艺术生高三数学复习问题的思考

---陈莉（中学组收集）

艺术类考生在高三复习时由于要备考术科,能用于文化课学习的时间就是每天一节课.中途还有两个月的时间要外出学习术科,因此时间上不能保证正常的复习;我在高三接手时两个班的期末考试和摸底考试成绩平均都不到三十分(满分150分),且这些分数主要是从选择题上得的分,解答题平均3分左右,大部分学生基本没做解答题.因此这个分数很大程度上就是一个运气分.有近三十个学生都是二十分以下.学生学习数学的态度是不端正的,一部分学生告诉我说他们已经不学数学了,到时靠个运气拿个二、三十分就可以了,要把精力用来学容易提高的科目.还有一些学生想提高数学成绩,但苦于自己的基础太差,缺乏信心,不知从何下手.只有极个别几个学生有一定的基础,有五十分左右. 布卢姆的”掌握学习”理论认为，只要提供合适的环境和足够的学习时间以及适当的帮助，95%的学生能够学好每一门功课.那么怎样去创造一个学习数学的环境?学习时间也不多,又怎样利用这短短的几个月时间,以及提供怎样的帮助?才能使高三的复习取得最好的效果?我尝试着从如下几个方面去做,希望能取得效果.

一. 认清艺术生的高考情况,端正教师的心态

高考数学是难度和速度要求均有的考试，大部分考生是不能全部答完的。数学由于其高度的抽象性，系统性和逻辑性，只靠机械的记忆，凭直观和印象作答的题目很少，总要求考生具备一定的观察，分析和推理能力才能解决，充满思辨性。因此问题本身都有一定的难度。对我们艺术班的学生无疑是残酷的现实。但随着高等教育由精英教育向大众教育的转变，高考试题的难度也随之有所调整。试题中难：中：易约为2：5：3，容易题的分数应该约有45分。艺术类考生的数学成绩要求不高，虽然他们的基础差，但只要认真复习，拿下这部分分数也是有可能的；且对数学基础知识的考查，要求全面而又突出重点，对于支撑学科的知识体系的重点知识，考查是要保持较高的比例作为构建数学试题的主体，注重学科的内在联系和综合性，不刻意追求知识的覆盖面。根据这个原则，我们的复习就不需要各部分知识平均用力。对有用的，必考的内容有针对性的重复过关训练；对学生学得较好的内容要让它发挥其优势，如向量部分。这样也可以提高学生的应试能力。基于此，复习还是有希望成功的，自己应有信心。这样才能对学生有积极的影响.

二. 帮助学生认清高考形势,建立适当的学习目标

学习动机是直接推动学生达到学习目的的内在动力，直接影响学习效果。在教学活动中，教师要向学生阐明学习数学的重要性及目的要求，调动学生学习的主动性和积极性。学生的需要作为动机的控制者,对学生的动机有重要的影响.目前学生最大的需要就是能考上大学.而数学作为必考的一门学科有座举足轻重的作用,因为它比其他科目具有更好的区分度,在这种情况下还要放弃数学,要么是对高考清情况认识不清,要么是对在数学学习过程中失败太多已没有了信心.而且时间有限已没有希望把数学学好了.针对厌学和厌恶数学的种种原因,首现就是进行信心的教育.用考过的高考试题和以前成功学生的例子帮学生分析,他并不学要全部都会做才能考上大学,有哪些分数通过努力可以拿到而单凭运气是靠不住的.且在复习过程中还不时找一些学生能解决的高考题给他们做,使之明白通过努力复习达到一定成绩并不难, 从而对自己的数学能力有较高的知觉,树立信心并培养学习动机.稳住几个对数学有点兴趣的人,借着辅导他们学习数学的机会在同学们面前大势讨论学习数学上的一些问题,并利用他们的每一点成功激励更多的人行动起来,在班上营造出一个学习数学的环境.

三. 帮助学生养成良好的学习态度和科学的学习方法

由于学生散慢的习惯已经养成,常常不能持之以恒.加之多数学生对自己不正确的知觉可能会导致其不能积极地完成作业,不去努力参与学习活动.因此帮助为学生树立现实的、具体的、可达到的目标,及制定计划以实现目标.培养他们的自控能力,养成良好的学习态度是一开始就要做的事.

