几何画板课件制作实例教程

时间：2024.4.27

几何画板课件制作实例教程_小学数学篇

几何画板课件制作实例教程

第一章小学数学

1. 1数与代数

实例1 整数加法口算出题器

实例2 5以内数的分成

实例3 分数意义的动态演示

实例4 求最大公约数和最小公倍数

实例5 直线上的追及问题

1.2 空间与图形

实例6 三角形分类演示

实例7 三角形三边的关系

实例8 三角形内角和的动态演示

实例9 三角形面积公式的推导

实例10 长方形周长的动态演示

实例11 长方体的初步认识

实例12 长方体的体积

1.3 统计与概率

实例13 数据的收集与整理

实例14 折线统计图

“几何画板”软件以其动态探究数学问题的功能，为数学教育活动施行“动手实践、自主探索、合作交流”的学习方式提供了可能性。经笔者们的尝试，她除了

可在小学数学中“空间与图形”这个学习领域中大展手脚，在“数与代数”、“统计与概率”这两个学习领域中，同样也能折射出其独特的魅力光芒。小学生的数学学习心理的特点决定其数学学习活动需以直观的形象作为探索数学问题的支撑，以操作、实验作为主要途径之一。因此，本章实例课件的制作以几何画板善于表现数学思想的特色积极渗透各种数学思想，注重以课件所蕴含的思想推行 “致力于改变学生的学习方式”教学策略，同时也努力实现学生个体在自主操作与学习课件中充分进行 “观察、实验、猜测、验证、推理与交流”等数学活动，促使学生在课件的引导下亲身体验“做数学”，实现数学的“再创造”。

1. 1数与代数

培养学生的数感与符号感是“数与代数”学习内容的一个很重要的目标，而采用几何画板能较轻易地实现“数形结合”。以“数形结合”的方式可帮助小学生体会数与运算的意义以及其所含的数学思想。因此，本节实例课件的设计体现了促进学生经历从实际问题到抽象出数与运算的全过程的观念，同时也充分展露了几何画板善于以直观的图形表现抽象的数学思想的特点。

实例1 整数加法口算出题器

【课件效果】

新课程标准规定：小学一年级学生要求熟练掌握20以内整数的口算加减法。编制“口算出题器”类课件，以往可能要在可编程类软件的平台上进行，现在却可以利用几何画板的参数【动画】功能，较轻易地实现。

如图1-1所示，单击按钮，出示随机加法算式，单击按钮，显示当前算式的结果。本实例适用于整数加法意义的教学、20以内的加法口算测试等，显示了信息技术与学科整合的优势。

整数加法口算出题器

4+8=

图1.1 图1-1 课件效果图

【构造分析】

1．技术要点

? 几何画板软件参数【动画】的运用

? 【带参数的迭代】的运用

2．思想分析

几何画板的迭代功能很强，它能够完成具有一定规律的几何图形的循环构造，较轻易地实现“数形结合”。本课例构造并不复杂，主要运用参数【动画】可产生“随机数”的原理制作。选择【显示】|【显示所有隐藏对象】命令，显示所有隐藏对象，如图2所示。

第二篇：几何画板课件制作教程----刘胜利

第一章概述

１.１几何画板是什么

The Geometer s Sketchpad是美国优秀的教育软件，由美国Nicholas Jackiw设计，Nicholas Jackiw和Scott Steketee程序实现, Key Curriculum出版社出版.它的中文名是《几何画板——21世纪的动态几何》.

几何画板是一个优秀的专业学科平台软件，代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向．它是以数学为根本，以＂动态几何＂为特色来动态表现设计者的思想，供用户探索几何奥秘的一个新的工具．该软件短小精悍，功能强大，开发的软件具有精确的数字化描述和动态的参数交互功能，能够动态表现相关对象的关系，适合教师根据教学需要自编微型课件.

1.电子作图工具

几何画板可以作为一个电子作图工具，利用它的工具箱提供的工具，模拟直尺、三角板、圆规，做出点、线段、射线、直线、圆等几何图形，并可以在各几何元素旁标注字母，也可以在画板上任何地方注释文字.

由于计算机的快速精确计算和图形处理功能，使几何画板软件作作图既快又精确.但它又与一般图形软件不同，在大部分几何图形中，一些几何元素之间是有一定关系的，例如垂直、平行、相交等.在几何画板中，可以利用“作图”菜单中提供的各种功能，由系统自动产生出交点、平行线、垂直线、圆弧、抛物线等几何图形.

2.动态演示工具

几何画板能够准确的、动态地表现几何问题，为充分发展几何元素在运动状态下保持几何关系的不变性，提供了方便的动态演示.使传统教学中只能在黑板上静态表现的结果变成动态的展示过程，从而使学生对一些几何性质和定理理解得更快、更深刻。例如“任意三角形”这一概念，过去教师只能在黑板上画几个三角形，再用语言补充，但是画得再多也是有限的。而用几何画板可以拖动三角形的任意一顶点，动态地演示出“任意三角形”这一概念真实情况.

例如任意三角形三条中线交于一点，这个性质我们可以在课前制作一个课件存盘.课堂上把这文件调出、运行即可（文件：三角形中线.gsp）.可以手动也可以自动.

3.显示和探求轨迹的工具

轨迹是几何中一个重要知识点，且又是一个难点.难就难在需要用动态的观点来看几何图形.但过去的课堂教学一般是借助于静态的图形或简单的教具进行讲解，学生只能根据对问题的分析和最终的结果去想像出轨迹生成的过程，如果学生的想像能力差一些，理解这部分的内容就更难.而利用几何画板的动态功能，可直观地演示出轨迹生成过程，不仅使分析、过程、结果都一目了然，而且便于整体把握数学内在规律，还可以由此发现许多新的规律. 例如斜边为定长的直角三角形直角顶点的轨迹是圆.

例如当一条线段的一个端点在圆上运动时，其垂直平分线的轨迹是什么？这是个比较难的问题.但利用几何画板这个问题就很容易解决了，如图1.1所示.

4.课件开发工具

几何画板又可以作为课件开发工具，帮助教师大大扩展几何教学的能力.在备课时，用这个软件事先编制好要讲的内容，以文件形式存在磁盘中.讲课时，调出该文件就可以自动进行演示.

但它与一般的CAI写作工具软件不同.一般的CAI写作工具，需要有一定的编程能力，一些几何关系编程者自己必须在程序中定义.而几何画板不需要教师有程序设计知识，她所需要的仅仅是一定的数学知识，特别是几何构建思想.只要教师在“画板”上画出和定义课堂上要讲解的实际内容，系统自动记录绘制的过程和内容，然后把它们存在文件，上课时调出，系统就会自动重复教室制作的过程。

特别是，利用系统的动画功能可以制作动态的教学过程，使有些原本抽象、枯燥的内容变得具体、生动、活泼，充分展现数学的美。

5.良好的学具

几何画板为学生提供了一个自由的、开阔的、十分理想的“做数学”的环境。几何画板本身就是一个很好的几何情景，它可以作为学生研究几何关系，猜测、发现和验证几何方法，探索几何规律的一个电子“实验室”。在这个“实验室”中，学生可以在画板上画出各种几何图形，系统利用它所在存储的几何定理和公式，自动显示出这些图形之间的关系，学生从中旧可以验证有关的几何性质，接受并理解相关的知识。

如“n等分线段”这一命题，教科书上一般都是用比例线段作平行线的方法。是否还有其他方法？美国两个初中学生用几何画板发现了新的方法。

1.2 画板和脚本

几何画板可以从两个相关的角度来研究几何图形。“画板”描绘具体的几何图形，强调空间的推理。“脚本”（亦称“记录”）则用语言或数学逻辑方式来描述几何图形的构造过程。

1.画板：图形探索

在“画板”窗口，可以用对应笔、直尺、圆规的绘图工具绘制欧几里得图形。画板中的菜单提供了很多的复杂作图和二维变换，利亚它可以进行度量和计算，包括从简单的距离到复杂的公式。总之，由于“画板”可以体现出几何图形的数学意义，所以当你用鼠标后动画工具移动图形的某一部分时，它会保持所以几何关系不变。

2脚本：逻辑抽象

概括地说“脚本”是对绘图过程的描述。在 “脚本” 中，可以绘制作图步骤；也可以在画板中按“脚本”中的作图步骤自动生成一个新的图形。 “脚本”可以成为基本工具箱的一部分，可以反复利用它们生成新的图形，甚至可以用一个一个独立的“脚本”建立更大“脚本”，就像2000多年前欧几里得由一些定义和假设导出几何学那样，派生出越来越复杂的几何图形。

1.3起步

1.系统配置

几何画板工作环境为中文或带有中文平台的windows9.X，32MB以上主机内存，40MB 以上硬盘和光盘驱动器。

本书是以中文Windows98作为几何画板的工作环境进行讲解。

2几何画板安装步骤

（1）安装几何画板，首先双击文件“Sketchpad.exe”图标，安装

密码；“welcome_to_http://www.mathsedu.ne t ”；在后面弹出的几个对话框中，单击“Next”(下一步)按钮，安装几何画板英文版。

（2）双击文件“updatel”图标，在后面弹出的几个对话框中，单击“Next”(下一步)按钮，安装几何画板4.03英文版升级版。

（3）双击“Updatel To GSP_404.exe”文件图标，在后面弹出的几个对话框中，单击“Next”(下一步)按钮，安装几何画板4.04英文版升级版,安装完毕后，在“开始”菜单的“程序”组中出现“GSP 404.exe”菜单命令。

（4 ）先将文件“chs.exe”重命名为“GSP 404.exe”，再将文件“GSP 404.exe”复制到安装文件夹中，覆盖原文件。运行GSP 404。

3启动几何画板

几何画板的启动与其它软件的启动类似，单击“开始”按钮，选择“程序”

的“GSP4.04”菜单命令,或者双击屏幕上的几何画板快捷图标,就可以进入几何画板的使用窗口界面,如图1.2所示.

在屏幕空白处单击鼠标,屏幕中间的版本信息消失.如5秒内无任何输入,版本信息也自动消失.

4.画板窗口

窗口第一行是标题栏,第二行下面是工作区,窗口左侧是工具栏,工作区下面是文本工具栏和数学符号画板.刚进入几何画板时,计算机在工作区中自动打开一个标题为“未命名1”的画板文件，其默认扩展名是.gsp.窗口最下面是状态行，显示当前工作状态．如图1.3所示．画板窗口最左边的一列有6个小的正方形图形，是作图的工具，从上到下分别称为：选择工具、点工具、圆规工具、直线工具、文本工具和自定义工具，总称为工具箱．

5.退出几何画板

退出几何画板的方法与一般Windows应用程序的退出方法相同.只要双击画板窗口左上角“控制”按钮或单击画板窗口右上角的“关闭”按钮或打开“文件”菜单，选定“退出”选项，就可以退出几何画板.

习题1

试着在中文Windows系统环境下,安装几何画板软件.

打开几何画板,观察窗口的组成.

练习启动和退出几何画板程序的操控.

第二章基本功能范例篇

2.1 绘制基本几何图形

几何画板绘图是欧式几何“尺规作图”的一种现代延伸。它通过直尺和圆规及它们的配合几乎可以画出所有的欧氏几何图形。这种把所有绘图建立在基本元素上的作法和数学作图思维中公理化思想是一脉相承的。利用几何画板可以绘制各种基本的几何图形，例如点、线段、射线、直线、圆、垂线、平行线等。

1.建立新画板

制作一个画板文件（也称为课件），第一步是建立一个新画板。操作步骤如下（如果是刚进入几何画板，系统已自动打开一个新画板窗口，下面步骤可以省略）：

单击“文件”菜单，屏幕出现一个下拉式子菜单（这个操作以后简称为打开“文件”菜单）；把鼠标指针移到子菜单的第一行“N新绘图”上，单击鼠标左键（这个操作系统以后简称为单击）；屏幕几何画板窗口内部出现如图1.3的新窗口，这就是新画板，如果大小不合适，可以用窗口操作，进行放大或放小。

基本几何图形的绘制

图形

用鼠标单击可激活任一工具。按Shift键加上下箭头键可从一个工具移到另一个工具，按Shift键加左右箭头键可循环选不同线形或箭头，从而改变被激活的工具。某工具一旦被激活，即可在画板中作相应的操作。

使用任意的选择：如果一个作图工具是激活的，按下Esc键能随时的激活选择工具，光标变成一个选择箭头。用此方法可做到快捷操作。

从选择工具到文本工具的自动转变：如果选择箭头是在一个对象的标签上，它便自动地变成文本工具。用文本工具，可以方便的移动和编辑标签。

快速滚动画板窗口：在工作区任何时候按下Alt键，光标变成一个小手掌，按下鼠标左键，可以快速拖拽以滚动窗口。

绘制基本图形的基本步骤相同，都是先选定画图工具，然后在画板上绘制。

（1）图画点工具：单击该图标，使它凹下显示，就选定了画点工具。再把鼠标指针移到画板工作区空白的地方或已有的对象。（对象可以是线段、射线、圆、圆弧、轨迹、函数图像、多边形的内部等）上要画点处单击，则在该处画了一个点。

用同样方法，可以在画板上画出更多的点。如图2.1（a）所示。

如果有的点画得不合适，要移动或删除它，只要先按一下Esc键，再用鼠标选中这个点，拖拽到合适的位置或按Delete键，删除这个点。

图

（2）图圆规工具：单击该图标，使它凹下显示，表示当前选定了画圆工具。

在平面几何中，已知圆心位置和半径可以决定一个圆，几何画板中也遵循这个原则。把鼠标指针移到要画圆的圆心位置，单击一下画出一个点，表示圆心，然后移动鼠标，圆心周围出现一个圆，该圆会随着指针离圆心的距离不同而不同。把鼠标指针移到合适位置后再单击左键，一个圆就出现在画板上，圆是中

间有一个小圆点表示圆心，圆上也有一个小圆点，称为确定圆半径的点，它与圆心距离表示圆的半径，只要选定画圆工具不变，可以在画板上连续做出任意多个圆，如图2.1（b）所示。

在选择工具下，拖动圆心点或圆上点，可以改变圆的位置和大小。选中圆心点和圆上点，再按Delete键，就删除了该圆。

（3）直尺工具：单击该图标，使它凹下显示，表示当前选定了画线工具。

几何画板中的“线”有三种类型：线段、射线和直线。把指针移到画线工具上，按下左右键 4

不放开，约一秒钟后右边就会显示出如图2.2的三个正方形图标。

第一个两端有两点的斜线图标代表线段；第二个右上角有一个箭头的斜线图标表示射线；第三个两端都有箭头的斜线图标表示直线。把指针拖动到其中一个图标上，放开左键，原工具箱中的画线就变成选定的图标，表示今后画出的线的类型。

我们知道平面几何中有一个公理：“两点决定一条直线”。几何画板中作线的方法也遵循这个原则，即只要在画板上确定两个点后，线就确定了。

1）画线断

先选定画线类型为“线段”。即把指针移到画线工具上，按下左键不放，屏幕出现

如图2.2的三个正方形图标后，把指针拖动到第一个图标上，放开左键，原工具箱中的画线图标就变成两端有点的画线断图标。如果原画线图标已是线段，这步可省.

把指针移到要画线断的一个端点出，单击左键画出一个端点，移动指针到要画线的第二个端点位置后再单击左键，一条线段就出现在画板上(见图2.3上部的线段)

2）画射线

先用上面所说选线型的方法，选定画线的类型为射线，把指针移到要画射线的端

点处，单击左键画出端点、移动指针要画线段的第二个点位置后再单击左键，一条射线就出现在画板上（见图2.3中部的射线）。射线可无限延长的一端，一直画到窗口边缘，并且当画板窗口放大和缩小时，该线也相应的延长和缩短。这是几何画板与其它软件不同的一个特点。

3）画直线

先用与前面画射线相同的方法选定画线的类型为直线；把指针移到要画直线的一个点处，单击左键画出一个点，单击左键画出一个点、移动指针到要画线的第二个点位置后再单击左键，一条直线就出现在画板上（见图2.3下部的线），该直线两端一直画到画板窗口的边缘，并且当画板窗口的大小变化时，直线也随着伸长和缩短，始终延伸到窗口边缘。这特性真正体现了“直线两端可无限延长”这一几何性质。

要删除以画好的线，只要选定该线或决定这条直线的两个点，再按Delete键，线就被删除了。

例2.1 画一个圆，再画它的内接三角形。

绘制的步骤如下：

（1）单击“文件”菜单中的“新建画板”选项，打开一个新画板；

（2）单击工具箱中画圆工具，选定画圆功能；

（3）把鼠标指针移到新画板中心，按下左键不动，拖动鼠标到适当位置，放开左键，画出一个圆。

（4）单击画线工具；如画线图标表示的线型不是线段，则应用前面介绍的方法，把鼠标指针移到画线图标上，按下左键不放，当右边显示出三种线型图标后，拖动鼠标指针到第一个线段图标上，再放开左键；

（5）把鼠标移到圆上作为三角形形的一个顶点处，按下左键不放，再拖动鼠标到圆上作为三角形的第二个顶点的位置，放开左键，屏幕显示一条端点在圆上的线段。

（6）把第一条线段的末端点，作为新的起点，再画第二条线段；

几何画板是按图形在画板中出现的顺序来标注标签的，一般情况下，点的标签是从大写字母A开始标注；线的标签是从小写字母j开始标注；圆的标签是用加前缀c的数字（c1，c2，）标注的，弧的标签是用加前缀a的数字（a1，a2，?）标注的，扇形的标签是用加前缀p?

的数字（p1，p2,?）标注的。在选中文本工具的状态下，标注的标签可以移动、修改和隐藏。

2）移动标签

用鼠标对准某个对象的标签，按下左键不放拖曳鼠标，可以将标签移动到合适的位置上。

3）修改标签

用鼠标双击要修改的标签或在标签上单击右键选择“属性”选项，就会显示对象属性对话框，在“标签”卡重设标签。单击“样式”按钮，可以为标签选择颜色、字体、字型、字号等。设置完单击“确定”按钮即可。需要注意的是，如果想输入下标，可在标签输入框中将下标用方括号括起来，如输入A【1】，则显示标签A1，对于上标，目前知道可以表示A’，以数字为上标必须通过模板和合并文本来实现。

4）加注解

几何画板可以在画板中加一块一块的文字框，每一个文字框都是一个对象，可以移动、缩放和隐藏。

加注解的方法是：选中文本工具后，在画板的适当位置，按住鼠标左键拖出一个矩形的文字框，在这个文字框中可以输入中西文的注解，用回车键来换行。

单击选择工具，选中的注解可以改变大小和位置。画板中显示的所有文字信息，都可以改变文字的字体、字型、字号和颜色等。方法是：先选中文字块，用快捷键“Alt+>”、“Alt+<”或执行<显示菜单/颜色>选项可以改变字的颜色。

另外也可以单击“显示”菜单的“显示文本工具栏”选项，打开文本编辑工具箱（如图2.7）。通过工作区下方“文本工具栏”有关字体、字号、字型、颜色选择框来编辑文本。单击“数学符号画板”按钮（即名为“”的按钮），来编辑比较复杂的数学式。还可以设置文本框是否可以移动：在设置文本属性时，清除“可以被鼠标选择”前复选标记，则文本框不可以再移动（需要移动时还可以用右键重新设置）。

下面我们通过例子来说明具体的操作方法。

把例2.1中画好的图形（圆内接三角形）标注标签。

打开文件：按前述打开一个已有画板文件的操作方法，打开文件yuan。gsp，显示出圆内接三角形图形。

在“文本”工具上单击，选定标注功能。

把手形的鼠标指针的指尖移动到圆心或圆上点，并单击左键，旁边就显示出字母，如图2.8所示。

如果圆上的B点不需要标注，只要在点B上再单击一下，标注字母就消失。可见这个文本工具是一个“开关”工具，即击奇数次时显示标签，偶数次时隐藏标签。

圆心一般用字母O来标注，因此需要把现在图上标注的A改为O。方法是：双击标注字母A，屏幕出现一个如图2.9的“点A的属性”对话框，在“标签”文本框中输入字母0。然后单击“样式”按钮，又出现一个“标签样式”对话框，如图2.10所示。在“字体”、“字号”、“颜色”列表框中选择相应的字体、字号和颜色，在复选框选定字型，单击“确定”按钮。“样式”框消失，又返回“点A的属性”

框中,再单击＂确定＂按钮,对话框消失,一个较大的“O”显示在圆心旁边．

(6) 移动字母位置．最初显示字母时,系统一律把字母都显示在点的左下角,这样有的字母会与图形重叠,因此必须改动字母位置．方法如下：例如要改动字母Ｃ的位置,把指针移动到字母C上,按下左键不放,拖动鼠标,字母C就相应地移动,但始终在点的周围,拖动到合适位置后放开左键,字母C就显示在新的位置．可以用相同的方法把其他字母移到合适的位置． 6

注意：以上关于标注标签的操作,都必须在选定了“文本”工具或“选择”工具后进行．

5．自定义工具

工具箱中新增“自定义工具”按钮．几何画板只是提供了基本作图规则,没有提供一些常用几何图形功能．但事实上，复杂的几何图形都是根据一定的数学关系构建的，使用者可以根据自己的需要，事先用自定义工具来制作某些常用几何图形，保存在自定义工具中,供随时调用．

自定义工具的过程和制作几何图形的过程是一样的，可以在新制作几何图形的基础上创建，也可以在已有几何图形的基础上创建．只要在制作完成后全部选中几何图形，使用“自定义工具”的“创建新工具”选项，在“新建工具”对话框输入工具名称，按“确定”按钮后，即把结果创建成一个自定义工具，这时的几何画板会把制作的过程记录下来．

4．x画板中已经没有记录这个概念，这一点和3.0版区别较大．自定义工具是保存在一个普通的几何画板文件之中，如果想在任何时候都能使用这个工具，必须把这个文件保存在几何画板安装目录的Tool Folder文件夹下，如果保存在其它位置，则只有当含有该工具的文件处于打开状态，才能在其它文件中调用这个工具．

工具箱中不再有“对象信息”按钮要获取对象信息，可以右击对象，再弹出的菜单中“选项”属性得知．

6．撤销、重复和隐藏

在几何画板中，有几种修改错误的方法．一种是使用“删除”功能，删除错误的对象，再构造正确的对象．这种删除操作，必须十分小心，因为，如果删除一个对象，那么它的子女对象就同时被删除；另一种是使用“撤销”功能,我们提倡使用此功能．如果发现某部出错，可以反复执行〈编辑/撤销〉选项（快捷键时Ctrl+Z），如果这时又不想“撤消”了，可以用“编辑”菜单中的“重复”功能．

如果有一个对象希望删除而又不影响其它对象，那么就应该使用“隐藏”功能．隐藏的方法是：先选中要隐藏的对象，然后执行〈显示/隐藏〉选项．

注意书写格式：执行〈主菜单名/子菜单/功能项〉，等同于打开指定的“级联菜单”，并选中指定的“功能项”．例如执行〈显示/隐藏〉，等同于打开“显示”菜单，并选中“隐藏”选项．

7．修改图形位置和大小

如果画板中的图形位置、大小等不合适,还可以修改．无论修改哪种图形元素（下简称图元），都必须是在选定“选择”工具的状态下．否则应先单击工具箱中第一个图标，使它凹下显示，再进行下面的操作．

修改点的位置．把鼠标指针移到点上，按下左键不放,这时点外围出现一个小圆，表示被选中，拖动鼠标，该点随着鼠标也相应地移动，到达合适位置后，放开左键，选中的点就移动到新的位置．如果仍不合适，还可以重复进行上述操作，直到满意为止．

修改圆．如果要修改圆的位置，只要把鼠标指针移到圆周上,然后与移动点一样进行操作．如果要改变圆的半径,只要移动圆上代表圆半径的大小的那个“圆上关键点”即可．例2．3 修改“yuan．gsp”中圆的位置．

原画板中的圆画在窗口中间，如果我们想把它移到画板左侧，步骤如下．

（1）选定“选择”工具，即单击工具箱第一个图标．

（2）移动圆．把鼠标指针移到圆周上，按下左键不放，拖动鼠标,我们可以看见整个圆随着指针移动．

（3）移动圆心．把鼠标指针移到圆心上，按下左键不放，向左拖动鼠标，圆心也相应向左移动，移到合适位置后，放开左键；在移动过程中，我们会发现圆上关键点不动，所以圆心向左移动时，圆也逐渐增大．

（4）移动圆上的关键点位置．移动方法同圆心．

这里问读者一个问题，当移动圆心和圆上点的过程中，你注意了内三角形是怎么变化的？如果没注意，请把上面的第1步和第2步在自己的计算机上操作一下．

你们会惊异的发现，三角形也随着移动、变化，但“内接”这个性质却始终保持！这就是几何画板不同与其它一些图形制作软件的突出优点之一．

为了得到更加深刻的印象，你可以把三角形的三个顶点也移动一下，你看到了什么？顶点能离开圆吗？

例2.4 拖动线段的操作.

选择画线段工具，画一条线段AB，并在该线段上任取一点C.

（1）选中点A或点B，作拖动操作，线段和点C（子女）受点A或点B（父母）的控制，也会随着运动.而点A和点B之间是不受控制的，拖动点A时，点B是不运动的，反之也一样.

（2）选中点c，作拖动操作，由于点C是线段的子女，受线段的子女，受线段的控制，所以点C只能

例2.5 拖动两条互相垂直线段的操作。

方法1：用画线段工具作图。画一条线段AB，再画一条线段CD，使它与线段AB垂直（如图2.12（a）中左图所示，此种方法是不正确的，表面上垂直，实质没有发生几何关系）。方法2：用构造方法作图。画一条线段AB，并在该线段上任取一点C，同时选择线段AB和点C，执行<作图菜单/垂线>选项，画出一条过点C并垂直于AB的直线m。如图2.12（a）中右图所示。

当拖动方法1绘制的图形的任一对象时，线段AB和CD这种垂直关系马上被破坏；当拖动方法2绘制的图形的任一对象时，线段AB和直线m这种垂直关系永远保持。如图2.12（b）所示。

几何画板的核心是几何关系，在运动和变化中将保持所给定的几何关系。

2.3文件菜单和显示菜单

1.文件菜单

功能描述

打开一个新的画板文档

打开一个已经存在的画板文件

保存当前画板文档

将当前画板文档保存为另一个名字

关闭当前窗口，并予以适当提示

打开“文档选项”对话框，对页面或工具作相应操作

打开“页面设置”对话框，设置打印参数

当前窗口打印预览

打印当前窗口画板文档

退出几何画板系统，并予以适当提示

功能描述

设置所选对象的线型为粗线、细线或虚线

设置所选或所创建的对象的颜色

设置所选注释、标签、度量值的字体和大小

隐藏当前选择的对象，但它对于结果仍起作用

显示并选取所以被隐藏的对象

显示（或隐藏）所选中的对象的标签

按顺序重新设置所选对象的标签

设置（或取消）所选中的对象为追踪轨迹状态

擦除追踪轨迹

根据选中的选项进行动画运动

使动画对象加速运动

使动画对象减速运动

使动画对象停止运动

显示或隐藏文本工具栏

显示或隐藏运动控制台

显示或隐藏工具箱

3.关于页面控制和连接

1)页面控制

在3.0版中,要把不同的部分做成不同的“页”,并且一旦分好页后如果有需要更改的地方,不得不重新分页,而在4.x版中,分页则不过是点几下鼠标的事情.4.x版的新建文件只有一页,但我们可以用以下几种方法增加页:增加一个空白页、从当前文档中复制页、从其它文档复制页,下面分别介绍.

增加空白页.

单击<文件/文档选项>选项,弹出"文档选项"对话框,这个对话框可以用来控制"页面"和"工具",这里选“页面”.

修改页的名称:单击"增加页"按钮的"空白页面"后,可以在“页名称”框中修改页的名称,这样就可以搭建一个课件的基本结构(当然也可以边做边增加页).

改变页的顺序:将鼠标移到显示所有页面的框中,在某一页上按下左键,当鼠标变成向上和向下的箭头时,上下拖动可以改变页的顺序.

删除页:选中某一页后单击文档选项对话框中的"移除页"按钮",可以删除改页.

页面之间的切换:最直接的方法是用屏幕左下角状态栏上方的"页切换"按钮,也可以用“链接”的方法控制页面的跳转.

(2)复制页.在"文档选项"的对话框中,单击“增加页”按钮的"复制"后可以从当前文档或其他已经打开的文档中复制页,同时复制了改页上的所有内容.这种方法比较适用于两页的内容有较多的相同,复制已制作好的页,或者把在多个文件中的不同页面整合到一个文件中,以便使用.

2)链接技巧

(1)页与页之间的链接.页与页之间的连接一般是做好各个模块后用来控制各部分的跳转,用以给使用者提供一个友好的界面.

A)单击<编辑/操作内按钮/链接>选项,可以弹出“操作内按钮链接的属性”对话框设置;

B)在"页面"选项中可以选择链接的目标页,如果想跳到某一页的同时让该页上的某一按钮按下,可以选择下方的“页面上的按钮”来设置;

C)单击“标签”，在标签框中修改按钮的名称，一般改为有明显意义的，确定即可完成按钮的设置．

D)如果完成了页面了链接的控制,可以把“显示页切换”前面的对钩去掉,让使用者只能通过按钮去控制,从而减少操作的失误(实现这一操作的更快方法是:把页切换按钮右方的小方块向左拖,直到看不到页切换按钮).

（2）链接到互联网.单击<编辑/操作内按钮/链接>选项,在弹出“操作内按钮链

接的属性“对话的“链接/超级”输入框中键入网址,就可以连接到互联网的某一特定网页,如果已经在网上建好了一个资源库,那么就可以直接调用网上资源,这样一来,几何画板也可以作为一种简单的整合工具来使用,比老版本的插入对象灵活了很多.

（3）链接到本机上的程序或文件.

A)使用绝对地址:方法基本同链接到互联网.例如要链接F盘BH04文件夹画板文件“椭圆.gsp”，在链接框中键入绝对地址“F：\HB04\椭圆.Gsp”，一定要注意加上扩

展名，不然会出现链接失败.

B)使用相对地址：把要链接的文件和几何画板文件放在同一文件夹中，地址框上键入

“文件名.扩展名”（不包括引号）即可，如果文件放在几何画板所在文件夹的下一级文件夹

中，在链接框中键入“子文件夹名\ ??\ 文件名.扩展名”，这种方法比使用绝地址方便，

因为课件放在不同的机中，绝对地址是不同的，相对地址方便使一个完整的课件共享。

这里需要说明：假如在第一页做好一个链接到第三页的按钮，当复制这个按钮到第二页，他

却不能实现链接到第三页的功能，而会发生链接目标丢失，必须重新设置链接的目标，但链

接到互联网和本地机的文件（或程序），按钮是可以任意复制的，目标仍然指向原来的位置

4关于颜色及参数控制

在4.x版几何画板中，颜色功能得到了很大的增强，利用新的颜色功能可以做出令人眼花缭

乱的作品.利用新的颜色功能可以改变对象的颜色和页的底色.

1)改变对象的颜色

选中某一对象后(不包括其它软件中作为图片粘贴过来的对象),单击菜单

<显示/颜色>选项,在显示弹出的颜色面板可以选颜色,这一点和3.x版类似，但4.x适用的对

象更广；而且还可以自定义颜色，选中某一对象后，单击菜单，<显示/颜色/其它选项>,在弹

出的“颜色选择器”面板中，可以通过颜色菜单或调色板选取颜色；以前在3.x版中需要一

定技巧的制作（如闪烁对象），现在可以用更方便的方法实现.更大的改进是:可以用一个甚至

多个参数动态地改变颜色,使得色彩更加丰富,演示效果更加动感.请看一个演示例子,具体做

法是:

如图2.13所示,画一条线段,线上取点A，度量点A到该线段一个端点的距离，改标签为A，

再作点A的“动画”按钮，改标签为“改变参数A”；

画一个圆，圆上取点B，度量点B到线段另一个端点的距离，改标签为B，再作点B的“动

画”按钮，改标签为“改变参数B”；

(3)画一个三角形，并取内部，在三角形内部取点C，度量点C到三角形任一顶点的距离，

改标签为C，再作点C的“动画”按钮，改标签为“改变参数C”；

（4）同时选中三角形内部和三个参数A，B，C的值，单击菜单（显示、颜色、参数）

选项。如图2.13所示

单击一个按钮或俩个按钮或三个按钮，观察参数动态地改变颜色的情况。

图2.13

2)改变页的底色

单击菜单（编辑/参数）选项，再弹出的“参数选项”对话框中，单击“背景”旁边的颜色

框，再淡出的面板中可以自定义页的背景颜色。

3）多参数控制颜色变化实例中的注意事项

首先，参数点应是自由点；其次，在度量三段距离后，要同时选取三个度量值和三角形的内

部，单击菜单（显示/颜色/参数）选项，在淡出的“颜色参数”对话框中作相应的设置；最

后，将参数点合并至相应图形以便生成动画。

另外需要说明的是：虽然新的颜色功能可以增强演示效果，但在体现数学关系及其本质方面

的作用并不大；而且过多的颜色效果容易使学生（尤其是低年级学生）分心，反而不利于正

常的课堂教学，所以要恰当使用颜色效果。

2.4 构造几何关系

1．构造菜单（C）

功能描述

在选中的一个或一个以上对象（线，圆，轨迹）

上随机取一点

取一点作出选中的一条或多条线段的中点

作出选中的俩个相交的对象（线或圆）所

有交点对选中的2个以上的点，按顺序用线段连接

对选中的2个以上的点，按顺序用射线连接

对选中的2个以上的点，按顺序用直线连接

一个点对2条以上线，作过该点与各线平行的平

行线

一条线对一个以上点，作各点到该线的垂线

作出过三点的角平分线，第二个点为角的顶点

对选中2点，作出以第一点为圆心，过第二点的

圆

对选中一点和一条线段，作出以点为圆心，线段

为半径的圆

对选中的圆和圆上2点，按逆时针方向作弧

按所选中三点的顺序作出一段弧

对选中的3个以上点，按顺序作出以这些点

顶点的“多边形内部”；对选中的一个圆作出“圆

的内部”；对选中的一段弧作出过弧的“扇形内

部”或“弧弦内部”

对选中的自变量动点和与它对应的轨迹（函

数）上的一个动点，作出相应的运动轨迹

2．构造几何关系

平面几何中的图形之间很多是有一定的关系的，这些关系在几何画板中必

须用“构造”功能来实现

平行线

过一点作已知直线的平行线：线选定一点和一直线（或线段或射线），或选定几点和一直线，或选定一点和几条直线，然后单击（构造/平行线）选项，就能画出过已知点且平行已知直线的平行线。

（1）选画直线工具，在画板上画出一条直线；选文本工具，标注直线上点

（2）选画点工具,在画板的直线AB外画出一个点C。

（3）同时选中直线AB和C点为当前选中对象，方法是在单击“选择”工具后，用鼠标单击直线AB和点C，使它成为当前对象。

附注：还可以用另一个方法来同时选中几个对象。先确认当前是“选择”工具状态，把鼠标指针移到画板左上角，按下左键不放，然后把鼠标往右下方拖动，屏幕出现一个虚线的 12

矩形框，继续往右下方拖动鼠标，直至虚线框包含了A，B，C三个点，放开左键，可看到直线AB和点C上都出现了选中的标记。

（4）画平行线。单击（构造/平行线）选项，就能画出过已知点C且平行已知直线AB的平行线。

（5）选中“文本”工具，在新画的直线上单击，该直线出现标注字母j。

新直线j是由计算机自动计算生成的，因此它要比我们手工绘制准确。更重要的是当我们选中B点，并在屏幕上拖动它时，不但直线AB随之变动，新产生的直线j也随着变动，并且始终始终保持与直线AB平行。如图2.14所示.

