什么是Z+Z《超级画板》？
它是为我国量身定做的基础教育数学教学软件；
它是“数学工具+课程资源”式的智能教育平台；
它提供了数学探索、数学研究和数学创作的环境；
它是每天都用到的圆规、直尺、三角板、练习本。
超级画板的主要功能
（1）动态几何构图
（2）动态图形变换
（3）函数方程曲线
（4）动态测量计算
（5）符号运算编程
（6）模拟随机事件
（7）自动推理运算
（8）课件制作平台
（9）..........
我们不对这些功能一一介绍了，而是通过几个例子，了解一下超级画板的特色之处
二、动态几何作图环境
利用数学教育软件Z+Z超级画板可以直接绘制点、线、圆、线上的点、圆上的点、 平行线、垂线、垂足、中点、相等的切线、切线，等等几十种常见的几何图像。
利用Z+Z超级画板作图：首先能够节约时间，然后能够绘制的更加准确，更重要的是 图形在变化过程中图形之间的集合关系保持不变。
这就是动态几何环境作图
线面我们举一个例子：
画任意线段AB，然后以点A为圆心绘制一个经过点B的圆。
绘制一条与AB垂直的半径AC。
在圆A上任意取一点D，过点D分别向AB、AC做垂线段DE、DF。
连接线段EF。
根据作图过程我们知道，四边形AEDF是矩形，根据矩形的性质很容易知道它的对角
线EF等于AD，因此当点D在圆上运动的过程中，EF的长度保持不变。当然，我们也可以 通过测量的方式观察到这一结论。
通过这么简单的一个作图过程，就构造出了一条两端点变化而长度固定的线段。 实际上这就是数学上著名的梯子模型：如果将AB当作地面，将AC当作墙面，那么 线段EF就像一个沿着墙面和地面下滑的梯子。
例如在平面解析几何中，通常会出现这个情景：如果在梯子的正中间位置有一个小猫， 当梯子在下滑过程中，小猫紧紧捉住梯子不放，也就是说当梯子下滑过程中，
小猫在梯子的重点位置保持不变。
请问：在梯子下滑过程中，小猫经过的路径是什么图形？
其实要解决这个问题并不困难。利用初中所学的几何知识能够推导出它是一个四分之一 圆周，在高中阶段还能够推导出该曲线的函数表达式。
然而在《超级画板》中，可以直观地观察到梯子滑动的动态过程。从而观察到跟中梯子的中点G动态生成圆弧的过程。
这可以让枯燥的数学变得更加形象，更加生动，更加有趣。
可以说，基于动态几何原理的《超级画板》软件为数学学习提供了一个动手操作、实验发现、探索验证的环境.
因此我们很容易就想到将原来的问题推广到一般的情况或者提出各种各样的问题，例如： 1； 若小猫不在梯子的中点，例如在点H的位置，那么当梯子下滑过程中，小猫 所经过路径是什么形状的曲线？
2； 刚开始学习几何的时候我们就知道：点动成线、线动成面、面动成体。
那么在这里，梯子沿着墙面和地面滑动的过程中，梯子经过的区域是什么的图形？
3；梯子上哪一点到墙角的距离最短？当梯子滑动过程中，这一点的位置是否会发生变化？ 这一点的位置会如何进行变化？
等等，你还可以提出更多的可以探索的问题。
通过《超级画板》跟踪命令和动画按钮，我们可以很容易动态观察到上述问题的结果。 单击动画按钮，我们就可以看到点H的轨迹。这是什么图形呢？现实问题当中，点D是 右上侧四分之一圆弧上的动点，而利用《超级画板》所构成的梯子滑动模型当中，点D 却可以在整个圆上运动，这样我们就能够更加清楚地观察到点H经过的路径所表示的图形。
在我们单击动画按钮之前，请你猜测一下梯子下滑的过程中，梯子扫过的区域可能 是什么图形？现在让我们单击“动画”按钮，看一看计算机帮我们自动生成的结果吧。 现在我们看一看梯子所扫过的区域。当然，若让点C在整个圆周上运动，就看到了这 个图形的全部。当点D在圆周上运动的过程中，梯子EF的滑动所形成的区域是什么形 状的图形呢？它有哪些特点？具有哪些性质？我们能否描述一下它的特征？或者给它 取个名字？
过墙角A向梯子做垂线段，垂足I就是梯子上到墙角距离最短的点，线段AI即为 最短距离。那么当梯子滑动的过程中，点I的位置、线段AI的距离如何变化呢？
这些在传统教学手段下难以想象得清楚的问题，在超级画板中可以非常轻松地展示动态的形成过程。
可见，在《超级画板》这种动态几何环境中，我们通过学生非常熟悉的点、线、圆、垂直等几何对象