另外,学生对数学学习缺乏科学的学习方法，就算掌握了一些基础知识和基本理论，但新旧知识往往联系不上，孤立地贮存在头脑中，出现掌握不牢的现象。为了避免学生学习时的盲目思考，消除学生由于无效思维造成的倦怠情绪，要注重启发，细心引导，让学生能充分利用已有的知识去思考，去判断推理，逐步让他们将已有的知识形成网络，并让他们习得类比、归纳、总结等基本的数学方法。

四. 注重师生情感交流,提高学生学习数学的兴趣

师生情感交流是培养学生对数学兴趣的基础。情感是人类对客观事物的一种态度与心理体验。建立良好的师生关系，为教学创设良好的氛围，课堂上，应精神饱满、乐观豁达、热情幽默、张弛有度，这可让学生受到感染，自信地对待学习。兴趣是学习的内动力，在教学活动中激发学生的学习兴趣，是提高课堂教学效率的重要手段。我在教学中注

意编选内容的趣味性，探索性和应用性，选择适当的教学方法和手段，利用数学学科的表象美、知识结构内在的逻辑美、数学语言的简洁美、思想方法的奇异美等，来激发差生学习数学的兴趣。

由于艺术班的学生多数是学美术的，也有部分是学音乐的，在复习数列之前我有意插入了一个与他们的专业有关的一个话题：斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,...这个数列非常有名，因为数列中相邻两项之和等于后一项，你算算相邻两项相除所得的商是多少？ 1.618。它在自然界的构成中也起着极为重要的作用。植物、动物甚至人类都具有与这个比率惊人相似的特质,早期的科学家把1.618称为黄金分割.一个蜂巢里的雄蜂和雌蜂,雌蜂总是比雄蜂多,如果你将世界上任何一个蜂巢里的雄蜂和雌蜂分开数，你将得到一个相同的比率1.618,鹦鹉螺是一种靠吸入壳内的空气调节自身浮力的软体动物，它身上每圈罗纹的直径与相邻罗纹直径之比也是1.618；向日葵葵花籽在花盘上呈相反的弧线状排列你能猜想到相邻两圈之间的直径之比吗？当然也是1.618。螺旋形的松果、植物茎上叶子的排列、昆虫身上的分节——所有这些竟然都完全符合黄金分割，这和艺术有什么关系呢？列昂纳多·达·芬奇的著名男性裸体画《维特鲁威人》。这幅画画在一张羊皮纸上，羊皮纸已微微泛黄。画名是根据罗马杰出的建筑家马克·维特鲁威的名字而取的，这位建筑家曾在他的著作《建筑》中盛赞黄金分割。没有人比达·芬奇更了解人体的精妙结构。所有人，只要长得较为正常，测量一下你们的身高，再用身高除以你们肚脐到地面的距离结果是1.618。想再看一个例子吗？量一下你肩膀到指尖的距离，然后用它除以肘关节到指尖的距离，用臀部到地面的距离除以膝盖到地面的距离，再看看手指关节、脚趾、脊柱的分节，你都可以从中得到1.618。我们每个人都是离不开黄金分割的生物。纷繁复杂的自然界隐藏着规则,人们只能按自然规则活动，而艺术又是人们试图模仿造物主创造之美的一种尝试，在艺术作品中看到许多黄金分割的实例。如米开朗基罗、阿尔布莱希特·丢勒、达·芬奇和许多其他艺术家作品,这些艺术家在设计创作其作品时都有意识地、严格地遵循了黄金分割比率。希腊巴特农神殿、埃及金字塔等在建筑设计也充分运用了黄金分割，就连莫扎特的奏鸣曲、贝多芬的《第五交响曲》、甚至斯特拉迪瓦里在制造他那有名的小提琴时也运用了黄金分割来确定f形洞的确切位置。特别是五角星,在许多文化中被看作是神圣而神奇的,因为如果你画一个五角星，那么那几条线段会自动将它们自己按黄金分割的比率截为几段,使得它成为了黄金分割的首要代表。正是因为这个原因，五角星总是被作为美丽与完美的象征。而斐波那契数列，黄金分割只是数学家从客观世界中发现的数量关系中的一个例子，数学并不是有些人认为的那样没用，它含有丰富的内容。数学的思想和方法，数学应用的广泛性，使得数学知识成为进一步学习的基础，而数学素质则成为人才的重要特征，因此每一个人都应该学习一定的数学知识，而不是逃避它。像这样多灌输一些数学的实用性，有趣性的例子，久之会让学生对数学心动的(可惜时间不多).