2）垂线

过一点作已知直线的垂线：先选定一点和一直线（或线段或射线），或选定几点和一直线，或选定一点和几条直线，然后单击（构造/垂线）选项，就能画出过已知点且垂直已知直线的垂线。

绘制演示三角形三条高交于一点的图形。

操作步骤如下：

打开一个新画板，按Ctrl+N键。

画三角形ABC。选中“画线段”工具，画出三角形，并用“标签工具”标注顶点字母A，B，C；然后拖动字母使他们位于合适位置（见图2.15(a)）。

作BC边上的高。选中“选择”工具，选定A点和线段BC，单击（构造/垂线）选项，就画出了过A点且垂直BC的直线；单击垂线和线段BC的交点处，得垂足点D。隐藏垂直线，用线段连接AD（见图（2.15(b)。

（4）作AB和AC边上的高。用与第三步相同的方法作出另俩条边上的高（见图2.15(c)）。

（5）拖动三角形的任一个顶点在画板上随意移动，可看到三条高始终交于一点。

3.构造三角形中其他图形

以下操作如不特殊声明，均在工具箱中“选择”工具后进行。

中线。先作出线段的中点，再选定中点和其对应顶点为当前对象，然后单击（构造/线段）选项，相应的中线立即出现在画板上。

角平分线。要作角ABCde角平分线，先按书写顺序，选中A，B，C为当前对象，单击（构造/角平分线）选项，相应的角平分线立即出现在画板上。

线段的垂直平分线。先作出线段的中点，再选中线段和中点为当前对象，然后单击（构造/垂线）选项，相应的垂直平分线立即出现在画板上。

连接四边形各边的中点

操作步骤如下。

（1）画出四边形。在工具箱中选画点工具，在画板适当位置，画四个顶点A，B，C，D，单击；然后顺序选中点A，B，C，D，单击（构造/线段）选项或按Ctrl+L，键，即画出并选中四条边。

(2)构造中点。单击〈构造/中点〉选项或按Ctrl+M键,即画出并选中四个中点。

(3)构造四边形。单击〈构造/线段〉选项或按Ctrl+L键，即画出连接各边中点的连线。

(4)拖动四边形的任一个顶点在画板上随意移动，可看到四边形的中点连线始终组成一个平行四边形EFGH。如图2.16所示。

图2.16

2.5度量与计算

1.度量菜单

度量选中一条或多条线段的长度

度量选中两点之间的距离,度量选中点到选中线的距离

度量选中的多边形内部、扇形、弓形的周长

度量选中的一个或多个圆周的长度

度量选中的三个点，以第二个点为顶点的角度值

度量选中的多边形内部、圆和圆内部或弧内部的面积

度量选中的一个或多个弧、扇形、弓形所对应的弧度角

度量选中的一个或多个弧线的长度

度量选中的弧、圆、圆内部、扇形、弓形所对应圆的半径

度量选中的两条线段比值或一条线上三点的比值

在弹出的新建计算器中，输入计算公式

度量选中的一个或多个点的坐标值

度量选中的一个或多个点的横坐标值

度量选中的一个或多个点的纵坐标值

度量选中的两个点之间的距离

度量选中的一条或多条直线、线段、射线的斜率

度量选中的一个或多个圆、直线的方程

2.长度、距离、角度、面积的度量

下面的操作在画板上已画有三角形ABC的基础上进行。

1)度量线段长度

线选中线段AB为当前对象，再单击〈度量/长度〉选项，在画板上出现一行文字： ”，如图2.17（a）所示。

2）度量点到线或度量两点距离

例如要度量A点到线段BC的距离，先选中点A和线段BC，再单击〈度量/长度〉选项， 14

在画板上出现一行文字：“ 距离（A到BC）=1.93cm”，如图2.17（a）所示。

3）度量角度

例如要度量∠ABC度数，先依次选中A，B，C为当前对象。注意顺序不能错，中间的点必须是角的顶点。再单击〈度量/长度〉选项，菜单消失，在画板上部出现一行文字：“ ”，如图2.17（b）所示。

请读者仿照上面的方法，度量∠BCA和∠CAB的度数。

4)度量面积

度量面积操作要比上面度量方法复杂一些。例如要度量ABC的面积。先选中点A，B，C为对象（顺序无关紧要）；单击〈构造/多边形内部〉选项， ABC内部被阴影填充；再单击〈度量/面积〉选项，菜单消失，画板上部显示一行文字：“ ”，如图2.17（c）所示。

(a) (b) (c)

图2.17

5）度量点的坐标

例如要度量点A的坐标或横坐标或纵坐标，先选中点A，单击〈度量〉选项，就会在下拉菜单中看到〈坐标〉、〈横坐标〉和〈纵坐标〉，单击相应的选项，画板上即显示出点A的坐标或横坐标或纵坐标。

3.公式计算

构造计算公式的方法有两种：

方法一：先用选择工具同时选中公式中需要的所有度量值（如点、线段、

角度的度量值），然后单击〈度量/计算?〉选项，弹出“计算器”对话框，如图2.18所示，此时被选中的所有度量值都存入计算器的“数值”列表框中.输入计算公式时，公式的各项均在计算器的“数值” 、“函数”和“单位”三个列表框及键盘符号中选取，最后单击“确定”按钮，就可以在几何画板上得到计算公式的度量值.

方法二：事先不选中所需的度量值，直接打开计算器对话框，此时计算器的“数值”列表框中没有存入任何的度量值.输入计算公式时，如果遇到度量值，可以直接单击画板上相应的度量值，公式的其他项均在计算器中选取（同方法一），最后单击“确定”按钮，就可以在花瓣上得到计算公式的度量值.

例2.8绘制演示三角形内角和180°

的画板文件.

绘制步骤如下：

?先画出三角形ABC.选中“画线段”工具，画出第一条边，然后以第一条边终点为起点画出第二条边，再以第二条边终点为起点，第一条边起点为终点画出第三条边，在选中“文本”工具，标出三个顶点字母A，B，C.

?度量∠ABC度数.先选中“选择”工具，按顺序选中A，B，C为当前对象，单击〈度量/角度〉选项，画板上部显示文字“∠ABC=？？？°”.

?度量∠BCA和∠CAB度数.（方法同2）.

?计算表达式∠ABC+∠BAC+∠CAB的值.方法如下,

方法一：先选中三个角度的度量值，然后单击〈度量/计算?〉选项，弹出“计算器”对话框（见图2.18）.这时输入计算三角形三内角和公式，在计算器的“数值”列表框中选中“角（ABC）”项，单击“+”号，再在“数值”列表框中“角（BCA）”，单击“+”号，再在“数值”列表框中选中“角（CAB）”，单击“确定”按钮，计算器消失，在画板中出现等式：“m∠CAB+ m∠BCA+ m∠ABC=180°”.如图2.18所示.

方法二：先打开“计算器”对话框，再用鼠标单击画板上∠ABC的度量值，然后单击计算器中的“+”号，再单击画板上∠BCA的度量值，单击“+”号，单击画板上∠CAB度量值，最后单击“确定”按钮即可.

?在画板上任意拖动三角形的一个顶点，可以看到，三个角的度数在不断变化，但最后一个表达式等号右边的值不变，总是180°.

例2.9 绘制演示勾股定理的画板.

?建立新画板.按Ctrl+N键（或打开“文件”菜单，选中“新绘图”选项），新建一个画板.

?画线段AC,选中“画线段”工具，在画板上画出线段，并标注字母A和C.

?画过C点的AC的垂线.选中“选择”工具，选中线段AC和点C为当前对象，单击〈构造/垂线〉选项，画板出现过C点且垂直AC的直线.

?确定点B.选中垂线为当前对象，单击〈构造/对象上的点〉选项，在垂线上出现一点，把这点拖动到合适位置，并标注字母为B.

?画线段AB.选中“画线段”工具，画线段AB.

?度量线段AC长度.选中“选择”工具，选中点A和点C为当前对象，单击〈度量/距离〉选项，画板出现算式“AC=？？cm”

?用与第6步相同的方法度量BC和AB的长度.

?计算AC?+BC?-AB?.选中画板上三行文字为当前对象，单击〈度量/计算?〉选项，弹出计算器；在计算器“数值”列表框选中“距离（A到C）”，单击“^”号，再单击：“2”；再单击“+”号，“数值”列表框选中“距离（B到C）”，单击“^”号，再单击“2”；再用同样方法输入“-AB?”；最后单击计算器上的“确定”按钮，计算器消失，画板出现算式： AC?+BC?-AB?=0.000CM?

?任意拖动A点或B，C点，可看到三条边长度在变化，但最后一个表达式值总是0. 例2.10 在屏幕上画一条直线，度量这条直线的方程，并观察由于直线位

只要教师在“画板”上画出和定义课堂上要讲解的实际内容，系统自动记录绘制的过程和内容，然后把它们存在文件，上课时调出，系统就会自动重复教室制作的过程。

特别是，利用系统的动画功能可以制作动态的教学过程，使有些原本抽象、枯燥的内容变得具体、生动、活泼，充分展现数学的美。

良好的学具

旧可以验证有关的几何性质，接受并理解相关的知识。

如“n等分线段”这一命题，教科书上一般都是用比例线段作平行线的方法。是否还有其他方法？美国两个初中学生用几何画板发现了新的方法。

画板和脚本

画板：图形探索

2脚本：逻辑抽象

起步

1系统配置

几何画板工作环境为中文或带有中文平台的windows9.X，32MB以上主机内存，40MB 以上硬盘和光盘驱动器。

本书是以中文Windows98作为几何画板的工作环境进行讲解。

2几何画板安装步骤

（1）安装几何画板，首先双击文件“Sketchpad.exe”图标，安装

密码；“welcome_to_http://www.mathsedu.ne t ”；在后面弹出的几个对话框中，单击“Next”(下一步)按钮，安装几何画板英文版。

（2）双击文件“updatel”图标，在后面弹出的几个对话框中，单击“Next”(下一步)按钮，安装几何画板4.03英文版升级版。

（4 ）先将文件“chs.exe”重命名为“GSP 404.exe”，再将文件“GSP 404.exe”复制到安装文件夹中，覆盖原文件。运行GSP 404。

3启动几何画板

几何画板的启动与其它软件的启动类似，单击“开始”按钮，选择“程序”

的“GSP4.04”菜单命令,或者双击屏幕上的几何画板快捷图标,就可以进入几何画板的使用窗口界面,如图1.2所示.

在屏幕空白处单击鼠标,屏幕中间的版本信息消失.如5秒内无任何输入,版本信息也自动消失.

4.画板窗口

5.退出几何画板

习题1

试着在中文Windows系统环境下,安装几何画板软件.

打开几何画板,观察窗口的组成.

练习启动和退出几何画板程序的操控.

第二章基本功能范例篇

2.1 绘制基本几何图形

建立新画板

基本几何图形的绘制

图形

使用任意的选择：如果一个作图工具是激活的，按下Esc键能随时的激活选择工具，光标变成一个选择箭头。用此方法可做到快捷操作。

从选择工具到文本工具的自动转变：如果选择箭头是在一个对象的标签上，它便自动地变成文本工具。用文本工具，可以方便的移动和编辑标签。

快速滚动画板窗口：在工作区任何时候按下Alt键，光标变成一个小手掌，按下鼠标左键，可以快速拖拽以滚动窗口。

绘制基本图形的基本步骤相同，都是先选定画图工具，然后在画板上绘制。

（1）图画点工具：单击该图标，使它凹下显示，就选定了画点工具。再把鼠标指针移到画 18

板工作区空白的地方或已有的对象。（对象可以是线段、射线、圆、圆弧、轨迹、函数图像、多边形的内部等）上要画点处单击，则在该处画了一个点。

用同样方法，可以在画板上画出更多的点。如图2.1（a）所示。

如果有的点画得不合适，要移动或删除它，只要先按一下Esc键，再用鼠标选中这个点，拖拽到合适的位置或按Delete键，删除这个点。

图

（2）图圆规工具：单击该图标，使它凹下显示，表示当前选定了画圆工具。

在选择工具下，拖动圆心点或圆上点，可以改变圆的位置和大小。选中圆心点和圆上点，再按Delete键，就删除了该圆。

（3）直尺工具：单击该图标，使它凹下显示，表示当前选定了画线工具。

几何画板中的“线”有三种类型：线段、射线和直线。把指针移到画线工具上，按下左右键不放开，约一秒钟后右边就会显示出如图2.2的三个正方形图标。

我们知道平面几何中有一个公理：“两点决定一条直线”。几何画板中作线的方法也遵循这个原则，即只要在画板上确定两个点后，线就确定了。

1）画线断

先选定画线类型为“线段”。即把指针移到画线工具上，按下左键不放，屏幕出现

2）画射线

先用上面所说选线型的方法，选定画线的类型为射线，把指针移到要画射线的端

3）画直线

要删除以画好的线，只要选定该线或决定这条直线的两个点，再按Delete键，线就被删除了。

例2.1 画一个圆，再画它的内接三角形。

绘制的步骤如下：

（1）单击“文件”菜单中的“新建画板”选项，打开一个新画板；

（2）单击工具箱中画圆工具，选定画圆功能；

（3）把鼠标指针移到新画板中心，按下左键不动，拖动鼠标到适当位置，放开左键，画出一个圆。

（6）把第一条线段的末端点，作为新的起点，再画第二条线段；间有一个小圆点表示圆心，圆上也有一个小圆点，称为确定圆半径的点，它与圆心距离

表示圆的半径，只要选定画圆工具不变，可以在画板上连续做出任意多个圆，如图2.1（b）所示。

在选择工具下，拖动圆心点或圆上点，可以改变圆的位置和大小。选中圆心点和圆上点，再按Delete键，就删除了该圆。

（3）直尺工具：单击该图标，使它凹下显示，表示当前选定了画线工具。

我们知道平面几何中有一个公理：“两点决定一条直线”。几何画板中作线的方法也遵循这个原则，即只要在画板上确定两个点后，线就确定了。

1）画线断

先选定画线类型为“线段”。即把指针移到画线工具上，按下左键不放，屏幕出现

2）画射线

先用上面所说选线型的方法，选定画线的类型为射线，把指针移到要画射线的端

3）画直线

先用与前面画射线相同的方法选定画线的类型为直线；把指针移到要画直线的一个点处，单击左键画出一个点，单击左键画出一个点、移动指针到要画线的第二个点位置后再单击左键，一条直线就出现在画板上（见图2.3下部的线），该直线两端一直画到画板窗口的边缘，并 20

且当画板窗口的大小变化时，直线也随着伸长和缩短，始终延伸到窗口边缘。这特性真正体现了“直线两端可无限延长”这一几何性质。

要删除以画好的线，只要选定该线或决定这条直线的两个点，再按Delete键，线就被删除了。

例2.1 画一个圆，再画它的内接三角形。

绘制的步骤如下：

（1）单击“文件”菜单中的“新建画板”选项，打开一个新画板；

（2）单击工具箱中画圆工具，选定画圆功能；

（3）把鼠标指针移到新画板中心，按下左键不动，拖动鼠标到适当位置，放开左键，画出一个圆。

（6）把第一条线段的末端点，作为新的起点，再画第二条线段；

几何画板是按图形在画板中出现的顺序来标注标签的，一般情况下，点的标签是从大写字母A开始标注；线的标签是从小写字母j开始标注；圆的标签是用加前缀c的数字（c1，c2，）?标注的，弧的标签是用加前缀a的数字（a1，a2，）标注的，扇形的标签是用加前缀p的数?

字（p1，p2,?）标注的。在选中文本工具的状态下，标注的标签可以移动、修改和隐藏。2）移动标签

用鼠标对准某个对象的标签，按下左键不放拖曳鼠标，可以将标签移动到合适的位置上。

3）修改标签

4）加注解

几何画板可以在画板中加一块一块的文字框，每一个文字框都是一个对象，可以移动、缩放和隐藏。

下面我们通过例子来说明具体的操作方法。

把例2.1中画好的图形（圆内接三角形）标注标签。

打开文件：按前述打开一个已有画板文件的操作方法，打开文件yuan。gsp，显示出圆内接三角形图形。

在“文本”工具上单击，选定标注功能。

把手形的鼠标指针的指尖移动到圆心或圆上点，并单击左键，旁边就显示出字母，如图2.8所示。

框中,再单击＂确定＂按钮,对话框消失,一个较大的“O”显示在圆心旁边．

5．自定义工具

工具箱中不再有“对象信息”按钮要获取对象信息，可以右击对象，再弹出的菜单中“选项”属性得知．

6．撤销、重复和隐藏

如果有一个对象希望删除而又不影响其它对象，那么就应该使用“隐藏”功能．隐藏的方法是：先选中要隐藏的对象，然后执行〈显示/隐藏〉选项．

7．修改图形位置和大小

原画板中的圆画在窗口中间，如果我们想把它移到画板左侧，步骤如下．

（1）选定“选择”工具，即单击工具箱第一个图标．

（2）移动圆．把鼠标指针移到圆周上，按下左键不放，拖动鼠标,我们可以看见整个圆随着指针移动．

（4）移动圆上的关键点位置．移动方法同圆心．

你们会惊异的发现，三角形也随着移动、变化，但“内接”这个性质却始终保持！这就是几何画板不同与其它一些图形制作软件的突出优点之一．

为了得到更加深刻的印象，你可以把三角形的三个顶点也移动一下，你看到了什么？顶点能离开圆吗？

例2.4 拖动线段的操作.

选择画线段工具，画一条线段AB，并在该线段上任取一点C.

（2）选中点c，作拖动操作，由于点C是线段的子女，受线段的子女，受线段的控制，所以点C只能

例2.5 拖动两条互相垂直线段的操作。

几何画板的核心是几何关系，在运动和变化中将保持所给定的几何关系。

2.3文件菜单和显示菜单

1.文件菜单

功能描述

打开一个新的画板文档

打开一个已经存在的画板文件

保存当前画板文档

将当前画板文档保存为另一个名字

关闭当前窗口，并予以适当提示

打开“文档选项”对话框，对页面或工具作相应操作

打开“页面设置”对话框，设置打印参数

当前窗口打印预览

打印当前窗口画板文档

退出几何画板系统，并予以适当提示

功能描述

设置所选对象的线型为粗线、细线或虚线

设置所选或所创建的对象的颜色

设置所选注释、标签、度量值的字体和大小

隐藏当前选择的对象，但它对于结果仍起作用

显示并选取所以被隐藏的对象

显示（或隐藏）所选中的对象的标签

按顺序重新设置所选对象的标签

设置（或取消）所选中的对象为追踪轨迹状态

擦除追踪轨迹

根据选中的选项进行动画运动

使动画对象加速运动

使动画对象减速运动

使动画对象停止运动

显示或隐藏文本工具栏

显示或隐藏运动控制台

显示或隐藏工具箱

3.关于页面控制和连接

1)页面控制

增加空白页.

单击<文件/文档选项>选项,弹出"文档选项"对话框,这个对话框可以用来控制"页面"和"工具",这里选“页面”.

修改页的名称:单击"增加页"按钮的"空白页面"后,可以在“页名称”框中修改页的名称,这样就可以搭建一个课件的基本结构(当然也可以边做边增加页).

改变页的顺序:将鼠标移到显示所有页面的框中,在某一页上按下左键,当鼠标变成向上和向下的箭头时,上下拖动可以改变页的顺序.

删除页:选中某一页后单击文档选项对话框中的"移除页"按钮",可以删除改页.

页面之间的切换:最直接的方法是用屏幕左下角状态栏上方的"页切换"按钮,也可以用“链接”的方法控制页面的跳转.

2)链接技巧

(1)页与页之间的链接.页与页之间的连接一般是做好各个模块后用来控制各部分的跳转,用以给使用者提供一个友好的界面.

A)单击<编辑/操作内按钮/链接>选项,可以弹出“操作内按钮链接的属性”对话框设置;

B)在"页面"选项中可以选择链接的目标页,如果想跳到某一页的同时让该页上的某一按钮按下,可以选择下方的“页面上的按钮”来设置;

C)单击“标签”，在标签框中修改按钮的名称，一般改为有明显意义的，确定即可完成按钮的设置．

链接到互联网.单击<编辑/操作内按钮/链接>选项,在弹出“操作内按钮链

链接到本机上的程序或文件.

使用绝对地址:方法基本同链接到互联网.例如要链接F盘BH04文件夹画板文件“椭圆.gsp”，在链接框中键入绝对地址“F：\HB04\椭圆.Gsp”，一定要注意加上扩展名，不然会出现链接失败.

使用相对地址：把要链接的文件和几何画板文件放在同一文件夹中，地址框上键入“文件名.扩展名”（不包括引号）即可，如果文件放在几何画板所在文件夹的下一级文件夹中，在链接框中键入“子文件夹名\ ??\ 文件名.扩展名”，这种方法比使用绝地址方便，因为课件放在不同的机中，绝对地址是不同的，相对地址方便使一个完整的课件共享。

这里需要说明：假如在第一页做好一个链接到第三页的按钮，当复制这个按钮到第二页，他却不能实现链接到第三页的功能，而会发生链接目标丢失，必须重新设置链接的目标，但链接到互联网和本地机的文件（或程序），按钮是可以任意复制的，目标仍然指向原来的位置

4关于颜色及参数控制

在4.x版几何画板中，颜色功能得到了很大的增强，利用新的颜色功能可以做出令人眼花缭乱的作品.利用新的颜色功能可以改变对象的颜色和页的底色.

1)改变对象的颜色

选中某一对象后(不包括其它软件中作为图片粘贴过来的对象),单击菜单

<显示/颜色>选项,在显示弹出的颜色面板可以选颜色,这一点和3.x版类似，但4.x适用的对象更广；而且还可以自定义颜色，选中某一对象后，单击菜单，<显示/颜色/其它选项>,在弹出的“颜色选择器”面板中，可以通过颜色菜单或调色板选取颜色；以前在3.x版中需要一 25

定技巧的制作（如闪烁对象），现在可以用更方便的方法实现.更大的改进是:可以用一个甚至多个参数动态地改变颜色,使得色彩更加丰富,演示效果更加动感.请看一个演示例子,具体做法是:

如图2.13所示,画一条线段,线上取点A，度量点A到该线段一个端点的距离，改标签为A，再作点A的“动画”按钮，改标签为“改变参数A”；

画一个圆，圆上取点B，度量点B到线段另一个端点的距离，改标签为B，再作点B的“动画”按钮，改标签为“改变参数B”；

(3)画一个三角形，并取内部，在三角形内部取点C，度量点C到三角形任一顶点的距离，改标签为C，再作点C的“动画”按钮，改标签为“改变参数C”；

（4）同时选中三角形内部和三个参数A，B，C的值，单击菜单（显示、颜色、参数）选项。如图2.13所示

单击一个按钮或俩个按钮或三个按钮，观察参数动态地改变颜色的情况。

图2.13

2)改变页的底色

单击菜单（编辑/参数）选项，再弹出的“参数选项”对话框中，单击“背景”旁边的颜色框，再淡出的面板中可以自定义页的背景颜色。

3）多参数控制颜色变化实例中的注意事项

首先，参数点应是自由点；其次，在度量三段距离后，要同时选取三个度量值和三角形的内部，单击菜单（显示/颜色/参数）选项，在淡出的“颜色参数”对话框中作相应的设置；最后，将参数点合并至相应图形以便生成动画。

另外需要说明的是：虽然新的颜色功能可以增强演示效果，但在体现数学关系及其本质方面的作用并不大；而且过多的颜色效果容易使学生（尤其是低年级学生）分心，反而不利于正常的课堂教学，所以要恰当使用颜色效果。

2.4 构造几何关系

1．构造菜单（C）

功能描述

在选中的一个或一个以上对象（线，圆，轨迹）

上随机取一点

取一点作出选中的一条或多条线段的中点

作出选中的俩个相交的对象（线或圆）所

有交点对选中的2个以上的点，按顺序用线段连接

对选中的2个以上的点，按顺序用射线连接

对选中的2个以上的点，按顺序用直线连接

一个点对2条以上线，作过该点与各线平行的平

行线

一条线对一个以上点，作各点到该线的垂线

作出过三点的角平分线，第二个点为角的顶点

对选中2点，作出以第一点为圆心，过第二点的

圆

对选中一点和一条线段，作出以点为圆心，线段

为半径的圆

对选中的圆和圆上2点，按逆时针方向作弧

按所选中三点的顺序作出一段弧

对选中的3个以上点，按顺序作出以这些点

顶点的“多边形内部”；对选中的一个圆作出“圆

的内部”；对选中的一段弧作出过弧的“扇形内

部”或“弧弦内部”

对选中的自变量动点和与它对应的轨迹（函

数）上的一个动点，作出相应的运动轨迹

2．构造几何关系

平面几何中的图形之间很多是有一定的关系的，这些关系在几何画板中必

须用“构造”功能来实现

平行线

（1）选画直线工具，在画板上画出一条直线；选文本工具，标注直线上点

（2）选画点工具,在画板的直线AB外画出一个点C。

（3）同时选中直线AB和C点为当前选中对象，方法是在单击“选择”工具后，用鼠标单击直线AB和点C，使它成为当前对象。

附注：还可以用另一个方法来同时选中几个对象。先确认当前是“选择”工具状态，把鼠标指针移到画板左上角，按下左键不放，然后把鼠标往右下方拖动，屏幕出现一个虚线的矩形框，继续往右下方拖动鼠标，直至虚线框包含了A，B，C三个点，放开左键，可看到直线AB和点C上都出现了选中的标记。

（4）画平行线。单击（构造/平行线）选项，就能画出过已知点C且平行已知直线AB的平行线。

（5）选中“文本”工具，在新画的直线上单击，该直线出现标注字母j。

2）垂线

绘制演示三角形三条高交于一点的图形。

操作步骤如下：

打开一个新画板，按Ctrl+N键。

画三角形ABC。选中“画线段”工具，画出三角形，并用“标签工具”标注顶点字母A，B，C；然后拖动字母使他们位于合适位置（见图2.15(a)）。

（4）作AB和AC边上的高。用与第三步相同的方法作出另俩条边上的高（见图2.15(c)）。

（5）拖动三角形的任一个顶点在画板上随意移动，可看到三条高始终交于一点。

3.构造三角形中其他图形

以下操作如不特殊声明，均在工具箱中“选择”工具后进行。

中线。先作出线段的中点，再选定中点和其对应顶点为当前对象，然后单击（构造/线段）选项，相应的中线立即出现在画板上。

角平分线。要作角ABCde角平分线，先按书写顺序，选中A，B，C为当前对象，单击（构造/角平分线）选项，相应的角平分线立即出现在画板上。

线段的垂直平分线。先作出线段的中点，再选中线段和中点为当前对象，然后单击（构造/垂线）选项，相应的垂直平分线立即出现在画板上。

连接四边形各边的中点

操作步骤如下。

(2)构造中点。单击〈构造/中点〉选项或按Ctrl+M键,即画出并选中四个中点。

(3)构造四边形。单击〈构造/线段〉选项或按Ctrl+L键，即画出连接各边中点的连线。

(4)拖动四边形的任一个顶点在画板上随意移动，可看到四边形的中点连线始终组成一个平行四边形EFGH。如图2.16所示。

图2.16

2.5度量与计算

1.度量菜单

度量选中一条或多条线段的长度

度量选中两点之间的距离,度量选中点到选中线的距离

度量选中的多边形内部、扇形、弓形的周长

度量选中的一个或多个圆周的长度

度量选中的三个点，以第二个点为顶点的角度值

度量选中的多边形内部、圆和圆内部或弧内部的面积

度量选中的一个或多个弧、扇形、弓形所对应的弧度角

度量选中的一个或多个弧线的长度

度量选中的弧、圆、圆内部、扇形、弓形所对应圆的半径

度量选中的两条线段比值或一条线上三点的比值

在弹出的新建计算器中，输入计算公式

度量选中的一个或多个点的坐标值

度量选中的一个或多个点的横坐标值

度量选中的一个或多个点的纵坐标值

度量选中的两个点之间的距离

度量选中的一条或多条直线、线段、射线的斜率

度量选中的一个或多个圆、直线的方程

2.长度、距离、角度、面积的度量

下面的操作在画板上已画有三角形ABC的基础上进行。

1)度量线段长度

线选中线段AB为当前对象，再单击〈度量/长度〉选项，在画板上出现一行文字： ”，如图2.17（a）所示。

2）度量点到线或度量两点距离

例如要度量A点到线段BC的距离，先选中点A和线段BC，再单击〈度量/长度〉选项，在画板上出现一行文字：“ 距离（A到BC）=1.93cm”，如图2.17（a）所示。

3）度量角度

请读者仿照上面的方法，度量∠BCA和∠CAB的度数。

4)度量面积

(a) (b) (c)

图2.17

5）度量点的坐标

3.公式计算

构造计算公式的方法有两种：

方法一：先用选择工具同时选中公式中需要的所有度量值（如点、线段、

例2.8绘制演示三角形内角和180°

的画板文件.

绘制步骤如下：

?度量∠ABC度数.先选中“选择”工具，按顺序选中A，B，C为当前对象，单击〈度量/角度〉选项，画板上部显示文字“∠ABC=？？？°”.

?度量∠BCA和∠CAB度数.（方法同2）.

?计算表达式∠ABC+∠BAC+∠CAB的值.方法如下,

?在画板上任意拖动三角形的一个顶点，可以看到，三个角的度数在不断变化，但最后一个表达式等号右边的值不变，总是180°.

例2.9 绘制演示勾股定理的画板.

?建立新画板.按Ctrl+N键（或打开“文件”菜单，选中“新绘图”选项），新建一个画板.

?画线段AC,选中“画线段”工具，在画板上画出线段，并标注字母A和C.

?画过C点的AC的垂线.选中“选择”工具，选中线段AC和点C为当前对象，单击〈构造/垂线〉选项，画板出现过C点且垂直AC的直线.

?确定点B.选中垂线为当前对象，单击〈构造/对象上的点〉选项，在垂线上出现一点，把这点拖动到合适位置，并标注字母为B.

?画线段AB.选中“画线段”工具，画线段AB.

?度量线段AC长度.选中“选择”工具，选中点A和点C为当前对象，单击〈度量/距离〉选项，画板出现算式“AC=？？cm”

?用与第6步相同的方法度量BC和AB的长度.

?任意拖动A点或B，C点，可看到三条边长度在变化，但最后一个表达式值总是0. 在屏幕上画一条直线，度量这条直线的方程，并观察由于直线位

置的变化而引起的相应直线方程中参数的变化情况．

? 打开一个新画板．

? 单击〈图表／A建立坐标轴〉选项，画板上出现一个直角坐标系．

? 选择工具箱中“画直线”工具，在画板上画出一条直线AB．

? 选择“选取”工具，选中直线AB．

? 单击〈度量／方程〉选项，在画板上立即出现相应的直线方程．

? 用鼠标拖动A点在X轴上移动，可以看到方程常数项相应的变化，注意到，当A在原点时常数项为0．

? 用鼠标拖动B点在平面上移动，可以看到直线斜率相应的变化：直线AB与X轴交角为锐角时，斜率为正；直线AB与X轴交角为钝角时，斜率为负；直线AB与X轴平行时，斜率为０．

2.6变换功能

1.变换菜单

功能描述

对选中的一个点，可以标记中心，旋转或缩放变换用

对选中的一条线，可以标记镜面，反射变换用

对选中的三个点或角的度量值，可以标记角度，旋转用

对选中的两条线段，可以标记线段比，缩放变换用

对选中的两个点，可以标记向量，平移变换用

对选中的线段度量值，可以标记距离，平移变换用

对选中的对象，可以按标记的向量、距离或输入的偏移量平移

对选中的对象，可以按标记的角度或输入的偏移量绕标记中心旋转对选中的对象，可以按标记的比或输入的缩放比以标记中心缩放

对选中的对象，可以按标记的镜面反射

对选中的原像一个点或多个点实现迭代变换

变换就是对几何图形进行平移、反射、旋转、缩放等操作．几何画板可以有两种方法来进行变换．

一种方法是用“变换”菜单中的命令生成原对象的变换图像．

另一种方法是利用不同的“选择工具“，拖动制定对象进行变换．

常用变换的五种方式：选中一点标记中心，旋转缩放用；选中两点标记向量，用向量控制平移；选中三点标记角度，用角度控制旋转；选中一条线段标记镜面，反射用；选中两条线段标记比值，用比值控制缩放．

对选中的对象，按输入偏移量进行变换，会得到固定的像；对选中的对象，按事先标记好的量进行变换，会得到可变的像．具体操作如下表：

变换条件（对选中的对象）

平移固定单击<变换/平移>选项，输入偏移量按偏移量平移

可变先标记向量或距离或角度，再单击<变换/平移>选项按标记量平移

旋转固定先标记中心，单击<变换/平移>选项，输入旋转角度值（负值顺时针旋转，正值逆时针旋转）绕中心，按输入角度值旋转

可变先标记中心和标记角度，再单击<变换/平移>选项绕中心，按标记角度值旋转缩放固定先标记中心，单击<变换/平移>选项，输入缩放比值以中心，按输入比值缩放

可变先标记中心和标记比值，再单击<变换/平移>选项以中心，按标记比值缩放

平移变换

平移是一种既保距又保角变换．应用“变换”菜单中的“平移”选项，可以将一个一 32

个以上图形对象平移到指定方向上的指定位置．几何画板中，平移可以按三大类九种方法来进行，其中的有些方法事先要标记角、标记距离或标记

向量.如图2.19所示.

按“极坐标平移变换”：

在对话框输入固定距离和固定角度的值；

按事先标记的角度和输入固定距离的值；

按事先标记的距离和输入固定角度的值；

按事先标记的距离和标记的角度。

按“直角坐标”平移变换：

对话框输入水平方向固定距离和垂直方向固定距离的值；

按事先标记的距离（垂直方向用）和输入水平方向固定距离的值；

按事先标记的距离（水平方向用）和输入垂直方向固定距离的值；

按事先标记的距离（水平、垂直方向用）.

按“标记”平移变换：

按事先标记号的标记向量作平移.

单击“平移”按钮后，画板上在距离原来选中的对象（保持不动）的指定方向上的指定位置出现平移后的像.按标记得到的像，可以随标记量的变化而同步的移动，实现用标记控制像的任意移动.

用平移绘制全等三角形.

打开一个新画板，画一个三角形ABC；

画两个点和，并同时选中，单击<变换/标记向量>选项；

选中三角形，单击<变换/平移>选项，在对话框选择“标记”，单击“平移”后，得到一个与原三角形全等的三角形A’B’C’；

拖动E点，可以看到两个三角形位置变化情况，当点E和点D重合时两三角形也重合。

2）旋转变换

应用“变换”菜单中的“旋转”选项，可以将一个或一个以上图形对象，以某一点为旋转中心，旋转到指定角度的位置。对于选中的对象，单击<变换/旋转>选项，在“旋转”对话框，选择旋转参数其中之一。

● 按“固定角度”旋转变换：直接输入固定角度值（正值为逆时针旋转，负值为顺时针旋转）。

按“标记角度”旋转变换：按事先标记好的旋转中心和标记角度作旋转。

其中标记角度的方法有：

依次选中一个角的三个顶点，单击<变换/标记角度>选项，可以标记一个角度。

选中某角的度量值或选中一个新建参数值（单位为度或弧度），打击<变换/标记角度>选项，可以标记一个角度。

单击“旋转”按钮后，画板上在距原来选中的对象（保持不变）的指定角度位置出现旋转后的像。按标记角度得到的像，可以随标记角度的改变而同步的旋转，实现用标记角度控制像的任意旋转。

画一个正方形。

打开一个新的画板，画一条线段AB。

双击点A标记为中心，同时选中线段和点B。

单击<变换/旋转>选项，在旋转对话框输入旋转90；单击“旋转”，出现B’A边。双击点B’标记为中心，同时选中线段AB’和A。

单击<变换/旋转>选项，在旋转对话框输入旋转90，单击“旋转”，出现B’A’边。用线段连接点B和点A’，得到正方形ABA’B’，如图2.20所示。

拖动点B，可以看到正方形的大小位置可变，而形状不变。

例2.13 把一个角N等分。

先计算已知角的N分之一是多少度，并标记这个计算值，然后让已知角的一条边，以该角的顶点为中心，按标记角反复旋转N-1次即可。下面以N等于3为例，具体做法是：如图2,21所示，打开一个新画板，画一个大角∠ABC，并度量其角

2.用“选择”工具进行变换

按下“选择”工具不抬起，约半秒钟后右边显示出3个不同的图标，如图2.24所示.它们分别用于平移、旋转和缩放操作.

例2.17用选择工具进行三角形的旋转和缩放.

首先画两个具有公共顶点的三角形ABE和三角形ECD（如图2.25所示）.

进行旋转和缩放必须要标定一个旋转中心和缩放中心.单击<变换/标记中心>，被选中的点将会闪动，以示它是变换的中心.

首先作旋转：将鼠标指针移到选择工具图标上，按下左键，向右拖动鼠标至第二个图标“旋转”工具上，然后松开鼠标左键.

将三角形某一顶点A标记为中心，然后同时选中两三角形，旋转拖动两三角形的任意一条边或一个顶点，两个三角形将绕这个中心A旋转（若将公共点E标记为中心，情况又如何）. “缩放”也像“旋转”那样，先选中选择工具中的“缩放”工具（指针移到选择图标上，拖动指针到第三个图标上放开）.

将三角形某一顶点A标记为中心，然后同时选中两三角形，平移拖动两三角形的任意一条边或一个顶点，两个三角形将绕这个中心A缩放（若将公共点E标记为中心，情况又如何）.

3.综合应用

1）六角形

画线段AB，以点A为旋转中心，把点B旋转60度.

以点B为旋转中心，把点A旋转-120度；连接四点成菱形.

以点A为旋转中心，把菱形旋转60度.

重复步骤3)5次，得到六角形.如图2.26（a）所示.

2）四瓣花

作线段DE，作其中点F；以点F为中心把点E旋转90 G＇度得到点E＇．

以点E，E＇，D三点画弧.

以点E＇为中心，全部图形旋转90度.

重复步骤3)2次，如图2.26（b）所示

3）立体图

作线段FG，以点F为中心，把点G旋转60度得到点G＇.

以点G＇为中心，把点G旋转60度，连接四点成菱形.

以点G＇为中心，选中全部图形，把该菱形旋转120度2次后再涂不同颜色.如图2.26（c）所示.