或关系，以及圆周运动等方式，可以得到学生未必非常熟悉的对象，而这些对象看起来又非常有趣、
并且一时难以说得清楚。
因此我们可以说《超级画板》能够让数学变得：
更形象、更容易理解；更有趣，更有吸引力；更开放，更有挑战性！
三、函数方程曲线
在超级画板中，直接输入函数表达式或者方程，即可直接做出对应的曲线。
例如直接输入这个方程即可做出对应的曲线。当字母a变化时，曲线会同时
发生变化。我们可以进一步研究字母a对椭圆的性质的影响。
数学教师和学生都有这样的体会：在绝大多数软件中，如果要做出这么一个常见的方程对应的曲线，却是非常地困难。从这方面可以说，Z+Z《超级画板》是专一为数学教育量身定做的教学软件，它能大大减轻教师和学生劳动负担，节约他们的工作时间。
四、与生活有关的例子
我们经常说数学来自于生产生活，数学服务生产生活。但是我们能否举出了一些让学生信 服而他们又非常熟悉的例子呢？
我们还是以生活常见的自行车情景为例子：若向前行驶的自行车压在了一个香口胶P的上面，结果是香口胶粘在了车轮子边沿。那么请问：当车轮继续向前滚动的过程中，车轮边沿上的香口胶经过的路径是一条什么形状的曲线呢？
不妨先让学生思考一下这个问题，同时拿起笔在纸上画一画。学生们能否给出正确的结果并 不重要，重要的是激发学生们认真思考问题的积极性。
事实上，在传统教学手段下，若要准确地绘制点P
经过的路径，绝非易事而超级画板通过跟踪命令就可以轻松实现。
而利用超级画板得到了点P运动过得路径，问题还不算得到了解决，
我们还需要说清楚它是什么？圆弧？半个椭圆？抛物线？还是其他什么曲线？
不同的学生可能有不同的答案。
看来通过我们非常熟悉的生活情境，提出了我们未必马上就能解决的数学问题。
事实上，它既不是圆弧、也不是半个椭圆，更加不是抛物线。它的名字实际上非常容易理解， 旋轮线：即由于旋转的车轮而得到的曲线。旋轮线也叫做摆线。
摆线有很多奇特的性质，例如它叫最速降线。也就是说，在所有形状斜坡中，沿着摆线下滑，能够最早到达地面。摆线也叫等时线，也就是说沿着摆线形状的斜坡下滑，无论从任何位置同时出发，都在同一时刻到达底部。因此摆线在生产、制造中有非常广泛的应用。难怪，在欧洲17世纪被称为“摆线的世纪”。
滑梯是儿童乐园中常见的玩具。有的滑梯的滑板是平直，还有一种滑梯是弯曲的，它的画面是旋轮线。
这两个滑梯的高度一样，有两个体重完全一样的小朋友同时分别自滑梯的顶点处下滑，这两个小朋友哪一个先到达地面？
旋轮线的性质告诉我们，先到达地面的不是平直滑板上的小朋友，而是旋轮线画面上的小朋友！这是什么原因呢？你是否想去游乐场体验、对比一下？
当然，圆在圆上的滚动时，滚动圆边沿上一点所生成的曲线也叫摆线。若定圆的大小和位置固定，而滚动圆的半径不同时，所得到的摆线也不尽相同。现在，我们继续研究与车轮有关的问题。
在水平路上行驶的车辆，它们的车轮都是圆形的，对于这些现象我们已经是司空见惯的 但仔细想想未必马上就能说清楚；车轮为什么是圆的？
反过来，我们可以看一看，如果车轮不是圆形的，而是三角形的，那么在水平路面上行驶的汽车，结果会如何呢？如果车轮是四边形的呢？五边形呢？六边形呢？看到这些过程，学生们就能认识到车轮不做成圆形的后果了。这会帮助他们更加深刻理解车轮坐车圆形的道理了。
在现实世界中，是先有了水平的路面才需要造出圆形车轮的车。假如在一个数学主题公园中， 我们就可以不完全遵照现实世界的规则。例如我们已经制造出了一个正三角形的车轮的汽车，如果要求汽车还能平稳的行驶，那么路面应该是什么形状的？原来是先有路再造车，现在是先有车再铺路。
我们可以看看正三角车轮对应的路面。
还可以看看正四边形、正五边形、正六边形、正七边形车轮对应的汽车以及对应的路面等等。
五、超级画板在数学教育中的作用
这是前面我们见到过的三个问题：圆在圆上滚动生成的摆线、梯子经过的区域、椭圆扫过 的区域。你认为后两个区域的边界以及前面的摆线形状相同吗？
我们暂时认定他们是相同的。由此赞叹数学的美妙和有趣，三种完全不同的对象分别用过 三种完全不同的变换或运动竟然得到了相同的结果。
事实上，它们是否真的完全相同呢？这需要我们进行推理和证明，与物理实验、化学实验 和生物实验不同的是，数学通过实验得到了结果还需要进行推理和证明。而不能单靠直观 观察就得出结论，因为有时候眼睛会骗人。
