
asinA
?
bsinB
?
csinC
;
第四部分 立体几何
1.三视图与直观图:?画三视图要求:正视图与俯视图长对正;正视图与侧视图高平齐;侧视图与俯视图宽相等。 ?斜二测画法画水平放置几何体的直观图的要领。 2.表(侧)面积与体积公式:
?柱体:①表面积:S=S侧+2S底;②侧面积:S侧=2?rh;③体积:V=S底h ?锥体:①表面积:S=S侧+S底;②侧面积:S侧=?rl;③体积:V=
13
S底h:
1
'
'
'
?台体:①表面积:S=S侧+S上底?S下底;②侧面积:S侧=?(r?r)l;③体积:V=S+SS?S)
3
h;
?球体:①表面积:S=4?R;②体积:V=3.位置关系的证明(主要方法):
2
43
?R .
3
- 6 -
?直线与直线平行:①公理4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。 ?直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行?线面平行。
?平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。 ?直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。
?平面与平面垂直:①定义----两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。 注:以上理科还可用向量法。 4.求角:(步骤-------Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角) ?异面直线所成角的求法:
①平移法:平移直线,构造三角形;②用向量法 ?直线与平面所成的角:
①直接法(利用线面角定义);②用向量法 5.结论:
?棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. ?长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,则体对角线长为a?b?c全面积为2ab+2bc+2ca,体积V=abc。
?正方体的棱长为a,则体对角线长为3a,全面积为6a2,体积V=a3。
?球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. ?正四面体的性质:设棱长为a,则正四面体的: ① 高:h?
第五部分 直线与圆
1.斜率公式:k?
y2?y1x2?x1
63
2
2
2
,
②对棱间距离:a;
22
③内切球半径:a;
612
④外接球半径:a;
64
a。
,其中P1(x1,y1)、P2(x2,y2).
ba
(a?0).
直线的方向向量v??a,b?,则直线的斜率为k=
2.直线方程的五种形式:
(1)点斜式:y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k). (2)斜截式:y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距). (3)两点式:(4)截距式:
y?y1y2?y1x?y
?
x?x1x2?x1
(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) x1?x2,y1?y2).
?1(其中a、b分别为直线在x轴、y轴上的截距,且a?0,b?0). ab
(5)一般式:Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).
3.两条直线的位置关系:
(1)若l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2,则:
- 7 -
① l1∥l2?k1?k2,b1?b2; ②l1?l2?k1k2??1. (2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,则:
① l1//l2?A1B2?A2B1?0且A1C2?A2C1?0;②l1?l2?A1A2?B1B2?0. 4.求解线性规划问题的步骤是:
(1)列约束条件;(2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。 5.两个公式:
?点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离:d
?
Ax0?By0?C
A
2
;
?B
2
?两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离d?C1?C2
A?B
2
2
6.圆的方程:
?标准方程:①(x?a)2?(y?b)2?r2 ;②x2?y2?r2 。 ?一般方程:x2?y2?Dx?Ey?F?0 (D2?E2?4F?0) 注:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆?A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0 7.圆的方程的求法:?待定系数法;?几何法。 8.点、直线与圆的位置关系:(主要掌握几何法) ?点与圆的位置关系:(d表示点到圆心的距离)
①d?R?点在圆上;②d?R?点在圆内;③d?R?点在圆外。 ?直线与圆的位置关系:(d表示圆心到直线的距离) ①d?R?相切;②d?R?相交;③d?R?相离。
?圆与圆的位置关系:(d表示圆心距,R,r表示两圆半径,且R?r) ①d?R?r?相离;②d?R?r?外切;③R?r?d?R?r?相交; ④d?R?r?内切;⑤0?d?R?r?内含。 9
.直线与圆相交所得弦长|AB|?
第六部分 圆锥曲线
1.定义:?椭圆:|MF1|?|MF2|?2a,(2a?|F1F2|);
?双曲线:||MF1|?|MF2||?2a,(2a?|F1F2|); ?抛物线:|MF|=d
2.结论 :?直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则
AB?
或AB?x1?x2
?k
2
, 或AB?y1?y2
2ba
2
?
1k
2
.
注:①抛物线:AB=x1+x2+p;②通径(最短弦):ⅰ)椭圆、双曲线:物线:2p.
?过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为:mx
2
;ⅱ)抛
?ny
2
?1 (m,n同时大于0时表示椭
- 8 -
圆;
mn?0时表示双曲线);当点P与椭圆短轴顶点重合时?F1PF2最大;
?双曲线中的结论: ①双曲线
xa
22
?
yb
22
?1(a>0,b>0)的渐近线:
xa
22
?
22
yb?
22
?0;
22
②共渐进线y??
ba
x的双曲线标准方程可设为
xa
yb
??(?