4）彩色气泡

如图2.27所示，画一条线段AB，在AB上任意取点C,D,E,F,G,同时选中C,D,E,F,G作方向“向前”，自定义速度为3的“动画”按钮，并改标签为“彩色气泡”.

分别以点C,D,E,F,G为缩放中心，让点A缩放1/10倍，得到点C＇, D＇, E＇, F＇, G＇. 分别过点C和 C＇, D 和D＇,E和 E＇,F 和F＇,G和 G＇作圆，并取各圆的内部. 分别度量点A和C,A和D,A和E,A和F,A和G两点间的距离.

选中AC度量值和圆C内部作参数颜色；选中AD度量值和圆D内部作参数颜

色；选中AE度量值和圆E内部作参数颜色；选中AF度量值和圆F内部作参数颜色；选中AG度量值和圆G内部作参数颜色.

﹙6﹚除了圆的内部外隐藏其它所有对象.

2. 7 迭代功能

迭代的两种方式：先绘制出一个“循环节”的图形（亦称原像）.

(1)简单迭代：先选中原像一个点或多个点，然后执行〈变换/迭代〉选项，在“迭代”对话框中选取与原像点相对应的一组(初像点)或多组映射点和迭代次数，最后按“迭代”按钮.即可得到固定迭代的像.

(2)带参数的迭代: 新建一个参数n(取正整数)，先选中原像一个或多个点和参数n，并按住Shift键，然后执行〈变换/带参数的迭代〉选项，在“迭代”对话框中选取与原像点相对应的一组(初像点)或多组映射点，最后按“迭代”按钮。即可得到动态迭代的像.选中参数n，按“+”号键，增加迭代，按“-”号键，减少迭代.

原像点的确定:第一次迭代的出发点为原像点(为非变换点)，取决于绘制基本图形的起始条件，例如:若用圆绘制正多边形，则取圆上第一个顶点为原像点;若用线段绘制正多边形，取

第一条边的两个端点为原像点(方向从左至右取).

初像点的确定:第二次迭代的出发点为初像点(为变换点)，它是和原像点个数相同且相对应(选取方向相同)的一组点，例如:若用圆绘制正多边形，则取圆上第二个顶点为初像点;若用线段绘制正多边形，取第二条边的两个端点为初像点(方向也从左至右取).

注意:凡是和原像点或初像点相关联的对象(点、线、弧、内部等)，也作为原像点组成部分进行迭代.例如:原像点与初像点的连线，以及以该连线为边向内或向外作正三角形并取内部等. 例2.18 用迭代功能绘制正十二边形.

方法一: 用圆绘制正多边形.

(1) 绘制出一个“循环节”的图形.如图2.28 (a) 所示，画一条线段 r，以点O为圆心 r 为半径画圆，在圆上取一点D，让点D以圆心O为中心旋转30度，得到D'，连接DD'绘出正十二边形的一条边.

(2) 执行迭代功能.选中原像点D，单击〈变换/迭代〉选项，在“迭代”对话框中选取初像点D'和迭代次数11，最后按“迭代”按钮.即可得到迭代的正十二边形.

方法二: 用线段绘制正多边形.

(1) 绘制出一个“循环节”的图形.如图2.28 (b) 所示，画一条线段AB选中点A标记中心，让点B绕中心A旋转150度，得到点B’.

(2) 执行迭代功能.选中原像点A和点B, 单击〈变换/迭代〉选项，在“迭代”对话框中选取初像点B’和点A，迭代次数10，最后按“迭代”按钮.即可得到迭代的正十二边形. 方法三: 用深度迭代绘制正多边形.

(1) 新建一个参数n. 单击〈图表/新建参数〉选项，建立参数，改名称为n. 选中参数n，单击右键，在快捷菜单中选“属性”项，在弹出的“参数n的属性”对话框中，精度选“单位” ，参数范围定在1至10之间.

(2) 绘制出一个“循环节”的图形. 如图2.28 (c) 所示，画一条线段EF选中点E标记中心，让点F绕中心E旋转150度，得到点F’.

(3) 执行深度迭代功能.同时选中原像点E，F和参数n，并按住Shift键，然后单击〈变换/深度迭代〉选项，在“迭代”对话框中选取初像点F’和点E，最后按“迭代”按钮.

选中参数n，按“+”号键，增加迭代，按“-”号键，减少迭代.

用迭代绘制正五边形螺旋.

以线段AB为边，并以B为中心旋转，用粗线绘制正五边形ABC

DE (反复旋转-108°)

画一小线段r，以r 为半径，分别以点A、B为圆心作小圆，交AB于

点M，交BC于点N，连接MN，并隐藏两个小圆.

(3) 度量AB的长度，选中正五边形的五条边（不含顶点）和AB度量值，设置参数颜

色.

(4) 新建参数n ,取整数，范围定在1至20之间，并建参数n的动画按钮.

(5) 同时选中原像点A,B和参数n , 并按住Shift键，然后单击〈变换/深度

迭代）选项，在“迭代”对话框中选取与原像点相对应的初像点M，N，工作

区的图形同时发生变化，最后按“迭代”按扭.如图2-29，可得到动态迭代的像.

选中参数n，按“ +”号键，增加迭代，按“-”号键，减少迭代.或单击"运动参数n"按扭,增加或减少迭代.拖动线段r的端点观看图形的变化.

例2.20 等比数列前n项的图象表示.

已知等比数列的首项a0、公比q、用通项an=a0qn计算第二项a1，利用画板的参数迭代功能，可方便迭代出等比数列的前n项.具体作法如下:

如图2.30所示,作X轴的垂线段,并度量上端点q的纵坐标的值,改标签为q,作为等比级数的比值,拖动点q,使q的值小于1.

新建参数n,精度取单位,范围取1~50,作为控制等比数列的项数n

在Y轴上方取一点a0,度量点的纵坐标的值,改标签为a0,作为等比数值的首项值. 将a0向右移动0.2cm,得点a',过该点作X轴的垂线,垂足为C.

计算a0*q*1厘米的值,并标记距离,让点按标记距离向上移动得点a1,隐藏垂线,用线段连接ca1,作为等比级数的第二项.

选中原像点a0和参数n,并按住Shift键，单击<变换/深度迭代>选项,在对话框初象点击a1点，单击“迭代”按扭.画板上显示迭代生成的等比数列前n项和迭代数据表.最后用线段连接Oa0.

改变参数n,q和a0的值,观察数列变化情况.当q>1时,数列是发散的,当q<1时,数列是收敛的.

例2.21 利用参数迭代功能构造数列的数据表.

已知等差数列的第一项a1=3,公差d=5,计算等差数列的前n项的数据表.

①如图2.31(a)所示,单击<图表/新建参数>选项,分别建立参数a1=3,d=5和n=5,选种参数n,建立"动画"按扭并改标签为"项数n".

②单击<度量/计算>选项,在计算器中计算a10+d的值.

③依次选中参数a1,n的值,在按住Shift键的同时,单击<变换/带参数的迭代>选项,在弹出对话框"初像"白框内点击a1+d的值,单击"迭代"按扭.画板上显示迭代生成的等差数列的前n项数据表.

④选中数据列表,单击<图表/绘制表中记录>选项,画板上立即绘出这个数列的图象.

单击"项数n"动画按扭,或选中参数n,按"+"号键,增加列表项数,按"-"号键,减少列表项数,或单击动画按扭,增加或减少迭代.双击参数a1,d,可以改变各参数的值,相应的列表值也随之改变. 37

已知等比数列的第一项a1=5、公比q=0.7，计算等比数列的前N项的数据表。

①如图2.31（b）所示，单击<图表/新建参数>选项，分别建立参数a1=5，q=0.7和n=5，选中参数n，建立“动画”按钮，并改标签为“项数n”。

②单击<度量∕计算>选项，在计数器中计算a1*q的值.

③依次选中参数a1,n的值，在按住Shift键的同时，单击<变换∕带参数的迭代>选项，在弹出的对话框“初像”白框内点击a1*q的值，单击“迭代”按钮.画板上显示迭代生成的等比数列的前n项数据表.

④选中数据列表，单击<图表∕绘制表中记录>选项，画板上立即绘出这个数列的图像. 单击“项数n”动画按钮，或选中参数n，按“+”号键，增加列表项数，按“-”号键，减少列表项数.或单击动画按钮，增加或减少迭代.双击参数a1，q，可以改变各参数的值，相应的列表值也随之改变，而图像是不变的.

?已知等比数列的第一项a1=6，公比q=0.7，建立等比数列动态的数据表和相应的图像. 如图所示，单击<图表/新建参数>选项，分别建立参数N1=1,a1=6,和q=0.7.

单击<度量/计算>选项，在计数器中计算N0+1的值，并改标签为N.计算a0*q的值，并改标签为aN.

依次选中参数N1，a1的值，单击<图表/绘制点（p）>选项，画板上绘出数列的第一个对应点，另画一小线段，以该点为圆心，以小线段为半径作小圆并着色.

依次选中参数N1，a1的值，单击<变换/迭代>选项，在弹出对话框“初像”内点击N，aN的值，单击“迭代”按钮.画板上显示迭代生成的等比数列的数据表及相应的图像.选中数据表，按“+”号键，增加列表项数和像点，按“-”号键，减少列表项数和像点.双击参数a1，q，可以改变各参数的值，相应的列表值及图像也随之改变.

注意：先绘点后迭代，才能建立动态的数据表和相应的图像.

例利用迭代功能构造函数的数据表及图像.

已知指数函数y=ax，构造函数的数据表及图像.

?如图所示，单击<图表/新建参数>选项，分别建立参数h=0.3，a=2和x1=1.

?单击<度量/计算>选项，在计数器中分别计算a1x1的值，计算x1+h的值，改标签为x，计算ax的值.

?依次选中参数 x11,ax1的值，单击<图表/绘制点（p）>选项，画板上绘出函数的第一个对应点，另画一小线段，以该点为圆心，以小线段为半径作小圆并着色，隐藏ax1的值.

?选中参数x1的值，单击<变换/迭代>选项，在弹出对话框“初像”白框内点击x的值，单击“迭代”按钮.画板上显示迭代生成的函数的数据表及相应的图像.

选中数据表，按“+”号键，增加函数表项数和像点，按“-”号键，减少函数表项数和像点，双击参数a1，q，可以改变各参数的值，相应的函数表值及图像也随之改变.

注意：要想不显示函数表中某列的数据，须在迭代前隐藏相关连的参数值，如第?步中隐藏 ax1的值.

习题 2

1．在新的画板上，画一个圆内接五边形的图形。

2．画三个过同一点的圆，并把它保存成“三个圆。gsp”.拖动其中任意一个圆,观察是否保持几何关系.

3．在新画板上制作圆上任意点的切线图形.

4．根据力的平行四边形定则,绘制互成角度的两个点的合力.

5．在画板上制作三角形三条高交于一点和三条垂直平分线交于一点的图形，然后存盘。

6．在画板上制作三角形内心和内切圆图形。

7．构造“任意等分段”的方法。

8．构造“任意角三等分”的方法。

9．在画板上绘制两圆公切线的图形。

10．在画板上绘制一个三棱台，构造它的中截面，并分别度量棱台的上下底面和中截面的面积。

11．在画板上制作斜面上的静止物体受力（重力G，支持力N，静摩擦f）的示意图。改变斜面的倾角，观察受力的变化情况（见图2.34）

12.在画板上绘制一个五角星，并涂上不同的颜色（见图2.25）

13．如图2.36所示，用度量面积的方法来验证勾股定理的正确性。

14．验证九点圆问题：三角形ABC三边的中点，从三个顶点向三边所做垂线的垂足，三个顶点与垂心连线的中点，这九个点在同一圆上。此圆称九点圆。

15．验证费尔巴哈定理：△ABC的内切圆及外接圆与三角形的九点圆相切。

16．验证西摩松线：从△ABC的外接圆上一点P作BC,AB,AC的垂线，设垂足分别为D,E,F，则这三点在一条直线上，此直线称西摩直线。

17．如图2.37所示，在三角形ABC中引三等分线（把每个角三等分的线）离BC边最近的∠B和∠C的三等分线交于点A?1;类似的存在着点B1和C1;验证三角形A1B1C1是等边三角形.

18．求作三角形的格点,并进行验证.(格点的定义:如果三角形的三个角的度数都是10的倍数,三角形内一点与三个顶点分别连接后所得到的所以角都具有这个性质,我们称这样的点为三角形的格点)

提示:将三角形的三个角按10度进行等分,凡是三条等分线的交汇处所得的点,即为格点.

19．创意构造一个关于参数颜色与参数迭代的变化图形.

第三章特殊功能范例篇

3.1动画功能学习范例

几何画板还设置了自动的动画演示功能，可以使一个沿某条轨迹运动，使静态变成动态，也可以绘制美观、生动有趣的动态图形。画面的动态演示，由系统自动完成，使我们在教学中能集中对学生进行指导，实现动态的教学。

动画制作规则

<1>动画。动点在某一条路径(例如:圆周、圆弧、直线、线段、轨迹、平面或多边形内部)上的运动。

<2>动点的选择。路径上的任意点(父母点事以平面为路径是自由点)。建立动画按钮只跟动点有关，路径由系统自动匹配。

<3>建立动画按钮。选中一个或多个动点，单击〈编辑、操作类按钮、动画〉选项，在弹出的“操作类按钮动画对象属性”对话框中，确定各动点的运动方向、运动速度和播放次数，最后单击“确定”按钮，就建立了一个关于运动对象的“动画”按钮。

单击“动画”按钮，动点就会沿着它所在的路径运动，再单击“动画”按钮，就会停止动画。

动画的实现举例

例3.1画一个点在圆上运动的演示图形。

绘制步骤如下。

打开一个新画板

画圆：选中画圆工具，在画板上画一个圆。

圆上画一点：选中画点工具，在圆上单击，在圆上画出一点，并选中标注工具，标注出该点字母C

选中点C：如图3.1所示，单击〈编辑、操作类按钮、动画〉选项，画板上弹出“操作类按钮运动点的属性”对话框，在方向和速度下拉列表框选择点C按逆时针方向绕圆以中速反复运动，最后单击“确定”按钮，就建立了一个名为“运动点”的动画按钮。如图3.2所示。为了演示更醒目，我们让动点C变成小球。方法是先用线段工具话一条小半径r，同时选中小半径r和点C，单击(构造、以圆点和半径画圆)选项，画出小圆并取内部，得到一个有颜色的小球。如图3.3所示。

单击“运动点”按钮，小球C就沿着圆运动起来。

随时都可以再单击“运动点”按钮，小球C就会停止运动。这个动画按钮可以反复操作。用鼠标右键单击“运动点”按钮，在弹出的快捷菜单中选择“属性”选项，可以重新设置点C的运动方向和速度以及按钮的标签。

例3.2 绘制“同弧上的圆周角相等”的动态演示图形。

绘制步骤如下：

打开一个新画板。

画圆。选中“画圆”工具，在画板中划出以点A为圆心，过点B的圆，改点A标签为O。画点。选中“画点”工具，在圆上画出两个点C，D。

依次选中点B，C，D作弧，并构造弧上的点E，用线段连接BE，ED，如图3.4所示。角度量<BED的度数、线段BE，ED的长度。作点E的动画按钮，改标签为“同弧上的圆周角”。

单击“同弧上的圆周角”按钮，点E就在弧BCD上运动起来，同时三个度量值在不断变化，但角<BED的度数不变，表明同弧BD上的圆周角相等。

请读者仿照例3.2方法，绘制一个图形，能演示圆内接四边形两对角和为180度。例3.3 显示“地球绕太阳旋转”的课件。

实际上是制作一个小圆在大圆上运动的动画。

打开一个新画板，选择画圆工具，在画板上画一个大圆作为地球运动的轨迹。

选择划线工具，在画板上画一小线段k，在选择画点工具，在大圆上画一点。

同时选中线段k和大圆上的点，单击<作图/以圆心和半径画圆>选项，画出小圆作为地球。选中新画的小圆，单击<作图/圆内部>选项，小圆着上颜色，在单击右键，在弹出的对话框中选颜色，在颜色框中选中蓝色。

选中小圆的圆心为当前对象，单击<编辑/操作类按钮/动画>选项，在对话框中方向选“顺时针”，速度选“中等”，再单击“确定”按钮，在画板中出现一个“运动点”的动画按钮。选择画圆工具，画一个同心圆作为“太阳”；选中新画的圆，单击<作图/圆内部>选项，再单击右键，在弹出的对话框中选颜色，在颜色框中选中红色。

单击“运动点”按钮，观察“地球”围绕“太阳”旋转运动的情况，再单击按钮，停止动画。如图3.5所示。

注意：小圆（地球）不能用画圆工具画出，否则，决定小圆半径的点(父

母点）在动画时，将固定不动。

3．.如何实现多点动画？

用同样的方法，也可以实现两个以上点在各自不同的相互独立的路径上的同时运动。例3．4 画一个大圆，在大圆上选一个动点；再画一条直线，在该直线上选另一个动点；选中大圆上的动点和直线上的动点为当前对象，然后单击〈编辑／操作类按钮／动画〉选项，在对话框中确定各动点的运动方向、速度和播放次数，在单击‘‘确定’’按钮，在画板中出现一个‘‘运动对象’’的动画按钮。

单击“运动对象”按钮，可以看到两动点分别在大圆和直线上运动。

4．如何改动动画？

在定义动画按钮以后，有时会觉得这个动画还不太理想，想修改一下.比如我们希望修改一 41

下动画的速度，让它再慢一点或希望它作单项运动等。

用鼠标右键单击“动画”按钮，在弹出的快捷菜单中选择“属性”选项，在“运动点的属性”对话框中可以重新设置动点的运功方向、速度、播放次数以及按钮的标签。

5．如何实现点在任意多边形上的动画？

可以通过取多边形内部上的对象点位动点，多边形内部为路径作动画来实现。

具体的做法是：任意画一个多边形，并选择其内部；单击〈作图∕选取对象的点〉，此时在多边形内部的边缘上选取一个动点；选中该动点作动画按钮即可。

移动功能学习范例

几何画板不仅可以让一个动点沿着一条路径运动，也可以定义“点到点”的运动。前者叫做“动画”，后者就叫做“移动”。

定义“移动”的方法是：同时选中两个点作为当前对象，单击〈编辑菜单∕操作类按钮∕移动〉选项，并指定移动的速度后，按“确定”按钮，在画板上就会出现“移动”按钮。单击“移动”按钮，就可以实现从第一个点向第二点的运动，在单击就会停止移动，这种运动一般是沿直线的移动。若是用圆弧上两点作的移动，就可以实现沿弧线的移动。

小圆的移动

打开一个新画板。

在画板上画一条线段AB，在线段AB上去一点C。

再在画板上画一小线段k，同时选中线段k和点C，单击〈作图∕以圆心和半

径画圆〉选项，画出小圆。

（4）选中新画的小圆，单击<作图∕园内部>选项；单击右键，在弹出的对话框中选颜色，在颜色框中选中蓝色。

（5）作移动按钮。同时选中点C和点B ，单击<编辑菜单∕操作类按钮∕移动>选项，并移动指定的速度为中速后，按“确定”按钮，在画板上就会出现一个“从C→B移动”按钮。同时选中点C和点A，单击<编辑菜单/操作类按钮/移动>选项，并指定移动的速度为中速后，按“确定”按钮，在画板上就会出现另一个从“从C→A移动”按钮。

（6）交替单击两个“移动”按钮，观察小圆的运动情况。如图3.6所示。

三角形的对折

关键要找出三个点：起点、终点和动点，然后让动点沿着弧线分别作动点到起点和终点的移动即可。

如图3.7所示，画一个三角形ABC。

作起点A关于线段BC的镜面反射，得终点A′。

以点C为中心，让点A′旋转30度，得到A〞，依次选取点A′，A〞，A作弧，在弧上取一动点D。

（4）连接DC和DB。作点D到点A的“移动”按钮，改标签为“对折”。作点D到点A＇的“移动”按钮，改标签为“打开”。

(5)最后隐藏弧线和点A＇，A〞，并把三角形ABC和DBC涂上不同的颜色。

拖动点A或B可以改变三角形的大小和形状，交替点击按钮可以动态演示三角形打开和对折的过程。

轨迹功能学习范例

作轨迹的两种方式﹕

用〈显示∕追踪〉功能，追踪轨迹上的动点(线)，在动画中留下的轨迹(不能保留) ,可以动态演示轨迹形成的过程。适应于制作动态演示课件。

用〈构造∕轨迹〉功能，对选中的自变量动点和轨迹上的动点(线)，生成轨迹(可保留)。可以整体把握轨迹的变化、揭示和发现规律。适用于制作研究性的课件。

轨迹追踪

几何画板可以对点、线圆或弧等基本对象进行轨迹跟踪，其法方法是﹕首先选中要进行跟踪的对象，然后单击〈显示菜单∕追踪〉选项。此时，移动图形时，该对象就会留下相应的轨迹。

如果想取消轨迹追踪，可以先选中要取消的追踪对象，然后再执行一次〈显示菜单∕追踪〉选项即可。

轨迹追踪功能非常重要，尤其是在画函数图像、研究解析几何的轨迹问题、多动点轨迹问题和绘制空间曲面时十分重要。

作同心圆系

任作一个圆，并对圆周进行追踪，改变圆的半径就可以得到许多同心圆。

打开一个新画板，画射线AB，在该射线上画线段AC，并在射线外画一个点D，同时选中线段AC和点D作圆。

选中圆周，单击〈显示菜单∕追踪圆〉选项，并隐藏射线AB。

随意拖动线段端点C，即可看到许多同心圆的轨迹。如图3.8所示。

注这样追踪出来的轨迹按“Esc”键或“Ctrl+B”键就会消失，如果使用〈构造菜单∕轨迹〉功能，就可以把轨迹保留下来。

作法是﹕同时选中被拖动的点“C” (即自变量的动点)和想要观察轨迹的对象“圆周” (即轨迹上的动点或点的集合)，再单击〈构造菜单∕轨迹〉选项即可。

作过两点的圆系。

过已知两点A,B的圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上，以垂直平分线上任一点D为圆心、线段DA为半径的圆，对圆周进行追踪，拖动圆心就可以得到过两点的圆系。打开一个新画板，先画一条线段AB，单击〈构造菜单∕中点〉选项，得中点C；同时选中中点C和线段AB，单击〈构造菜单∕垂线〉，选项；

在垂线上任取一点C，同时选中点D和点A，单击〈构造菜单∕以圆心和圆上一点画圆〉选项；

选中圆周，单击〈构造菜单∕追踪圆〉选项；

拖动点D，可以看到过两点的圆系，如图3.9所示。

注意：要把轨迹保留下来，须同时选中拖动点D和要观察轨迹的对象圆周，再单击〈构造∕轨迹〉选项。

动画与轨迹追踪

探索线段CD的端点C在圆上运动时，其垂直平分线的轨迹。

打开一个新画板，先画一个圆，圆心是点A，过点B；

在圆上任取一点C和圆外任取一点D，作线段CD；

选中线段CD，单击〈构造菜单∕中点〉选项，同时选中线段CD和中点E，单击〈构造菜单∕垂线〉选项，得中垂线；

(4)选中中垂线,单击<显示菜单/追踪垂线>选项；

（5）选中点C，单击〈编辑/操作类按钮/动画〉选项，在画板中出现“动画”按钮；

（6）单击“动画”按钮，就会逐渐显现垂直平分线的轨迹，实现动态演示轨迹形成的过程，如图3.10所示。

另法，也可以同时选中自变量“动点C”和轨迹上的动点集合“中垂线”，再单击<构造菜单/轨迹>选项，得到垂直平分线的轨迹。

对于构造得到的轨迹，当我们拖到点D从圆外逐渐向圆心A移动时，可以清楚地看到：点D在圆外时，轨迹为双曲线的包络线；点D接近圆周时，轨迹变为抛物线的包络线；点D到圆内时，轨迹变为椭圆的包络线；点D和点A重合时，轨迹变为圆的包络线。便于整体把握轨迹特征，揭示和发现轨迹变化的规律。

Ⅰ由定义构造轨迹

椭圆的定义。

到两个定点F和F’距离等于定长的点的轨迹。

（1）打开一个新画板，画一条线段r，并度量长度，作为定长；

（2）在线段外画一点F，以点F为圆心，定长r为半径画圆；

（3）构造圆上一点C，在点F右侧的圆内画点F’；

（4）构造直线CF和线段CF’；

(5)构造CF’中点过点E，过点E作线段CF’的垂线，与直线CF交于点D；

(6)连接线段F’D,并追踪点D；

（7）选中点C，单击<编辑/操作类按钮/动画>选项，建立“动画”按钮，改标签为“椭圆轨迹的形成”；

（8）度量：选中FD和F’D，单击<度量/长度>选项；

（9）求和：选中FD和F’D的度量式子，单击<度量/计算>选项，依此输入“mFD”，“+”，“Mf’D”,单击“确定”；

（10）隐藏无关的线段，如图3.11所示，起名“椭圆轨迹。gsp”存盘。

注意：如果想把轨迹保留下来，须同时选中自变量的动点“点C”和轨迹上的动点“点D”，再单击<构造菜单/轨迹>选项。

拖动点F’从圆内逐渐向圆外移动时，观察轨迹有什么变化。

Ⅱ由两个动点产生的轨迹

在实际问题中，经常会遇到由两个自变量动点确定的轨迹问题。这种轨迹用<构造/轨迹>功能就失效了，只能用<显示/追踪>功能来实现。

例3.11构造正弦波。

方法一：构造正弦波采用两个动点方法，当一个动点沿圆弧作逆时针运动的同时，另一个动点沿水平方向用相同速度作直线运动，最后追踪过两个动点水平直线与垂直直线交点的轨迹。如图3.12所示。

（1）打开一个新画板，画一条线段r，并度量长度。

（2）另画一点O，以点O为圆心，线段r为半径画圆。

（3）构造圆上一动点D，过点D和点O，作线段r的平行线j和k，平行线k交圆O与点E。

（4）用计算器计算2**r的值，并标记距离。

(5)点E按标记距离，以0度角平移，得到点E’，用线段连接EE’,并在EE’上取一点P。

(6)过点P作直线j的垂线，交于点G。隐藏垂线，用线段连接GP，选中G和线段GP，并追踪它们。

(7)同时选中点D和点E，单击（编辑/操作类按钮/移动）选项，速度选”高速”，建立“移动”按钮，改标签为“移动点D”；同样建立点P到点E的高速“移动点P”按钮。

（8）同时选中点P和点D，单击（编辑/操作类按钮/动画）选项，在运动点属性对话框中，点P运动方向选“向后”，点D的运动方向选“逆时针方向”，速度均选“中速”，播放次数均选“只播放一次”，建立“动画”按钮，改标签为“运动点D，P”。

（9）依次选中“移动点D”、 “移动点P”和“运动点D，P”按钮，单击（编辑/操作类按钮/系列）选项，在系列属性对话框中，执行参数选“同时”，开始前参数选“清楚所有轨迹”，

建立“系列”按钮，改标签为“正旋波”。

单击“正旋波”按钮，将动态演示正旋波的形成过程。同样的方法，可以制作余旋波。方法二：构建正旋波采用一个动点方法，当一个动点沿圆弧作逆时针运动的同时，用它走过的弧长，作为动点水平右移的距离，得到点的轨迹。如图3.13所示。

打开一个新画板，画一条水平直线k，在直线上取点A,B作圆。

在圆上画一动点C，用线段连接BC,并作BC的中垂线，交圆于点D.依次选中点B,D,C作狐，并度量其长度。

选中狐的度量值，单击（变换/标记距离）选项，让点B，按标记距离O角度平移，得到点B’。

过点C作直线K的垂线，交直线K于点E，同时选中点E，C标记向量，让点B’，按标记向量平移，得到点B’’，用线段连接B’B’’.

同时选中点C,B’’作轨迹，得到一个周期的正旋曲线。

作点C的“动画”按钮，改标签为“正旋波”，并追踪B’B’’。最后隐藏不必要的点、线等。

方法三：制作可以波动的正旋波。关键在于引入一个参数来控制正旋函数的相位，当参数变化时，相位也随之改变，使正旋曲线上的点波动起来。

如图3.14所示，打开一个新画板，单击（编辑/参数选项）命令，在弹出的“参数选项”对话框中选角度单位为弧度制。

新建相位参数Q并建立动画按钮。单击（图表/新建参数）选项，改名称为Q,选单位为弧度。选中参数Q，单击（编辑/操作类按钮/动画）选项，在弹出的“属性”对话框中方向选“渐增”、时间“0.2”秒，范围“0到2帕尔”，改标签为“正旋波”，建立“动画”按钮。构造自变量点X。任画一点A,让点A水平移动13厘米，得到点A’，用线段连接AA’，在AA’上取一点X，并度量其横坐标，改标签为x。

构造正旋曲线上点D。单击（度量/计算）选项，在弹出的计算器中输入公式“sin(x+Q)”,改标签为y。依次选中x和y的值，单击（图表/绘制（x,y））选项，绘出正旋曲线上一点

构造轨迹。同时选中点X和点D，单击（构造/轨迹）选项，绘出正旋函数图象。 45

构造波动点。画一条小半径r。用画点工具在正旋曲线上取若干个离散的点，隐藏正旋曲线。同时选中这些点和半径r作小圆，并取内部，改颜色为蓝色。缩小半径r，使小圆足够的小。单击“正旋波”按钮，这些小圆就波动起来。拖动点A,波跟着移动。

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功能描述

定义一个新坐标系

设置坐标系

选极坐标网络定义为极坐标系;选方形

网络定义为直角坐标系

隐藏坐标系中网络

给出给定坐标或选定坐标的点

建立一个新的动态参数

输入一个新函数，不绘图像

输入一个新函数，并立即绘制图像

对选中的函数式，生成相应的导函数式

对选中的度量值或函数式，建立数表

对选中的数表，可添加数据

对选中的数表，可删除数据

1.坐标系

要建立函数图像，一般来说要先建立坐标系。几何画板提供的坐标网络有极坐标网络、方形网络和矩形网络三种。极坐标网络对应极坐标系，方形网络和矩形网络对应直角坐标系。要想建立什么样的坐标系，只要单击＜图标/网格＞命令，从中选择相应的网格即可。一个坐标系中横、纵坐标的单位长度可以不一致。

一页可以有自己的坐标系，而不是一个文件只有一个坐标系。

在同一页上定义几个坐标系。同一个点可以有几个不同的坐标。当拖动这个点的位置变化时，点的坐标都随之变动。

（4）对于已建的坐标系，可以在按住shift键的同时，单击＜图表/隐藏坐标系＞选项将其隐藏；也可以按住shift键的同时，单击＜图表/显示坐标系＞选项，将隐藏的坐标系再次显示。

2.在同一页上定义不同坐标系的方法

在同一页上定义不同坐标系的方法有以下四种:

先选中一个点（作为新坐标系原点),单击<图标、定义原点>选项，在"新建坐标系"对话框，按“是Y”按钮，就构建一个以该点为原点的新坐标系。用同样方法可以建立多个不同坐标系。

画一个圆，选中圆周，单击<图表、定义单位圆>选项，建立一个以该圆为单位圆的坐标系。画一个点和一条线段，并同时选中它们，单击<图表、定义单位距离>选项，建立一个以该点为原点，线段长为单位的坐标系。

画一个点和画两条线段，并同时选中它们，单击<图表、定义单位距离>选项，建立一个以该点为原点，第一条线段长为横坐标单位，第二条线段长为纵坐标单位的坐标系。

当同一页上有多个坐标系时，要把某个坐标系选为当前坐标系，则先选择该坐标系的原点，单击<图表、标记坐标系>选项，这时该点会以矩形框闪动一下。

绘制函数曲线

在4.X版几何画板中，可以直接输入函数表达式就可以绘制函数 Y=F(X)的图像或者极坐标方程P=F(?)的曲线，也可以绘制X=F(Y)的图像或者极坐标方程?=F(P)的曲线。

可以重新编辑函数式，并立即画出他的图像，原图像不再保留。可以直接画出导函数的图像。下面给出绘制函数图形的一半步骤：

设置函数图像的支持环境

直角坐标系下的图形

单击<图表、网格、方格（或矩形）网络>选项；

单击<图表、参数选项、单位、弧度制>选项。

极坐标系下的图形。

单击<图表、网格、方格、极网络>选项；

单击<编辑、参数选项、单位、弧度制>选项；

建立相应的坐标系：选中单击<图表、定义坐标系>，改原点为0，单位点为1. 建参数、定范围

在4.X版几何画板中，可以动态控制某个参数（或数量）是“连续”地变化还是“不连续”的变化，以控制便函数做相应的变化。在实际应用中，根据函数式中的系数参数，建立参数值。单击 <图表、新建参数>选项，在“新建参数”对话框中，输入参数名称和选中单位（无或度或厘米之一），这样就新建了一个参数值。

了一个参数值。然后在参数值上单击右键，在快捷菜单上单击“属性”选项，在弹出的“参数的属性”对话框中，确定参数的精度和初值以及参数的变换方式（连续或不联系）、速度（步长和时间）和取值范围。

3）输入函数、绘制图形

单击<图表/绘制新函数>选项，在新建函数对话框中，输入函数式，其中的分别为直角坐标系、极坐标系的自变量。输入完毕，单击“确定”按钮，画板自动绘制出函数的图形。适当改变图形的线性及颜色，作简要明晰的文本说明和标注，调整显示的位置，隐藏多余的信息等。

4）控制系数参数的变化

控制系数参数变化的方式如下。

用键盘控制：对选中的参数值，单击“—”号递减，单击“+”号递增来改变参数值。用控制台控制：单击<显示/显示运动控制台>选项，对选中的参数值，单击控制台的运动按钮即可，在控制台可以随时调整运动的速度。

用按钮控制：对选中的一个或多个参数值，单击<编辑/操作类按钮/动画>选项，在对话框中确定改变数值的方向、方式和范围，设置标签的名称，单击“确定”按钮，即建立参数的控 47

制按钮。单击参数“按钮”，就可以实现对参数数值变化的控制。

用线段控制：可以通过度量水平直线上某点的横坐标值或某两点的横坐标值之差来表示，也可以通过度量竖直直线上某点的纵坐标值或某两点的纵坐标值之差来表示，用此方法得到的参数取代第2步的新建参数。当托动控制点时，就可以灵活快捷改变参数值。观察图形的变化情况，以实现参数的交互功能，达到函数图形的动态演示效果。

说明：函数可以复合、可以嵌套。

例如已绘制新函数：f(x)=1+x+x2+x3+x4+x5的图像；如果用cos(x)替代变量x，可以直接求作函数f(cos(x))来实现；又如在f(x)函数后添加两项：可以输入g(x)=f(x)+x6+x7.

如果已知两个函数f(x)和g(x)，可以求作如函数h(x)=f(g(x))或h(x)=f(x)+g(x)以及它们之间的多次组合后所得到函数的图像。

在同一坐标系下绘制y1=asin(bx+)+c和y2=ax+bx+c的图像。

设置函数作图的支持环境

建立直角坐标系：

单击<图表网格方形（或矩形）网格>选项；

单击<编辑参数选项单位弧度制>选项。

建参数、定范围

单击<图表新建参数>选项，在“新建参数”对话框，输入参数名称和选中单位，分别建参数a，b，c，单位选“无”，再建参数Q,单位选“弧度”。然后在参数值上单击右键、在快捷菜单上单击“属性”选项，参数的精度选“十分之一”，取值范围“-10到10”。建立控制按钮

利用<编辑/操作类按钮/动画>功能，分别建立各参数的“动画”按钮，改标签为“运动参数a”、“运动参数b”??。

输入函数、绘制图形

单击<图表/绘制新函数>选项，在“新建函数”对话框中，输入函数式“a*x+b*x+c”,并改标签为“y2”.在该坐标系中同时绘出三角函数和二次函数图像。

版面设计

选中正弦函数轨迹和函数式，改为红色和粗线，并建立“显示/隐藏”按钮，改标签为“正弦曲线图像”。同样改变二次曲线轨迹和函数式为蓝色和粗线，并建立“显示/隐藏”按钮，改标签为“二次曲线图像”。如图3.15所示。

单击参数按钮，改变系数a,b,c的值，观察轨迹的变化情况，特别是双击各系参数值，给参数a,b,c输入一组特定值时，可以看到特定方程的曲线图型.

在极坐标系下绘制心脏线p=（1-cos?）的图像.

设置作图的支持环境

建立极坐标系：

单击<图表/网络/极坐标网络>选项；

单击<编辑/参数选项/单位/弧度制>选项；

改原点为0，单位点为1.

2）用线段控制参数的值

过极轴左端一点F作X轴的垂线段FA，度量点A的纵坐标的值，并改标签为“a”.

3）输入函数、绘制图形

单击<图表/绘制新函数>选项，在“新建函数”对话框中，输入函数式“a*(1-cos（?）)”，并改标签为“p”.

4）选中轨迹，建立“显示/隐藏按钮”

5）作动画

在轨迹上任取一点D，单击<编辑/操作类按钮/动画>选项，画板中显示“动画”按钮，改标签为“心脏线的形成”，并追踪点D.如图3.16所示.

用鼠标拖动点A，改变a的值，观察心脏线的变化情况.