请见：怎么少了一块？
可以看出，上面的图形的底边长是蓝色三角形的底边长之和，它的高是两个三角形的高之和；下图也是一样，因此，上下两个图形的底边和高是一样的。但是为什么由上面的图案分割后重新拼接成下面的图案，就少了一块呢？
可见，超级画板不但让数学变得更直观、更形象、更容易理解，还能让数学变得更有吸引力、更有挑战性。
第二篇：发稿-陈翔- 超级画板环境下的模拟概率实验
《超级画板》环境下的的模拟概率试验
陈 翔（湖北省宜昌市第三中学）
摘要：利用《超级画板》的函数功能和数据迭代功能模拟概率试验，可以克服实物试验次数不可能足够多，试验过程重复枯燥，不能保证试验的随机性等缺点，而且简便易行。其关键在于如何用函数功能将试验结果转化为0和1两个数值，并利用数据迭代功能自动统计试验结果。
关键词：超级画板；模拟概率试验；随机函数；数据迭代
收稿日期：20##-06-28
作者简介：陈翔（1963－ ），男，湖北宜昌人，湖北省宜昌市第三中学教研组长，宜昌市中考命题组成员，宜昌市第2，3，4届学科带头人，湖北省骨干教师。
北师大版课标教材中有很多概率试验，如投针试验，抽牌试验，投硬币试验，转盘试验等，如果让学生在课堂上利用实物进行试验，那么一堂本来很有趣的数学课将因为大量的重复性操作试验而变得十分枯燥无味，更重要的是，这样的实物试验，不仅不能保证试验的次数足够多，而且不能保证试验的随机性，从而影响试验的结果。《超级画板》是一款功能十分强大的国产数学教育软件，其函数功能尤其值得称道，它除了支持一些常用的函数，如三角函数、对数函数外，还支持随机函数、符号函数、取整函数等特殊函数。正是由于它支持众多函数，还具有独特的数据迭代功能，利用它进行模拟概率试验非常方便。下面以投针试验、抽牌试验、生肖相同的概率试验、投硬币试验四个课件为例，讲讲如何利用《超级画板》进行模拟概率试验。
先看投针试验，这是历史上的一个十分著名的试验，也叫布丰（Buffon）投针试验，北师大版课标教材是在九年级上册第六章第二节向学生介绍这个试验的。虽然我们也可以用《几何画板》模拟该试验，但由于《几何画板》不支持随机函数，也没有比较简便可行的统计试验结果的方法，导致制作过程异常复杂。如果用《超级画板》进行模拟试验，则十分简便（如图1）。
图1
课件制作的基本思想是：用固定长度的线段AB代表针，函数y=0，y=1，…，y=7的图象代表直线，当线段AB的位置随机变化时，让《超级画板》自动判断线段AB是否和上述直线相交，并自动统计相交的频率。该课件的制作有三个关键问题需要解决：一是如何实现投针的随机性，二是如何判断针与直线是否相交，三是如何统计相交的次数和频率。解决这些问题首先要熟悉《超级画板》的函数功能，还要扎实的数学功底。
先看如何实现投针的随机性。先将线段AB的一个端点A的横纵坐标都设置为随机函数rand的值，这样点A就是一个随机点。具体做法是：将点A的横坐标设置为rand(-6，6)，纵坐标设置为rand(0，6)，这里，rand(-6，6)表示在-6和6之间随机选取一个数，rand(0，6)表示在0到6之间随机选取一个数。这样设置的点A的横坐标在-6和6之间，纵坐标在0和6之间，因而投下去的针只能落在一个长为12，宽为6的矩形内。我们将代表针的线段AB的长度R暂时固定，另一端点B实际上是处于半随机状态，因为点B只能是以A为圆心，以R为半径的圆上的一个随机点，AB就是圆的一条随机选取的半径。点B的设置方法是：先测量点A的横、纵坐标，不妨设为xA，yA，再计算rand(0,2π)的值，设此值为α，将此值作为针和x轴的正方向的夹角，再将针的另一端点B的横坐标设置为xA＋R*cosα，纵坐标设置为yA＋R*sinα。表达式中的星号“*”代表乘号，这是《超级画板》的运算符号输入规则。
这里要特别注意：点B的横、纵坐标不能直接设置为xA＋R*cos(rand(0,2π))和yA＋R*sin(rand(0,2π))，因为这样设置时，cos(rand(0,2π))中rand(0,2π)和sin(rand(0,2π))中的rand(0,2π)并非同一个角！这是因为rand(0,2π)表示在0到2π之间随机产生一个数，前一个rand(0,2π)和后一个rand(0,2π)产生的随机角是同一个角的可能性几乎为0！所以我们首先要计算表达式rand(0,2π)的值，再将这值作为针和x轴的正方向的夹角。以下几个模拟试验都要注意这个问题。
