泛函分析教学大纲

一、     泛函分析课程说明

(一)课程代码  08130013

(二)课程英文名称:Functional Analysis

(三)开课对象: 数学与应用数学专业本科生

(四)  课程性质:

泛函分析是数学学科的一门基础理论课程。本课程的目的在于运用泛函分析的理论和方法进一步研究无限维空间的结构。通过教学，使学生了解和掌握这一学科的基本概念，理论，培养学生的理论思维能力，为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础。

前期课程：《数学分析》《高等代数》《实变函数》

(五)  教学目的

通过泛函分析的教学，使学生了解和掌握赋泛线性空间，有界线性算子，Hilbert空间，Banach空间的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科打下扎实的理论基础

(六)  教学内容

本课程主要包括度量空间和赋范线性空间，有界线性算子和连续线性泛函，内积空间和Hilbert空间，Banach空间中的基本定理，线性算子的谱等几个部分。通过教学的各个环节使学生达到各章的基本要求。习题是重要的教学环节，教师必须高度重视。

(七)  学时、学分数及学时数具体分配

教学时数：72学时

学分数： 4 学分

教学时数具体分配

(八)  教学方式

以教师讲解为主的课堂教学方式

(九)  考核方式和成绩记载说明

考核方式为考试。严格考核学生的出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定。平时成绩占30％，期末成绩占70％。

二、讲授大纲与各章的基本要求

   第一章  度量空间和赋范线性空间

教学要点:

1 泛函分析研究的对象是定义在度量空间之间的映射

2 度量空间X的子集Y在X中稠密的充分必要条件是Y的闭包等于X

3 有理点集是可数稠密集

4 任何度量空间X,都存在完备的度量空间

教学时数:12学时

教学内容

第一节        度量空间

第二节        度量空间的极限,稠密集,可分空间

第三节        连续影射

第四节        柯西点列和完备度量空间

第五节        度量空间的完备化

第六节        压缩映射原理及其应用

第七节        线性空间

第八节        赋范线性空间和Banach空间

考核要求：

第一节        度量空间  （识记）

第二节        度量空间的极限,稠密集,可分空间  （领会与应用）

第三节        连续影射 （领会与应用）

第四节        柯西点列和完备度量空间（领会与应用）

第五节        度量空间的完备化  （领会）

第六节        压缩映射原理及其应用（领会与应用）

第七节        线性空间  （领会与应用）

第八节        赋范线性空间和Banach空间  （领会与应用）

第二章  有界线性算子和连续线性泛函

教学要点:

1 掌握赋范线性空间的有界线性映射的 概念

2 掌握赋范线性空间X到赋范线性空间Y上的线性映射的全体也是一个赋范线性空间

3 掌握线性同构的概念

教学时数：16学时

教学内容

第一节    有界线性算子和连续线性泛函

第二节    有界线性算子空间和共轭空间

第三节    广义函数

考核要求：

第一节    有界线性算子和连续线性泛函  （识记、领会、应用）

第二节    有界线性算子空间和共轭空间  （识记、领会、应用）

第三节    广义函数  （领会）

第三章  内积空间和Hilbert空间

教学要点:

1 掌握内积与西尔百特空间中的范数之间的关系

2 每个Hilbert空间X都有完全规范正交系

3 Hilbert空间X可分的充要条件是X存在一个可数的完全规范正交系

教学时数：20学时

教学内容：

第一节    内积空间的基本概念

第二节    投影定理

第三节    Hilbert空间中的规范正交系

第四节    Hilbert空间上的连续线性泛函

第五节    自伴算子,酉算子和正常算子

考核要求：

第一节    内积空间的基本概念  （识记，领会，应用）

第二节    投影定理  （领会，应用）

第三节    Hilbert空间中的规范正交系 （领会，应用）

第四节    Hilbert空间上的连续线性泛函  （领会，应用）

第五节    自伴算子,酉算子和正常算子（识记，领会，应用）

第四章Banach空间中的基本定理

教学要点:

1理解Banach空间三大基本定理（1）泛函延拓定理（2）一致有界定理（3）逆算子定理

2 掌握弱收敛和强收敛的概念

3 理解Baie纲定理

教学时数：16学时

教学内容

第一节    泛函延拓定理

第二节    C[a,b]的共轭空间

第三节    共轭算子

第四节    纲定理和一致有界定理

第五节    强收敛,弱收敛和一致收敛

第六节    逆算子定理

第七节    闭图象定理

考核要求：

第一节    泛函延拓定理  （领会，应用）

第二节    C[a,b]的共轭空间  （领会，应用）

第三节    共轭算子  （识记，领会，应用）

第四节    纲定理和一致有界定理（领会，应用）

第五节    强收敛,弱收敛和一致收敛（识记，领会，应用）

第六节    逆算子定理（领会，应用）

第七节    闭图象定理（领会，应用）

第五章  线性算子的谱

教学要点:

1 理解赋范线性空间上的有界线性算子T的谱是有限维线性空间中线性变换的特征值的推广

2 赋范线性空间上的有界线性算子T的谱是复平面上的非空有界闭集

3 用全连续算自谱分解理论，可解一类具有对称核的积分算子的积分方程

教学时数：8学时

教学内容

第一节    谱的概念

第二节    有界线性算子谱的基本性质

第三节    紧集和全连续算子

第四节    自伴全连续算子的谱论

第五节    具对称核的积分方程

考核要求：

第一节    谱的概念  （识记，领会）

第二节    有界线性算子谱的基本性质 （领会，应用）

第三节    紧集和全连续算子  （领会，应用）

第四节    自伴全连续算子的谱论  （领会，应用）

第五节    具对称核的积分方程  （领会，应用）

三、推荐教材和参考书目

《实变函数与泛函分析》，程其襄等，第二版，高等教育出版社

《泛函分析基础》，刘培德，第一版，武汉大学出版社

《泛函分析讲义》，张恭庆，第一版，北京大学出版社

《实变函数论与泛函分析》，夏道行等，人民教育出版社

《实变函数论与泛函分析概要》,王声望, 第二版，高等教育出版社

《实变函数论》，江泽坚，吴智泉，第二版，人民教育出版社

Introduction to Functioal Analysis,A.B.Tayor,New york

Functional Analysis.Walter Rudin,New York:Mcgraw-Hill Book Com

第二篇：泛函分析(双语)教学大纲

泛函分析（双语）教学大纲

（周课时4,共72课时.）

一、度量空间（24学时）

1、度量空间定义及点列的收敛性

度量空间的定义,例子，度量空间中点列的收敛定义及其在具体空间中，如Rn、C[a,b]、s、S空间中点列收敛的含义.

2、度量空间的拓扑结构

度量空间中邻域、开集、闭集、有界集、稠密集、紧集、全有界集的定义及其性质，可分度量空间及其例子，完备度量空间及其刻画，Baire纲定理及其应用，非完备度量空间的完备化过程.

2、度量空间间的映射及Banach不动点定理

度量空间间的连续映射，等距映射、同胚映射的定义即性质，Banach不动点定理或Banach压缩映射原理及其应用.

二、赋范线性空间与Banach空间（12学时）

线性空间回顾，赋范线性空间的定义，范数与度量的关系，Banach空间的定义及例，Lp与?p、L∞与?∞空间及其性质，线性赋范空间中的闭子空间，Riesz引理与有限维空间的刻画，商空间.

三、内积空间与Hilbert空间（8学时）

1、内积空间与Hilbert空间的定义及例

内积空间的定义，内积与范数、度量的关系，Hilbert空间的定义及例，特别L2及?2空间.

2、正交性与正交系

向量间、向量与集合、集合与集合正交的定义及其性质，最佳元与正交分解定理，正交系与标准正交系，Bessel不等式与Parseval等式，Riesz-Fischer定理，标准正交基及其等价形式.

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3、Fourier级数

Fourier级数的收敛性及收敛意义.

四、线性算子（28学时）

1、线性算子与有界线性算子空间

线性算子与线性泛函的定义及例，线性算子或泛函的连续性与有界性的刻画，有界线性算子与泛函的例，有界线性算子空间的定义及其完备性刻画.

2、共轭空间及其刻画

共轭空间的定义，Reisz表现定理与Hilbert空间的共轭空间的刻画，?1、?p、C[a,b]等空间的共轭空间的刻画.

3、泛函分析中的几个基本定理

一致有界性定理或Banach-Steinhaus定理及其应用，开映射定理与Ba-nach逆算子定理及应用，Hahn-Banach延拓定理及其应用，二次共轭空间与自反空间.

4、强、弱收敛

点列的强、弱收敛的定义及性质，算子列的一致收敛，强、弱收敛的定义及性质，泛函列的强收敛与弱?收敛的定义及性质.

5、线性算子谱论初步

线性算子的共轭算子，线性算子谱、特征值的定义，紧线性算子的定义及其性质，自共轭紧算子的谱分解定理.

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