先按“隐藏函数图像”按钮，再单击“心脏线的形成”按钮，可以动态演示轨迹的形成过程.

绘制波动y1=asin(bx+?)+c图像.

设置函数作图的支持环境

建立<图表/网格/方形（或矩形）网格> 选项；

单击<编辑/参数选项/单位/弧度制>选项.

建参数、定范围

单击<图表/新建参数> 选项，在“新建参数”对话框。输入参数名称和选中单位，分别建参数a,b,c,单位选“无”，再建参数Q，单位选“弧度”.然后在参数值上单击右键、在快捷菜单上单击“属性”选项，参数的精度选“十分之一”，取值范围选“-10到10”. 建立控制按钮

利用<编辑/操作类按钮/动画>功能，分别建立各参数的“动画”按钮，改标签为“运动参数a”、“运动参数b”??.

输入函数、绘制图形

单击<图表/绘制新函数>选项，在“新建函数”对话框中，输入函数式“a*sin(b*x+ ?)+c”,在改坐标系中绘出三角函数图像.

使函数图像离散化

选中函数曲线单击右键，在弹出的“函数图像的属性”对话框的图像卡中，选定范围（-6<x<6）,图像取80个样点，选“离散”的显示，如图3.17所示.

单击参数按钮，改变系数a,b,c的值，观察轨迹的变化情况.特别是单击“运动对象Q”按钮，会使正弦曲线波动起来，如图3.18所示.

习题3

1.制作“地球”围绕“太阳旋转的课件，并存盘.

2.线段AB是圆O的切线，A是切点.观察当A点在圆上运动时，AB的垂直平分线的轨迹.

3.如图3.19所示，A点在圆上运动，B是圆外任一点，C点是线段AB中点，那么C点的轨迹是什么（把圆O换成线段如何）？

4．如图3.20所示，C点和D点分别为圆O和线段AB上的点，E点是线段CD的中点，当C点和D点同时在圆O和线段AB上运动时，那么点E的轨迹是什么（把圆O换成线段或把线段AB换成圆如何）?

5.如图3.21所示，作一个三角形（或多边形）在圆周上的动画.

提示：利用小圆在大圆周上的动画.

6.如图3.22所示，作一个动画，使三角形ADE沿线段DE向上折起，而四边形BCED原位不动.

7.当三角形的一个顶点在某些图形上运动的时候，它的垂心的轨迹是什么呢（比如在一条直线上或在某圆周上运动）？

8.我们可以直接定义点在圆上的动画，但不能直接定义点在弧形四边形上的动画，那么，如何使点在弧形四边形上运动（将点换成小圆效果如何）？见图3.23.

提示：利用点在圆周上的动画，找到半径的延长线与四边形各边的交点.当点在圆周上运动时，交点便沿着弧形四边形运动.

9.如图3.24所示，当一个平面绕着一固定轴转动与圆柱相截时，截面如何作出？

10.如图3.25所示，圆心在X轴上的定圆O上有一动点A，以A点为圆心以A点到X轴的 49

距离AB为半径作圆，两圆相交的割线CD与线段AB的交点E的轨迹是什么？

11．在新画板上先绘制一个彩色的五角星，然后运用“工作”菜单的“生成记录（制作脚本）”功能，生成脚本记录并存盘.

12.匀速圆周运动的水平或竖直的投影是简谐运动.利用匀速圆周运动来构造二维的简谐运动的合成.见图3.26.

67—68—134

13．如图3.27所示，点P在正方形的边上运动，同时点Q在圆上运动，求作线段PQ的中点M的轨迹．

14．使用记录的“循环”功能，绘制余弦波．

15．求作到两个定点距离之比等于定长的点的轨迹．

第四章技技巧应用范例篇

4．1图形移动变化

利用几何画板的“动画“和”移动＂功能，可以方便地实现几何图形的移动和变化，制作出形象、直观的演示课件．

4.1.1图形的任意性

图形的任意性是很难用有限的列举表达出来的．利用几何画板进行教学，就能十分逼真的、形象的表达几何图形的任意性，从而为我们讲述任意三角形、任意四边形的性质，以及两个任意几何图形之间的关系带来方便．

任意两圆的关系．

利用几何画板的“移动”功能，可以较好地表达两圆的任意性，即它们之间的相离、相交和内含三种位置关系．通过定义一些特殊点的“移动”，来表现两圆的重合、内切和外切特殊关系．

具体的步骤是：

（1）如图4.1所示，打开一个新画板，画线段ab，在ab上任取两点c，d；分别作点c到点d，点c到点d的“移动”按钮．

（2）在线段外任意画两点E,F，分别以点E为圆心、ac为半径，点F为圆心、ab为半径画圆．

（3）另画一点A，过点A作线段ab平行线j，让点A按标记向量ac平移，得到点C，让点C按标记向量cb平移，得到点B．

（4）让点C以点A为中心旋转180°，得到点C’，让点A以点B中心旋转-180°，得到点A’．构造CB的中点D.

（5）同时选中点E和F，作快速的“动画”按钮，改标签为“任意两圆”．

（6）同时选中点E和C，F和B，作快速“移动”按钮，改标签为“两圆内切”．同时选中点E和C’，F和B, 作快速“移动”按钮，改标签为“两圆外切”．

同时选中点E和D，F和C’, 作快速“移动”按钮，改标签为“两圆相交”．同时选中点E和D，F和C, 作快速“移动”按钮，改标签为“两圆内含”．

同时选中点E和C’，F和A’，作快速“移动”按钮，改标签为“两圆相离”．

同时选中“点c b移动”按钮和“两圆内切”按钮“系列”按钮，改标签为“两圆重合”。

（7）隐藏直线j及直线上所有的点，隐藏“点c b移动”按钮，并调节各按钮的位置， 50

如图4.2所示。

注意：演示完“两圆重合”位置关系后，最好单击“点c b移动”按钮，使两个圆大小不同时，再打击两圆其它位置关系的按钮，这样演示效果比较好。

拖动点b或c,可以改变圆的大小和位置。

例4.2 任意三角形角平分线交于一点。

（1）打开一个新画板，画一个三角形ABC，并在合适的位置画三个圆。

（2）做角平分线。

顺序选中点A,B,C,单击<构造/角平分线>选项。同样作出∠CAB=∠ACB的角平分线。并求得两条角平分线上的交点J。

坐三角形的内切圆。

同时选中点J和线段BC，单击<构造/垂线>选项。并求得垂线和线段BC交点K。顺序选中点J和点K，单击<构造/以圆心和半径画圆>选项。

(4) 选择点A和圆c1，单击<编辑/合并点到圆>选项，将点A合并到圆c1。用同样的方法将点B合并到圆c2、点C合并到c3。

（5）同时选中点A，B,C,单击<编辑/操作类按钮/动画>选项，建立“动画”按钮,改名为“任意三角形”

(6) 将圆c1,c2,c3和垂直隐藏起来。如图4.3所示。

仿照上面的两个例子，我们可以解决很多类似的几何问题。 71—72—136

4.1.2 图形的移动变化

1.移动的一般形式

一个图形从一个位置（形状）移动到另一个位置（形状），从几何画板的角度看，需要定义三类图形：

移动图形：一个由N个动点组成的任意多边形，动点之间要连线。

源图形：表示“移动图形”移动前的位置，由N个定点组成，定点之间不连线。

目标图形：表示“移动图形”移动后的位置，由多组定点（每组N各定点对应不同的图形）组成，定点之间不连线。

移动规则：

将“移动图形”的各点和“源图形”各点配对选中，定义一个“移动”按钮，用于“移动图形”复原。

再分别将“移动图形”各动点和每组“目标图形”相对应定点配对选中，定义多组“移动”按钮，用于实现变化不同图形。

注意：动点个数与定点个数要相同，在配对选点作移动时一定是动点在前，定点在后。

例4.3 任意五边形变成正五边形或五角星。

“移动图形”为一个任意五边形ABCDE；

“源图形”由五个定点A’，B’，C’，D’，E’组成（形似五边形）。

“目标图形”为两组；一组由五个定点A1，B1，C1，D1，E1组成（形似正五边形），变成五边形用。另一组由五定点A2，B2，C2，D2，E2组成（形似正五边形），变五角星用。具体作法如下：

作“移动图形”。画一个任意五边形ABCDE。

作“源图形”。在任意五边形ABCDE对应顶点附近画五个定点A’，B’，C’，D’，E’。作“目标图形”。在不同位置画两组定点A1，B1，C1，D1，E1和A2，B2，C2，D2，E2（形似正五边形，也可以在圆上取得）,如图4.4所示。

定义五边形的移动

配对选中点A和A’，B和 B’，C和C’，D和D’，E和E’，单击<编辑/操作类按钮/移动>选项，并将标签改名为“五边形”。

定义五边形的移动

配对选中点A和A1，B和 B1，C和C1，D和D1，E和E1，单击<编辑/操作类按钮/移动>选项，并将标签改名为“正五边形”。

定义五角星的移动

配对选中点A和A2，B和 C2，C和E2，D和B2，E和D2，单击<编辑/操作类按钮/移动>选项，并将标签改名为“五角星”。如图4.5所示。

如果想由五边形变成四边形或三边形，只要使部分点重叠在一起即可。当调整好位置后，隐藏所以的定点。单击各按钮，可以实现不同图形之间的变化。

2.M个点图形到N个点图形的移动

移动前的源图形为M个点，移动后的目标图形为N个点。因为定义一个移动要求对应点的数目必须相等，所以当M>N时，除了将“源图形”的各点和“目标图形”各点对应顺序选择外，不足者还须用“过渡点”（两图形以外的任意点）补充，方可定义一个移动。然后再定义一个“系列移动”，分别让“过渡点”移动到“目标图形”的第一个点上。

执行时，先执行“系列移动”，再执行“M点图形到N点图形的移动”即可．

例4.4 将一个点逐渐变成一个六边形.

（1）如图4.6所示，画一个任意六边形ABCDEF作为源图形.

画图：圆心点G，过点H；

圆外另画5个过渡点H12，H13，H14，H15，H16.

(2)在圆G上作出目标图形各点.

双击点G，标识为中心；

选择点H，旋转180°，得到点H22；

选择点H，不断旋转120°，得到点H32，H33；

选择点H，不断旋转90°，得到点H42，H43，H44；

选择点H，不断旋转72°，得到点H52，H53，H54，H55；

选择点H，不断旋转60°，得到点H62，H63，H64，H65，H66.

(3)定义各种移动.

定义到单点的移动：ABCDEF对应的点为H,H12，H13，H14，H15，H16；

定义到线段的移动：ABCDEF对应的点为H,H22，H13，H14，H15，H16；

定义到三角形的移动：ABCDEF对应的点为H,H32，H33，H14，H15，H16；

定义到正方形的移动：ABCDEF对应的点为H,H42，H43，H44，H15，H16；

定义到五边形的移动：ABCDEF对应的点为H,H52，H53，H54，H55，H16；

定义到六边形的移动：ABCDEF对应的点为H,H62，H63，H64，H65，H66.

（4）定义一个“系列移动”.

分别让“过渡点”移动到“目标图形”的第一个点H上.

分别定义过渡点H12，H13，H14，H15，H16移动到点H的“移动”；同时选择这五个“移动”按钮，单击<编辑/操作类按钮/系列>选项，定义了一个“系列移动”，如图4.7右边六个“移动”按钮所示.

单击这个“系列移动”按钮，使这五个点都移动到点H.

(5)这时，单击左边六个“移动”按钮，就可以图形变化了，如图4.7所示.

3.保形移动

几何画板实现点到点的移动，都是作直线运动.如果这些点是多边形的顶点，那么该多边形在作移动变化中就不能够保形，为了实现保形移动，关键是让点到点的移动作圆弧移动，而不是作直线运动.

例4.5 全等三角形.

例如4.8所示.打开一个新画板，画三角形ABC.

分别以AC和AB为边，向外作正

五棱柱的侧面保形展开.

如图4.13所示，首先求作以五边形ABCDE为底的五棱柱，然后以AB为不动边，从D点切开，让AE，ED边作逆时针方向展开，BC，CD边作顺时针方向展开，即实现了棱柱的侧面展开.要实现四个侧面的展开，关键是要找到三组点：四个动点、四个展开点和四个还原点.最后只要作出动点到展开点的移动按钮和动点到还原点的移动按钮，就实现了侧面的

展开. 具体制作步骤如下.

1)如图4.11所示，打开一个新画板，作五边形abcde

2)以五边形abcde为底，作五棱柱侧面的立体图

（1）选中点a，b标记为向量，另画一点A，让点A按标记向量平移，得点B，连接AB；

（2）求作侧面展开的四个动点E，C，D1，D2.

以A为圆心、线段ae为半径作圆c1，在圆c1上取一点E，连接AE；以B为圆心、线段bc为半径作圆c2，在圆c2上取一点C，连接BC；以C为圆心、线段cd为半径作圆c3，在圆c3上取一点D1，连接CD1；以E为圆心、线段ed为半径作圆c4，在圆c4上取一点D2；连接ED2；这样在四个不同的圆上得到相应的四个动点E，C，D1，D2.

3)作五棱柱的侧面展开

（1）求作对应动点的四个展开点E'，C'，D1'，D2'.选中点E，B，C和线段ab，作平行线，分别交圆c1于点E'、交圆c2于点C'、交圆c3于点D1'、交圆c4于点D2'. （2）作展开按钮：依次选中点D1和D1'，点D2和D2'点C和C'，点E和E'作“移动”按钮，改标签为“展开”.然后隐藏掉点E'，C'，D1'，D2'和三条平行线.

4)作五棱柱的侧面复原

（1）求作对应动点的四个还原点E''，C''，D1''，D2''点.让点B按标记向量bc平移，得圆c2上的点C''，让点A按标记向量ae平移，得圆c1上的点E''，让点C按标记向量cd平移，的圆c3上的点D1''，让点E按标记向量ed平移，得圆c4上的点D2''. （2）作复原按钮：依次选中点C和C''，点E和E''，点D1和D1''，点D2和D2''作“移动”按钮，改标签为“还原”.然后隐藏掉点E''，C''，D1''，D2''和所有辅助圆，如图4.14所示.

5）作五棱柱侧面的立体图形

取两点M，N，标记向量MN.选中点A，B，C，D1，D2，E及它们的连线，并按标记向量平移，得五棱柱另一底；连接两底对应的点、作相应的四边形内部，给各侧面着上不同的颜色，得到开口的五棱柱侧面的展开图形.

如图4.15所示.拖动点N，可以改变棱柱的方向和长短；拖动五边形各顶

点,可以改变棱柱底的形状和大小.

６）制作棱锥的侧面展开

（１）将第１页的内容复制到第2页,打开第2页

（２）选中棱柱的上底，按Del键删除,在上方任意一点V,作为棱锥的顶点,并将第2页被容复制到第3页.

（３）如图4.16所示,过顶点V与底的各点相连,并给各侧面着上不同的颜色,得到五棱锥 53

侧面的展开图形.

７）制作棱台的侧面展开

（１）打开第2，如图4.17所示，选中点Ｖ标记中心．

（２）选中Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ2Ｄ2Ｅ及它们的连线，让它们以点Ｖ为缩放中心缩小１/２倍，得五棱台的上底．

（３）连接两底对应的点,作相应的四边形内部,给个侧面着上不同的颜色,得到五棱台侧面的展开图形.

4.2.2 滚动展开

如何实现棱柱沿一个方向的滚动展开?可以采用按侧面分别作展开,然后再合成的办法.下面以三棱柱的侧面展开为例.

三棱柱的侧面滚动展开.

具体制作步骤如下:

如图4.18所示,打开一个新画板,作三角形ABC,并标记向量MN

作棱柱侧面展开后的平面图

作水平直线a,在a上依次取点A’,B’,C’,D’,使A’B’=AB,B’C’=BC,C’D’=AC.] 选中点A’,B’,C’,D’,按标记向量MN平移,得点A”,B”,C”,D”,选中点A’,B’,B”,A”作内部,并建立“显示A”、“隐藏A”按钮。选中点B’,C’,C”,B”,作内部,并建立“B”、“隐藏B”按钮。选中点C’,D’,D”,

例4.9 圆锥的侧面滚动展开。

利用圆锥的底（椭圆弧）沿着大圆滚动，实现圆锥的动态展开。

如图4.21所示，画两条线段r，L（r<L）。另画一点A，以点A为圆心，L为半径做圆c1。在圆c1上取一点B，以点B为圆心，r为半径作圆c2，交圆c1与点C。

画一条线段DE，在线段DE上任取一点F。依次选中D，E，F，单击

<度量/比>选项，得到DF/DE的比值，计算DF/DE*2*pi*1弧度的值，并改标签为Q1。选中r，L，单击<度量/比>选项，得到r/L的比值。计算r/L*Q1的值，并改标签为Q2。选中Q2的值标记角度，让点B以点A为中心按标记角旋转，得到点B’。以点B’为圆心，r为半径作圆c3，交圆c1于点G。

选中Q1的值标记角度，让点G以点B’为中心按标记角旋转，得到点G’。用直线连接GB’，用线段连接GG’，作GG’的中垂线I交圆c3与点J。

依次选中点G、J、G’作弧。在弧上取点K，过点K作直线GB’的垂线段KL，在KL上取一点M，选中点K，M作轨迹，得到椭圆弧L1。

用线段连接GC，作GC的中垂线m交圆c1与点N；依次选中点C，N，G做弧。在弧上取点O，用线段连接AO。

在椭圆弧上取一点P，用线段连接AP，PB’，拖动点P到椭圆弧的左端点。同时选中点A，P，B’构造内部，着上黄色。

选中点P和线段AP作轨迹，着上蓝色，得到锥面。选中点O和线段AO作轨迹，着上绿色。作点F到点E的移动，改标签为“展开”按钮。让点D右移0.01厘米（为了确保还原后图形的存在），得到点D’，作点F到点D’的移动，改标签为“还原”按钮。

度量r，L的长度，并计算“2*兀*r*L”的值，改标签为S侧面积

(13) 最后隐藏不必要的对象，如图4.22所示.

4.2.3 拉动展开

利用几何画板可以更加形象、直观的演示圆柱体侧面展开的过程.

例4.10 圆柱的侧面拉动展开.

第一步:作线段r,L,以r为底面半径，L为高，作圆柱OO’.圆柱底面椭

圆是由大圆上的动点到水平直径的垂线段中点追踪轨迹形成。

第二步：作圆柱的侧面展开.

如图4.23(a)，画线段EF ,上取一动点D,计算机“ ED/EF*2π*1弧

度”的值,改标签为Q，并标记角度值. 作点D到点F的移动，改标签为“展

开”按钮.让点E右移0.01厘米，得到点 E，作点D到点E’的移动,改标签

为“还原”按钮.

（2）以r为半径，点O为圆心作圆，取圆的直径AB,以点O为标记中心,

让点A按标记角Q旋转得到点C,连接AC.

（3）作AC的中垂线，交弧CBA于点G,过点C,G,A作圆弧，在该圆弧

上取动点P，过点P作直径AB垂线段的中点Z，同时选中点P,Z作轨迹，得缺

椭圆.

（4）椭圆上取点M,让点M,A,B,O,按标记向量L平移，得点M’,A’,

B’,O’.

（5）选中点M和点M’的作轨迹.选中线段MM’和点M作轨迹，得到缺圆柱侧面.如图4.23（b）所示.

（6）计算“Q*r/1弧度”的值，并标记距离.让点A,A’按标记距离水平

移动，得点A’,A”,在横线AA’取点K，过点K作该横线的垂线段KK’,作

KK’关于点K的轨迹，得展开的圆柱侧面.

（7）侧面积“Q*r*L/1弧度”的值，改标签为S.

4.2.4 卷动展开

利用几何画板的作图功能和移动功能，可以动态演示柱、锥、台侧面的展

开.但制作起来比较繁琐，效果也不一定很好.能否有一种既简单又实用的有效

方法，实现各种旋转体和棱柱、棱锥、棱台的侧面展开.下面给出一种统一的展

开方法.

例4.11 柱、锥、台的侧面卷动展开.

基本思想：用变半径圆上一段定长的弧线，当半径逐渐变大时，动态演示这段弧线的“伸展、展开”过程.当半径逐渐变小时，动态演示这段弧线的“卷缩

/还原”过程.

如图4.24所示，旋转体底的圆心为o，当半径为r，其周长为l=2πr.周长l可以作为一个大圆O的弧长，动大圆的圆心有一个近点o和一个远点B.

当O→o时即R→r，弧长卷成一个小圆（椭圆），动态演示还原的过程；

当O→B时即R逐渐放大，弧长l也逐渐伸展开，动态演示展开的过程.当

oB距离愈大时，展开的效果愈好.

作图步骤：

确定与展开相关参数

(1) 如图4.24所示，以点A和o作射线，在该射线上取一个动点O和一个远点B.

(2) 度量点A，o的距离，改标签为r，计算“2* ∏ *r”的值，改标签为l，度量点A，O的距离，改标签为R，在弧度制下计算1/R的值。改标签为Q（在大圆上弧l所对应的圆心角）.

大圆上绘制定弧线

（1）让点A, 以点O为中心按标记角Q/2旋转，再按-Q/2旋转一次，得到点

A′,A″,过点A′，A, A″作弧.

（2）过点A作AO的垂线k，在圆弧A′AA″上任取一点F，多点F作直线k

的垂线段FG，并取FG中点H.同时选中点F，H作轨迹，得到相应的椭圆弧.

作“还原”和“展开”按钮

将点o向上平移0.01cm,得o′点（以保证椭圆弧的显示），作点O到点

o′的移动按钮，改标签为“还原” ；作点O到点B的移动按钮，改标签为“展开”按钮. 只保留椭圆弧、点o、B和操作按钮，隐藏不必要的点、线、圆等.

以该椭圆弧为基础，构造圆柱、锥、台，棱柱、锥、台展开.

拖动点o，改变椭圆弧的长短和方向，调节点B的位置，使展开具有较好的视觉效果.

4）构造圆柱展开

如图4.25所示，画线段EF，并标记向量来控制母线的长短和方向.

在椭圆弧上画三点X，Y，Z,其中X为椭圆弧的左端点，Z为椭圆弧的右端

点，Y为中间任意一点.

选中点X，Y，Z,按标记向量平移，得到点X′，Y′，Z′,并用线段连接

XX′，YY′，ZZ′.

选中点Y′和点Y，作轨迹；选中线段YY′和点Y，作轨迹，得到圆柱侧

面.

按 “展开”或“还原”按钮，即可动态演示圆柱侧面的展开.拖动点F改变母线长短和方向，拖动点o改变圆柱半径.

5）构造棱柱展开

（1）如图4.26所示，画线段EF，并标记向量，作为控制棱柱母线的长短和方向.

（2）在椭圆弧上多画几个点如：X , Y , M , N , W , Z , 其中X为椭圆弧的

左端点，Z为椭圆弧的右端点，其余为中间点，隐藏椭圆弧.

（3）选中椭圆弧上各点，按标记向量平移，得到点X′，Y′，M′，N′，W′，Z′,并用线段连接XX′，ZZ′.

（4）选中四个相邻点X，Y，Y′，X′,取内部，着上颜色；用同样的方法给棱柱5个侧面着上不同的颜色.

按 “展开”或“还原”按钮，即可动态演示棱柱侧面的展开.可以增加椭圆弧中间点的个数，在适当调整中间点和点F的位置.可以得到不同的棱柱体.

60构造圆锥、棱锥展开

画线段ＦＥ，并标记向量，用来控制圆锥母线的长短和方向．

在椭圆弧上画三点Ｘ、Ｙ、Ｚ，其中Ｘ为椭圆弧上的左端点，Ｚ为椭圆弧上的右端点，Ｙ为中间任一点．

选中中点ｏ，按标记向量平移，得到点ｏ′，作为圆锥的顶点，用线段连接ＸＯ′，ＹＯ′，ＺＯ′．

选中线段ＹＯ′，和点Ｙ，作轨迹，得到圆锥面．

构造棱锥展开．在椭圆弧上多画几个点，利用构造棱柱展开的方法构造棱锥展开．

按“展开”或“还原”按钮，即可动态演示圆锥（棱锥）侧面展开。拖动点Ｅ改变母线长短和方向，拖动点ｏ改变圆锥半径．

构造圆台、棱台的展开

如图４.２７所示，画线段ＦＥ，并标记向量，作为控制圆台母线的长短和方向．

在椭圆弧上画三点Ｘ，Ｙ，Ｚ，Ｘ为椭圆弧的左端点，Ｚ为椭圆弧的右端点，Ｙ为中间任一点．

选中中点ｏ，按标记向量平移，得到点Ｏ′．让点Ｘ，Ｙ，Ｚ以点Ｏ′为中心，缩小２倍，得到点Ｘ′，Ｙ′，Ｚ′，用线段连接ＸＸ′，ＹＹ′，ＺＺ′．

选中点Ｙ′和Ｙ，作轨迹，用圆台上底；选中线段ＹＹ′和Ｙ，作轨迹，得到圆台侧面．选中圆台分别建立总是显示按钮和总是隐藏按钮，改标签为“显示对象１”和“隐藏对象１”．再任意画一点，建立该点的“显示隐藏”按钮．

构造棱台展开．隐藏圆台的上底和侧面，只保留长椭圆弧．在椭圆弧上多画几点，利用构造棱柱展开的方法构造棱台展开．

选中棱台分别建立总是显示按钮和总是隐藏按钮，改标签为“显示对象２”和“隐藏对象２”．建立控制按钮．依次选中“隐藏对象２”、“显示对象１”、“展开”和“显示隐藏”按钮，建立“系列”按钮，改标签为“圆台展开”；再依次选中“隐藏对象２”、“显示对象１”、“还原”和“显示隐藏”按钮，建立“系列”按钮，改标签为“圆台还原”．

依次选中“隐藏对象１”、“显示对象２”、“展开”和“显示隐藏”按钮，建立“系列”按钮，改标签为“棱台展开”；再依次选中“隐藏对象１”、“显示对象２”、“还原”和“显示隐藏”按钮，建立“系列”按钮，改标签为“棱台还原”；最后隐藏不必要的按钮．按“展开”或“还原”按钮，即可动态演示圆台（棱台）侧面的展开。

注意，建立“系列”按钮时，要注意各按钮选取的先后顺序。标记向量后时，要注意两点的先后顺序．

４.３平面图形的拼图

４.３.１可以任意平移的图形

构造已知多边形的全等图形，使该图形可以任意平移，并且随原多边形同步变化，实现对该图块的平移操作，以便图块的重新组合和拼接．

作图原理：用标记量法作出的多边图快，可以任意平移．

例题４.１２勾股定理的几何演示．

如图４.２８（ａ）所示，打开一个新画板，作直角三角形ＡＢＣ．

分别以ＡＢ,ＡＣ为边向内作正方形，ＢＣ为边向外作正方形，再过Ｅ点作ＡＦ的垂线段ＥＰ．

如图４.２８（ｂ）所示，另画一点Ｃ１，使点Ｃ按标记向量ＣＡ平移，求得点Ａ，再使点Ｃ１按标记向量ＣＢ平移，求得点Ｂ１，用线段连接点Ａ１，Ｂ１，Ｃ１．分别以Ａ１Ｂ１,Ａ１Ｃ１,Ｂ１Ｃ１为边向外作正方形；让点Ｂ１按标记向量ＢＤ平移，得点Ｄ１．作五个小色块，如图４.２９所示．

○1作对应ＡＰＥ的色块：另画一点Ｐ＇，使点Ｐ＇按标记向量ＰＥ平移，求得点Ｅ＇，再使点Ｐ＇按标记向量ＰＡ平移，求得点Ａ＇，选定点Ｐ＇、Ｅ＇、Ａ＇作内部，着

② 用同样的方法，分别作对应PEF﹑ACGH﹑BGH和BCFD的图块P＇E＇F＇﹑A＇C＇G＇H＇﹑B＇G＇H＇和B＇C＇F＇D＇，并着上不同的颜色；最后每个色块只保留一个点（保留字号大的点），其余点隐藏。

（5）作色块填充正方形ABDE的移动。

依次选定A＇点﹑A点﹑P＇点﹑P点﹑C＇点﹑C点﹑G＇点﹑G点﹑D＇点﹑D点，作“移动”按钮，改标签为“斜边的平方c2 ” 。

（6）作色块填充右边两个小正方形的移动。

依次选定A＇点﹑B1点﹑P＇点﹑A1点﹑C＇点﹑E1点﹑G＇点﹑F1点﹑D＇点﹑D1点，作“移动”按钮，改标签为“两直角边的平方a2﹑b2” 。

如图4.30所示，另外也可以分别拖动五个色块，把它们拼接并填充到右边以c为边长的大正方形内。拖动点A或C，改变三角形的大小和（或）形状，重做以上试验，验证勾股定理对任意直角三角形是否成立。

4.3.2 可以任意旋转和平移的图形

构造已知多边形的全等图形，使该图形可以任意旋转和平移，并且随原多边形的变化而变化。利用这种图形可以实现拼图以及几何中的演示证明等操作。

作图原理：用标记角度法作出的多边形图块，可以任意旋转和平移。作法是以多边形任一条边为半径作圆，在圆上取一动点作为该多边形的一个顶点，即为旋转点；再以该顶点为基准点，用几何作图的“标记角度法”来构造多边形的其它顶点。拖动基准点可以旋转所作的多边形，拖动其它顶点或边或内部可以平移所作的多边形。

例如：作五边形abcde的全等五边形ABCDE。

如图4.31所示，打开一个新面板，画一个五边形abcde。

另画一个B，以点B为圆心，边ab为半径作圆c1，在园c1上取一动点A，作直线AB。以点A为圆心，边ae为半径作圆c2，再以点A为旋转中心，让直线AB按标记角b-a?e旋转，求得与圆c2交点E；以点E为圆心；边ed为半径作圆c3，再以点E为旋转中心，让直线EA按标记角a?e?d旋转，求得与圆c3交点D。

以点D为圆心，边dc为半径作圆c4，再以点D为旋转中心，让直线DE按标记角e?d?c旋转，求得与圆c4交点C。

用线段连接点A，B,C,D,E得到全等五边形ABCDE，并取其内部。

﹑

除保留点A，B和多边行内部外，隐蔽其它所有部分。

拖动点A可以旋转多边形，拖动点B或多边形内部可以平移该多边形。依次选定点A，，B，，作移动按钮，改标签为“移进”；在点A，B附近任取点A1，B1，在依次选取点A，A1，B，B1，作移动按钮，改标签为“移出”，并隐藏点A1，B1。

三角形内角和。

如图4。32所示，打开一个新画板，画一个三角形ABC，分别度量三个内角的值，并计算他们的和。

在三角形ABC外构造可以旋转平移的三个小三角形。画线段DE，另画一点O1，以点O1为圆心，线段DE为半径作圆，在圆上取一动点A1为标记中心，让点O1按标记角B-A-C旋转，求得点O1’，选中点O1，A1，O1’取内部，把小三角形O1A1O1’着上红色。用同样的方法可以绘出蓝色小三角形O2B1O2’和黄色小三角形O3CO3’，其中角O2B1O2’=角CBA，角O3CIO3’=角ACB。

作还原按钮。以三角形ABC的顶点为圆心，以线段DE为半径作圆，分别交AB于A2点，交BC于B2点，交CA于C2点，如图4。32所示。

依次选中点O1，A2，O2，B2，O3，C2作移动按钮；再依次选中点A1，A，B1，B，C1，C作移动按钮；将这两个按钮作成系列按钮，并改名为还原按钮。

在半圆上作三内角和的示意图。画水平线段MN，取中点O，以点O为标记中心，让点N按标记角C-A-B旋转，求得点N’，再让点N’按标记角C-B-A旋转，求得点N”；选中点N，O，N’取内部，着上红色；选中点N’，O，N”取内部，着上蓝色；选中点N”，O，M取内部，着上黄色。

隐藏多余的点、线、圆和标注，加上一些文字注释，再调整适当的位置，如图4.33所示。可以任意改变三角形ABC的大小，也可以动态地平移和旋转三个小三角形，将它们拼成一个平角。

五巧板。

打开一个新画板，如图4。34，画出多边形ABCPQ，连接CP，FP，GN，GK，并对四条线段建立显示/隐藏按钮。

建立新记录：开始录制。

1’取点Ah为心，CP为半径画圆C1，并在C1上任取一点A1，作出直线

AHAI；

②标记角P-C-B,以点A1为心按标记角P-C-B旋转直线AHAI，得直线a；

③以点A1为心、BC为半径画圆C2，AJ为圆C2与直线a的交点；

④标记角C-B-A，以点AJ为心按标记角C-B-A旋转直线a，得直线a＇;

⑤以点AJ为心AB为半径画圆C3，AK为圆C3与直线a＇的交点；

⑥标记角B-A-Q，以点AK为心按标记角B-A-Q旋转直线a＇，得直线a＇＇；

⑦以点AK为心AQ为半径画圆C4，AM为圆C4与直线a＇＇的交点；

⑧作出五边形AHAIAJAKAM，标为1；

⑨保留五边形，隐藏其他对象，如图4.35（a）；

⑩依次选择AH、线段CP、P、C、B、线段BC、A、线段AB、Q、线段AQ，建立循环，停止录制。

（3）取一点BH,依次选择BH、线段EF、F、E、D、线段DE、C、线段CD、P、线段CP，执行快进，循环0次，得五边形BHBIBJBKBM，标为2，保留五边形，隐藏其他对象，如图4.35（b）。

（4）同3作法一样，可得五边形3、4、5，如图4.35（c~e）。

以上五个五边形分别随着ABCPQ、CDEFP、FGNOP、GKLMN、GHIJK形状的变化而变化，但始终都与它们全等，并且这五个五边形可以分别绕着点1、2、3、4、5旋转。拖动并旋转五个五边形，可以拼成如图4.34的形状。

4.4立体图形的拼图

4.4.1 立体图形的切割

在教学中，我们通常以切割立体图形来说明某些几何问题。立体图形的切割一般有以下4个步骤。下面以三棱锥为例。

如图4.36.所示，绘制一个三棱锥A-BCD.

找切点、作切面

分别在三条棱上找到切点A＇，B＇，C＇，用线段连接，并取内部。

2）隐藏长棱、画短棱

隐藏含切点的长棱AD,BD,CD，再画出留下部分的短棱AA＇，BB＇，和CC＇(注：被切割部分的短棱不画)。

3）标记向量，作“切割”和“复原”按钮

画点E，F，G，标记向量EG.作G到E的移动，改标签为“复原”按钮；作G到F的移动，改标签为“切割”按钮。

4）按标记向量，移动被“切割”的部分

同时选中切面、切点和被切得顶点D，按标记向量平移，再画出移动部分的短棱D＇A＇＇，D＇B＇＇，D＇C＇＇。

4.4.2 切割棱柱

例4.15 将一个三棱柱切割成三个三棱锥。

(1)如图4.37所示，打开一个新画板，画一个三角形ABC。

(2)选中该三角形，单击<变换/平移>选项，在平移对话框，按极坐标固定距离输入4厘米，固定角度输入90度，使该三角形竖直向上平移，得到三角形A＇B＇C＇。

(3)连接线段AA＇，BB＇，CC＇得三棱柱的图形，再连接线段AB＇，CB＇，AC＇。

(4)另画两点E、D，并顺次选中点E和D,标记向量E->D.同时选中三棱锥A-A＇B＇C＇的各边、各点，让这些对象“按标记向量E->D”平移。

(5)再另画两点G，H，并顺次选中点G和H，标记向量G->H.同时选中三棱锥B＇-ABC的各边、各点，让这些对象“按标记向量G->H.”平移。

（6）为了刀“切割”的效果，可以同时选中点A、点B，线段AA’,A’B’,A’C’,AB,CB,BB’,建立“显示/隐藏”按钮。双击“隐藏”按钮，将这些点和线段隐藏起来。

（7）分别拖动点D或点H,可以观察三棱锥的运动。

（8）建立“切割”与“复原”按钮：分别在点E和点H附近画点E’和H’,依次选中额，E,E’,H,H’作移动按钮，改标签为“切割”；再依次选中点E，D,H,G作移动按钮，改标签为“复原”。

例4.16 斜棱柱的体积。

如图4.38所示，作五棱柱：画五边形ABCDE,选中五边形按90度8厘米的平移，得到A’B’C’D’E’.用线段连接AA’,BB’,CC’,DD’,EE’.

作斜截面：分别在五条棱上取点A1,B1,C1,D1,E1,并用线段连接，依次选中点A1，B1，C1，D1，E1，取内部。

选中点C,C1,C’按0度8厘米的平移，得到点C’,C1’,C’’.

另画一点F，选中点C,F标记向量，分别作点F到点C,点F到点C1’的移动按钮。同时选中ABCDE和A1B1C1D1E1各顶点按标记向量平移，并用线段连接成下半个棱柱。

另画一点G，选中C’、G标记向量，并分别作点G到点C’,点G到点C1’的移动按钮。同时选中A’B’C’D’E’和A1B1C1D1E1各顶点按标记向量平移，并用线段连接成上半个棱柱。

同时选中“从F->C移动”和“从G->C’移动”按钮“系列”按钮，改标签为“直棱柱”； 60

同时选中“从F->C1’移动”和“从G->C1’移动”按钮“系列”按钮，改标签为“斜棱柱”。最后隐藏不必要的对象。

4.5 斜二侧投影

将垂直平面（XOZ平面）上的点M(X,Z),按斜二侧投影原理投影到水平面（XOY平面）上，得到投影点M’(X,Y).