五. 注重学法指导,加强个别化辅导，做到有的放矢

个别辅导可以对学生进行有针对性的教育，对其提出恰如其分的要求，是对差生进行帮助的最有效措施之一。造成学习成绩差的原因是错综复杂的，学习不得法，也是一个主原因.有的思维不灵活，不会进行预习、复习，听课时不知道怎样抓重点、难点，不会记简要的笔记,上课时跟不上。有的是思想问题.通过个别辅导可以从心理上和学习上帮助他们解决一定的困难,从而提高其成就动机.同时结合数学课的特点，随时渗透学习方法的指导，如指导学生怎样提高听课效率；怎样进行预习和复习；怎样自学；怎样培养数学能力等。在备课时不仅备教材，更重要的是立足于学生的思维，仔细揣摩他们学习的心理，努力体察学生可能发生的困惑和错误之处，做到未雨绸缪，估计在先；其次在课堂上要随时从学生的神态、表情中观察、揣摩，尽可能地掌握学生的思维进展程度，并作出相应的对策。如在复习集合的运算时，学生对交集和并集的符号总是弄错，当他们弄明白两个概念后,让他们记住”交”与”并”两个字的夸张的写法,使之留下深刻的印记.或注意联合国的英文缩写”UN”中的”U”的含义.也可知道并集的意思. 总之授之以鱼不如授之以渔.

六. 把复习课当新课来上,用好课堂45分钟

解决了学习环境和思想问题后,最好的帮助莫过于用好课堂45分钟了.他们的学习时间非常有限,课后时间根本指望不上.这么宝贵的时间还不赶快多压一点内容下去,还等什么!但我知道学生是无法接受的.由于学生本身就没怎么学,加之已近两个月都在外学习术科,多数知识点对他们最多也只是似曾相识了.而不知游戏规则,怎么做游戏呢!因此只有先从学知识入手,复习课有时就变成了新授课.这不能不需要更多的时间,又无法得到.因此精心设计教学目标,选择教学内容和教学方法及教学手段就显得尤为重要. 凡大纲和教材删去的，坚决不教;不增加难度;凡大纲规定理解的就不要求运用，只要求运用到什么程度的就练到什么程度; 不降低要求，凡大纲要求掌握的、运用的，一定当堂练习，当堂检测，决不满足于讲完例题，学生能够理解就行。凡是当堂教的定理、公式要当堂记忆、当堂运用、尽量当堂检测,及时反馈.精心设计好每一份练习题(因为没有那份资料完全适合我的学生),以保证学生集中精力学好基本知识,掌握基本技能.

七. 不断反复,螺旋式是上升

由于知识的学习和复习几乎是同时进行,不可能一步到位地达到某一高度,或为了巩固复习过的内容等都需要有一定次数的反复.我的学生底子本身薄弱,学习能力较差,理解知识较慢,且易于遗忘,因此有时需要不止一次的反复才能习得一定的技能.但这个反复不是纯粹的重复,而是呈螺旋式地上升.反复的时间不一定是连续的,但要遵循认知规律.一般在一周内一定反复一次,当然也可设计于与其它知识的联系中.不定时地巩固.

因为影响学生习行为的因素很多,所有策略最后取得的效果如何乃是一个变量.一切的帮助和激励都要通过学生自己才能起作用.所谓:谋事在人,成事在天.

第二篇：艺术生文化课补习---高三数学复习(三)

高三一轮复习三 ----数   列

一、复习要求

1、等差数列及等比数列的定义，通项公式，前n项和公式及性质；

2、一般数列的通项及前n项和计算。

二、学习指导

     1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。

研究数列，首先研究对应法则——通项公式：a_n=f(n)，n∈N₊，要能合理地由数列前n项写出通项公式，其次研究前n项和公式S_n：S_n=a₁+a₂+…a_n，由S_n定义，得到数列中的重要公式：。

一般数列的a_n及S_n,，除化归为等差数列及等比数列外，求S_n还有下列基本题型：列项相消法，错位相消法。

2、等差数列

   （1）定义，{a_n}为等差数列a_n+1-a_n=d（常数），n∈N₊2a_n=a_n-1+a_n+1（n≥2，n∈N₊）；

   （2）通项公式：a_n=a_n+(n-1)d，a_n=a_m+(n-m)d；

        前n项和公式：；

   （3）性质：a_n=an+b，即a_n是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；

    S_n=an²+bn，即S_n是n的不含常数项的二次函数；

若{a_n}，{b_n}均为等差数列，则{a_n±n_n},{},{ka_n+c}（k，c为常数）均为等差数列；

当m+n=p+q时，a_m+a_n=a_p+a_q，特例：a₁+a_n=a₂+a­_n-1=a₃+a_n-2=…；

当2n=p+q时，2a_n=a_p+a_q；

当n为奇数时，S_2n-1=(2n-1)a­_n；S_奇=a_中，S_偶=a_中。

    3、等比数列

（1）定义：=q（q为常数，a_n≠0）；a_n²=a_n-1a_n+1（n≥2，n∈N₊）；

（2）通项公式：a_n=a₁q^n-1，a_n=a_mq^n-m;