为参数,?≠ 0);
③双曲线为等轴双曲线?e?2?渐近线互相垂直;
?焦点三角形问题求解:利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。 3.直线与圆锥曲线问题解法:
?直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。
注意以下问题:①联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程?②直线斜率不存在时
考虑了吗?③判别式验证了吗? ?设而不求(点差法-----代点作差法):--------处理弦中点问题 步骤如下:①设点A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得kAB?
y1?y2x1?x2
???;③解决问题。
4.求轨迹的常用方法:(1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式);(3)代入法(又称相关点法或坐标转移法);?待定系数法;(5)消参法;(6)交轨法;(7)几何法。
第七部分 平面向量
1.平面上两点间的距离公式:dA,B
?
A(x1,y1),B(x2,y2).
2.向量的平行与垂直: 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b?0,则:
①a∥b?b=λa?x1y2?x2y1?0;
② a?b (a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0. 3.a·b=|a||b|cos<a,b>=x1x2+y1y2;
注:①|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影;|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影;
②a·b的几何意义:a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。 4.cos<a,b
?????????????OP?xOA?yOB且x?y?1。 5.三点共线的充要条件:P,A,B三点共线
第八部分 数列 1.定义:
- 9 -
(1)等差数列{an}?an?1?an?d(d为常数,n?N)?an?an?1?d(n?2)?2an?an?1?an?1(n?2,n?N*)?an?kn?b?Sn?An
2
?
?Bn
?
?等比数列 {an}?
an?1an
?q(q?0)?an
2
?an-1?an?1(n?2,n?N)
2.等差、等比数列性质:
等差数列 等比数列 通项公式 an?a1?(n?1)d an?a1qn?1
1.q?1时,Sn?na1;
前n项和 Sn?
n(a1?an)
2
?na1?
n(n?1)2
d
2.q?1时,Sn??
a1?anq1?q
n-m
a1(1?q) 1?q
n
性质 ①an=am+ (n-m)d, ①an=amq;
②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq
③Sk,S2k?Sk,S3k?S2k,?成AP ③Sk,S2k?Sk,S3k?S2k,?成GP
④a,a,a,?成AP,d'?md ④a,a,a,?成GP,q'?qm 3.常见数列通项的求法:
?定义法(利用AP,GP的定义);?累加法(an?1?an?cn型)
?累乘法(
an?1an
?cn型);?待定系数法(an?1?kan?b型)转化为an?1?x?k(an?x)
(6)间接法(例如:an?1?an?4anan?1?
1an
?
1an?1
;(7)(理科)数学归纳法。 ?4)
4.前n项和的求法:?分组求和法;?错位相减法;?裂项法。 5.等差数列前n项和最值的求法: ?Sn最大值?
第九部分 不等式 1.均值不等式:ab?
a?b2
?
a?b2
2
2
?an?0??a?0?
?或Sn最小值?n? ;?利用二次函数的图象与性质。 ??
?an?1?0??an?1?0?
(a,b?0)
注意:①一正二定三相等;②变形:ab?(
a?b2
)?
2
a?b2
22
(a,b?R)。
- 10 -
2.极值定理:已知x,y都是正数,则有:
(1)如果积xy是定值p,那么当x?y时和x?y有最小值2(2)如果和x?y是定值s,那么当x?y时积xy有最大值
14
2
p;
s.
3.解一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0):若a?0,则对于解集不是全集或空集时,对应的
解集为“大两边,小中间”.如:当x1?x2,?x?x1??x?x2??0?x1?x?x2;
?x?x1??x?x2??0?
2
2
x?x2或x?x1.
2
2
4.含有绝对值的不等式:当a?0时,有:①x?a?x?a??a?x?a; ②x?a?x?a?x?a或x??a.
5.分式不等式:
f?x?f?x?(1)?0?f?x??g?x??0; (2)?0?f?x??g?x??0;
g?x?g?x?(3)
?f?x??g?x??0?f?x??g?x??0f?x?
?0???0?? ; (4). g?x?g?x??g?x??0?g?x??0f?x?
?f(x)?0
?
. f(x)?logag(x)??g(x)?0
?f(x)?g(x)??f(x)?0?
f(x)?logag(x)??g(x)?0
?f(x)?g(x)?
6.指数不等式与对数不等式
(1)当a?1时,af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);loga
(2)当0?a?1时,af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);loga
3.不等式的性质:
?a?b?b?a;?a?b,b?c?a?c;?a?b?a?c?b?c;a?b,c?d
?a?c?b?d;?a?b,c?0?ac?bd;a?b,c?0?ac?bc;
a?b?0,c?d?0
?ac?bd;?a?b?0?an?bn?0(n?N?);?a?b?0?
n
a?
n
b(n?N)
?
第十部分 复数 1.概念:
?z=a+bi∈R?b=0 (a,b∈R)?z=? z2≥ 0;?z=a+bi是虚数?b≠ 0(a,b∈R); ?z=a+bi是纯虚数?a=0且b≠ 0(a,b∈R)?z+=0(z≠ 0)?z2<0; ?a+bi=c+di?a=c且c=d(a,b,c,d∈R);
2.复数的代数形式及其运算:设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z z2 = (a + b) ± (c + d)i;? z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;1±
- 11 -
?z1
z2=(a?bi)(c?di)(c?di)(c?di)ac?bdbc?ad? 2?i (z2≠ 0) ; 222c?dc?d
3.几个重要的结论:
①(1?i)2??2i;②1?i?i;1?i??i;
1?i1?i
③i性质:T=4;i4n?1,i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i;i4n?i4n?1?i4?2?i4n?3?0;
4.模的性质:?|z1z2|?|z1||z2|;?|z1z2
|?|z1||z2|;?|zn|?|z|n。 5.实系数一元二次方程ax2?bx?c?0的解:
①若??b?4ac?0,
则x1,2?22a②若??b2?4ac?0,则x1?x2??b2a; ③若??b2?4ac?0,它在实数集R内没有实数根;在复数集C内有且仅有两个共轭复数
根x?