作法如下：如图4.39所示，在XOZ平面上任取一点M，过点M作X轴的垂线，求得X轴与垂线的交点G，用线段连接点M和点G，并求得线段的中点H，双击点G，标记为中心，选择中点H，单击<变换/旋转>选项，按-45度旋转，得到点M在XOY平面的投影点M’.

例4.17 构造圆的斜二侧投影。

建立新画板，先画一个正方形ABCD,并作出它的内切圆O.

过圆心O,作出正方形ABCD的投影A’B’C’D’.

按斜二侧投影原理：作线段AE的中点K，双击点E,标识为中心，选择中

点K ，单击〈变换/旋转〉选项，输入—45°（旋转—45°），得到点A在水平面的投影点A’.用同样的方法可以作出其它三个点B，C，D的投影点B′，C′， D′，并用线段连接A′B′C′D′.

（3）作圆上任意点M在水平面的投影点M′.

过点M作线段EF的垂线，垂足为点G，作线段MG的中点H，双击点G，

标识为中心，选择中点H，单击〈变换/旋转〉选项，输入—45°，得到点M在

水平面的投影点M′.

（4）同时选中点M和点M′，单击〈作图/轨迹〉选项，即可得到圆在水平面的投影椭圆，如图4.40所示.

构造正六边形的斜二侧投影.

如图4.41所示，画一条直径AB，取中点O，以点O为圆心，OA为半

径画圆，在圆上取一点D.

（2）用斜二侧法作点D的投影：过点D作AB的垂线，垂足为点G；用线

段连接DG，求其中点H；让点H绕点G旋转—45度，得到点D投影点D′.

（3）让点D以圆心O为中心旋转60度，得到点E；用斜二侧法作点E的投

影点E′，用线段连接D′E′.

（4）隐藏圆及所有的垂线、垂足和中点.

（5）选中原像点D，单击〈变换/迭代〉选项，在“迭代”对话框中选取初

像点E和迭代次数5，最后按“迭代”按钮，即可得到投影后的正六边形.

用迭代绘制旋转的正六棱锥.

如图4.42所示，画一条直径AB，取中点O，以点O为圆心，OA为半

径画圆，在圆上取一点D1，并作点D1的动画按钮.

用斜二侧法作点D1的投影：过点D1作AB的垂线，垂足为点G；用线

段连接D1G，求其中点H；让点H绕点G旋转—45度，得到点D投影点D1′. 让点D1以圆心O为中心旋转60度，得到点D2；用斜二侧法作点D2

的投影点D2′，用线段连接D1′D2′，并度量其长度.

隐藏圆及所有的垂线、垂足和中点.在圆的上方画一点V，用线段连

接V D1′和V D2′；同时选中点V，D1′， D2′取内部；选中D1′D2′度量值和内部，作参数颜色.

选中原像点D1，单击〈变换/迭代〉选项，在“迭代”对话框中选取

初像点D2和迭代次数5，最后按“迭代”按钮.即可得到可旋转的六棱锥.

4.6 棱的虚实转换

如何实现棱的虚实转换？

一个旋转的棱锥或棱柱，我们希望当它的某几条棱旋转到后台时变成虚线，转到前台时变成实线，实现这一动画效果需要一定的处理技巧，下面给出两种制作的方法。例4.20 棱锥转动时棱的虚实转换

我们前面制作的棱锥,控制棱锥转动的点是沿大圆运动的. 现在我们将沿大圆运动的点,变成沿弧线的单向运动,再利用人视觉的差,就可以实现棱的虚实转换效果.具体作法如下:

(1) 如图4.43所示,作一大圆O,在大圆的上方取三点作弧线.

(2) 在弧上取一点D,作点D的“动画”按钮,方向选“向前”,速度选“快速”.

(3) 连接DO，在DO上取一点P，过点O、P作小圆.让点D、点P以点O为中心，反复旋转60度5次。

(4) 过大圆上的六个点作竖直线，小圆上的六个点作水平线，交出相对应的六个点（在椭圆上）。

(5) 隐藏大圆、大圆上的六个点及竖直线，小圆、小圆上的六个点及水平线，依次连接六个交点，得六棱锥的底。

(6) 在底的上方取一顶点V，用线段连接六条棱，将后面的棱和底边设成虚线。例4.21 棱柱转动时棱的虚实转换

将一个大圆分成两段，大圆的上部为劣弧，下部为优弧。当一条过圆心的射线绕着圆心旋转时，我们把射线与劣弧交点相关联的线段设置成虚线，而与优弧交点相关联的线段设置成实线。当射线转动时，虚实线会在它们限定的范围内交替显示，起到虚实转换的效果。

（1）如图4.44所示，打开一新画板，画一条水平线段AB，在AB上取一点C，以点A为圆心，分别以AC，AB为半径画同心圆c1和c2.

（2）在圆c1上取一点D,作点D按逆时针的快速“动画”按钮。过点A，D作射线j,让射线j以点A为中心,反复旋转90度3次,得到另外3条射线j’，j”j”’

（3）在大圆c2的上半圆上任取两点X，Y和圆c2，构造劣弧a1；依次选中点Y，X和圆c2，构造优弧a2，隐藏圆c2。

（4）拖动点D在圆c1上转动，作出射线j与优弧a2的交点E。

（5）过点E作AB的垂线m，过点D作AB的平行线l，求得直线m和l的交点F，并隐藏这两条直线。

（6）再拖动点D，作出射线j与劣弧a1的交点G，对点G、D如同第（5）步中的操作，求得点H。

（7）对于另外3条射线j’,j",j”’,同样可以通过如同第4）步至第a2

求得与优弧a2相关联的点F1，F2，F3，与劣弧a1相关联的点H1，H2，H3.

（8）另画两点M,N,并标记向量MN.配合拖动点D,让点F,F1，F2，F3，H,H1，H2，H3，按标记向量平移，得到平移点F’,F1’,F2’,F3’,H’,H1’,H2’,H3’.

(9)配合拖动点D，画板上每次只显示上面16个点中的8个点，用线段连接以这八个点为定点的六面体，凡是过顶点H（或H1、H2、H3）的三条棱设置成虚线，其它棱设置为实线。

（10）配合拖动点D，适当调整确定劣弧a1的两个端点X,Y的位置，使得

运动中的立体图形虚实转换达到最佳效果为止。

一般，若底为正四边形时，劣弧a1调整到大圆上部中央是中心角大约为90度的圆弧；若底为正三边形或六边形时，劣弧a1调整到大圆上部中央是中心角大约为60度或45度的圆弧。

（11）隐藏不必要的对象，如图4.45所示。

如何实现参数迭代的控制？

用参数来控制迭代的次数。新建一个参数n（取正整数），先选中原像一个点或多个点和参数n，并按住shift键，然后单击<变换/深度迭代>选项，在“迭代”对话框中选取与原像点相对应的一组（初像点）或多组映射点，最后按“迭代”按钮。即可得到动态迭代的像。选中参数n，按“+”号键，增加迭代，按“-”号键，减少迭代。

例4.22 用迭代绘制勾股数。

（1）如图4.46所示，以线段AB为边，绘制正方形ABCD，并度量AB的长度。

（2）取CD中点E，将点C以点E为中心，旋转90度得点C'，依次选取点C，C'，D作弧，在弧线上取点F，隐藏弧和点E，C’。

（3）作ABCD的内部，选中内部和AB的度量值，设置参数颜色。

（4）新建参数n=4，取整数，范围定在1至20之间，并建参数n动作按钮。

（5）同时选中原像点A，B和参数n，并按住shift键，然后单击<变换/深度迭代>选项，在“迭代”对话框“初像” 的白框中依次单击与原像点相对应的初像点F,C，工作区的图形同时发生变化，再按“结构”按钮，选“增加新映射”项，在“映射#2”白框中单击点D,F,最后按“迭代”按钮。即可得到动态迭代的像。

（6）选中参数n，按“+”号键，增加迭代，按“-”号键，减少迭代，或单击动画按钮，增加或减少迭代。

（7）选中点F，作“动画”按钮。单击“动画”按钮，观看图形的变化。例4.23 旋转的风火轮。

（1）如图4.47所示。以线段AB为直径作圆C，在圆上取一点D,作D点的“动画”按钮，将点D以圆心为中心反复旋转60度，得到6个点并将相隔的三角形涂上颜色。

（2）度量AB的长度，选中3个涂有颜色的三角形内部和AB的度量值，设置参数颜色。

（3）建参数n=1，取整数，范围定在1至20之间，并建参数n动作按钮；再画一个小圆，在小圆上标记一个角度EOF。

（4）以点B为中心，将点A缩放1.5倍，得点A’再将点A’以点B为中心按标记角旋转，得点A”。将点C以点A为中心按标记角旋转，得点C'。

（5）同时选中原像点A，B和参数n，并按住shift键，然后单击<变换/深度迭代>选项，在“迭代”对话框“初像”的白框中依次单击与原像点相对应的初像点B，A”，工作区的图形同时发生变化，再按“结构”按钮，“增加新映射”项，在“映射#2”白框中取点A,C’，最后按“迭代”按钮。即可得

到动态迭代的像。

（6）选中参数n，按“+”号键，增加迭代，按“—”号键，减少迭代。或单击动画按钮，增加或减少迭代。

（7）单击“动画”按钮，并拖动点F改变标记角的大小，观看图形的变化。如果不在“结构”按钮中选择“添加新影射”项，而是重新依次选中原像点B，A和参数n，并按住Shift键，然后单击〈变换/深度迭代〉选项，在“迭代”对话框中选取与原像点相对应的初像点A，C’，工作区的图形将有不同的变化。

例4．24 用迭代绘制二元树。

如图4．48所示，用粗线画线段AB，BC，其中AB长于BC。

同时选中线段BC和AB标记比值，让点B以点C为中心按标记比缩放，得到点B’。同时选中点A，B，C标记角度，将点B’以点C为中心按标记角旋转，得到点B’’，并改标签为D，隐藏点B’。

度量线段BC和CD的长度；选中线段BC和BC的度量值设置参数颜色，选中线段CD和 63

CD度量值设置参数颜色。

选中线段BC标记镜面，让线段CD和点D按标记镜面反射得到线段CD’和点D’。

选中线段AB标记镜面，让线段BC，CD，CD’和点C， D’，D按标记镜面反射得到线段BC’， C’D’， C’D’’和点C’，D’， D’’。

建参数n=5,取整数，范围定在1至20之间，并建参数n动画按钮。

依次选中原像点A，B，C和参数n，并按住Shift键的同时，单击〈变换/深度迭代〉选项，在弹出“迭代”对话框“初像”的白框中，依次单击与原像点相对应的初像点B，C，D，工作区的图形同时发生变化，再按“结构”按钮，选“增加新映射”项，在“映射#2”的白框中依次单击点B，C’，D’（左边的），最后按“迭代”按钮，即可得到动态迭代的像。选中参数n，按“+”号键，增加迭代，按“—”号键，减少迭代。或单击动画按钮，增加或减少迭代。

拖动点C或C’，观看二元树的变化。

例4．25 函数迭代系统。

通过几何画板的迭代功能，实现函数递推公式的迭代过程，迭代生成相应的有趣图形。设置函数作图的支持环境。建立直角坐标系：

单击〈图表/网格/方行（或矩形）网格〉选项；

单击〈编辑/参数选项/单位/弧度制）网格〉选项；

按住Shift键，单击〈编辑/高级参数选项/采样〉选项，把“最大迭代采样本数量”栏的数字改为10000。

建参数、定范围。单击〈图表/新建参数〉选项，在“新建参数”对话框，输入参数名称和选中单位，建参数n，数值去2000，然后在参数值上单击右键、在快捷菜单上单击“属性”选项，参数的精度选“单位”，取值范围选“1到5000”。

如图4．49所示，用画点工具，画点A作为原像点。选中点A，度量点A的横坐标和纵坐标，并改标签为x0 ，y0.

常量a,b：过X轴左端一点F作X轴的垂线j，在垂线j上取两点a,b，分别度量点a和点b的纵坐标的值，并并改标签为“a”和“b”，把参数a，b调整到与图4．49近似的值。利用“度量/计算”功能，输入计算公式“1—a* cos（x0）+ y0”,改标签为“x 1 =1-acosx0+ y0”;再输入计算公式“b* x0”,改标签为“y1 = bx0”。

同时选中x1 和y1 的度量值（y1的值不宜过大），单击〈图表/绘出（x,y）〉选项，绘出点B，则点B为轨迹上一点。

同时选中原像点A和参数n，并按住Shift键，然后单击<变换/带参数迭代>选项,在“迭代”对话框”初象”的白框中依次单击与原像点相对应的初像点B,工作区的图形同时发生变化,最后按“迭代”按钮,稍等一会儿即可得到动态迭代的像

选中参数n,按“+”号键，增加迭代，按“-”号键，减少迭代。或单击动画按钮，增加或减少迭代。

拖动点a或b,观看图形的变化。

用迭代功能绘制正弦波。

将单位圆上的点，按等距水平投影到屏幕右端所成的图形。具体作法如下。

如图4.50（a）所示，打开一新画板，画一条水平直线j，在直线j上从左至右取三点A，B，C。

选中点A，B作圆c1，在圆c1上任取一点D，过点C作直线j的垂线k,过点D作直线j的平行线l,交垂线k于点E。

画一条小半径r,以点E为圆心，r为半径作圆，并去小圆的内部。隐藏直线k，l，拖动半径r的端点，使r尽可能小。

让点C水平移动0.3厘米，得到点C’。让点D以点A为中心旋转10度，得到点D’。点C’作直线j的垂线m,过点D’ 作直线j的平行线n，两线交于点F。隐藏直线m，n。新建参数n，依次选中原像点C、点D和参数n，在按住shift键的同时，单击<变换/带参数的迭代>选项，在弹出的“迭代”对话框“初像”的白框中，依次单击与原像点相对应的初像点C’ 、D’，工作区的图形同时发生变化，最后按“迭代”按钮。即可得到动态迭代的像。

选中点D，按快速“动画”按钮，并改标签为“正弦波”。

选中参数n，按“+”号键，增加迭代，按“-”号键，减少迭代。单击“正弦波”动画按钮，就会看到圆上的点转动起来，正弦波也波动起来。如图4.50（b）所示。

4.8圆锥面上的螺旋线

例4.27 圆锥面上的螺旋线。

如图4.51所示，利用两个同心圆做椭圆B,作为圆锥的下底，椭圆的长半轴为BC; 在圆锥的高AB上取动点D，度量AB和AD的长；

计算“AD/AB*3600*1度”的值，改标签为θ，并标记角θ；

过点D作AB的垂线r，交AC于点P，以D为中心，让点P按标记角θ旋转得点P’,过点P’作直线r的垂线段，并取中点H;

作点D到A的移动，作点D到B的移动，选中两移动作“系列”

按钮，并追踪点H;

（6）在椭圆上取点E，用线段连接

AE，同时选中点E和AE作轨迹,得圆锥面.

4.9 主从型多重运动

1、基本的主从关系

1) 平行关系(平行线法)

主运动是圆O上有一点A绕该圆运动，从运动是过圆外一定点K，作与半径OA平行的直线j的运动。这样当点A绕圆O运动时，直线j上任一点P均绕点K运动，如图4.52所示。

2）垂直关系（垂线法）

主运动是圆O上有一点A沿该圆运动，从运动是过圆外一定点K，作与半径OA垂直的直线j的运动，这样当点A沿圆O运动时，直线j上任一点P均绕点K运动，如图4.53所示。

3）向量关系（标记向量法）

主运动是圆O上有一点A沿该圆运动，从运动是过圆外一定点K，按标记向量OA作平移变换得到点P的运动。这样当点A沿圆O运动时，点P绕点K运动，如图4.54所示。

4）角度关系（标记角度法）

主运动是圆O上有一点A绕该圆运动，从运动是过圆外一点P，以定点K为标记中心，按标记角度∠BOA作旋转变换得到点P′的运动。这样当点A沿圆O运动时，点P′绕点K运动，如图4.55所示。

5）反射关系（标记进镜面法）

主运动是圆O上有一点A烟该圆运动，从运动是按标记镜面CD作圆O及点A的反射得到点A′的运动。这样当点A烟圆运动时，点A′绕点圆O′运动，如图4.56所示。

6）圆心偏移距离比（标记角度值）

取定长r=1.15，作长为2*π*r线段AB，再线段AB上取一点C，测量AC的长度，度量公式“-1弧度*AC/r“的值或度量公式”-180°*AC/r/π“的

值，并标记为角度值。

以r为半径，以点K为圆心作圆。在圆上取一点P，以点K为标记中心，使点P按标记角度旋转得到点P＇,让点C在线段AB上作单向运动时，则点P＇沿圆K作顺时针运动，如图4.57所示。

2.构造复杂的多重运动

灵活使用上面六种方法，可以构造出许多复杂的多重运动。

小球的多重运动（利用角度关系）

取一新画板，画小圆A，在圆A上作角∠BAC，并测量它的角度值和负角度值。画一大圆D，作线段l和线段m（其中l<m）。

在大圆D上任取一点操作按钮J，以点J为圆心，m为半径作圆。

让∠BAC为标记角，让点J为标记中心，在圆J上任取一点K，让点K按标记角旋转得到点K＇，以点k＇为圆心，线段l为半径作圆。

让负的∠BAC为标记角，让点D为标记中心，在大圆D上取一点E，让点E按标记角旋转得到点E＇，以点E＇为圆心，线段l为半径作圆。

如图4.58所示，同时选中点C和圆A，点J和大圆D，单击〈编辑/操作按钮/动画〉选项。当单击“动画”按钮时，可以看到圆J绕大圆D，圆K＇绕小圆J作逆时针运动，圆E＇沿大圆D作顺时针运动，如图4.58所示。

例4.29 正三角轮汽车问题（利用方法6）

作可运动的正三角车轮

如图4.59所示：用虚线作水平直线j，在该直线上作实线段CD。

另作线段EF，在线段CD左端取一点G，使得CG<EF的长，以点G为圆心，EF为半径作圆，交直线j于点H。

测量线段EF和CG的长度。

根据圆心偏移距离计算圆上点H的旋转角度，按计算公式（—CG/EF）﹡1弧度度量，选择计算出的角度，单击〈变换/标记角的度量值〉选项。

让圆心G为标记中心，选中点H，单击〈变换/旋转〉选项，按标记的角旋转得到点H＇；按90度旋转得到点K。

让直线j向下平移EF距离；即过点K，作直线j的平行线。

让圆心G为标记中心，选中点H＇，单击〈变换/旋转〉选项，按120度旋转得到点H"，再单击〈变换/旋转〉选项，按120度旋转得到点H＇＇＇，连接H＇H" H＇＇＇得正三角形，并使三角形涂上适当的颜色。

(8)定义圆心G在线段CD上作“单向”运动的画面。

2）制作正三角轮运动的路面

（1）连接点GK，交H″H于点I，作线段IK，并显示跟踪线段IK；

（2）使轮子向右旋转到合适的地方，用同样的方法，作出线段GK与线段HH′和H′H″的交点，并显示跟踪交点到点K的线段，如图4.60所示。

3）

（1）如图4.61所示：作线段PQ，度量PQ的长度。计算?—PQ的长度，并标记为距离。然后选中三角车轮，使它按标记距离作水平移动，得到另一个轮子。

（2）隐藏圆G，线段CD，直线j及三角形的三个顶点。

（3）调节PQ的长度，使车轮与路面吻合为止。

最后再画出汽车的车身，一辆能够平稳行驶在半圆波形路面的正三角形轮汽车设计完毕。用此方法可以设计出N边形（N=3,4,5?）汽车轮子的例子，如图4.62所示。

例4.30 沙摆

沙摆是一个联动问题：当沙漏沿直线作匀速运动的同时，自身又作左右的摆动，使漏下的沙子形成何种轨迹？

（1）如图4.63所示，打开一个新画板，画一条倾斜的长线短AB，在AB上画一点C。另画一条短半径r，以点C为圆心，r为半径作圆c1。

（2）在圆周的下方选取两点D，E同时选中点，D，E和圆c1作圆上的弧a1，并在弧上去一动点F。

（3）作漏斗。连接CF，取其中点G,以F为中心将点G分别旋转25度和-25度得点G’,G”,同时选中点F,G’G’’取内部，着上黑色.

（4）作沙摆按钮。同时选中点C和点,单击<编辑/作类按钮/动画>选项，在弹出的“动画属性”对话框中，让点C沿线段AB作向前的慢速运动；让点F沿圆弧al作双向的快速运动（特别注意运动的方向、速度的选取和匹配，否则将得不到正弦轨迹），建立“动画”按钮，改标签为“沙摆”。

（5）求作沙子的落点I.将点C和线段AB竖直向下平移6cm，得到点C’和线段A’B’,过点C’作半径r的平行线k。再过点F作平行线k的垂线m，交平行线k于点I，并追踪点I.

(6)画桌面。在线段A’B’上取一点H，让点H以点A’为中心旋转180度，得到点H’’.选中点A’和点B’标记向量，让点H’和点H’’按标记向量平移，得到点H’’和点H’’’,同时选中H’,H’’,H’’’和H’’取内部，着上黄色，得到一个黄色的桌面。

（7）做沙漏动画、隐藏垂线m，用线段连接F1。在线段上任画4至5个点，同时选中这些点，单击<编辑/作类按钮/动画>选项，在弹出的“动画属性”对话框中，各点的方向均选“向前”，速度均选“其它”输入值4，作“动画”按钮，改标签为“沙漏”。

（8）适当调整弧线的两个端点D或E的位置，或调整线段AB的方向，使沙摆的轨迹达到较好的效果为止。最后隐藏不必要的对象。

单击“沙摆”和“漏沙”按钮，可以动态演示漏下的“沙子”的轨迹是由何种运动合成而得的。

习题 4

仿照”任意两圆关系”，用移动来表现“任意四边形的图形变化”包括平行四边形、梯形、菱形、矩形、正方形及四条边的中点连线。

用移动来表现“任意两平面关系”包括重合、斜交、垂直和平行，一级两平面所成的角作旋转的正无棱锥

如图4.64所示，作活塞的动态演示。一个轮盘旋转，轮盘边缘上一动点连接着一个定长的 67

杆，杆的另一端连接着一个活塞，活塞在一个滑膛中做直线来回运动。

制作直棱柱的侧面展开图。

利用图形的移动，制作一个勾股定理直观的演示证明课件。

制作模拟自行车运动的演示（要求两轮子在直线上滚动）

利用几何画板的反射、动画功能，制作一个会”飞”的花蝴蝶。

利用几何画板的各种变换功能，模拟平面镜、三棱镜、凹凸透镜成像问题的演示。

利用几何画板的移动、动画等功能，创意一个模拟现实生活场景的多重动画演示(如杂技表演，机械联动装置，汽车、飞机、钟表的运动等)。

用迭代功能绘制余弦波。

如图4.65所示，动态小球单摆运动受力分析。其中重力G=mg，小球拉力T=mgcosa，恢复力F=mgsina，三力之间的关系F2+T2=G2

第5章典型范例与应用篇

5.1 按定义构造轨迹

按定义构造轨迹的一般方法是：

先由一个自变量的动点（一般是线或圆弧上的一个对象点）出发，然后按照定义的条件，通过几何作图方法，作出轨迹上相应的一个动点。最后同时选中自变量的动点和轨迹上的动点，单击<构造/轨迹>即可。

5.1.1 抛物线、椭圆、双曲线

例5.1 我们按抛物线定义：到一个定点F和一条直线L距离相等的点的轨迹来画。

（1）如图5.1所示。打开一个新画板，在画板画线段KF，并作出KF的中点O。

（2）过点K作线段KF的垂线L.过点K和点F作射线m。

（3）在射线m上任取一点A，过点A作射线m的垂线n。

（4）以点F为圆心，线段KA为半径画圆，交垂线n于点P1和点P2，则点P1和点P2到点F和直线L的距离相等。

（5）同时选中点P1和点A，单击<构造/轨迹>选项，即可得到半支抛物线；再同时选中点P2和点A，单击<构造/轨迹>选项，即可得到另外半支抛物线。旋转拖动点F或点K，观察轨迹的变化情况。

例5.2 由定义构造抛物线轨迹的另一种方法。

（1）如图5.2所示，打开一个新画板，作线段AB。

（2）在线段AB上任选一点C和线外一点D，连接CD。

（3）选中线段CD，作CD的中垂线m。

（4）过点C，作线段AB的垂线L。

（5）同时选中直线m和直线l，单击<构造/交点>得到交点F。

（6）同时选中点C和点F，单击<构造/轨迹>得到抛物线的轨迹图像。拖动点C或点D，观察轨迹的变化情况。

例5.3 椭圆轨迹。

先作两个同心圆，再作一直线L，分别交两圆于E，D；过E作半径AB的平行线m，过D作半径AB的垂直线n，两线相交于F点。当半径绕圆心旋转时，点F的轨迹是椭圆。这一图形的作法和结论，原来只能理论上证明，或画几个点来直观地说明。现在利用几何画板就可以动态地演示整个的形成过程。

如图5.3所示，制作步骤如下：

（1）打开一个新画板，画线段AB，以A为圆心，AB为半径构造大圆。

（2）构造过点A与AB垂直的直线k，在直线k上取一点C，以A为圆心，AC为半 68

径构造小圆。

（3）在大圆上任取一点D，构造过点D和点A的直线L，直线L与小圆的交点E。

（4）构造过点E与AB平行的直线m。

（5）构造过点D与AB垂直的直线n，构造两直线交点F。

（6）建立轨迹：同时选中点D和点E，单击<构造/轨迹>选项，画板显示椭圆；拖动点A或点C，可以改变椭圆的形状。显示结果如图5.3所示。

（7）除了保留点A,B,C和椭圆轨迹外，隐藏掉其他所有对象。

（8）存盘：将当前画板以“椭圆轨迹.gsp”文件名保存，如图5.3所示。

注建立动态的演示.

?选中“轨迹”，单击<编辑/按钮/显示隐藏>选项,建立“显示/ 隐藏”按钮.然后将椭圆轨迹隐藏起来.

?选中点D,单击<编辑/按钮/动画>选项,建立“动画”按钮.

?选中点F,单击<显示/追踪点>选项,单击“动画”按钮,就可以动态演示轨迹形成的过程. 我们按双曲线定义:到两个定点距离之差等于定长的点的轨迹来画.

如图5.4所示，打开一个新画板，画点A,C，依次选中点A,C，单击<构造/画圆>选项,画一个圆；

在圆外再画一点B；

在圆A上画一点D，用直线连接AD；

连接BD，构造BD的中点E，过E构造BD的垂线m;

构造垂线m和直线AD的交点F;

选中轨迹上的动点F和自变量的动点D为当前对象，单击<构造/轨迹>.

双曲线出现在画板上.拖动点A或C，可以改变双曲线的形状。特别当拖动点C，使圆的半径大于两个定点A.B之间的距离时,轨迹由双曲线变成椭圆.用上例的方法,同样可以建立动态演示.

各种摆线的制作

由摆线定义画出圆沿直线滚动,圆上一定点的轨迹.

如图5.5所示,打开一个新画板,画半径r，并度量半径r的长度。

计算“4*r”的值，并标记距离。

另画一点A，让点A按标记距离O度角平移，得到点B，连接AB。

在AB上取点C，以C为圆心。R为半径作圆，在圆上取一动点D。

选中r的度量值标记距离，让点A标记距离负90度角平移，得到点A”。

分别构造点C到点A，点D到A”的高速“移动”按钮。

同时选中点C和点D，单击<编辑/按钮/动画>选项，在弹出的动画属性对话框中，选点C沿线段AB作向后的中速运动，选点D绕圆作顺时针的中速运动，建立“运动点”按钮。依次选中“从C到A移动”、从“从D到A移动”和“运动点”按钮，单击<编辑/按钮/系列>选项，改标签为“单摆线”并追踪D。

隐藏不必要的对象，单击“单摆线”按钮，画板上将动态绘出摆线轨迹。

内摆线。

设小圆的半径为r，大圆的半径为3r。当小圆沿大圆内侧作旋转运动时，则小圆上某点的轨迹是什么？

如图5.6所示。打开一个新画板，画线段AB，以点A为中点，让点B分别放大2倍和3倍，得到点C，D，并连接AC,AD.

另画一点O，以点O为圆心，分别取AC,AD为半径作同心圆c1和c2在圆c1上取一点E为圆心，AB为半径构造小圆c3.

在圆c3上任意画一点P，连接EP，让线段EP绕点E反复旋转60度5次，得到转盘c3. 作动画。同时选中点E,P单击<编辑/操作类按钮/动画>选项，在

弹出的动画属性对话框中，选点E绕圆c1作逆时针中速运动，选点P绕圆c3作顺时针中速运动，建立“动画”按钮，该标签为“内摆线”。

（5）选中点P，追踪点P。

例5.7 内外摆线。

能否用一种统一的处理方法，来实现各种内外摆线的绘制，使课件具有较强的通用性。这里介绍一种有效的方法。

绘制内外转盘

如图5.7所示，打开一个新画板，画一条射线AB，以点A为圆心、AB为半径画圆c1。画一条线段r，以点A为圆心、r为半径画大院c2，交射线于点C，过点C作射线的垂线l。在圆c1上任意画一点D，以点D为圆心、CB为半径画小圆c3。在圆c3上任意画一点E，连接DE，让线段DE绕点D反复旋转60度5次，得到转盘c3。

建立动画按钮

同时选中点D、E，单击<编辑/操作类按钮/动画>选项，在弹出的动画属性对话框中，建立“动画”按钮，并追踪点E的轨迹。

构造内外摆线的关键点

先以点C为中心，分别作为点A缩放1/3、1/5、1/7倍的内分点，该标签为点3、5、7.选中所有内分点，作直线k的镜面反射，得到相应的外分点3’、5’、7’，作为外摆线的关键点。分别作点B到各分点的“移动”按钮，改标签为N3、N5、N7和W3、W5、W7。构造各种操作按钮

同时选中“N3”按钮和“动画”按钮作“系列”按钮，改标签为“三叶内摆线”。同时选中“N5”按钮和“动画”按钮作“系列”按钮，改标签为“五叶内摆线”。同时选中“N7”按钮和“动画”按钮作“系列”按钮，改标签为“七叶内摆线”。同时选中“W3”按钮和“动画”按钮作“系列”按钮，改标签为“五叶外摆线”。同时选中“W5”按钮和“动画”按钮作“系列”按钮，改标签为“七叶外摆线”。同时选中“W7”按钮和“动画”按钮作“系列”按钮，改标签为“九叶外摆线”。注意，所有“系列”按钮的属性“开始前”参数，都选“清除所有轨迹”。

隐藏所有的内外分点、直线、移动按钮等不必要的对象。

除了点击操作按钮外，也可以拖动点B到适当的位置，再单击“动画”按钮，得到不同内外摆线的轨迹。

5.1.3 拉杆实验

例 5.8 一根定长的拉杆中间某位置上有一个固定的支点，当拉杆一端沿着小圆运动时，拉杆另一端在运动中将留下什么样的轨迹。

（1）如图5.8所示，先做一个小圆A；

（2）画线段CD，作为拉杆的长；

（3）在圆A上任取一点E（拖动点），以E为圆心，CD为半径作大圆E；

（4）在大圆E和小圆A之间任意选一点F（定点），过点E和点F作射线K，与大圆交于点G（自由点）；

（5）在中点G，单击<显示/追踪>，并将颜色设置成红色；

（6）用线段连接EG，并将颜色设置成蓝色；

（7）选中点E和小圆A，单击<编辑/操作按钮/动画> 产生动画按钮；

（8）选中大圆E和直线K，单击<显示/隐藏对象>；

（9）单击动画按钮或拖动点E，观察自由点G的运动轨迹（若改变拉杆CD的长后，轨迹有什么变化），如图5.9所示。

5.1.4 圆锥曲线的统一定义

例5.9 两定点距离之比等于定值的点的轨迹

（1）如图5.10所示，打开一个新画板，画一条直线j和直线外一点B（定点）。在直线j上取定点A和动点C。

（2）新建参数t，并标记比值，让点C以点A为中心按标记比缩放得点C?,则有AC? /AC=t 。

（3）取点A,C作圆c1，用线段连接AC?，以点B为圆心，AC?为半径作圆c2，与圆c1交于点D、点E 。

（4）用线段连接AD ，AE， BD， BE。

（5）选中点C ，D做轨迹，再选中点C ，E做轨迹，得到一个圆c3。

（6）作点C的“动画”按钮，最后隐藏不必要的对象。

作图说明：在圆c1中，AC=AD=AE,在圆c2中，BD=BE=AC?。所以BD/BE=BE/AE=AC?/AC=t，即点D和点E到定点A和定点B之比等于定值t 。拖动点C，可以看到圆c3上所有点都满足这一规律。改变比值t，可以得到与之相对应大小不同的圆轨迹。

例5.10 到定点与定直线距离之比等于定值的点的轨迹。

到定点和定直线距离之比等于定值m的点的轨迹，是圆锥曲线几何定义的重要命题：当m<1时，轨迹是椭圆；当m=1时，轨迹是抛物线；当m>1时，轨迹是双曲线。如何直观、动态演示这一规律，下面介绍一种有效的方法。

（1）如图5.11所示，打开一个新画板，画一条竖直线j（定直线）和直线外一点A（定点）。在直线j上取点C，过点A，C作线j的垂线1，k，点B，C为垂足。

（2）取点C，B作圆c1，交线k于点E .

（3）建参数t，并标记比值，让点E，以点C为中心，按标记比缩放得点E? .

（4）取点C，E'作圆c2，取CA中点G作圆c3，交圆c2于点F.

（5）用直线连接AF，交线k于点D，则AD/CD=CE/CE'=l/t.

（6）选中点C，D作轨迹，作点D关于直线1的对称点D'，选中点C，D'作轨迹，最后隐藏不必要的对象。

c2,与圆c1交于点D、点E。

（4）用线段连接AD，AE，BD，BE。

（5）选中点C，D作轨迹，再选中点C，E做轨迹，得到一个圆c 3。

（6）作点C的动画安钮，最后隐藏不必要的对象。

作图说明：在圆c 1中，AC=AD=AE，在圆c 2中，BD=BE=AC′所以BD/AD=BE/AE=AC′/AC=t，即点D和点E到定点B距离之比等于定植t。拖动c，可以看到圆c 3上所有点都满足着一规律。改变比值t，可以得到与之相对应大小不同的圆的轨迹。

例5．10 到定点和定直线距离之比等于定值的点的轨迹。

定点和定直线距离之比等于定值m的轨迹，是圆锥曲线几何定义的重要命题：当m＜1时，轨迹是椭圆；当m =1时，轨迹是抛物线；m＞１时，轨迹是双曲线。如何直观、动态演示这一规律，下面介绍一种有效的方法。

如图5.11所示，打开一个新的画板，画一条竖直线j定直线）和直线外一点A（定点）.在直线j取一点C，过点A，C作线j的垂线L。K，点B，C为垂足.

取点C.B作圆c1，交线kE.

建参数t,并标记比值，让点E，以点C 为中心，按标记比缩放得点E′.

取点C，E′作圆C2，取CA的中点G和C作圆C3，交圆C2于点F.

用直线连接AF，交线K于点D，则AD/CD=CE/CE′=1/ t.

选中点C，D作轨迹，作D关于对称点D′，选中点C，D′作轨迹.最后隐藏不必要的对象. 作图说明：在圆c 1中，CB=CE，在圆c 2中，CF=CE′.

在△BCF和△ADC中，因为∠CFB=∠ACD=∠BAC，∠CBF=∠DAC（同弧上的圆周角相等），所以△BCF和△ADC为相似三角形.则CB/CF=AD/CD=CE/CE′＝m＝１／t，即到定点A和定直线J距离之比等于定值m.

单击“运动参数T”按钮，比值m随之改变，这时可以动态看到，当m从小于1的值逐渐变为1时，轨迹由椭圆逐步变成抛物线；当m大于1时，轨迹变成双曲线.

5.2 参数方程的函数图象

对于参数方程，直接用图表的“绘制函数”功能，已不能绘制出函数的图象.需要在小圆上构造一个新的变量T（既在小圆上画一小角，取它的度量值作为参数T），利用计算功能输入计算公式（即参数方程），分别计算出X，Y点对应的值.再利用 “图表/绘出（X，Y）”绘制出点对（x,y）对应的点，后利用“构造/轨迹”功能绘出参数方程的图像.

例5．11 在直角坐标系下动态演示参数方程﹛  的图象. 方法一：利用计算、绘点、作轨迹方法.

建立直角坐标系

如图5.12所示，选中〈编辑/参数选择/弧度制〉，建立相应的坐标系：选中〈图表/定义坐标轴〉，改原点为O，单位点为I.