     前n项和公式：；

（3）性质

当m+n=p+q时，a_ma_n=a_pa_q，特例：a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…，

当2n=p+q时，a_n²=a_pa_q，数列{ka_n}，{}成等比数列。

4、等差、等比数列的应用

   （1）基本量的思想：常设首项、公差及首项、公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等；

   （2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算；

   （3）若{a_n}为等差数列，则{}为等比数列（a>0且a≠1）；

若{a_n}为正数等比数列，则{log_aa_n}为等差数列（a>0且a≠1）。

三、典型例题

    例1、已知数列{a_n}为等差数列，公差d≠0，其中，，…， 恰为等比数列，若k₁=1，k₂=5，k₃=17，求k₁+k₂+…+k_n。

解题思路分析：

从寻找新、旧数列的关系着手

设{a_n}首项为a₁，公差为d

∵ a₁，a₅，a₁₇成等比数列

∴ a₅²=a₁a₁₇

∴（a₁+4d）²=a₁(a₁+16d)

∴ a₁=2d

设等比数列公比为q，则

对项来说，

在等差数列中：

在等比数列中：

∴

∴

                 

注：本题把k₁+k₂+…+k_n看成是数列{k_n}的求和问题，着重分析{k_n}的通项公式。这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”。

例2、设数列{a_n}为等差数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₇=7，S₁₅=75,T_n为数列{}的前n项和，求T_n。

解题思路分析：

法一：利用基本元素分析法

设{a_n}首项为a₁，公差为d，则

∴

∴

∴

此式为n的一次函数

∴ {}为等差数列

∴

法二：{a_n}为等差数列，设S_n=An²+Bn

∴

解之得：

∴ ，下略

注：法二利用了等差数列前n项和的性质

例3、正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且，求：

（1）数列{a_n}的通项公式；

（2）设，数列{b_n}的前n项的和为B_n，求证：B_n.

解题思路分析：

（I）涉及到a_n及S_n的递推关系，一般都用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）消元化归。

∵

∴ 4S_n=(a_n+1)²

∴ 4S_n-1=(a_n-1+1)²（n≥2）

∴ 4(S_n-S_n-1)=(a_n+1)²-(a_n-1+1)²

∴ 4a_n=a_n²-a_n-1²+2a_n-2a_n-1

整理得：(a_n-1+a_n)(a_n-a_n-1-2)=0

∵ a_n>0

∴ a_n-a_n-1=2

∴ {a_n}为公差为2的等差数列

在中，令n=1，a₁=1

∴ a_n=2n-1

   （II）

∴

注：递推是学好数列的重要思想，例本题由4S_n=(a_n+1)²推出4S_n-1=(a_n-1+1)²，它其实就是函数中的变量代换法。在数列中一般用n-1，n+1等去代替n，实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式，代换就是对n赋值。

例4、等差数列{a_n}中，前m项的和为77（m为奇数），其中偶数项的和为33，且a₁-a_m=18，求这个数列的通项公式。

分析：

利用前奇数项和和与中项的关系

令m=2n-1，n∈N₊

则

∴

∴ n=4

∴ m=7

∴ a_n=11

∴ a₁+a_m=2a_n=22

又a₁-a_m=18

∴ a₁=20，a_m=2

∴ d=-3

∴ a_n=-3n+23

例5、设{a_n}是等差数列，，已知b₁+b₂+b₃=，b₁b₂b₃=，求等差数列的通项a_n。

解题思路分析：

∵ {a_n}为等差数列

∴ {b_n}为等比数列

从求解{b_n}着手

∵ b₁b₃=b₂²

∴ b₂³=

∴ b₂=

∴

∴   或

∴  或

∵

∴

∴ a_n=2n-3 或 a_n=-2n+5

注：本题化归为{b_n}求解，比较简单。若用{a_n}求解，则运算量较大。

例6、已知{a_n}是首项为2，公比为的等比数列，S_n为它的前n项和，

（1）用S_n表示S_n+1；

（2）是否存在自然数c和k，使得成立。

    解题思路分析：

   （1）∵

∴

   （2）（*）

∵

∴

∴ 式（*）      ①

∵ S_k+1>S_k

∴

又S_k<4

∴ 由①得：c=2或c=3

当c=2时

∵ S₁=2

∴ k=1时，c<S_k不成立，从而式①不成立

∵

∴ 由S_k<S_k+1得：

∴ 当k≥2时，，从而式①不成立

   当c=3时，S₁2，S₂=3

∴ 当k=1，2时，C<S_k不成立

∴ 式①不成立

∵

∴ 当k≥3时，，从而式①不成立

综上所述，不存在自然数c，k，使成立

例7、某公司全年的利润为b元，其中一部分作为资金发给n位职工，资金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相等）从大到小，由1到n排序，第1位职工得资金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将资金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金。