第十一部分 概率
1.事件的关系:
?事件B包含事件A:事件A发生,事件B一定发生,记作A?B;
?事件A与事件B相等:若A?B,B?A,则事件A与B相等,记作A=B;
?并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生或B发生,记作A?B(或A?B); ?并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生且B发生,记作A?B(或AB) ; ?事件A与事件B互斥:若A?B为不可能事件(A?B??),则事件A与互斥; ?对立事件:A?B为不可能事件,A?B为必然事件,则A与B互为对立事件。
2.概率公式:
?互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B); ?古典概型:P(A)?A包含的基本事件的个数
基本事件的总数2ab?4ac?0). 2; ?几何概型:P(A)?
构成事件A的区域长度(面积或体试验的全部结果构成的积等)等)区域长度(面积或体积 ;
第十二部分 统计与统计案例
1.抽样方法:
?简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量 为n的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。 注:①每个个体被抽到的概率为n
N;
②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数表法。
?系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的规则, - 12 -
从
每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。
注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号;④按预
先制定的规则抽取样本。
?分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情况, 将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。 注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数?
nN
注:以上三种抽样的共同特点是:在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等
2.频率分布直方图与茎叶图:?用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。?当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边像植物茎上长出来的叶子,这种表示数据的图叫做茎叶图。 3.总体特征数的估计: ?样本平均数?样本方差S2
?
?
1n
1n
(x1?x2?????xn)?
2
2
1
n
?n
xi
;
2
i?1
[(x1?)?(x2?)?????(xn?)]?
1
n
i
?(x
n
i?1
?)
2
;
2
?样本标准差S
?
1n
[(x1?)?(x2?)?????(xn?)]
222
=
1
n
i
?(xn
i?1
?)
3.相关系数(判定两个变量线性相关性):
n
n
i
??x
r?
???
yi??
??x
?
i
???
yi??
注:?r>0时,变量x,y正相关;r <0时,变量x,y负相关;?当|r| 越接近于1,两个变量的线性相关性越强;当|r| 越接近于0时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
4. 回归直线方程
n
?
??xi???yi???
?b?i?1n?
?2y?a?bx,其中?
??xi???i?1
?
?a??n
?xy
i
i?1n
i
?nxy
2
?
i?1
xi?2
第十三部分 算法初步
1.程序框图:
- 13 -
处理框(执行框) ; ?程序框图分类:
①顺序结构: ②条件结构: ③循环结构: 求n除以i的余数 输入是 i=i+1 i=2
n 是
注:循环结构分为:Ⅰ.当型(while型) ——先判断条件,再执行循环体;
Ⅱ.直到型(until型)——先执行一次循环体,再判断条件。
2.基本算法语句:
?输入语句 INPUT “提示内容”;变量 ;输出语句:PRINT “提示内容”;表达式
赋值语句: 变量=表达式
?条件语句:① ②
IF 条件THEN IF条件 THEN
语句体 语句体1
END IF ELSE
语句体2
END IF
?循环语句:①当型: ②直到型:
WHILE条件 DO
循环体 循环体
WEND LOOP UNTIL 条件
第十四部分 常用逻辑用语与推理证明
1.充要条件的判断:
(1)定义法----正、反方向推理
注意区分:“甲是乙的充分条件(甲?乙)”与“甲的充分条件是乙(乙?甲)”
(2)利用集合间的包含关系:例如:若A?B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件。
2.逻辑联结词:
?且(and) :命题形式 p?q; p q p?q p?q ?p
?或(or): 命题形式 p?q; 真 真 真 真 假
?非(not):命题形式?p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
3.四种命题的相互关系
- 14 -
4。四种命题: ?原命题:若p则q;
?否命题:若?p则?q; ?逆命题:若q则p; ?逆否命题:若?q则?p
注:原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。
5.全称量词与存在量词
?全称量词-------“所有的”、“任意一个”等,用?表示;
全称命题p:?x?M,p(x); 全称命题p的否定?p:?x?M,?p(x)。 ?存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等,用?表示;
特称命题p:?x?M,p(x);
6.常见结论的否定形式
特称命题p的否定?p:?x?M,?p(x); 1.推理:
?合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。
①归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。
②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。
注:类比推理是特殊到特殊的推理。
?演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。 注:演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:?大前提---------已知的一般结论;?小前提---------所研究的特殊情况; ?结论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。 - 15 -
2.证明:
?直接证明 ①综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
②分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等),这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
(2)间接证明(反证法):一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法。
- 16 -