作图说明：在圆c1中，CB=CE，在圆c2中，CF=CE＇.

在△BCF和△ADC中,因为∠CFB=∠ACD=∠BAC, ∠CBF=∠DAC,(同弧上的圆周角相等),所以△BCF和△ADC为相似三角形.则CB/CF=AD/CD=CE/CE′=m=1/t,即到定点A和定直线j距离之比等于定值m.

单击“运动参数t”按钮,比值m随之改变,这时可以动态看到,当m从小与1的值逐渐变为1时,轨迹由椭圆逐渐变成抛物线;当m大于1时,轨迹变成双曲线.

5.2参数方程的函数图像

对于参数方程,直接用图表的“绘制函数”功能,已经不能绘制出函数的图像.需要在小圆上构造一个新的变量t(即在小圆上画一小角,取它的度量值作为参数t),利用 “计算”功能输入计算公式(即参数方程),分别计算出x,y点对的值.再利用“图表/绘出(X,Y)”绘制出点对(x,y)对应的点,最后利用“构造/轨迹”功能绘出参数方程的图像.

例5.11 在直角坐标系下动态演示参数方程{x=accost-k的图像.

签为x；再输入计算公式“b﹡sin（t）+k”，并改标签为y.

?同时选中t与y的度量值,单击<图表/绘图(X,Y)>选项,绘出点V;再同时选中t与x的度量值, 单击<图表/绘图(X,Y)>选项,绘出点W.

?过点V和点W分别作横轴的平行线m,n,直线n与射线交于点X,过点X作纵轴的平行线与直线m交于点Y,用线段连接VY,XY,XW,并将三条直线隐藏起来.

?作动画.选中点N,单击<编辑/操作类按钮/动画>选项,画板中显示“动画”按钮,并追踪点Y,W和V.

4)版面设计

隐藏不必要的对象,改变轨迹的颜色和线性,作适当的文本说明和标注,调整显示的位置等.如图5.13所示.

本题也可以分别选中点N和点Y,点N和W,点N和点V作轨迹.执行系列按钮或用鼠标拖动点a、或点b、或点k,改变系数a,b,k的值观察轨迹的变化情况.

例 5.12 在同一坐标系下绘出星形线{ 和叶形线{ 的图像.

1）建立直角坐标系

选中<编辑/参数选择/弧度制>,建立相应的坐标系:选中<图表/定义坐标轴>,改原点为O,单位点位1.

2)准备工作:截取变量和常量的值

参数t:画一小圆,在小圆上画一小角ABC,选中角A,B,C度量小角的值,改标签为t.

常量a:在x负半轴上画点D,过点D作纵轴的平行线,在这条直线上取一个点a.隐藏这条直线,用线段连接Da,将点D隐藏起来;并度量a点的纵坐标值,改标签为a.

3)构建计算公式及轨迹

?利用“构造/计算”功能,输入计算公式“a﹡cos(t)^3”，并改标签为x1；再输入计算公式“a﹡sin(t)^3”，并改标签为y1.

?同时选中x1与y1的度量值，单击<图表/绘出(X,Y)>选项,绘出点F.

?在该坐标系中同时选中轨迹上的动点F和自变量的动点C,单击<构造/轨迹>选项,绘出星形线的轨迹图像.

?选中轨迹和x1与y1的度量值,建立“显示/隐藏”按钮,改标签为“隐藏星形线”.

同样,(1)利用“构造/计算”功能,输入计算公式“3﹡a﹡t/(1+t^3)”，并改标签为x2;再输入计算公式“3*a*t^2/(1+t^3)”,并改标签为y2.

?根据点对x2与y2的度量值，单击<图表/绘出(X,Y)>选项,绘出点G.

?在该坐标系中同时选中轨迹上的动点G和自变量的动点C(在小圆上),单击<构造/轨迹>选项,绘出叶形线的轨迹图像.

?选中轨迹和x2与y2的度量值,建立“显示/隐藏”按钮,改标签为“隐藏叶形线”.

4)版面设计

隐藏不必要的对象,改变星形线轨迹为红色和粗线,改变叶形线轨迹为蓝色和粗线,作适当的文本说明和标注,调整显示的位置等.

作动画.选中点C,单击<编辑/操作类按钮/动画>选项,画板中显示“动画”按钮,并追踪点F.如图5.14所示.

?调试与存盘

用鼠标拖动点a,改变系数a的值,观察轨迹的变化情况.特别在拖动中,当得到系数a的特定值时,可以看到特定方程的曲线图形.

5.3极坐标方程的函数图象

例5．13 在极坐标系下绘制圆锥曲线ρ＝еp/（１－еcosθ） (其中е为离心率)的图象。设置作图的支持环境

建立极坐标系：

单击〈图表／网格／极坐标网格〉选项；

单击〈编辑／参数选项／单位／弧度制〉选项；

改原点为Ｏ，单位点为１。

用线段控制常量е，p

过极轴左端一点Ｆ作极轴的垂线j，在垂线j上取两点е，p，分别度量点е和点p的纵坐标 73

值的值，并改标签为“е”和“p”。

输入函数、绘制图形

单击〈图表／绘制新函数〉选项，在“新建函数”对话框中，输入函数公式“е＊p/（１－е＊cos（θ））”，并改标签为“p”。

操作按钮

选中轨迹，建立“显示／隐藏按钮”。

在轨迹上任取一点Ｄ，单击〈编辑／操作类按钮／动画〉选项，画板中显示“动画按钮”，改标签为“圆锥曲线的形成”，并追踪点Ｄ。如图5.15所示。

版面设计

隐藏不必要的对象，改变圆锥曲线轨迹为蓝色和粗线，作适当的文本说明和标注，调整显示的位置等。

用鼠标分别拖动点p和点е，可方便地改变p和e的值，屏幕将同步动态地呈现离心率和圆锥曲线的连续变化情况；可看出：当e<1时曲线为椭圆;e=1时曲线为抛物线；当e.>1时曲线为双曲线。

在极坐标系下绘制玫瑰曲线ρ=2a cos nθ 的图像。

设置作图的支持坏境（同例5.13）

用线段控制常量a,n

过极轴左端一点F作极轴的垂线j，在垂线j上去两点a,n,分别度量点a和点n的纵坐标值的值，并改标签为“a”和“n”。

输入函数、绘制图形

单击〈图表／绘制新函数〉选项，在“新建函数”对话框中，输入函数公式“2*a*cos(n*θ)”,并改标签为“p”。

操作按钮

选中轨迹，建立“显示／隐藏按钮”。在轨迹上任取一点Ｄ，连接OD，并度量长度，同时选中线段OD和OD度量值作参数颜色。选中点D和线段OD作轨迹。

版面设计

隐藏不必要的对象，改变玫瑰线轨迹为红色和粗线，做适当的文本说明和标注，调整显示的位置等。

调试与存盘

用鼠标分别拖动点n和点a，改变n和a的值，观察玫瑰线的变化情况。可

看出：当n为奇数时为n叶玫瑰线；当n为偶数时为2 叶玫瑰线；当n为小数时为不规则叶玫瑰线；特别当n趋向于0或1时，图形趋于圆。如图5.16所示。

5.4分段函数的图像

有些复杂函数是有几个简单函数组合而成，在在绘制图像时，因为函数的定义域是不同的，为了方便起见，我们采取分段法废纸复杂函数的图像。方法如下：

F（x）={

方法一：构造符号函数法。设有分段函数

s1（x）=(1-sgn(x-a)/2 (x<a为1，x≧a为0值)

s2 (x) =(sgn(x-a)+sgn(b-x)/2 (x∈[a,b]为1，其它为0)

s3 (x) =(1+sgn(x-b))/2 (x>b为1,x≦b为0)

则

F(x)= s1(x）* f1 (x)+ s2 (x)* f2 (x)+ s3 (x)* f3 (x)

新建函数：a ,b(a＜b)

新建任意函数f1 (x)，f2 (x)，f3 (x)（如：f1 (x)=sin(x-2）, f2 (x)=x^3，f3 (x)=2cos(3*x)), 74

如图5.17所示。

绘制新函数:

F(x)= (1-sgn(x-a)/2* f1 (x)+ (sgn(x-a)+sgn(b-x)/2* f2 (x)+ (1+sgn(x-b))/2* f3 (x)

方法二：分区间做函数法。

（1）将数轴分成三个区间x1∈[-∞,a],x2∈[a,b],x3∈(b标,+ ∞),在每个区间上作险段或射

线，并分别取一个对象点，度量出横坐x1，x2，x3．

（２）分别以x1，x2，x3为自变量，在相应的区间上构造计算公式f1(x1),f2(x2),f3(x3)，分

别选中点对(x1，f1(x1)),( x2，f2(x2)),( x3，f3(x3)),绘出点F1，F2，F3.再分别选中点x1和

F1，x2和F2，x3和F3求作轨迹,绘出不同颜色的图像。

如分段函数:

f1(x)=20/x (x<-5)

f2(x)=asin(b-a) (-5≤x≤5)

f3(x)=cosx (x>5)

如图5.18所示,当函数图象过大时,拖动a,b,或单击动画按扭,可以改变f2(x)的振幅,从而改变

f2(x)函数图象的大小.在实际应用中,我们可以根据需要,绘制其它任意的我们所需要的f1(x),

f2(x), f3(x)的函数图象.

5.5立体几何课件制作

5.5.1 空间直线﹑平面课件的制作

为了突出立体几何的三维效果,丰富学生空间想象能力,将二维工具扩充到三维空间

中去,便于制作各种立体几何课件,实现视角动态的观察立体图形.这就要求用户自己定义可

转动的坐标系,下面给出构造的方法:先在圆上构造能够控制坐标系的关键点和线段，然后在

此基础上定义三维坐标系或空间平面。

如图5.19所示，画一条线段AB，以A为圆心AB为半径画圆c1,过点A作AB的垂线j。

在圆c1上画一点C，让C绕点A旋转90度，得到点C′,过点C和点C′作线j的垂线，

分别交直线j于点D和点E，用粗线连接AE。

选中点A和点D作圆c2,在圆c1上画一点F，用线段连接AF，交圆c2于点G，以点A为

中心，让点F和点G旋转90度，得到点F′，G′。

过点F，F′作直线j的平行线k，l，过点G和点G′作直线j的垂线m，n,直线k，m交于

点H，直线l，n交于点I；分别用粗线连接AH和AI。

新建参数n，并取初植2，选中参数n，标记比值。

以点A为中心，让点E，H，I，按标记比缩放，得到点E′，H′，I′ 。

隐藏不必要的对象，如图5.20所示。

异面直线教学

两条直线的位置关系

平面上：相交于平行；②空间中：相交于平行；③空间中第三种关系：异面。

例5.15 空间平面和平行线的画法：

?绘制平行四边形表示一个平面。如图5.20所示，在平面作图的基础上，在圆c1外画一点

K，让点K按标记向量AH′平移，得到点K1；让点K按标记向量AI′平移，得到点K′；

再让点K′按标记向量KK1平移，得到点K′′.用线段连接KK′K′′K 1得到空间平面，

并着上颜色。

?绘制平面的垂线。在KK′上画一点L,让点L按标记向量KK1平移，得到点L′，连接

LL′，并在LL′上任取两点M，N。过点M作线段AE的平行线p， 75

颜色。в

?作一个平面в.在KK′上画一点L，让点L按标记向量KK1平移，得到点L′，连接LL′,并取LL′中点M。过点L作AE的平行线O。选中点L和点M作圆，交直线O于点N,用线段连接MN。在线段MN上任取一点V，过点L，V作射线P。在射线P上任画一点W，让点K，K′按标记向量LW平移，得到点K2,K3；用线段连接KK′K2K3得到平面в，并着上颜色。

?计算二面角。依次选中点M，N，V,单击〈度量/比〉选项，得到MV/MN的比值，再计算“MV/MN*90°”的值，并改标签为“二面角”。

?设置特殊的二面角，让点N以点M为中心，分别缩放1/2、3/9、6/9倍，得到点N1N2N3。作点V到点N1的“移动”按钮，改标签为“二面角为45度”；作点V到点N2的“移动”按钮，改标签为“二面角为30度”；作点V到点N3的“移动”按钮，改标签为“二面角为60度”。

?最后隐藏不必要的对象。

拖动点V，改变二面角的大小。拖动点F或点C或点B，可以从不同视角观察两个平面的夹角，选中参数n，按“+”或“—”号键可以整体放大或缩小图形。

4.空间直线的投影

例5.19 在三维坐标系中构造空间一条线段或直线分别到水平面、竖直平面和侧平面的投影，以便从多方位来观察空间直线的射影情况。

?做空间水平面。如图5.24所示，在圆c1外面一点K，让点K按标记向量AH′平移，得到点K1；让点K按标记向量AI′平移，得到点K′；再让点K′按标记向量KK1平移，得到点K″,用线段连接KK′K″K1得到水平面，并着上颜色。

?作竖直平面和侧平面，在KK′上画一点L，过点L作AE的平行线p。在直线p上画点U，让点K，K′，K1按标记向量LU平移，得到点K′，K″，K1′，用线段连接KK′K″K′得到竖直面，并着上颜色；用线段连接KK′K1′K1得到侧面，并着上颜色。 ?作空间直线。在线段K1 K″上任画一点V，连接LV，在LV上任取两点W,X。过点W,X作直线p的平行线q,r，分别在平行线q，r上任画点Y,Z，用粗线连接YZ，即得到一条空间直线。

?作空间直线到侧平面的射影。过点W,X作线段AI的平行线s,t,分别交线段KK1于点A1,B1.让点A1按标记向量WY移动，得到点A′1;再让点B1按标记向量XZ平移，得到点B′1，并用粗线连接A′1 B′1得到侧面的射影。

?作空间直线到竖直平面的射影。同第?步的方法（略）。最后隐藏不必要的对象。

拖动点V或点L或点Y或点Z，改变空间直线的位置。拖动点F或点C或点B，可以从不同视角空间直线的射影。选中参数n，按“+”或“—”号键，可以整体放大或缩小图形。

5.5.2旋转体的形成

旋转体的形成课件，主要是在一个椭圆基础上制作的。现在椭圆上任取一动点，构造和动点发生关系的几何体，然后利用几何画板的“动画”和“追踪”

功能，动态演示旋转体的形成过程。

例5.20 圆柱

打开一个新画板，利用两个同心圆作椭圆，椭圆的的长半轴为AB.

在椭圆上任取一动点M；选中点M，作“动圆”按钮，改标签为“圆柱的形成”。过M点做线段AB的垂线K，在改线上任取一点N，隐藏直线K，用线段连接MN. 将线段MN置成浅颜色，同时选中线段MN和点N，单击<显示/追踪对象>选项。

同时选中线段MN和点M,单击<构造/轨迹>选项，再选中点N和点M，单击<构造/轨迹>选项，产生圆柱轨迹。选中圆柱轨迹，建立“显示/隐藏”按钮，改标签为“隐藏圆柱”。 76

如图5.25所示。单击“圆柱的形成”按钮，画板上会演示圆柱面的形成过程，单击该按钮停止演示。按Ctrl+B键，可以随时清除追踪的轨迹。

例5.21 圆锥

打开一个新画板，利用两个同心圆作椭圆，椭圆的长半轴为AB.

过点A作线段AB的垂线K，在该线段上任取一点G，隐藏直线K,用线段连接AG，BG. 在椭圆上任取一点H,选中点H,作“动圆”按钮，改标签为“圆锥的形成”。

连接GH，将线段GH置成浅颜色，单击<显示/追踪线段>选项。

在GH上构造一动点I，选中点I,作“动画”按钮，改标签为“动截面”。

过点I作线段AH的平行线，交线段AG于点J.

作线段IJ，隐藏平行线，同时选中点H和点J作轨迹，再同时选中线段IJ和点H作轨迹，产生椭圆形截面。

如图5.26所示。单击“圆锥的形成”按钮，画板上会动态演示圆锥面的形成过程。单击“动截面”按钮，会使椭圆形截面上下移动。按Ctrl+B键。可以随时清除追踪的轨迹。例5.22 圆柱、圆台、圆锥的形成。

打开一个新画板，如图5.27所示，画出椭圆。

在椭圆上任取一点M,在中点M,作“动画”按钮。

另画两点E、F,并标记为向量。让点A和M按标记向量平移，得点A’和M’,用线段连接A’M’,并取中点G.

在线段A’M’上取自由点N,分别作点N到点 M’,点N到点G,点N到点A’的高速移动按钮。

作系列按钮：选中“移动N->M”和“动画”按钮作“系列”按钮，改标签为“圆柱的形成”；选中“移动N->G”和“动画”按钮作“系列”按钮，改标签为“圆台的形成”；选中“移动N->A”和“动画”按钮作“系列”按钮，改标签为“圆台的形成”；注意，在系列按钮选项卡中均选择“清除所有轨迹”选项。

连接点A，A’，N，M，并取内部，将四边形AA’NM设置成浅颜色。同时选中线段MN和点M作轨迹，选中线段MN和NA’为追踪对象。

隐藏点M’，N,G,A’和线M’A’,隐藏所有“移动”按钮和“动画”按钮。

如图5.28所示。拖动点F，可以改变母线的长短和方向，配合Ctrl+B键，再单击各操作按钮，画板上会交替动态演示圆柱或圆台或圆锥的形成过程。

例5.23 球的形成

打开一个新画板，如图5.29（a）所示，画一线段AB，取中点C,以点C为圆心，CA为半径作圆c1让线段AB以点C为中心旋转90度，得到线段A’B’.

在圆c1上任画一点D，过点D作直径AB的垂线段DE.在线段DE上取一点F,同时选中点D和点F作轨迹，得到椭圆L1.

在椭圆L1上画一动点G,作点G的快速“动画”按钮，改标签为“球

面的组成”。

（4）依次选中点A’，G，B’作弧a1，选中该弧取弓形内部，着上黄色，并追踪弧线a1。

（5）同时选中点G和弧a1作轨迹。在轨迹上单击右键，在弹出的“轨迹的属性”对话框中，设置图象的采样数量为50，并建立轨迹的“隐藏/显示”按钮。

（6）最后隐藏不必要的对象，如图5.29（b）所示。

例5.24 制作任意旋转体。

基本思路

以一条直线为轴线，在轴线的同旁任取若干个点。分别以这些点到轴线的距离为长半轴，取同一小圆的半径为短半轴，小圆圆心为中心，作出对应椭圆上的动点。然后用标记向量法，将这些动点投影到轴线的同旁相应的位置上，并用弧线连接起来，让这些投影点同步饶轴线一周，追踪其轨迹，即可以实现动态演示旋转体形成的过程。

制作过程

如图5.30所示：

1’ 作线段a,b及竖直直线k。作点O，分别以O为圆心，线段a ，b为半径作圆c1，c2。在圆c2上取一点A，连接OA交圆c1于B。定义点A在圆c2上的一次快速动画。

2’ 在直线k右侧适当位置取九个点D1~D9，分别选中D1~D3，D3~D5，D5~D7，D7~D9构造过三点的弧，作出曲线。

3’ 拉长线段b，使b大于D1~D9各点到直线k的距离。

打开一个新记录，单击“录制”按钮，如图5.31所示：

1’ 过D1作直线c垂直直线k于点E，以点O为圆心，线段ED1为半径作圆c3，交OA于点F。

2’ 分别过点F，B作直线k的平行线d和垂线e，二直线交于点G。

3’ 先后选中点O，E，标记向量OG，将点E按标记向量平移至点D1’，隐藏不必要的对象。如图5.32所示。

4’ 对点D2，D3重复（1）~（3）动作，得点D2’，D3’。

⑤ 选中点D1′，D2′，D3′作过三点的弧，设置为浅绿色，并追踪此弧。单击“停止”按钮。

? 如图5.33所示.按记录“前提”顺序选中对象，快放记录三次，得到经变换的整条曲线，隐藏D2′～D8′，设置D1′，D9′为红色并追踪。

? 如图5.34所示.

作出旋转后所得的旋转体，其中构造上、下底面的二椭圆，分别选中点A，D1′和点A，D9′作轨迹。对所得的旋转体建立“显示/隐藏”按钮。

过点O作直线f垂直于直线k，交圆c2右侧于点H，将点A拖至与点H近似重合的位置。隐藏不必要的对象。

拉长线段b.

?将与建成，并改名为；将

改名为。写上标题与说明，如图5.35所示。

3﹚课件使用

此课件动态的揭示了“旋转体”概念的形成过程，有利于学生感性直观的掌握此概念。在制作过程中运用“化整为零”的技巧实现了整条曲线的移动，体现了极限思想；运用大圆上点的动画技巧实现了9个点的同步运动，体现了生动直观性。

v′=v/1cm^2,并标记该度量值。

（4）作H-V坐标系：在OB的延长线上截取线段O′V作为横轴,即V轴，过点O′做O′V的垂线，在垂线上方取一点H，连接O′H作为纵轴，即H轴，隐藏垂线及延长线。作v-h曲线：将O′点按标记向量ＫＰ移动，得h点，将O′点按标记值V′水平移 78

动，得点v，将h点按标记值V′水平移动，得点x;选中点k，x作轨迹，得h,v关于r的函数曲线。

（5）作动画按钮：选定点k作动画按钮，并追踪点x。

问题：考虑在什么情况时，圆锥内接圆柱的体积达到最大值？

拖动点H或点B，可以方便的改变圆锥的大小。拖动点K或单击“动画”

按钮，屏幕将动态的呈现相应的内接圆柱及内接圆柱的高与体积同步变化的曲线图，能够从图中清楚的看到最大内接圆柱所在的位置。

将上面的函数曲线用直方图表示，会更加形象直观，更容易理解。把上面第（4）和第(5)步作图改为：

（4′）作基准图：过点O、B作射线，在射线上截取线段OX作为作基准线，过点O做OX的垂线，在垂线上方取一点Y，连接OY作为纵轴，并标上数量单位，隐藏垂线及射线。（5′）作直方图：在OX轴上取三点1、2、3，并水平移动1cm，得点1′、2′、3′。让点1与1′按标记的h值向上移动，得到两点，依次选中这四个点取内部，标上大字母h，得到关于高h的直方图，并把h的值拖拽到直方图下面。类似的方法，可以作出关于半径r和体积v的直方图。如图5.38所示。

例5.27过圆锥顶角的最大截面问题。

圆锥：如图5.39所示，利用两个同心圆作椭圆，椭圆的长半轴为OA，过O作OA的垂线，在垂线上方任取一点H，作线段OH并隐藏垂线，用线段连接点A,B，H，得到圆锥ＨＡＢ。在椭圆上取一动点Ｃ，连接OC,BC,HC.分别取三角形HAB和三角形HBC的内部，并着上不同的浅颜色。

分别度量∠AHB,∠BOC,线段AO的值,计算BC=2.AO.sin ∠BOC/2的值，度量SH的值，改标记为L,计算∠BHC=arcos[(L^2+L^2-BC^2)/2.L.L],计算0.5*L^2*sin(∠AHB)的值，改标记为轴截面面积；计算0.5*L^2*sin(∠BHC)的值，改标记为S（过顶点截面面积）

缩小比例：计算S′=S/2cm,Q′=∠BHC/20°.1cm的值，并改标记为S′, Q′；

作S-Q坐标系：在OB的延长线上截取线段OQ做作为横轴，即Q轴，过点O作OQ的垂线，在垂线上方取一点S,连接OS作为纵轴，即S轴，隐藏垂线及延长线。

作S-Q曲线：将O点按标记距离S′的值竖直移动，得S′点，将O点按标记距离Q″的值水平移动，得点Q′，将S′点按标记距离Q′的值水平移动，得点X；选中点C，X作轨迹，得S,Q的函数曲线。

做动画按钮：选中点C做动画按钮，并追踪点X。

问题：考虑是否在所有情况下，轴截面都是最大的截面呢？

拖动点H，可以方便的呈现出锥顶角为锐角、直角、钝角几种不同的圆锥，动态模拟过顶角的所有截面及同步变化截面面积的曲线图，观察其中的最大值，

可以发现当锥顶角是钝角时，最大截面是腰长等于圆锥母线的等腰直角三角形。

圆柱、圆锥截面曲线

圆柱截面曲线的形成

圆柱截面曲线的制作原理：关键是求作截面和圆柱面的一个交点G。

如图5.40所示，因为直线b平行于ｏｐ，所以直线ｂ在平面ＰＯＯ′Ｐ′上，又已知截面是直线ａ，ｃ所确定的平面，所以直线在截面上。则直线b与直线c的交点R，即在截面上又在平面ＰＯＯ′Ｐ′上。又因为点C也是截面和平面ＰＯＯ′Ｐ′的交点，所以由 79

点R,C确定的直线d是截面和平面ＰＯＯ′Ｐ′的交线。则直线d与线段pp′的交点G就是截面与圆柱面的一个交点，即为所求的圆柱截面曲线上的点。具体作法如下：作椭圆：利用两个同心圆作椭圆，椭圆的长半轴为OA，短半轴为OB。

在椭圆上任取一点P，用线段连接OP。同时选定点P,O,A，单击＜变换／平移＞选项，输入固定距离５ｃｍ和固定角度９０度，得点P′,O′,A′。连接PP′,OO′,AA′。作P′轨迹：选中点P和P′，单击<构造／轨迹>选项，求得圆柱的上底椭圆。

在AA′上任取一点D，在OO′上任取一点C，过点D、C作直线a，作为截面的轴线。以点D为旋转中心，让直线a旋转６０度，得直线c。作为截面的另一条边。这样截面就是直线所确定的平面。

过点D作AO的平行线m，交线段OO′与点O”；过O”作OP平行线b，交直线c与点R。过点R,C作直线d，交线PP′于点G,G是轨迹上动点，即截面与圆锥面的一个交点。作截面曲线：选中点P和G，单击〈构造\轨迹〉选项，构造轨迹。

用线段连接GC，同时选中线段GC和点P，单击〈构造\轨迹〉选项，构造出圆锥截面。

圆锥截面曲线的形成

圆、椭圆、抛物线、双曲线这四种曲线可以看作不同的平面截圆锥面所得到的截线，故它们统称为圆锥曲线。

利用几何画板模拟不同的平面截圆锥面的过程，动态演示不同圆锥曲线及截面的形成。这样设计使学生对抽象的圆锥曲线概念有一个更感性的认识，便于学生理解圆锥曲线的实际意义。具体如下。

构造圆锥截面曲线。

构造能够控制截面作移动和倾斜变化的示意图。

作小椭圆：利用两个同心圆作椭圆（方法同例5.3）,椭圆的长半轴为，短半轴为。

过O作OA的垂线，在垂线的上方任取一点H，作线段HO并隐藏垂线，用线段连接AH，分别在线段HO和AH上任取点C和点D，连接CD。

作截面：以点C为圆心，以小线段为r半径作圆，在上半圆上任取一点E，隐藏小圆。依次选中点E和点C并标记为向量，把点C按标记向量平移得点E′，再依次选中点C和点D并标记为向量，把点E和点E′按标记向量平移得到点F和F′。同时选中点E,F,F′和E′，用线段相连得截面EFF′E′，并涂上浅黄色。如图5.41（a）所示。

注 ①拖动点A或点B，可以改变椭圆点大小；

②拖动点C或点D，可以使截面上EFF′E′下移动或上下倾斜；

③拖动点E，可以使截面左右倾斜或翻转；

④拖动点H，可以改变高的长短。

构造圆锥面被截面所截形成圆锥截面的过程。

作大圆锥：与上同法作椭圆，椭圆长半轴O′A′=2︳OA ︴，短半轴O′B′=2︳OB ︴，椭圆圆心为O′。

作圆锥面：依次选中点O和点H并标记为向量，把点O′按标记向量平移两次得点H′，使O′H′=2︳OH ︴，在椭圆上任取一点P，用线段连接O′P；依次

选中点P和H′并标记为向量，把点H′按标记向量平移得到点P′，用线段连接PP′和A′H′.

作P′轨迹，同时选中点P和点P′，单击〈构造／轨迹〉选项，求得一个与原椭圆关于 80

H′对称的椭圆。

作PP′轨迹，再同时选中线段PP′和点P，单击〈构造／轨迹〉选项，作出圆锥面，并用浅颜色表示。

③作截面：如图5.42所示，依次选中点O和C并标记为向量，把点O和C并标记为向量，把点O′按标记向量平移两次得点C′,使O′C′=2｜OC｜,过点C′作平行于CD的直线a交H′A′与点D′。在直线a上任取一点M，选中点M和C′并标记为向量，把点C′按标记向量平移得点M′；过点M作EE′平行线d，在d任取一点N，选中点N和M并标记为向量，使点M按标记向量平移得点

N′，依次选中点M和M′并标记为向量，使点N，N′按标记向量平移得点

Q和Q′,隐藏直线d，用线段连接N,N′,Q′,Q得截面NNQQ，并涂上浅黄色。

④作圆锥曲线：如图5.42所示，先求作截面NN′Q′Q与棱PP′的交点G。过点D′作O′A′平行线交O′H′于点。分别过点和D′做线段O′P和

FF′的平行线b和c，并交于点R。作直线RC′，求得RC′与PP′的交点G，即为截面与棱PP′的交点。隐藏除直线a外的所有直线。

求G轨迹，同时选中G和点P,单击〈构造／轨迹〉选项，求得截面与锥面相交的圆锥曲线，根据截面不同位置，G轨迹可分别形成椭圆、抛物线、双曲线等，如图5.41（b）所示。用同样的方法，可以求得圆锥曲面在水平面上的投影，即过G点作A′O′的垂线PO′交于点G′，求点G′的轨迹即可。

另外我们还可以在线段AH上由上至下取点S,W,T,Y,调查好位置。分别作点D到这四个点“移动”按钮，该标签为“双曲线”、“抛物线”、“椭圆”和“圆”。作好隐藏这四个点。注意，作圆锥截面：同时选中线段GC′和点P作轨迹，产生椭圆形截面。

5.5.5圆柱截面曲线的展开

例5.29 构造圆柱截面曲线的展开

?构造能够控制截面移动和倾斜变化的示意图

?作小椭圆：利用两个同心圆作椭圆（方法同例5.6),椭圆的长半轴为OA，短半轴为OB。 ?过O作OA的垂线，在垂线的上方任取一点H，作线段HO并隐藏垂线，点A按标记向量O->H平移得到点J，连接线段AJ,HJ,分别在线段HO和AJ上任取点C和点D，连接CD。

?作截面：以点C为圆心、线段a为半径作圆，在上半圆上任取一点E，隐藏小圆。依次选中点E和点C并标记为向量，把点C按标记向量平移得点E′,再依次选中点C和点D并标记为向量，把点E和E′按标记向量平移得到点F和F′。同时选中带你E，F,F′和E′，用线段相连得截面EFF′E′，并涂上浅黄色。如图5.43所示。

注 ?推动点A或点B，可以改变椭圆的大小；

②拖动点C或点D，可以使截面EFF′E′上下移动或上下倾斜；

③拖动点E，可以使截面左右倾斜或翻转。

?构造圆柱面被截面所截形成圆柱截线的过程

①作大椭圆：取点O′，依次选中点O和点A并标记为向量，把点O′按标记向量平移两次得点A′：依次选中点O′和点A′作圆C1，并在圆上取一点G，依次选中点O和点B并标记为向量，把点O′按标记向量平移两次得点B′；依次选中点O′和点B′作圆C2，作点G的斜二侧投影点R，依次选中点G,R,作轨迹。

②作圆柱：依次选中点O和点H并标记为向量，把点O′,A′,R按标记向量平移两次得点H′,J′,R′,标记镜面O′H′，选中点A′，J′作反射，得点

A〞，J〞,连接线段A′J′，A〞J〞，RR′,依次选中点G，R′,作轨迹，隐藏所有辅助点。 81

如图5.43所示。

③作圆柱截线:如图5.44所示。依次选中点O和点C并标记为向量，把点O′按标记向量平移两次得点C′，过点C′作平行线段CD的直线a交J′A′于点D′；过点D′作平行于线段O′A′的直线b交O′H′于点K；连接线段O′R，过点K作平行于线段O′R的直线c交R′R于点L；过点D′作平行于线段EE′的直线d交直线c于点M，选中点M，C′作直线e，交线段RR′于点N，依次选中点G，N作轨迹，隐藏直线a，b，c，e,点M。 ?圆柱曲线的展开

①取一点Q，依次度量线段RN,NR′,O′H′的长度，计算并标记的值，让点Q按标记的距离延90度平移，得点Q′，隐藏除H′O′外的所有度量值。

②度量线段O′A′的长度，改标签为r,计算2∏r的值，改标签为底面周长，计算2∏r/36的值，改标签为b，打开一个新的“记录”窗口，单击录制；标记度量值b,让点Q按标记距离b沿水平方向平移得点S，以点O′为中心，点G旋转10度得点G′,连接线段O′G′，交圆C2于点T，过点T作平行于线段O′A′的平行线f，过点G′作直线f的垂线g，交直线f于点U。隐藏直线f,g，线段G′O′,点T；让点U按标记向量RR′平移得点U′，连接线段UU′,UO′,过K作与线段UO′平行的直线h，交直线d于点W，过点W,C′作直线i，交线段

UU′于点N′，隐藏直线h,i,点W，依次度量线段UN′,N′U′的长度，计算并标记的值，让点S按标记的距离沿90度平移，得点S′，连接线段Q′S′，作多边形QSS′Q′，隐藏除度量值b、H′O′、底面周长以外的所有度量值、圆C4、线段N′U、N′U′、UU′、UO′点N′；如图5.45所示。

依次选中点S、度量值b、点G′、点O′、圆C2、线段O′A′、点U、

点U′、点K、直线d、点C′、度量值H′O′、点S′、依次单击“循环”、“停止”；单击“快进”，循环深度为35（正好一个周期），隐藏所有辅助线、点、作点R在其所在椭圆上的“动画”按钮，如图5.46所示。

5.6 自定义坐标系的构造与应用

5.6.1 构造自定义坐标轴的方法

几何画板提供的直角坐标系和极坐标系，可以方便地绘制函数图像。但仅限于二维空间的函数作图，且坐标轴只能上下或左右平行移动，使用上有一定的局限性。为了拓宽坐标轴的功能，使坐标系既能任意平移又能移动，将二维工具扩充到三维空间中去。便于制作各种立体几何、空间曲线和空间曲面的课件，实现从不同视角动态地观察立体图形和空间曲线。这就要求用户自己定义坐标系，下面给出构造自定义坐标轴的方法。

方法一：在直线上构造长坐标轴。

先画一条直线，在直线上取三点O、1、x,并依次选中三点，单击〈度量/比〉选项，改标签为x。

则原点为O，单位点为1，变量点为x,且O、1方向为正半轴，另一方向为负半轴。

对于任意一个度量值，如何在数轴上绘出相对应的点，作法是：先将度量值标记比值，然后让点1，以点O为中心按标记比缩放，得到的点即为所求。

用这种方法可以建立X轴、Y轴和Z轴。

方法二：：在直线上构造短坐标轴。

有时需要构造x∈[－N,N]区间的坐标轴，以便控制函数取值范围。

画一条线段AB，取中点O和任意点x,依次选中点O、B、x,并度量比。再新建参数N，精度取单位。

计算“Ox/OB*N”的值，改标签为x；让点B以点O为中心缩小N倍得到单位点1.