   （1）设a_k（1≤k≤n）为第k位职工所得资金额，试求a₂，a₃，并用k，n和b表示a_k（不必证明）；

   （2）证明：a_k<a_k+1（k=1，2，…，n-1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义。

解题思路分析：

谈懂题意，理清关系，建立模型

第1位职工的奖金

第2位职工的奖金

第3位职工的奖金

……

第k位职工的奖金

   （2）

此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则。

例8、试问数列{}的前多少项的和最大，并求这个最大值（lg2=0.3010）

解题思路分析：

法一：

∴ {a_n}为首项为2，公差为的等差数列

∴

∵ n∈N₊

∴ n=14时，(S_n)_max=14.35

法二：∵ a₁=2>0，d=

∴ {a_n}是递减数列，且S_n必为最大值

设

∴

∴

∴ k=14

∴ (S_n)_max=S₁₄=14.35

四、同步练习

（一）选择题

    1、已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<log_mab<1，则m取值范围是

A、m>1          B、1<m<8        C、m>8          D、0<m<1或m>8

2、设a>0，b>0，a，x₁，x₂，b成等差数列，a，y₁，y₂，b成等比数列，则x₁+x₂与y₁+y₂的大小关系是

A、x₁+x₂≤y₁+y₂                   B、x₁+x₂≥y₁+y₂

C、x₁+x₂<y₁+y₂                    D、x₁+x₂>y₁+y₂

2、已知S_n是{a_n}的前n项和，S_n=Pⁿ（P∈R，n∈N_+­­），那么数列{a_n}

A、 是等比数列                       B、当P≠0时是等比数列

C、 当P≠0，P≠1时是等比数列        D、不是等比数列

3、{a_n}是等比数列，且a_n>0，a₂a₄+2a₃a₅+a₄a₆=25，则a₃+a₅等于

A、5               B、10            C、15              D、20

4、已知a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax²+2bx+c的图象与x轴交点个数是

A、 0              B、1              C、2              D、1或2

5、设m∈N₊，log₂m的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是

A、 8204           B、8192           C、9218           D、8021

    7、若x的方程x²-x+a=0和x²-x+b=0（a≠b）的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值为

A、              B、            C、           D、

8、 在100以内所有能被3整除但不能被7整除的正整数和是

A、1557           B、1473            C、1470          D、1368

    9、从材料工地运送电线杆到500m以外的公路，沿公路一侧每隔50m埋栽一根电线杆，已知每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，最佳方案是使运输车运行

A、 11700m         B、14700m          C、14500m        D、14000m

    10、已知等差数列{a_n}中，|a₃|=|a₉|，公差d<0，则使前n项和S_n取最大值的正整数n是

A、4或5           B、5或6           C、6或7         D、8或9

（二）填空题

11、已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n(n+1)(n+2)，则它的前n项和S_n=______。

12、设等差数列{a_n}共有3n项，它的前2n项之和为100，后2n项之和为200，则该等差数列的中间n项的和等于________。

13、设数列{a_n}，{b_n}（b_n>0），n∈N₊满足（n∈N₊），则{a_n}为等差数列是{b_n}为等比数列的________条件。

14、长方体的三条棱成等比数列，若体积为216cm³，则全面积的最小值是______cm²。

15、若不等于1的三个正数a，b，c成等比数列，则(2-log_ba)(1+log_ca)=________。

（三）解答题

16、已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比和项数。

17、已知等比数列{a_n}的首项为a₁>0，公比q>-1（q≠1），设数列{b_n}的通项b_n=a_n+1+a_n+2（n∈N₊），数列{a_n},{b_n}的前n项和分别记为A_n，B_n，试比较A_n与B_n大小。

18、数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且满足a_n+2=2a_n+1-a_n（n∈N₊）

（1）求数列{a_n}通项公式；

（2）设S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n；

（3）设（n∈N₊）T_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在最大的整数m，使得对于任意的n∈N₊，均有成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。