第三章 复变函数的积分
能力要求
l 会通过转化成两个实变函数第一型曲线积分的方法来计算复变函数的积分。
l 知道复变函数积分的四条性质，特别注意前三条线性性质。
l 知道在什么时候可以用实变函数中的牛顿——莱布尼茨公式计算复变函数积分。
l 会用柯西积分公式
和高阶导数公式
(n=1,2,……) 计算积分。
l 会用复合闭路原理和闭路变形原理简化积分计算。
l 会判定一个复变函数是不是某一区域D内的调和函数。
l 会用偏积分法和不定积分法求共轭调和函数。
重点知识点讲解
一、复变函数积分的基本计算法
复变函数的积分是转化成实变函数的第一型曲线积分来计算的，因此我们要先回顾第一型曲线积分的计算步骤。
例题：沿
计算积分
的值
第一步：化参数
积分路径是一条抛物线，它在复平面上的方程是
，则
。
第二步：把原积分式中的x、y和dz都代掉。注意积分上下限的变化。
二、积分的性质
最重要的是积分的线性性质（书P74性质前三条），第四条估值不等式能力要求稍高。
三、用性质、定理计算积分
（一）、定理回顾
柯西-古萨基本定理
如果函数
在单连通域B内处处解析，那么函数沿B内任何一条封闭曲线C的积分为零。
关键词：处处解析 封闭曲线 积分为零
注意：该定理中的C可以不是简单曲线。
闭路变形原理
在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中曲线不经过函数不解析的点。
关键词：解析函数 连续变形 不经过不解析点
基本定理的推广——复合闭路定理
设C为多连通域D内的一条简单闭曲线，C1，C2，……，Cn是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以C，C1，C2，……，Cn为边界的区域全含于D。如果在D内解析，那么
i)
，其中C及Ck均取正方向；
ii)
积分路径为C及Ck所组成的符合闭路，C取逆时针，Ck取顺时针。
复合闭路定理告诉了我们被积函数在积分路径所围区域内存在奇点的情况下积分的计算方法：围绕每个奇点画一个小圆作为积分路径，把原积分拆成多个积分的和。虽然书上那一部分要求我们用73页上的那个结果，但其实我们完全可以用后面的柯西积分公式和高阶导数公式来解决，那是更具一般性的。
柯西积分公式
如果在区域D内处处解析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，
为C内的任一点，那么
关键词：处处解析 正向简单闭曲线
柯西积分公式的功效是把一个复变函数的积分和它在积分路径所围区域内一点的函数值联系起来了。不仅如此，它还给出了解析函数的一个积分表达式，从而在相关的证明问题中能有所作为。
高阶导数公式
解析函数的导数仍为解析函数，它的n阶导数为：
(n=1,2,……)
其中C为在函数的解析区域D内围绕的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部全含于D。
关键词：解析函数
四、解析函数与调和函数的关系
调和函数的定义
如果二元实变函数
在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程
，那么称为区域D内的调和函数。
注意：调和函数要放在一个区域里讨论。
定理
任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数。
注意：该定理的逆命题不成立，即在D内实部虚部都是调和函数的一个复变函数不一定在D内解析。
共轭调和函数定义
设
为区域D内给定的调和函数，使
在D内构成解析函数的调和函数
称为的共轭调和函数。
该定理说明：区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。注意这句话的次序不可颠倒！
接下来重点讲共轭调和函数的两种求法。
1、偏积分法
求解过程（以知v求u为例）：
① 求出
和
② 由柯西-黎曼方程中的
得到
，这就是偏积分。当然，也可以用
，对y求偏积分。
③ 代入，确定
。求积分过程中出现的常数c则要根据题给信息确定。
2、不定积分法
求解过程：
① 根据复变函数在某一点处的导数公式（见P42）
写出的导数表达式。
② 把它还原成z的函数，得到
与 
。
③ 将它们对z积分，即得到
当已知实部时可用上一式，已知虚部时可用下一式。
题目讲解
1、
，C为正向圆周|z|=2.
解：
柯西积分公式
2、求
高阶导数公式
3、求
解：
高阶导数公式
第二篇：关于复变函数积分求解总结
关于求积分的各种方法的总结
摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要总结归纳求积分的各种方法.其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式和用留数定理求积分等方法.现将这些方法逐一介绍.
关键词：积分，解析，函数，曲线
1.利用定义求积分
例1、计算积分
，积分路径C是连接由0到
的直线段.
解：
为从点0到点的直线方程，于是
.
2.利用柯西积分定理求积分
柯西积分定理：设
在单连通区域
内解析，
为内任一条周线，则
.
柯西积分定理的等价形式：设是一条周线，为之内部，在闭域
上解析，则.
例2、求
，其中为圆周
，
解：圆周为
，被积函数的奇点为
，在的外部，
于是，
在以为边界的闭圆
上解析，
故由柯西积分定理的等价形式得
.
如果为多连通区域，有如下定理：
设是由复周线
所构成的有界多连通区域，在内解析，在上连续，则.
例3.计算积分
.
分析：被积函数
在上共有两个奇点
和
，在
内作两个充分小圆周，将两个奇点挖掉，新区域的新边界就构成一个复周线，可应用上定理.
解：显然，
任作以与以为心，充分小半径
的圆周
及
，将二奇点挖去，新边界构成复周线
.
.
3.利用柯西积分公式求积分
设区域的边界是周线或复周线，函数在内解析，在上连续，则有
，即
.
例4.计算积分
的值，其中
解：因为
在
上解析，
，
由柯西积分公式得
.
设区域的边界是周线或复周线，函数在内解析，在上连续，则函数在区域内有各阶导数，并且有
即
.
例5.计算积分
，其中是绕
一周的周线.
解：因为
在
平面上解析，
所以
.
例6. 求积分
，其中为圆周
.
解：
另外,若
为周线内部一点，则
（
，且
为整数）.
4.应用留数定理求复积分
在复周线或周线所围的区域内，除
外解析，在闭域上除
外连续，则
.
设为的阶极点，
，其中
在点解析，
，则
.
例7.计算积分
解：被积函数
在圆周
的内部只有一阶极点及
，
因此，由留数定理可得
.
例8.计算积分
.
解：
只以为三阶极点，
由留数定理得 
.
5.用留数定理计算实积分
某些实的定积分可应用留数定理进行计算，尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分，常是一个有效的办法，其要点是将它划归为复变函数的周线积分.
5.1计算
型积分
令
，则
，
，
，
此时有
.
例9.
解：令，则
，，
，其中
，
，
，
应用留数定理得
.
若
为
的偶函数，则
之值亦可用上述方法求之，因为此时
，仍然令.
例10.计算
（为实数且
）
分析：因为
，
直接令
，则
，
于是
.
解：
应用留数定理，当
时，
当
时，
.
5.2计算
型积分
例11.计算
.
解：函数
在上半平面内只有
一个四阶极点，
令
，
则
即
故
.