则原点为O,单位点为1，点x在OB间取正值，在OA间取负值，且取值范围在正负N之间。 82

5.6.2 自定义二维坐标系下的函数图像

建立一个二维坐标系OXY:过点O点1画一条水平直线O1,作为X轴，过点O、点1′画另一条直线O1′，作为Y轴。单击<编辑/参数>选项，角度选择弧度制。

例5.30 在自定义二维坐标系下绘制y=axcosbx的函数图像。

新建参数a,b,并作相应的动画按钮。

在X轴上取点x，依次选中点O、1、x, 度量比值，改标签为x（为自变量x的值），其中O1为X轴单位长。

度量O1′的值，改标签为I，为Y轴单位长。

计算y1=a*x*cos(b*x)的值，并计算y=y1*I/1厘米，使其转化为对应Y轴长度。

将y计算值标记比，让点1′以点O为中心标记比缩放，得点y。

让点y按标记向量Ox平移，得点y′,则点y′（x，y）在f(x)上，用线段连接y′y和度量值y，作颜色参数。选中点x和点y′作轨迹，如图5.47所示。

重新编辑计算y1=f（x）函数式，可以得到不同曲线。拖动点1或点1＇，可以从不同角度观察函数曲线。

在操作过程中，可双击参数值，重新输入所需要的定值，将参数改变，图像也随之改变。

5.6.3 构造任意旋转的三维坐标系

几何画板仅仅提供解决二维OXY坐标系中的几何关系问题，而实际应用中存在着大量的三维问题，如空间曲线、空间曲面和三维物体的运动等等，如何将二维工具扩充到三维空间中去，下面给出一种行之有效的方法。

方法一：先在圆上构造能够控制坐标系的关键点和线段，然后在此基础上定义三维O-XYZ坐标系。

（1）如图5.48所示，过点A，B作圆c1，在圆上取点C，过点A，C作直线j。

（2）让点C以点A为中心旋转90度，德点C＇。让点A按标记向量C＇A平移，得到点A＇，连接C＇A。

（3）圆上取一点D，过点Ｄ作C＇A＇和直线j的垂线，得垂足E，F。

（4）在圆c1上取一点G，过点G作C＇A＇和直线ｊ的垂线，得垂足H，I；连接HC，过点F作HC平行线，交C＇A＇于点J。

（5）让点E以点A为中心旋转90度得点E＇，过点E＇作HC平行线，交C＇A＇于点K。

（6）让点F按标记向量AK平移得到点F＇，连接AF＇；让点E＇按标记向量JA平移得到点E＇＇，连接AE＇＇。

（7）让点I以点A为中心旋转90度得点I＇。

（8）另画一圆O，让点O按标记向量AE＇＇平移两次得点X。让点O按标记向量AF＇平移两次得点Y，让点O按标记向量AI＇平移两次得点Z。

（9）以点O为中心，分别让点X，Y，Z旋转180度，得点X＇，Y＇，Z＇。

（10）连接Z＇Z，X＇X，Y＇Y，构成O-XYZ坐标系。

说明：拖动点D，O-XYZ坐标系统OZ轴旋转；拖动G，O-XYZ坐标系绕OX轴旋转；拖动点C，O-XYZ坐标系绕点O旋转；拖动点B，放大O-XYZ坐标系。

在这种方法定义的O-XYZ坐标系下，我们可以制作各种立体几何、空间曲线和曲面的课件。

方法二:先在圆上构造能够控制坐标系的关键点和线段，然后在此基础上定义三维O-XYZ坐标系。

（1）如图5.49所示，画一条线段AB，以A为圆心AB为半径画圆c1，过点A作AB的垂线j；

（2）在圆c1上画一点C，让点C绕点A旋转90度，得到点C＇，过点C和点C＇作线j 83

的垂线，分别交直线j于点D和点E，用粗线连接AE；

（3）选中点A和点D作圆c2，在圆c1上画一点F，用线段连接AF，交圆c2于点G，以点A为中心，让点F和点G旋转90度，得到点F＇，G＇；

（4）过点F，F＇作直线j的平行线k，l，过点G和点G＇作直线j的垂线m，n，直线k，m交于点H，直线l，n交于点I，分别用粗线连接AH和AI；

（5）新建参数n，并取初值2，选中参数n，标记比值；

（6）以点A为中心，让点E，H，I，按标记比缩放，得到点E＇，H＇，I＇；

（７）另画一点O，让点O，分别按标记向量AE＂,AH＂,AI＂平移，得到点Ｚ，Ｙ，Ｘ，选中带你Ｏ标记中心，选中点Ｘ，Ｙ，Ｚ安标记中心旋转180度，得到点Ｘ＂，Ｙ＂，Ｚ＂；（８）用线段分别连接ＸＸ＂，ＹＹ＂，ＺＺ＂，并选中点Ｘ，Ｙ，Ｘ＂，Ｙ＂取内部，得到三维坐标系．

三维曲线的制作

我们可以在已定义好的Ｏ－XYZ坐标系中，再构造一个自变量参数ｔ，利用空间曲线的参数方程：ｘ＝ｆ（ｔ）；ｙ＝Φ（ｔ）；ｚ＝Ψ（ｔ）；构造空间曲线。实现从不同视角动态的观察空间曲线．

例5.31 绘制参数方程

x=a*t*cost

y=b*t*sint

z=c*t

的曲线．

（１）如图5.50所示．用线段法，构造系数参数ａ，ｂ，ｃ的值；分别在Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的正方向取点１,1`，Ｉ，并度量它们到原点Ｏ的距离，改标签为１x, １y和１z（为各轴单位长）．

（２）构造参数ｔ[-6π,6π]:画线段PT，取中点Ｏ＂和任意点t，依次选中点Ｏ＂，Ｔ，ｔ度量比，再乘以６π弧度，改标签为ｔ．

（３）计算参数方程

X=a*t*cos(t)*1x/1厘米/1弧度

Y=b*t*sin(t)*1y/1厘米/1弧度

Z=c*t/*1z/1厘米/1弧度

使ｘ，ｙ，ｚ变为无单位的值．

（４）在数轴上构造ｘ，ｙ，ｚ点：

让Ｘ轴上点１，以点Ｏ为中心，按标记比ｘ缩放，得ｘ点；

让Ｙ轴上点１`,以点Ｏ为中心，按标记比ｙ缩放，得ｙ点；

让Ｚ轴上点Ｉ，以点Ｏ为中心，按标记比ｚ缩放，得ｚ点．

（５）构造空间点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）：让点ｘ按标记向量Ｏｙ平移，得点Ｍ，再让点Ｍ按标记向量oz平移，得点Ｐ．

（６）选中线段上点ｔ和点Ｐ．作轨迹；即得到空间的曲线．

拖动点Ｄ或点Ｈ或点Ｂ（见图5.48），可以从不同视角观察空间曲线．重新编辑参数方程计算式，可以绘制出各种空间曲线．

5.6.5 三维曲面的制作

几何画板提供了方便的绘制二维函数图像工具，能否将二维工具扩充到三维空间中去，实现三维函数图像动态显示效果，通过以下方法可以显示空间曲面的动态图像．

建立一个三维坐标系Ｏ-ＸＹＺ，过点Ｏ画一条竖直向上的直线ＯＺ，作为Ｚ轴，以点Ｏ为中心，让ＯＺ旋转120度，作为Ｙ轴，再旋转120度，作为Ｘ轴．单击〈编辑／参数〉选项，角度选择弧度制．

在自定义三维坐标系下绘制z=ae 的函数图像.

如图5.51所示，新建参数a,b，并作相应的动画按钮。

在X轴上取点1，x，依次选中点O，1，x，度量比值，改标签为x(为自变量x的值），其中O1为X轴单位长。

在Y轴上取点1＇，y,依次选中点O，1＇，y,度量比值，改标签为y（为自变量y的值），其中O1＇为Y轴单位长。

在Z轴上取点I，度量OI长度（为Z轴单位长），改标签为I，其中OI为Z轴单位长。计算zl=f(x,y)的值（如：zl=ae ）,并计算z=zl*I/1厘米，使其转化为对应Z轴长度。将z计算值标记比，让点I以点O为中心按标记比缩放，得点I＇.

让点y按标记向量Ox平移，得点y＇,让点y＇按标记向量OI＇平移，得点y"，则点y"(x,y,z)在f(x,y)上，用线段连接y＇y".

选中线段y＇y"和度量值y，作颜色参数。选中点y和y"，作轨迹，再选中点y和线段y＇y"，作轨迹。

选中轨迹，作追踪。

作点x的“动画”按钮，动画参数方向选“向前”，速度选“快速”，播放选“一次”。通过拖动点x来改变自变量x的值，实现图形平移。单击“动画”按钮，函数的三维立体图形便可清晰地展现在我们眼前。

点击参数按钮改变a,，b的值（其中b值尽量取为小数）。拖动点I或点1或点1＇可改变各轴的单位长，其中拖动点I可改变图形隆起的高度。由此来调试图形，使图形显示效果达到最优。

重新编辑计算zl=f(x,y)函数式，可以得到不同曲面图象。如：马鞍面zl=（x /a -y /b ）,椭圆抛物面zl=（x /a +y /b ），山包面zl=ae 等。

例5.33 在图5.49所定义的三维坐标系下，绘制空间曲面“马鞍面”

构造参数a,b,c.如图5.52所示，画一条线段，取中点O，另取四点1，a，b，c，依次选中点O，1，a，单击，<度量/比>选项，将该比值改标签为a。同样方法选中点O，1，b或点O，1，c，将度量比值改标签为b，c。

度量各轴单位长，分别在X轴、Y轴、Z轴的正向取点1，1＇，I，并度量它们到原点O的距离，改标签为1x,1y和1z。

构造自变量x,y。在X轴任取一点x,依次选中点O，1，x，单击<度量/比>选项，将该比值改标签为y。

计算函数值。计算x /a -y /b 的值，改标签为zl。计算z=zl*1z/1厘米，使其转化为对应Z轴长度。

构造因变量z。使z计算值标记比，让点I以点O为中心按标记比缩放，得点I＇。改标签为z。

构造(x,y,z)。让点y按标记向量Ox平移，得点y＇，让点y＇按标

记向量Oz平移,得点y’’,则y’’为马鞍面上一点.

(7)作轨迹.选中点y和点y’’,作轨迹.

(8)作＂动画＂按钮.作点x的＂动画＂按钮,动画参数方向选＂向前＂,速度选＂快速＂,播放选＂一次＂,并改标签为＂马鞍面＂.选中轨迹,作追踪.

通过拖动点x来改变自变量x的值,实现图形平移.单击＂动画按钮,函数的三维立体图形便可清晰地展现在我们眼前.

拖动点a，b,改变a，b的值.拖动点I或点1活点1’可改变各轴的单位长,由此来调试图形,使图形显示效果达到最优.

重新编辑计算zl=f(x，y)函数式,可以得到不同曲面图像.

下面给出另一个通用的绘制3D空间曲面的画板文件＂3D空间曲面GSP＂,该文件可以作为绘制空间曲面的工具使用.

用户只要在度量结果＂z=X X X X＂上单击右键,在弹出的快捷菜单上选择＂编辑计算＂选项,在＂编辑计算＂对话框输入新的z=f(x，y)函数式,就可以绘制出相应的空间曲面图像.如输入抛物面z=(x2+y2)/2或马鞍面z=x2/3-y2/2或山包面z=ae-b(x*x+y*y)等.

若增大参数n的值,可以加大曲面网格线的密度.如图5.53所示.

上例的空间曲面是通过追踪轨迹得到的,不便于整体把握空间曲面的变换.而本例的空间曲面是通过作轨迹生成的,便于整体动态的控制空间曲面的缩放、旋转和移动等变换操作,便于从不同的视角去观察空间曲面.

注＂3D空间曲面.GSP＂文件,存放在光盘的画板范例＂第5章例题＂文件夹中. 习题 5

由定义作外摆线:设笑圆的半径为j,大圆的半径为3j. 当小圆沿大圆外侧作旋转运动时,则小圆上某点的轨迹是什么?

△ABC是等腰直角三角形,∠B为直角,腰长为a,,顶点，B分别在两个坐标轴上滑动,求第三个顶点C的轨迹方程.

经过定点A(x0，y0)的一条动直线,分别交x轴、y轴于M、N两点,Q为MN中点,连接OQ并延长到P,使 QP=2OQ,求P点轨迹.

A为圆O内一定点,B点是圆上一动点,过点A作AB垂线与BO延长线交于P点,求P点轨迹. 长为b的线段两断电在边长为a的正方形的边长上移动,求动线段的中点的轨迹.若连续改变a和b的长度,观察轨迹的变化情况.

探求方程(6-k)x2+(k-1)y2=(k-1)(6-k)所表示曲线的形状.若连续改变参数k的值,观察曲线的变换情况.

在同一个坐标系下,绘制函数y= +c和参数方程的轨迹.

用几何画板,制作动态实现两列波的叠加的模拟课件.

x1=A1sin(B1x+θ1)横波上的点(x，x1),y1=A2sin(B2x+θ2)纵波上的点(y1，x),叠加的点(x1，y1).

在几何画板中,绘制极坐标方程ρ=asin 的轨迹.

在几何画板中,绘制极坐标方程ρ= 的轨迹.

如图5.54所示,已知某机床,其中ABCD是该机床零件中铰接反平行四边形机构,AB=CD=a,曲柄BC=2a是连杆,两基座间的距离AD=2a,当机床运转时,求连杆BC的中点P的轨迹是什么?

制作圆台的旋转形成过程的演示.

绘制椭圆抛物面z=x2/a2+y2/b2的三维曲面图形.

仿照＂例5.21＂的方法,构造一个有实际应用背景的极值问题.

第六章制作技巧范例篇

6.1 按钮技术

6．1．1系列按钮的应用

利用几何画板提供的“隐藏/显示”和“系列”等按钮功能，在同一画页上可以方便的

实现不同课件之间的转换和操作，也可以实现同一课件的分布操作和演示。使得控制流程清

晰、操作便捷，画面整洁、展示的内容突出准确。

1．建立“显示/隐藏”按钮

（1）打开一个新画板，绘制第一组图形，并配有相应的文本说明。

选中“第一组图形及文本内容”所以信息，执行<编辑菜单/操作类按钮/隐藏/显示〉选项，

建立“显示/隐藏”按钮。在该按钮上单击右键，在弹出的快捷菜单选“属性”命令，弹出

“操作类按钮隐藏对象的属性”对话框，单击“显示/隐藏”选项卡，在“隐藏/显示”卡中

选择动作的“总是显示对象”，并在“标签”卡中改标签为按钮。用同样的方法建

立“第一组图形及文本内容”的“总是隐藏对象”按钮，改标签为按钮。单击按钮，隐藏“第一组图形”的所有信息。

﹙2﹚绘制第二组图形，并配有相应的文本说明。然后选中“第二组图形”所有信息，同样

建立和按钮。单击按钮，隐藏“第二组图形”的所有信

息。

﹙3﹚重复以上作法，可以建立多组图形“隐藏/显示”按钮。

2．建立系列按钮

﹙1﹚选中按钮，同时选中其它组按钮，执行<编辑菜单/操作类按钮/系

列>选项，弹出“操作类按钮系列动作的属性”对话框，单击“系列动作”选项卡，在“系

列动作”卡中“同时执行”和“清除所有轨迹”选项，并在“标签”卡中改标签为按

钮。

﹙2﹚用同样方法，可以建立，等系列按钮。﹙3﹚对“显示/

隐藏”按钮,可以任意组合，建立起满足某种目的的系列按钮；最后隐藏掉多余的信息。

﹙4﹚单击按钮即可实现显示第i组图形及文本，而隐藏掉其它图形信息的效果。如图6.1

所示。

注意，根据需要，也可以选中所有的“显示/隐藏”按钮，再建立一个“显示/隐藏”按钮。

暂时不用时，可以将这组按钮先隐藏起来；用时，再显示出来，以保持版面的整洁。各按钮最好改成与显示内容相匹配的名称，更便于识别和操作。

6.1.2 链接按钮的制作

打开一个新画板，先在不同的页面上，制作好各个模块的课件。然后再在各页面上设

置跳转到指定页面的控制按钮，以便给使用者提供一个友好的界面。

建立首页的控制“按钮”

利用“文件/文档选项”命令，增加一个空白页面，并设置为第一页。在首页输入课件的总

标题和相关信息，并创建控制“按钮”如下：

?单击<编辑菜单/操作类按钮/隐藏/显示〉选项，弹出“操作类按钮链接的属性”对话框，

在“链接”选项卡点击“页面”按钮，在“页面”下拉菜单中选择链接的目标页（如第二页），

并在“标签”卡中改标签为

按钮（一般改为有明显意义的按钮名称，如“人物类”）

?用同样的方法，可以建立链接到第三页的按钮，链接到第四页的按钮??，如图6.2所示。

2）建立其它页的控制“按钮”

除了首页外，在其它页上一般需要建立3个“链接按钮”。一个链接到第1页的按钮，改标

签为“返回首页”按钮；一个链接到该页前1页的按钮，改标

签为“上一页”按钮；一个链接到该页后1页的按钮，改标签为“下一页”按钮。注意，第2页没有“上一页”按钮，最后一页没有“下一页”按钮。如图6.3所示。

图6.2

图6.3

如果完成了页面链接的控制，可以把“显示页切换”前面的对钩去掉，让使用者只能通过按钮去控制，从而减少操作的失误。

6.1.3 清除追踪轨迹按钮的制作

用“Ctrl+B”键，可以清除追踪对象留下的轨迹。在使用中，一方面用户不了解该功能键的用法，另一方面使用起来也不方便。如果能建立一个“清除轨迹”的按钮，操作起来会即快捷又明了。具体作法是：

任意画一个点，选中该点分别建立两个“显示/隐藏”按钮。

同时选中两个按钮，建立“系列”按钮，在“系列按钮”标签中选定“清除所有轨迹”项，改标签为“清除轨迹”。

将该点拖动到画板工作区外。单击“清除轨迹”按钮，就会清除画板上所有轨迹。

另一种方法是，只要是“系列”按钮，在设置“属性”时，“系列按钮”标签中选定“清除所有轨迹” 项即可。这样，只要单击该“系列”按钮，就会首先清除画板上所有轨迹，然后再执行其它动作。

6.1.4 防止误操作按钮的操作

在几何画板课件操作中，经常会对按钮实行了误操作，出现错误信息对话框或使某一对象操作后处于被选中状态，中断了课件的正常运行和破坏屏幕显示内容。为了避免以上问题的发生，下面给出一种解决的方法：将单独的操作按钮和

任一点的“显示/隐藏”按钮一起建立“系列”按钮即可。例如：

画一点，建立该点的“显示/隐藏”按钮。

选中某操作按钮，最后选中点的“显示/隐藏”按钮，建立“系列”按钮，并将执行参数设置为“同时执行”，改标签为相应的名称。

这样建立的按钮，无论如何操作都不会发生错误。

6.2素材共享的应用

几何画板同其它应用软件一样，可方便地通过“剪贴板”与其它Windows应用程序进行信息交换，大大地拓宽了几何画板的功能和制作效率。我们可以使用其它软件制作好各种素材，然后粘贴到几何画板中使用。

6.2.1几何画板调用其它素材

1.粘贴文本内容

（1）Microsoft Word中编辑一段图文信息，然后复制到剪贴板中。

（2）返回到几何画板中，此时，编辑菜单的“粘贴图片”项被激活，单击<编辑/粘贴图片>选项，剪切板中Word文本信息以图形方式被“粘贴”到画板上，用鼠标拖动粘贴的内容，可放置到画板的任何位置上。这种以图形方式粘贴占用的存储空间比较大。

另一种方法是，先在画板中用文本工具拖拽一个文本框，然后单击（编辑/粘贴文本）选项，剪贴板中Word文本信息以文本方式被“粘贴”到画板上。这种粘贴方式比较好。

2．粘贴图形

几何画板制作的课件中经常需要使用到各种图形、艺术字和特殊字符等，这就需要借助其它软件制作好所需素材，然后粘贴到几何画板中使用。具体作法是：

在Word或画图软件中做好图片（或艺术字、或特殊字符等），并复制到剪贴板中。返回画板中，使用“编辑”菜单的“粘贴图片”命令。

静态粘贴：直接粘贴在画板中，将图片缩放为合适大小，再拖动到指定的位置。

动态粘贴：粘贴在一个动点上，拖动图片右下角控制点，将图片缩放为适当大小，可以实现图块的动画或移动。

缩放粘贴：同时选中定点和动点，粘贴在这两点之间，做动点在某路径上的移动或动画，可以实现图块的缩放效果。

方法一：粘贴用户自己绘制的图形

在画图软件中，先绘制好所需的图形，再用画图中的“剪刀”工具将图形框住，单击“编辑”菜单的“复制”命令，这幅图形就会被复制到Windows剪切板中。

返回几何画板中，先选择好要粘贴图形的位置（一个或两个点）。单击“编辑”菜单的“粘贴图片”命令，图形就粘贴到指定的点上。

方法二：粘贴图库中的图片

在Word软件中，单击“插入”菜单的“图片”命令，插入某个剪贴画（或艺术字、或图形等）。选中插入对象，复制到剪贴板中。

返回几何画板中，先选择好要粘贴图形的位置（一个或两个点）。单击“编辑”菜单的“粘贴图片”命令，图形就粘贴到指定的点上。

注（1）粘贴画板中某一点处的图形，将保持原大小，可以作为动画或移动的对象使用。如运动中的汽车、绕太阳旋转的月亮或地球图形等。

（2）剪贴画板中某两点处，是以该两点为对角线所确定的矩形域内的图形，可随这两个点间距离的变化实现图形的放缩变换。如模拟弹簧的拉伸和压缩，蜡烛图形在凸透镜中的成像放大或缩小等。若两点间保持固定的距离，则嵌入在该两点处的图形将不在变化。例6.1 弹簧振子

弹簧振子简谐振动的数学模型是点在圆上作匀速圆周运动投影到直线上的结果。用Windows的绘图，先画一个弹簧，然后粘贴到几何画板中，既可十分方便快捷制作弹簧振子的模拟演示。

打开一个新画板，以点A为圆心，过点B画一个圆。

在圆A的右侧画一条竖直线段CD。在圆上取一点E，过点E作线段CD的垂线k，垂足为点F。

选中点E，单击（编辑/按钮/动画）选项，建立“动画”按钮。让点F按30°平移1厘米，得到点F′，让点C按-135°平移1厘米，得到点C′。

启动Windows的“绘图”软件，在绘图中，用画线工具绘制一个简单弹簧，用绘图中的剪刀工具将弹簧框住，单击（编辑菜单/复制）选项，弹簧图形就会被复制到剪贴板中。

然后返回几何画板中，选中点C′和点F′，单击（编辑/粘贴）选项，这时弹簧图形就可以清楚的附着在指定的点上了。

画一条小半径r，以点F为圆心，r为半径作圆，并取内部，作为弹簧底下坠的铅锤。

作点C′关于CD的反射点C″，依次选中点C，C′，C″取内部，着上颜色，作为弹簧的吊顶。

将“动画”按钮改名为“开始振动”将圆和线全部选中，单击（编辑/按钮/显示隐藏）选项，建立“显示/隐藏”按钮。如图6-4所示。

3. 粘贴电影、Flash动画、声音、媒体剪辑等应用文件

（1）在几何画板中，先选择好要链接其它应用文件的页面.

（2）单击〈编辑/操作类按纽/链接〉选项，在弹出的“链接属性”对话框

的“链接”卡中，单击“超级链接”选项，在文本框输入要链接的应用文件的

路径及文件名（含扩展名如：c:\windows\desktop\music01.avi）,单击“确定”，

得到一个“链接”按纽.

（3）在这个“链接按纽”上单击右键，在弹出的快捷菜单中选择“属性”

选项，在“标签”卡中输入新的标签名，如“播放电影编辑”.

（4）单击几何画板中“播放电影编辑”按纽，即可播放电影文件.

4．在几何画板中链接某个网页

（1）在几何画板中，先选择好要链接某个网页的页面.

（2）单击〈编辑/操作按钮/链接〉选项，在弹出的“链接属性”对话框的“链接”卡中，单击“超级链接”选项，系统默认链接到（美国几何画板资源中心网站），如果想链接其它网页，则可以修改这个网址.如修改成http://www.(北京大学的网页)，单击“确定”，得到一个“链结”按钮.

（3）在这个“链接按钮”上单击右键，在弹出的快捷菜单中选择“属性”选项，在“标签”卡中输入新的标签名，如“北京大学主页”.

（4）如果你的计算机正在上网，单击几何画板中“北京大学主页”按钮将进如北京大学网站的主页.

6．2.2 在PowerPoint中链接几何画板文件

用PowPoint作为多媒体课件平台，将几何画板结合起来使用，能够制作出令人满意的数学演示幻灯片.具体作法如下：

打开PowerPoint演示文稿，在幻灯片视图方式下，选择要链接几何画板文件的某张幻灯片. 在该幻灯片要链接几何画板的位置上，使用下面方法之一：

利用“文本框”工具，插入一段文字如：“演示课件一”.在该“文本框”上单击右键，在弹出的快捷菜单中选择“超级链接”命令，在“插入超级链接”对话框中，单击“文件”按钮，在“链接到文件”卡中查找到要链接的几何画板文件，最后单击“确定”按钮，关闭对话框. 利用“幻灯片放映”菜单中的“动作按钮”，建立一个自定义按钮，并输入名称“演示课件一”.在该“按钮”上单击右键，同方法①操作一样，将几何画板文件链接到按钮上.

利用“插入”菜单中的“图片|剪贴画”命令，插入一张剪贴画，拖动剪贴控制点，将剪贴画缩放成合适的大小，拖动到要连接链接几何画板的位置上.在该“剪贴画”上单击右键，同方法①操作一样，将几何画板文件链接到剪贴画上.

至此，在PowerPoint中调用几何画板的工作已经做好了.

单击“幻灯片放映”，在进入幻灯片放映状态后，再单击已链接几何画板课件的画面.演示完几何画板课件后，退出几何画板会自动返回PowerPoint放映状态.

6.3 如何控制全等多边形的翻转

利用几何画板的镜面反射和移动功能，实现控制全等多边形的翻转效果.具体作法如下：绘制任一多边形，取内部，选中内部，构造多边形上一点P.

任意绘制线段j作为镜面，作点P的反射点P',用线段连接点P,P'.

在线段PP'上任取一点G，同时选中点P和点G作轨迹.

在轨迹上任取两点A,B并连线，同时选中其中一点和连线AB作轨迹，即可为该轨迹内部涂上颜色.

分别作点G到点P'、点G到点P的移动按钮，并分别将标签改为“翻转”、“重合”按钮.

(6)最后隐藏多余的点和线，如图6.5所示。

在使用过程中，可改变镜面j 的位置和角度以及原多边形的形状，从而得到不同的翻转效果。

6.4 如何实现对象的闪烁效果

在演示过程中，为了强调图形或文字的重要性，引起学生的注意，我们通常要使该图形或文字有闪烁效果。具体效果如下：

方法一：构造系列“隐藏/显示”按钮。

（1）选中需闪烁的对象，反复建立“隐藏/显示”按钮偶数个（想闪烁几次就建几对，若要闪烁3次，建6个）；

（2）在选中的对象外任意绘制一点，对该点建立“隐藏/显示”按钮；

（3）选中所有“隐藏/显示”按钮（最后选点的“隐藏/显示”按钮），建立“系列”按钮，在“系列按钮”标签中选定“依次执行”项，改标签为“闪烁”；

（4）隐藏所有“隐藏/显示”按钮，并将任意绘制的点移至界面之外。

单击“闪烁”按钮，达到闪烁效果。

方法二：交替改变图形的参数颜色。

（1）新建参数t，精度取“单位”，选中参数t建动画按钮，在按钮属性对话框中，方向选“双向”，改变数值选“不连续”，范围取0至1之间，改标签为闪烁；

（2）选中图形对象和参数t，设置参数颜色。

单击“闪烁”按钮，图形用两种颜色交替显示，起到闪烁效果。

方法三：让对象在短线上振动起来。

如图6.6所示，画一条线段E，F标记向量；

（2）在闪烁的对象上（如：线、圆、弧、多边形内部、轨迹等）任取一点G，让点G按标记向量平移，得到点G’；

（3）连接GG’，在GG’上取一点K，同时选中点G和点K作轨迹；

（4）选中点K，作快速的“动画”按钮，并改标签为“闪烁”；

（5）拖动点F，使线段EF尽量短，隐藏不必要的对象，单击“闪烁”按钮，对象就开始闪烁，再单击就停止闪烁。

6.5 如何构造两个控制点的轨迹

几何画板的轨迹功能，只能针对一个动点才能作出轨迹。对于两个动点，轨迹功能就失效了，只能通过追踪能来实现。有没有一种方法能够解决两个动点的轨迹问题，下面给出的作法可以实现这个目的，具体方法如下：

（1）通过第二个动点，利用几何作图绘制第一个动点关于追踪对象点的轨迹；

（2）选中第二动点和轨迹，利用“构造/轨迹”功能制作轨迹，即为两个动点产生的轨迹。例6.2 A、B分别为两个圆上的动点，求作线段AB中点I的轨迹。

（1）通过第二个动点B，求作第一个动点A关于追踪对象点I的轨迹C1。具体作法是：连接B，C，作BC中点O，连接OI，以O为圆心，以OI为半径作圆，即为轨迹C1；

（2）选中此轨迹和地第二个动点B再作轨迹，即为两个动点产生的轨迹，如图6.7所示。 91

例6.3 A、B分别为圆和四边形内部上的动点，求作线段AB中点C的轨迹（A、B同时运动时，追踪中点C的轨迹）。

（1）通过第二个动点B，求作第一个动点A关于追踪对象C的轨迹C1。

具体做法是:用线段连接DB,取中点F, 用线段连接EB, 取中点C, 用线段连接GF, 取中点H,选定点H和点C作圆C1。

（2）选中第二个动点B和轨迹C1，再作轨迹，即为两个动点产生的轨迹，如图6.8所示。

6.6如何实现运动中图形的变化

在制作演示课件中，经常会遇到在不同的位置、不同的时段出现运动中的不同图形的情况，为了实现这一效果，具体做法如下：

如图6.9所示，在水平直线L上取一动点D，过点D作直线L的垂线h;

在直线L上方做三条首尾相接的线段（或弧线）L1,L2和L3,拖动垂线h,分别与三条线段相交于点K1,K2和K3;

通过移动垂线h，分别在点K1,K2,K3上粘贴不同的图形；

作点D的“动画”按钮，最后隐藏多余的点和线。

单击“运动点”按钮，即可实现图形在运动中变化。

在制作过程中，可根据数学需要将线段改为任意弧线或轨迹。

6.7如何制作动态字幕的演示

为了使文字对象在演示过程中醒目，吸引学生的注意，动态字幕的演示就显得尤为重要。具体制作步骤如下：

方法一：

如图6.10所示，画一条倾斜的线段AB，在AB上取一动点D；

同时选中点A，D,在两点之间粘贴艺术字;

分别做点D到点B，点D到点A的移动按钮，速度一慢一快，并作“系列”按钮，改标签为“显示题目”；

最后隐藏多余的点和线。

方法二：将一段多行的文字，自下而上的滚动显示，供读者阅读。

如图6.11所示。新建画板，在频幕左端画一条竖直的长线段AB，在线段AB上取点C和点

选中点A和点D标记向量。在线段AB的右端画一点E，让点E按标记向量AD平移，得到点E′，用线段连接EE′。

在线段AB上任取一点F，过点F作AB垂线k，作点F的“动画”按钮，方向选“向后”，速度选“慢速”，并改标签为“移动字幕”。

选中点A和点C标记向量。根据显示文字的行数（例如6行），让垂线k按标记向量AC，反复平移5次，得到6条平行的直线。

拖动点F，从上至下分别绘出6条平行线和线段EE′的交点G1,G2,G3,G4,G5和G6。（配合拖动点F的位置）改点GI的标签为显示字幕1行的内容；改点G2的标签为显示字幕第2行的内容；??改点G6的标签为显示字幕第6行的内容；并适当调整各行文字的位置.

隐藏所有的直线和线段.隐藏点A,B,F,E,E`.

拖动点C，可以控制显示字幕的行间距.拖动点D，可以控制显示字幕的上下界.

其中第（6）步也可以利用“合并文本到点”的功能来实现，如：输入第一行文本内容，同时选中点G1很该文本内容，按住Shift键单击“编辑”菜单的“合并文本到点”命令，则文本内容合并到点G1上.隐藏点G1上.隐藏点G1和原文本内容.

如何实现动态颜色的变化

动态颜色的变化主要通过参数颜色的功能来实现.

闪光星.

先绘制一个五角星

依次选中五角星边沿的10哥拐点，单击＜构造/多边形内部＞，将五角星涂上颜色，在内部

取一点D；

连接点D和五角星中心点O，并度量其长度；

选中五角星内部、线段DO和DO度量值，设置参数颜色，并选中点D和线段DO作轨迹；

选中点D，作“动画”按钮，该标签为“闪光星”；

最后隐藏多余的对象，如图6.12所示.

分离与合并功能的应用

几何画板的分离与合并功能可以使若干不同的对象根据对象的属性克分为“文本的分离与合

并”、“图形的分离与合并”和“合并文本到点”三类.

文本的分离与合并

利用“文本合并”功能制作“数字秒表”.

新建参数t，精度取“单位”，范围定在0至3600之间，并建立参数动画按钮，在属性面板

中；选方向为“渐增”，并改标签为“数字秒表”.

单击＜度量/计算＞选项，输入计算公式trunc （t/60）,改标签为f，得分钟的值；输入计

算公式t-f*60,改标签为m，的秒的值；对你f,m的精度取“单位”.

用“文本”工具，在工作区输入2个文本块“分”和“秒”.

依次选取参数f、文本块“分”、参数m和文本块“秒”，单击＜编辑/文本合并＞选项，在

工作区显示“数字秒表”，原参数和文本块将消失.

单击“数字秒表”按钮，秒表就开始动起来.如果再选中合并的文本，单击＜编辑/文本

分离＞选项，则文本又分离开.

2．图形的分离与合并

对于图形对象也可以实现合并或分离操作。如选中线（或圆弧、或轨迹）以及它们以外的点，

单击<编辑/图形合并>选项，这些点就可以移动到线上。如果选中线（或圆弧、或轨迹）上

的对象点，单击<编辑/从线上分离>选项，则线与点分离开。

3．合并文本到点

文本与图片的合并或分离，画板仅限于一个文本对象和一个点的合并操作。对于选中的一个

文本对象（可以是表达式或度量值或文本注释）和一个点，按下shift键不放，单击菜单<

编辑/合并文本到点>选项，即可把文本合并到点上，原文本的对象不消失。当点运动时，合

并后的文本对象（或数值或表达式）也跟着运动。

如何控制立体图形的旋转

在制作演示课件时，需要从各个角度观察立体图形这就要求对立体图形的旋转进行控制，在此以三棱锥为例，具体做法如下。

如图 6.13 所示，作圆O，在该圆上取动点A ，B，并在AO上取点C.

任取点O′，B′作圆，再以O′为圆心，二倍OC长为半径作圆，交O′B′于点C′.

(3)以点0′，B′作圆，再以0′为圆心，二倍OC长为半径作圆，交O′B′于点C′.

(4)以点0′为中心，让点B′,C′旋转120度两次，得点B〞,C〞和点B〞′,C〞′.

(5)分别过点C′,C〞,C〞′作OA的平行线，再过点B′,B〞,B〞′作OA的垂线，得三个交点E,F,G.

(6)以EFG为底，过点O′作垂直于OA的垂直线段O′H为高作三棱锥。

(7)最后隐藏不必要的圆﹑线和点，其中点B控制三棱锥左右旋转；点A控制三棱锥上下翻转；点C控制三棱锥前后旋转；点H控制三棱锥的高。

6.11如何实现翻书效果的显示方式

课件的题目﹑简介或重要图片等内容，如果用翻书的效果来显示，这种特效会给课件增色不少。

如图6.14所示，绘制四边形ABCD,取内部，选中内部，构造四边形上一点P1，将点P1拖移到AB上。

以CD为镜面，作点P1的反射点P1′,用线段连接点P1，P1′.

在线段P1P1′上任取一点G,同时选中点P1和点G作轨迹。

在轨迹上任取两点E,F,拖动点E,F到拐点处，同时选中点E,F,C,D取内部涂上颜色。

分别作点G到点P1′,点G到点P1的移动按钮，并分别将标签改为“打开1页”﹑“合上1页”按钮。

连接DF,在DF上取两点M,N,将剪贴板中的内容（比如艺术字﹑图片或画板内容），粘贴在两个点 M,N之间，调整点M,N的位置，使粘贴的内容合适为止

容合适为止。

（7）最后隐藏不必要的点和线等。

（8）再选中四边形ABCD内部，取一点P2. 以下重复2至7步。建立“打开2页”、“合上2页”按钮，并在第二页粘上相应的内容。继续做下去可以建立多页，通过按钮控制，实现翻书的效果。

6.12 如何制作美妙的万花筒

1. 礼花筒

“礼花筒”是在4个大小相同、着有不同颜色的小圆的基础上，通过平移、缩放、旋转变换后得到的图形。在“动画”按钮控制下，使图案发生绚丽多彩、美妙的变化，犹如绽放的礼花。具体作法如下：

如图6.15（a）所示，新建一画板，以两点A，B作圆c1。

在圆c1取点C，标记向量CB。

让圆c1和点B按标记向量CB，反复平移3次，得到另外3个圆c1’，c1’’，c1’’’和交点B’，B’’，B’’’。

度量CB，CB’，CB’’距离，取圆c1，c1’，c1’’，c1’’’内部，并顺次以这些度量值为参数分别作圆内部的参数颜色。

以点A为中心，让圆c1’，c1’’，c1’’’反复旋转45度7次，得到八页花瓣。

选中点C，作“动画”按钮，速度取快速。并拖动点B让圆c1缩成适当小。

另画一点D，以点D为中心，让八叶花瓣反复缩放1/2两次，又得到两个缩小八叶花瓣。同时选中三个大小不等八叶花瓣，让它们以点D为旋转中心，反复旋转60度5次，得到一 94

个大礼花，如图6.15（b）所示。

2.数学万花筒

“数学万花筒”主要是以定点在3个不同的圆上的五边形p1，p2和六边形p3为父对象。先把p1，p2和p3的顶点设置成不同速度的动画，然后让p1，p2和p3绕某旋转中心反复旋转多次而形成。具体作法如下：

如图6.16所示，新建一画板，用两点作圆c1，c2，c3。

在圆c1，c2，c3上分别取三点A，B，C；D，E，F和G，H，I.过点C，D作直线k，让点F和点I以镜面k作反射，得到点F’，I’。

选中点A，B，C；D，E，F和G，H，I，作不同方向、不同速度的“动画”，该标签为“数学万花筒”。

任意画一点J，让点J标记为旋转中心。

依次选中点A，G，C，F’，E作内部p1，着上黄色。依次选中点H，F，D，I’，E作内部p2，着上蓝色。依次选中点B，E，H，I，I’，F’作内部p3，着上橙色。

同时选中p1，p2和p3，让它们绕旋转中心J反复旋转30度11次，得到“数学万花筒”图形，如图6.17所示。

单击“数学万花筒”按钮，由不同几何对象、不同颜色构成的图案发生千姿百态的变化。

6.13 如何建立和使用文本模板

在制作和演示课件中，我们希望能够动态显示各种复杂的数学、物理公式，便于公式随参数的变化而变化。文本模板的建立和使用

就可以较好的实现这一功能，具体步骤如下：

1）文本模板的建立

在文本方式下，以“=”号开头，后跟文本块和{参数序号}的组合，参数是用大括号括起来的从1开始的一组彩色序号。

2）新建参数a,b,c?的值

3）使用模板

顺序选中模板和参数a,b,c的值，然后执行“编辑/文本合并”功能。

例如：如图6.18所示，建二次函数y=ax2+bx+c的文本模板。

建模板：=y={1}x2+{2}x+{3},其中{1}用绿色，{2}用红色，{3}用蓝色，其他符号为黑色。建参数：a=7,b=4,c=5.