至于试验中的直线，可以用函数y＝1，2，…，7（自变量的范围均在-6～6之间）的图像代替。最后在x轴上任意选取一个点，并制作该点的动画后按钮，点击这个按钮后，就可以看见“投针”的效果，每投一次，可以让学生用肉眼判断针和直线是否相交，最后手工计算统计结果，这样显然不方便，所以我们还想让《超级画板》自动统计试验结果，这就是以下两个步骤要解决的问题，当然首先要让《超级画板》判断针和直线是否相交。先介绍《超级画板》的取整函数和绝对值函数。
《超级画板》的取整函数floor的值规定为不大于自变量的整数，例如，floor(3.95)=3，floor(4.05)=4，floor(0.5)=0，绝对值函数abs的值就是自变量的绝对值。先测量针的两端A,B的纵坐标（设其值分别为yA和yB），然后计算表达式abs(floor(yA)－floor(yB))的值，如果此值等于1，说明针和直线相交，如果此值等于0，说明针和直线不相交。请读者仔细想想其中的道理。
下一个关键步骤是如何让《超级画板》统计针和直线相交的次数，也就是表达式abs(floor(yA)－floor(yB))的值等于1的次数。
在《超级画板》中，计算出的表达式的值或者测量某一个量得到的值，《超级画板》会依次将其编号为m000，m001，m002，……，如果在此之前计算表达式abs(floor(yA)－floor(yB))的值编号为m008，那么以后两个即将计算出表达式的值的编号依次为m009和m010！此时如果立即计算表达式m009+m008和m010+(1－m008)的值，那么《超级画板》给这两个值的编号依次为m009和m010，也就是说，《超级画板》认为：m009＝m009+m008，m010＝m010+(1－m008)，这两个式子的意义是：如果m008＝1，就将m009的原来的值加上1，m010的值仍然不变，如果m008＝0，m009仍然不变，m010原来的值加上1，这相当于BASIC语言中的赋值语句：i＝i＋1，这就是《超级画板》独有的数据迭代功能，它可以解决《超级画板》中的记数问题。由于m008＝1时表示针和直线相交，m008＝0表示针和直线不相交，因而可以统计出不相交的次数。
最后，将统计结果用文本的形式展示出来，而且随着试验次数的增加，这个文本所显示的统计结果也要不断地更新。
在此课件中，m009和m010的值表示针和直线相交和不相交的次数。我们再计算表达式m009/(m009+m010)的值(这里的斜杠“/”表示除号，这也是《超级画板》的运算符号输入规则)，设此值的编号是m011，显然m011代表相交的频率。再插入一个文本，我们输入的内容是：“相交的次数是$bl{m009,0}，相交的频率是$bl{m011,4}”，其中$bl{m011,4}表示该文本此处引用变量m011的值，4表示引用此值时，精确到小数点后面4位。这样的文本可以实现随着试验次数的增加而不断更新试验结果。这也是《超级画板》的一个十分方便的功能。
再制作一个初始化按钮，使m009和m010的初始值都是0，点击此按钮时，统计的相交和不相交的次数从零开始。稍加修饰，完成整个课件的制作。
本课件的使用方法十分简单：先点击“初始化”按钮，再点击“开始投”按钮，试验结果会自动显示，再次点“开始投”按钮，试验会暂停。也可以在空白出双击鼠标暂停试验。以下几个课件的使用方法都如此，笔者不再介绍它们的用法。
再看北师大版课标教材中九上第六章第一节介绍的抽牌试验（如图2），问题是这样的：
有两组牌，每组两张，牌面上的数字只有1和2两种，从每组牌中各抽取一张，牌面数字为[L1] 2，3，4的概率各为多少？
图2
如果用《超级画板》做模拟试验，基本思路和和投针试验基本相同，不同的是，如何让《超级画板》如何统计两张牌的牌面数字和分别为2，3，4的次数。以统计和为3的次数为例。
首先计算两次表达式floor(rand(1，3)[L2] )的值作为抽取的两张牌的牌面数字，并计算两个表达式的和，再在x轴上任意选一个点，制作该点的动画按钮，点击按钮即可达到随机抽牌的目的。