文本合并：顺序选中模板和参数a、b、c的值，然后执行“编辑\文本合并”功能，画板上立即显示彩色文本y=7x2+4x+5.

例6.6 分数的运算。

建模板：分别建立两个分数的加、减、乘、除四个模板：

={1}|{2}+{3}|{4}=({1}.{4}+{3}.{2})|{2}.{4}={5}|{6}

={1}|{2}-{3}|{4}=({1}|{4}-{3}|{2})|{2}.{4}={5}|{6}

={1}|{2}×{3}|{4}=({1}.{3})|({2}.{4})={5}|{6}

={1}|{2}÷{3}|{4}=（{1}。{4}）|（{2}。{3}）={5}|{6}

其中{1}用绿色，{2}用红色，{3}用蓝色，{4}用紫色，其他符号为黑色。

建参数：a=7,b=4,c=5,d=8,并计算a=round(a),b=round(b),c=round(c),d=round(d)的值，同时选中a=7,b=4,c=5,d=8的值，建立“动画”按钮，改标签为“重新出题”。隐藏a=7,b=4,c=5,d=8的值。

分别计算x=a*d+b*c,y=a*d-b*c,z=b*d,m=a*c,n=a*d,p=b*c的值。

文本合并：顺序选中加法模板和参数a,b,c,d，x,z的值，然后执行“编辑/文本合并”功能， 95

画板上立即显示加法算式，如图6.19所示.

顺序选中减法模式和参数a,b,c,d,y,z的值，然后执行“编辑/文本合并”功能，画板上立即显示减法算式。

顺序选中乘法模式和参数a,b,c,d,m,z的值，然后执行“编辑/文本合并”功能,画板上立即显示乘法算式。

顺序选中除法模板和参数a,b,c,d,n,p的值，然后执行“编辑/文本合并”功能，画板上立即显示除法算式。

最后隐藏所有的模板和参数值。

如何建立参数的增减控制按钮

在制作课件中，我们经常需要对参数的变化进行有效的控制。具体做法如下：数的增一减一控制按钮

（1）如图6.20所示，建水平数轴：画一条水平线段，取中点为原点0，在其右边任取一点改标签为1，选中点0和点1标记向量。

（2）在线段上任取一点改标签为x，让点x按标记向量平移，得xˊ点.同时选中点0，点1和点x，单击〈度量∕比〉选项，得度量比值，改标签为x。

（3）建按钮：选中点x和点xˊ，单击菜单〈编辑\操作类按钮∕移动〉选项，在移动对话框中，选速度“高速”，改标签为“增1”；选中点xˊ和点0，单击菜单〈编辑∕操作类按钮∕移动〉选项，在移动对话框中，选速度为“高速”，改标签为“减1”；选中点x和点0，单击菜单〈编辑∕操作按钮∕移动〉选项，在移动对话框中，选速度“高速”，改标签为“置0”。

(4)最后隐藏线段的两个端点和点xˊ。

2．角度增h减h度控制按钮

（1）如图6.21所示，建立参数h=12，选中参数h，建立“动画”按钮，并改标签为“改变度数h”。

（2）在上例基础上，计算x*h的值，并标记角度，改标签为“∠ABC”。

（3）画一个大圆B，在圆上取一点A，让点A以点B为中心按标记角旋转，得到点C，连接AB，BC。

（4）改按钮“增1”为“增h度”，改按钮“减1”为“减h度”。

如何构造两个动点的轨迹

几何画板的轨迹功能，只能针对一个动点才能做出轨迹，对于两个动点，轨迹功能就失效了，只有通过追踪功能来实现。也就是说几何画板只能处理单参数问题，对于两个以上参数问题就无法直接处理，那我们就可以设置一个中间参数t，使得要处理的多个参数都和中间参数t发生关联，这样就转换成单参数问题，得以间接解决。

例如：两个圆上分别取一个动点，求作连接两动点线段中点的轨迹。具体方法如下，如图

6.22所示：

设置中间参数：画一小圆B，在圆B上取动点C和定点A，连接AB、BC，度量∠ABC的角度值。其中点C为动点，∠ABC为中间参数。

关联计算：计算3*∠ABC和24*∠ABC的值，分别作为两个圆上动点旋转的角度。

确定两个圆上动点的位置：画圆D，在圆D上取定点E，让点E以点D为中心按3*∠ABC标记角旋转得圆D上动点Eˊ。再另画圆F，在圆F上取定点G，让点G点F为中心按24* 96

∠ABC标记角旋转得圆F上得圆F上动点Gˊ。

作轨迹：连接两动点EˊGˊ，并取线段EˊGˊ中点H，同时选中点C和点H，单击“构造∕轨迹”选项，构造出两个动点的轨迹。

第7章函数技巧范例篇

7.1 如何构造动态的函数式

用“绘制函数”方法得到的函数式是静态方程，当改变参数时，函数式的形式是不变的的。那么如何得到动态的函数式呢？利用画板的文本合并功能，可以得到动态的函数式。下面以函数f(x)=ax?+bx+c为例，具体做法如下。

（1）如图7.1所示，建参数a,b,c,并设置各参数的动画按钮；

（2）输入函数f（x）=ax?+bx+c，绘制图形；

（3）系数参数a,b,c,将函数式分割成三个文本块[f（x）=]、[x?+]和[x+]，用文本工具输入三个文本块[f（x）]=、[x?+]和[x+]；

（4）依据函数式的顺序，从左至右依次选中中文本块[f(x)=]、参数值a、文本块[x?+]、参数值b、文本块[x+]和参数c，单击<编辑/合并文本>选项，得到动态的函数式. 函数式f（x)=ax?+bx+c中的参数a,b,c被其值替代。

我们通过单击a,b,c的动画按钮，便可以观察动态函数式及图像的变化情况。

7.2如何给函数曲线（轨迹）内部填充颜色

在几何画板中，轨迹和函数图形是不可以取内部的，那么如何给轨迹、函数图形内部填充颜色呢？具体做法如下。

方法一：轨迹法

（1）对于封闭的轨迹，在轨迹上任取两点E和F，并用线段连接。

（2）度量线段EF的长度选中长度值和该线段，设置参数颜色。

（3)同时选中点E和线段EF作轨迹。即可在其内部涂上艳丽的颜色，如图7.2所示。方法二：多边形法

在轨迹上顺次选取多点，然后取其内部即可。

方法一可通过拖动点来改变图形的大小和图形，方法二则较简单。在作图中，我们要根据需要选择不同的方法。如图7.3所示。

7.3如何创建函数曲线（轨迹）的参数颜色

在几何画板中，轨迹和函数曲线是不可以作参数曲线颜色的，那么如何给轨迹、函数曲线创建参数颜色呢？具体做法如下。

（1）如图7.4所示，再需创建参数颜色的轨迹上任取一点E，轨迹外（点E附近）画一点F，用线段连接EF，在EF上取一点K。

（2)单击<图表/新建参数>选项，建参数n，并创建参数n动画按钮。同时选中点k和参数n的值，执行<显示/颜色/参数>选项，建立点k的参数颜色。

（3）同时选中点E和点K作轨迹，隐藏原轨迹图像，用新作轨迹替代原轨迹。分别拖动点K、点F，让它们与点E重合，隐藏点F，E，K。

这样就创建好轨迹的参数颜色，当单击“运动参数n”按钮时，轨迹的颜色也随之改变。

7.4如何求函数扇区

有时我们要求任意一条割线段EF与函数曲线f(x)围成的区域，即函数扇区，如图7.5，具体作法如下。

（1）绘制一给定函数f(x)的图像，然后选择任意一条割线EF。

（2）在割线EF上任取一点B，度量其横坐标值Xb,并计算f(xb)的值。

（3）选取Xb和f(xb)绘制点K，用线段连接BK，选取点B和线段BK作轨迹。即得到割 97

线EF与函数曲线f(x)围成的区域。

作函数扇区的翻转：

（4）以割线EF为镜面，作点K镜面反射点K＇，用线段连接KK＇两点。

（5）在线段KK＇上任取一点G，同时选中点B和G作轨迹；再同时选中点B和BG作轨迹。

（6）分别作点G到点K＇、点G到点K的移动按钮，并改标签为“翻转”、“还原”按钮。

（7）最后隐藏不必要的点、线等。

7.5如何求得两个函数曲线的交点

在几何画板中，轨迹和函数是不可以取交点的，那么如何求轨迹、函数曲线的交点呢?具体作法如下。

（1）分别在两个轨迹上各取一个动点，并度量其坐标值。

（2）拖动坐标系的单位点1，将有交点处局部放大，再分别拖动轨迹上的动点，移动到两轨迹交汇处，然后用移动键进行微调，直到两动点的坐标值相同止。

（3）根据动点坐标值，用“图标∕绘制点”绘出该点。即为所求的交点，如图7.6所示。通过以上方法，就可得到两个函数曲线的交点。

7.6如何求方程f（X）=0的实根

在实际中经常遇到求高次方程或非线性方程的实根问题，这类求根问题是比较困难的。利用几何画板的绘图和度量功能，可以直观的、有效地求得达到某精度要求的解。具体做法如下。单击<图表/绘制新函数>选项，输入函数式f(x)绘出函数图象。从图像上可以直观的看到函数曲线与x轴的交点均为方程的实根。

在该函数曲线上任取一动点A，并度量其坐标值。选中点A坐标值，单击<图表/制表>选项，建立点A的数表。

拖动坐标系的单位点，将函数曲线与x轴有交点处局部放大，再拖动曲线上的动点A移动到曲线与x轴交汇处，然后用移动键进行微调，直到动点A的纵坐标值为0止，则点A的横坐标即为所求的一个实根。

选中点A的数表，单击<图表/添加表中记录>选项，则刚求得的实根的值就被固定在数表中，同时又添加一个活动的记录。

再将动点A移到下一个曲线与x轴交汇处，重复第3、4步的作法可以求出其他实根，从而得到一个该方程式的实根表，如图7.7所示。

为了求得更精确的解，单击<编辑/参数选项>选项，弹出“参数选项”对话框，在单位的其他“精确度”中选“十万分之一”，这样来增加解的有效位数。同时改用“运动控制台”来控制点A的移动，配合按Alt+[键，减小运动速度，使点A的纵坐标的值尽量的小。

7.7如何求函数的极值和极值点

已知函数f(x)的函数式，可以利用“图表/导数”功能得到f(x)的导函数f’(x)=0的一个跟x0的值，则点（x。,f(x0)）可能为函数f(x)一个极值点，其极值为f(x0)。具体做法如下。在制新函数f’(x)=x*cos(x)的图像，选中该函数式，单击<图表/导数>选项，得f（x）的导函数。

在f’(x)函数图像上任取一点A，并度量它的坐标值A（x0，y0）。

过点A做X轴的垂线j，拖动点A，移动到f’(x)与x轴交汇处，然后用移动键进行微调，知道点A的纵坐标值为0止。

根据点A横坐标值x0，计算f(x0)的值，即为所求的极值。选中x0和 f(x0)的值利用“图表/绘制点”绘出该点B，即为所求的极值点。

拖动点A移动到f’(x)与x轴其他交汇处，还可得到函数曲线的其他极值点。修改f(x)函数， 98

通过以上方法，还可得到其他函数曲线的极值点。如图7.8所示。

7.8如何绘制函数上任意一点的切线和发现

已知函数f(x)的函数式和f(x)上任意一点A（x1，y1），可以利用“图表/导数”功能得到f(x)的导函数f’(x)，再利用切线方程：y= y1+ f(x1)(x- x1)绘制f(x)上任意一点A（x1，y1）的切线。利用发现方程y= y1-1/f(x1)(x- x1)绘制出

f(x)上任意一点A（x1,y2）的法线。具体做法如下

（1）绘制新函数f(x)=x*cos（x）的图像，选中该函数式，单击(图表/导数）选项，得f(x)的飞、导函数式f'（x）；

（2）如图7.9所示，在f（x）函数图像上任意取一点A，并度量它的横、纵坐标值x1，y1；

（3）绘制A点的切线方程q(x)=y1+f'(x1)*(x-x1)的图像；

（4）绘制A点的法线方程r（x）=y1-1/f'（x1）*（x-x1）的图像。

拖动点A可以得到函数上任意点的切线与法线。修改f（x）函数，可以求得任意函数任意点的切线与法线。

7.9如何实现函数曲线的各种变化

在几何画板中，轨迹和函数图象本身是不可以作各种变换的(如平移、旋转、缩放、反射)，那么如何得到轨迹变换后的像呢？

具体做法如下：我们只要对轨迹上的任意一点D，按事先标记好的向量（或角度，或比值，或镜面）作变换，得到变换后的点D,,然后再同时选中点D和点D,Z作轨迹即可。这样就可以实现对变换后的轨迹作任意平移（或旋转，或缩放，或发射）操作。这四种变换是基本变换，它们可以复合起来，形成比较复杂的变换，比如先平移、后旋转、再缩放，就得到了一个与原来有联系又不同的新函数。例如；绘制一个二次函数。

（1）如图7.10所示，新建坐标系，新建参数a,b,c,并分别建立它们的动画按钮。

（2）绘制新函数，分别标记向量AB标记角度FOE、标记比值MG/MH、标记中心z

（3）在函数曲线上任取一点D，让点D按标记向量AB平移，得点D,；在让点D,按标记角度FOE旋转，得点D，，；最后让点D,按标记比MG/MH缩放，得点D,,,.

（4）同时选中点D和变换后的点D，，，作轨迹。这样就可以实现对变换后的轨迹作任意平移（或旋转，或缩放，或发射）操作。

在作图时我们可以根据不同的需要，实现对轨迹和函数图像的任意平移、旋转、缩放、反射操作。

7.10如何生成函数(或轨迹)的曲面图形

在几何画板中，如何通过函数图象的平移、旋转、缩放、反射变换得到两个函数图象间的轨迹呢？具体制作步骤如下:

(1) 如图7.11所示，用上面的方法，在函数曲线上任取一点D，任意作平移（或旋转、或缩放、或反射）变换，得点D,.

(2) 同时选中点D和点D,作轨迹，再连接DD,,同时选中点D和DD,作轨迹，即得轨迹生成的曲面。

单击a,b,c动画按钮，观察图像的变化，根据需要做任意平移、旋转、缩放、反射变换。

7.11如何控制函数曲线的翻转

在几何画板中，实现函数曲线的翻转和还原时必不可少的。以前我们曾学过简单几何画板的翻转和还原问题，下面我们来介绍一下将函数曲线进行翻转和还原的具体方法：方法一：制作某区间[a , b]上函数f（x）图像的翻转。

如图7.12所示，新建坐标系，在横坐标上任取一点作垂线，在垂线上任取三点a , b , c , 度量这三点的纵坐标，并改标签为a , b , c ；

利用计算、绘点、作轨迹的方法绘制某区间[a , b]上函数f(x)的图像；

在轨迹上任取一点D，一任一条直线j为镜面，作镜面反射点D＇，用线段连接DD＇两点；在线段DD＇上任取一点G，同时选中点D和点G作轨迹；

分别作点G到点D＇、点G到点D的移动按钮，并改标签为“翻转”、“还原”按钮；最后隐藏不必要的点和线。

方法二：制作x轴上函数f(x)图像的翻转。

新建坐标系，在横坐标上任取一点作垂线，在垂线上任取三点a , b , c ,度量这三点的纵坐标，并改标签为a , b , c ;

利用绘制新函数方法绘出f(x)的图像；

如图7,13所示，在轨迹上任取一点D，以任一条直线j为镜面，做镜面反射点D＇，用线段连接DD＇两点；

在线段DD＇上任取一点G，同时选中点D和G作轨迹；

分别作点G到点D＇、点G到点D的移动按钮，并改标签为“翻转”、“还原”按钮；最后隐藏不必要的点和线。

拖动a ,b ,c三点可在纵坐标轴上相应的改变函数图像，单击“翻转”、“还原”按钮，可实现函数图像的翻转和还原。我们还可以标记任意方向的镜面，来实现函数图像在不同方向的翻转。

7.12如何实现轨迹的移动

1.轨迹的平移移动

做法是:在轨迹上取一点A,让点A作平移变换,得到点A'.连接AA',在AA'上取一点B,选中点A和点B作轨迹.拖动点B或作移动按钮,可以得到平移的图像,如图7.14(a)所示.

2.轨迹的旋转移动

做法是:在轨迹上取一点A,让点A按标记中心作旋转变换,得到点A'.连接AA',在AA'上一点B,选中点A和点B作轨迹.拖动点B或作移动按钮,可以得到旋转的图像,如图7.14(b)所示.

3.轨迹的缩放移动

做法是:在轨迹上取一点A,轨迹外画一点B,用直线连接AB.在AB上取一点C,选中点A和点C作轨迹.拖动点C或作移动按钮,可以得到边缩放边移动的图像,如图7.14(c)所示.

7.13如何控制函数曲线的叠加

在几何画板的学习中,我们不仅能够已知函数方程绘制函数曲线,还可以将两个函数曲线进行叠加,能更好地观察出其动态叠加过程.

方法一:构造两列波f1(x)=Asin(Bx+Q)+C与f2(x)=Bcos(Ax+Q)+C在宽度为H区间上的叠加波f3(x)=f1(x)=f2(x),具体制作步骤如下:

(1)建立直角坐标系.单击<图表/网格/方形网格>选项;单击<编辑/参数选项/单位/弧度制>选项.

(2)构造系数参数.如图7.15所示,在X轴负半轴上任取三点,过这三点分别作X轴的垂线段,标记其端点为A,B,C,度量它们的纵坐标,并改标为A,B,C.

（3)新建参数H和Q。单击{图表/新建参数}选项，在“新建参数”对话框，输入参数名称H（用H控制f1(x),f2(x)两列波的宽度）；过点F，G作小圆，在小圆上取动点E，度量角ＧＦＥ的值，并改标签为“Ｑ”。

（４）建动画按钮。在Ｘ轴上取点Ｘ１，Ｘ２，度量其横坐标，并改标签为Ｘ１，Ｘ２．作点Ｘ１，Ｘ２的“动画”按钮，分别改标签为“运动ｆ１”和“运动ｆ２”。用ｘ－ｘ１或ｘ－ｘ２代替自变量ｘ来绘制函数曲线。

（５）绘制三个新函数。单击｛图标／绘制新函数｝选项，分别输入：ｆ１（ｘ）＝（ｓｇｎ（ｘ－ｘ１）＋ｓｇｎ（ｘ１＋Ｈ－ｘ））／２＊Ａ＊ｓｉｎ（Ｂ＊（ｘ－ｘｌ）＋Ｑ） 100

＋Ｃ选粗线和蓝

色；f2(x)=（sgn（x-x2）+sgn（x2+H-x)/2*B*cos(A*(x-x2)+Q)+C选粗线和红色；f3(x)=f1(x)+f2(x）选细线和黑色。

拖动点x1或x2，或单击动画按钮，观察两列波的运动及叠加效果，改变各系数参数A，B，C，Q，可以观看波的变化，如图7.15所示。

方法二：构造两函数曲线（fx）=sin（x）+2与g（x）=cos（x)+1的叠加函数曲线Y??=f(x)+g（x），具体制作步骤如下：

(1)如图7.16所示，绘制函数f(x)，g(x)的曲线

(2)在g(x)曲线上任取一点A，分别度量点A的横坐标和纵坐标的值ＸA和YA。

(3)计算Y??＝f（XA）+YA的值，依次选中XA和Y??的值，绘出点B（XA，Y??）。

（4）用线段连接AB，在AB上任取一点C。选中点A，C作轨迹，设置该轨迹为蓝色粗线。

（5）在f（x）曲线上任取一点D，分别度量点D的横坐标和纵坐标的值XD和YD。

（6）计算Y??=f（XD）+YD的值，依次选中XA和Y??的值，绘出点E（XD，Y??）。

（7）用线段连接DE，在DE上任取一点F。选中点D，F作轨迹，设置该轨迹为红色粗线。

（8）依次选中点对C和A，F和D作“移动”按钮，改标签为“还原函数曲线”。再依次选中点对C和B，

F和E作“移动”按钮，改标签为“函数曲线的叠加”。

（9）选中函数f（x），g（x）曲线作“隐藏／显示”按钮。

单击“函数曲线的叠加”按钮，可以动态演示两条曲线叠加的过程，再单击“还原函数曲线”按钮，又将叠加曲线还原成原函数曲线。重新编辑函数式f（x)或g（x),可以实现任意函数的叠加。

7.14 如何控制函数曲线的波动

为了能够使函数曲线的波动更加直观地展现出来，我们在函数图像上顺序密集取若干点，当函数曲线运动时，曲线上的点也随之运动，可以让我们更清楚地看到波的传播效果。具体制作步骤如下：

（1）建立直角坐标系。单击＜图表／网格／方形网格＞选项；单击＜编辑／参数选项／单位／弧度制＞选项。

（2)构造系数参数。在X轴负半轴上任取四点，过这四点分别作X轴的垂线段，标记其端点为F，Z，H，C，度量它们的纵坐标，并改标签为F，Z，H，C（其中F为振幅；H为波长；Z为函数的周期）

（3）构造参数Q。过点O，G作小圆，在小圆上取动点D，度量∠GOD的值，并改标签为“Q”。作点D的“动画”按钮。

(4)建动画按钮.在x轴上取点X，度量其横坐标，改标签为x1,并作点Ｘ的＂动画＂按钮．（５）绘制新函数，单击＜图表／绘制新函数＞选项，输入函数＂（sgn(x-x1)+sgn(x1+H-x))/2*F*sin(Z*(x-x1)+Q)+C",绘出图像．

拖动点Ｘ，或单击＂运动点Ｘ＂按钮，观察波的运动效果，拖动点Ｆ，Ｚ，Ｈ，可以观看波的变化，如图７.１７所示．

隐藏坐标轴，在函数图像上顺序密集取若干点，拖动点Ｄ，或单击＂运动点Ｄ＂按钮，可实现波的波动效果．

７.１５如何将函数曲线限制在一个矩形区域内

101

有时我们希望函数曲线限制在一个矩形区域内动态演示．为了便于比较，可以在一页中构造表示不同的函数图形的多个区域．具体作法如下：

（１）如图７.１８所示，建立坐标轴，新建参数a,b,c,并建相应的动画按钮；

（２）在Ｘ轴上取两点Ｍ，Ｎ，并连线段，在该线段上任取一点Ｘ，取其横坐标的值记为x；（３）输入计算公式y=ae-bx-c;

(4)在Ｙ轴正轴上取一点Ｅ，度量其纵坐标值记为Ａ，作点Ｅ关于Ｘ轴的反射点Ｆ，并度量其纵坐标值记为Ｂ

（５）以ＭＮ和ＥＦ为边长，作矩形，并涂上颜色；

（６）计算y1=y/sgn(abc(trunc(A/y)))的值，选中x,y1的值，绘制点Ｙ２；选中Ｘ和Ｙ２作轨迹（或Ｙ１＝（Ｙ／sgn(A-y)+1)*sgn(sgn(y+B)+1))的值，其中Ａ＝ＭAX,b=Min,B=-A) 其中a,b,c,动画按钮，观察函数曲线的变化．为了便于进行比较，我们还可根据不同需要，在同一窗口内建立多个矩形区域块。

如何使函数分情况显示图像

已知函数h(x)和直线函数s(x)=ax+c,有时候只显示s(x)上方或下方的函数图像，或者只显示s(x)左侧或右侧的函数图像。我们只要构造关于符号函数的基函数，就可以实现函数分情况显示图像。

只显示X轴上方或下方的函数图像。如图7.19所示。

方法：先构造基函数j(x)=2/(1+sgn(h(x)00,然后绘制f(x)=j(x)*h(x)的函数图像。

基函数j(x)的作用是：当j(x)=1时，就绘制对应区间上函数f(x)的图像；当j(x)无定义时，对应区间上函数f(x)的图像就不存在。其中j(x)中取“+”号绘制X轴上方图像，取“-”号绘制X轴下方图像。

只显示s(x)，上方或下方的函数图像。如图7.20所示

方法：先构造一个基函数j(x)=2/(1+sgn(h(x)-s(x)))

然后绘制f(x)=j(x)*h(x)函数的图像即可（其中j(x)中取“+”号，绘制上方图像，取“-”号绘制下方图像）。

只显示s(x)左侧或右侧的函数图像。

方法:先构造一个基函数j(x)=2/(1+sgn(a)*sgn(h(x)-s(x)))。然后绘制f(x)=j(x)*h(x)函数的图像即可（其中j(x)中取“+”号，绘制左侧图像，取“-”号绘制右侧图像）。

（4）有时需要X轴上方图像用一种颜色和线形显示，X轴下方图像用另一

种颜色和线形显示，该如何处理。

方法：用不同的颜色和线形分别绘制上方图像和下方图像即可。

我们只要重新编辑h(x)函数，可以对任何函数进行操作。

7.17 如何实现函数图象的渐变

前面我们讨论函数图象的变换，指的是对同一个函数图象作平移、旋转、缩放或反射以及它们的复合变换，均属于一种相似变换。实际中需要动态演示由一个函数图象渐变成另一个函数图象的过程，如两个函数的叠加，两个函数的内积等问题。方法是：通过第一个函数曲线上的任意点A计算并绘出第二个函数相对应的点B，然后连接这两点，在所得线段AB上任取一点C，选中C、A作轨迹，只要移动C点，就可以实现函数图像的渐变。下面以f(x)=sin(x)图像渐变成h(x)=xcos(x)图像为例，具体制作步骤如下：

如图7.12所示，绘制函数f（x）=sin(x)的曲线。

在f(x)曲线上任取一点A，度量点A的横坐标的值XA。

计算Y=XA*cos(XA)的值，依次选中XA和Y的值，绘出点B(XA,Y).

102

用线段连接AB，在AB上任取一点C。选中点A、C作轨迹，设置该轨迹为蓝色粗线。依次选中点C和A作“移动”按钮，改标签为“还原函数图象”。再依次选中点C和B作“移动”按钮，改标签为“函数图象的渐变”。

选中函数f(x)曲线作“隐藏/显示”按钮。

单机“函数图象的渐变”按钮，可以动态演示第一个函数图像渐变成第二个函数图像的过程，再单击“函数图像的还原”按钮，又将第二个函数图像还原成第一个函数图像。重新编辑函数式f(x)或h(x),可以实现任意函数的渐变。

习题7

利用几何画板的绘图和度量功能，求高次方程

f(x)=0.08x5-1.77x3+3.55x2-2.43=0在区间[-6,5]之间的实根近似解。

2．利用几何画板的绘图和度量功能，求非线性方程

f(x)=1.22xsinx+0.17x2=0在区间[-6,6]之间的实根近似解。

3.动态演示f(x)=a?bx+c函数图象关于y轴和y=x的翻转过程。

4.构造两列波f(x)=xcos/2与g(x)=sin2x的动态叠加过程。

附录A 记录（脚本）

说明：几何画板4.x板的“迭代”功能相对于几何画板3.x板的“记录的循环”功能来说更强大、更快捷。但是也有它的局限性，譬如：迭代后像的关键点是不存在的，轨迹是不能迭代的等，这样为进一步作图带来不便，而这方面恰恰是“记录的循环”功能优势。所以有保留和介绍几何画板3.x板的“记录的循环”功能的必要。我们可以用3.x板的“记录的循环”功能作出“迭代”功能所不能绘制的课件，然后转到4.x板上去执行，作为4.x板的补充工具。

几何画板中3.05板的记录，实际上是一个画图过程的文字记录器，它可以记录几何画板的作图步骤并存盘（记录文件扩展名为.gss)，而且还能将记录的步骤在重现出来。重要的是利用脚本的播放功能，可以在画板上自动重复作图过程，作出我们原来手工制作的相似图形。

A.1 记录的制作

用“文件”菜单中“新纪录”选项，打开一个新“记录”窗口，单击“记录”窗口中的“录制”按钮，可以将我们在画板上的作图过程逐步自动转换成文字记录下来。

A.2 记录的执行

打开一个新画板，并打开已有的记录文件。在画板中同时顺序选中满足记录执行的前提条件，按照“记录”窗口中提供的记录，执行如下三种按钮方式之一即可。

“介进”按钮：每单击一次 “介进”按钮，画板就会按照记录的步骤绘制其它图形，起到控制绘制速度的效果。

“播放”按钮：按下“播放”按钮，画板就自动按照记录的步骤绘制其他图形。 “快进”按钮：按下“快进”按钮，画板会省去中间绘画过程，直接显示所画图形。

A.3记录的“循环”功能

作图中有规律的、并需重复多次绘图的复杂过程，可以用“记录”中的“循环”功能来实现，这样既快捷又方便。

例如，利用正方形的记录绘制立体图：

（1)打开新画板和新纪录，单击“录制”。

（2）作菱形，做线段AB，以A为中心，把B旋转60度得到B’。

（3）以B’为中心，把B旋转60度，连接四点成菱形

（4）以B’为中心，选中全部图形，把该菱形旋转120度2次；各菱形涂上不同颜色。

（5）选中正方形右边两点，单击记录中“循环”，再单击“停止”。

103

（6）存记录为“正方体1.gss”。

（7）再打开一个新纪录，单击“录制”。

（8）画两点并选中，单击“正方体1.gss”中“快放”，在“递归循环”对话框的深度框中输入3.

（9）选B”为中心，把点B’旋转180度，选中B'和B".

（10）单击记录中“循环”，再单击“停止”；存记录为“正方体4.gss ”。

（11）选中A、B点，单击记录“快放”。

（12）在“递归循环”对话框的深度框中输入3.

A.4使用记录的“循环”功能绘图的一般过程

欲将圆上正N边形的顶点，按某种规律投影到指定的位置上。若一个顶点一个顶点的去绘制出它所对应的投影点，显得既繁琐又复杂。如果使用记录的“循环”功能来实现，就能起到事半功倍的效果。

具体作法是：只要把一个“循环节”的作图过程记录下来，然后利用记录的“循环”和“快进”功能，就可以迅速完成整个绘图过程。一般分3步完成：第1步求作圆上第一个点的投影点；第2步录制圆上第二点的投影点，并把两个投影点连接起来；第3步按照“前提”条件，执行“循环”、“停止”按钮即可。

1.初始值

打开一个新画板，画一个大圆A，在圆上任取一点，作为正N边形的第一个顶点，并绘出对应第一个顶点的投影点。

2.录制

打开一个新纪录“录制”按钮，开始录制：

①以圆心A为标记中心，把第一个顶点旋转360/N度，做出第二个顶点，作出第二个顶点的投影点。

②将前两个投影点用线段连接起来，并并隐藏掉其他不必要的对象。

③使用记录的“循环”功能：根据记录的“前提”条件，在画板中循序选中满足“前提”条件的点和线（点应为第二个顶点及它的投影点），然后单击记录的“循环”按钮，再单击记录的“停止”按钮。保存记录文件。

3.运行记录文件

在画板中循序选中满足“前提”条件的点和线（同上），然后单击记录的“快进”按钮，在“递归循环”对话框中输入N-1，记录将自动绘出其它N-1个点的投影点，并顺次连接起来。

4.作动画按钮

选中第一个顶点和大圆，单击〈编辑/操作类按钮/动画〉选项，得“动画”按钮，双击“动画”按钮，所有投影点都将运动起来。

例1 用“记录”自动化出一个或多个正六边形。

（1）初始值打开一个新“画板”窗口，在“画板”上先画一个圆A，并在圆上人选一点C。

（2）录制打开一个新“记录”窗口，单击“录制”；选圆心A为标记中心，把点C旋转

60度得点C’，连接点C和C’’.

1在画板中顺序选中满足‘‘前提’’,条件的点C’’和点A,单击记录中‘‘循环’’按钮，再单击‘‘停止’’按钮；

2存记录为‘‘正六边形。Gass’’

(3)运行记录文件

打开一个新‘‘画板’’窗口，任画两点A和B，并同时选中；单击记录中‘‘快进’’按钮， 104

在‘‘递归循环’’的对话框中输入5，如图A.1所示。

例2 制作正弦波

初始值。新建一个画板，画直线j和线段k；在直线j上任取一点E，以点E为圆心，线段k为半径作圆。在圆上取第一个点F,单击（变换/平移）选项，让点F向右平移1cm，得圆上第一个点F投影F’点.

录制

1打开一个新纪录窗口，打击记录窗口‘‘录制’’按钮。

2双击点E，标记为中心。选择点F，旋转18度，得到圆上第二个点F’.

3过圆上点F’,作直线j的平行线；让投影点F’向右平移0.5cm得点F’’,过点F’’作直线j的垂线；求得平行线与垂线的焦点G；即为圆上第二个点F’的投影点。用线段连接两个投影点F’和点G；隐藏该平行线、垂线和点F’’,取消圆上各点及它们投影点的标注。 4根据记录的‘‘前提’’条件，依次选中圆上第二个点F’、点E、第二个投影点G和直线j，单击记录中‘‘循环’’按钮（因为循环是接着圆上第二个点往下进行的，所以虽然前提中显示的是圆上第一个点F及它的投影点F’，而实际选中时应换成第二个点F’及它的投影点G），再单击记录中‘‘停止’’按钮，如图A.2所示。

5将这个‘‘记录’’存盘为‘‘正弦波。gass’’文件，如图A.3所示。

运行记录文件。根据记录的‘‘前提’’条件，依次选中点F’、点E、点G和直线j，单击记录中‘‘快进’’按钮；在循环深度填写20次，单击‘‘确定’’按钮，即得到含20点的正弦波，如图A.4所示。

作为动画按钮。定义点F在圆E上的运动‘‘动画’’按钮，就会看到：圆上的点转动起来，正弦波也波动起来。

例3 等比级数前n项的图像表示。

（1）打开一个新‘‘画板’’窗口，建立直角坐标系，作线段CD和线段EF，并度量出它们的长度，改CD为q，改EF为al.

（2）打开一个新“记录”窗口，单击“录制”按钮；选中坐标原点A,让点A向右平移0.5cm得A'点.

(3)先标记距离a1，选中点Ａ',让点A'向上移动距离a1得点A'',连接点A'A''.

(4)同时选中度量值a1和q,单击<度量/计算...>选项,输入公式a1*q/1cm,得公式的度量值,并改公式度量值为a2.

(5)根据记录的“前提”条件，依次选中点A’，度量值a2和q，单击记录中“循环”按钮；再单击记录中“停止”按钮.

(6)存记录为“级数.gss”；如图A.5所示.

(7)依次选中点A,度量值a1和q.

(8)单击记录中“快放”按钮，在“递归循环”对话框的深度框中输入20.

(9)分别拖动线段CD和EF的一端,改变q和a1的值，图像作相应的变动.如图A.6所示. 例4 定积分的定义.

将积分区间若干等分后,用左矩形面积近似替代曲边梯形面积,作出它的示意图.如作积分shift1 0(x?+0.1)dx,在区间［0，1］上的分割示意图.

(1)作y=x?+0.1函数在区间[0,1]上的轨迹,如图A.7所示.

①打开一个新“画板”窗口，建立直角坐标系.拖动原点A到画板的左下角,并将单位1(点

B)向右拖动使其放大至全屏.

②用线段连接A,B两点，在线段AB选取对象上的点X.

③先度量点X的坐标，在取它的横坐标的值，改标记为X，并计算y=x?+0.1的值。然后根 105

据点对x与y的度量值，单击<图表/绘出点（x,y）>选项，绘出点p.

④同时选中自变量的动点X和轨迹上的动点P，单击<作图/轨迹>选项，绘出y=x?+0.1的轨迹图像.

(2)另画一点M，过点M作x轴的平行线，在该平行线上取自由点N，隐藏平行线，用线段连接MN，并标记向量MN.

（3）录制，如图A.8所示：

①打开一个新“记录”窗口，单击“录制”按钮.

②度量点A的横坐标xA值，并计算x=0.1的值.然后根据点对xA与xA?+0.1的值.然后根据点对x与x?+0.1的度量值，单击<图表/绘出点（x,y)>选项，绘出点p0.

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