下一步我们要让《超级画板》统计抽出的两张牌的牌面数字之和为3的次数，这就要用到《超级画板》中的符号函数sign。《超级画板》中规定的符号函数和高中教材中规定的符号函数有所不同，它是这样规定的：符号函数中的两个自变量中，如果前一个大，符号函数的值就是1，否则就是0。例如：sign(4，3)＝1，因为4＞3；同样，sign(2，3)＝0，因为2＜3；sign(4，4)＝0，因为4并不比4大。
利用符号函数可以判断一个值是否在某一个区间内，例如：看数字a是否在2.5和3.5之间，我们可以计算sign(3.5，a)和sign(a，2.5)的乘积，如果乘积是1，说明两个值都是1，即3.5>a并且a>2.5，也就是说：a在2.5和3.5之间；如果这个值是0，说明a不在2.5和3.5之间。有了符号函数，我们可以很容易判断牌面数字的和是否为3，方法是：设计算两牌面数字的值编号是m004，再计算表达式sign(3.5，m004)*sign(m004，2.5)的值，如果此值是1，就表明牌面数字和在2.5到3.5之间，而牌面数字之和只能是整数，因而只能为3！如果此值是0，牌面数字之和就不是3。余下的工作就是利用《超级画板》自动统计牌面数字之和为3的次数，也就是上述表达式的值是1的次数即可，这和投针试验基本相同，不再赘述。
再看模拟“生肖相同的概率”试验（如图3），问题是这样的：六个人中，至少有两个人生肖相同的概率是多少？
图3
首先计算六次表达式floor(rand(1,12)的值，其结果都是1到12之间的整数，1到12之间的整数每一个数字代表一个不同的生肖，计算出的六个值代表抽出的六个人的生肖，如何才能让《超级画板》判断这六个值是否有两个数字相同呢？只要将六个数字每两个都相减就得到15个差，再求这15个差的乘积，设这个乘积为t，若t＝0，则有两个数字相同，否则没有。但为了统计有两个数字相同的次数，我们应该将试验结果转化为0和1两个数字，所以再求sign(abs(t),0)的值，也就是将x的绝对值和0比较，如果两者相等，那么sign(abs(t),0)＝0，说明有两个数字相同；如果两者不相等，那么sign(abs(t),0)＝1，说明没有两个数字相同。余下的就是统计有两个数字相同的次数，其方法和投针试验相同。
在这个模拟试验中，我在六个数字右边设置了一盏橘红色的灯，如果有两个数字中相同，灯就亮，否则就不亮，这是用《超级画板》的动态Alpha填充控制的。设置的具体方法见下文要介绍的投硬币试验（如图4）。
我们再看看在投硬币试验中，我们是如何利用动态Alpha填充功能控制“正、反”两个字的显示和隐藏的！
图4
首先计算表达式floor(rand(0,2))的值，设这个表达式的值《超级画板》给出的编号是m000，其值只能是0和1，用0表示反面，1表示正面。再插入两个可变文本，一个为“正”字，另一个为“反”字。我们需要的效果是：m000=0时“反”字出现，“正”字隐藏，这表示投出的是反面，m000=1时“正”字出现，“反”字隐藏，表示投出的硬币为正面。这就需要利用《超级画板》的动态Alpha填充功能。具体方法是：将“正”字的动态Alpha填充值设置为255*m000，将“反”字的动态Alpha填充值设置为255*(1－m000)。在《超级画板》中，一个对象的动态Alpha填充值在0到255之间，值越小，“可见程度”越小，值为0时，不可见，相当于隐藏了该对象。由于m001的值只能是1和0，所以，当“正”和“反”字的填充值一个为255时，另一个为0，一个字显示，另一个字隐藏，这就达到了我们所要的效果。再利用数据迭代功能统计“正”、“反”二字出现的次数即可。
综上所述，利用《超级画板》进行模拟概率试验时，一般要将试验的结果转化为0和1这两个数，因为只有这样，才便于用数据迭代功能统计试验结果，如：投针试验中，将相交转化为1，不相交转化为0；抽牌试验中，将牌面数字和是3的转化为1，不是3的转化为0；生肖相同的试验中，有相同的数字转化为1，没有相同的转化为0。至于如何对不同的模拟试验设置不同的转化方法，就需要具备一定的数学建模思想，还要有扎实的数学功底。
[L1]和为
[L2]？