相似三角形经典模型总结

经典模型

【精选例题】

“平行型”

【例1】   如图，，若，

则

【例2】   如图，，若，，,则，

【例3】   已知，为平行四边形对角线，上一点，过点的直线与，，的延长线，的延长线分别相交于点，，，

求证：

【例4】   已知：在中，为中点，为上一点，且,、相交于点，

求的值

【例5】   已知：在中，，延长到,使,连接交于点

求证：① ②

【例6】   已知：，为三角形中、边上的点，连接并延长交的延长线于点，

求证：为等腰三角形

【例7】   如图，已知，若，，，求证：.

【例8】   如图，找出、、之间的关系，并证明你的结论.

【例9】   如图，四边形中，，是上一点，于点，于点

求证：

【例10】             如图，在中，是边的中点，过作直线交于,交的延长线于

求证：

【例11】             如图，在线段上，取一点，以，为底在同侧作两个顶角相等的等腰三角形和，交于点，交于点,

求证：

【例12】             阅读并解答问题.

在给定的锐角三角形中，求作一个正方形，使，落在边上，，分别落在,边上，作法如下：

第一步：画一个有三个顶点落在两边上的正方形如图，

第二步：连接并延长交于点

第三步：过点作,垂足为点

第四步：过点作交于点

第五步：过点作，垂足为点

四边形即为所求作的正方形

问题：⑴证明上述所作的四边形为正方形

⑵在中，如果，,,求上述正方形的边长

“平行旋转型”

图形梳理：

特殊情况：、、共线

，，共线

【例13】             已知梯形，，对角线、互相垂直，则

①证明：

【例14】             当，以点为旋转中心，逆时针旋转度（），问上面的结论是否成立，请说明理由

【例15】             （全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形和均为正方形，求_________.

“斜交型”

【例16】             如图，中，在上，且交于，在上，且，求证：

【例17】             如图，等边三角形中，，分别在，上，且，，相交于，求证:

【例18】             如图，四边形的对角线相交于点，,求证：

【例19】             如图，设，则吗？

【例20】             在锐角三角形中，，分别为，边上的高，和的面积分别等于和，，求边上的高

【例21】             如图，在等边的边上取点，使，作，为垂足，连结。

求证：

【例22】             已知：在正三角形中，点、分别是、延长线上的点，且,直线与相交于点

求证：①,②

 “斜交特殊型”（隐含三垂直）

【例23】             已知，如图，中，于点，于点，于点，求证：

【例24】             已知：如图，是直角三角形斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连结AP，BG⊥AP，垂足为G，交CE于D，求证：。

【例25】             如图，、、、分别是矩形四条边上的点，,若，，则等于（     ）

A.              B.               C.               D.无法确定

【例26】             如图，已知：正方形中，点、分别在、上，且，于点

求证：

【例27】             如图，中，，,点在上运动（不经过,），过点作,交于

①图中有无与一定相似的三角形，若有，请指出来并加以证明

②设，，求与的函数关系，并写出其定义域；

③若恰为等腰三角形，求的长

第二篇：相似三角形知识点总结及习题

相似三角形基本知识

 (一)比例的性质

1.比例的基本性质:  比例式化积、积化比例式.

2.合、分比性质:分子加（减）分母,分母不变.

                       (k=1、2、3…)

应用: 

已知

证明:∵  ∴  ∴  ∴

3.等比性质:分子分母分别相加，比值不变.

若则.

4.比例中项:若的比例中项.

(二)平行线分线段成比例定理

    1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.例.    已知l₁∥l₂∥l₃,       

                        A     D   l₁

                       B       E   l₂

                     C           F    l₃

可得

2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.          A

 

                 D        E

            

                B          C

由DE∥BC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.

3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. (即利用比例式证平行线)

4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 

(三)相似三角形

    1、相似三角形的判定

  ①两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多);

  ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;

  ③三边对应成比例的两个三角形相似;

      ④直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.

2、直角三角形中的相似问题：

斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.

射影定理：

CD²=AD·BD，                         

AC²=AD·AB，

BC²=BD·BA

（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.

    3、相似三角形的性质

  ①相似三角形对应角相等、对应边成比例.

      ②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).

      ③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.

4、位似图形:如果两个图形不仅是相似图形，而且每对对应点所在直线都经过一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.这时的相似比又称为位似比.

特别提醒：

①是特殊的相似图形，具有位似中心；

       ②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比.

相似三角形（基础训练）   

一、    选择题（每题2分，共30分）

1.  已知      ，则下列式子中正确的是（  ）

A.a:b=c²：d²   B.a:d=c:d   C.a:b=(a+c):(b+d)   D.a:b=(a-d):(b-d)

2. 一个运动场的实际面积是6400m²，那么它在比例尺1:1000的地图上的面积是（   ）

   A.6.4cm²       B.640cm²     C.64cm²     D.8cm²

3. 测得线段AB=2.8m，CD=310cm，则线段AB与CD的比为（   ）

                  

4. 已知线段d是线段b、c、a的第四比例项，其中a=5cm,b=2cm,c=4cm,则d等于（   ）

A.1cm     B.10cm     C.2.5cm     D.1.6cm

5. ①如果线段d是线段a、b、c的第四比例项，则有      ；

   ②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项；

   ③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，那么AC是AB与BC的比例中项；

   ④如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=2，则AC=      .

其中正确的判断有（   ）

A.1个     B.2个     C.3个     D.4个

6. 如图，DE∥BC,在下列比式中，不能成立的是（   ）

               

7. 下列图形中相似的多边形是（   ）

A.所有的矩形         B.所有的菱形    

C.所有的正方形       D.所有的等腰梯形

8. 下列判断中，正确的是（   ）

A.各有一个角时67°的两个等腰三角形相似；    

B.邻边之比都为2:1的两个等腰三角形相似；    

C.各有一个角时45°的两个等腰三角形相似；

D.邻边之比都为2:3的两个等腰三角形相似.

9.  在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则△ABC中相似三角形共有（   ）

A.1对     B.2对     C.3对     D.4对

10. 点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，则S△ADE:S△ABC=（   ）

A.1:2     B.1:3     C.1:4     D.1:√2

11.                                    ，则k=（   ）

A.2     B.-1     C.2或-1     D.无法确定

12. 下列说法正确的是（   ）

A.两位似图形的面积比等于位似比；

B.位似图形的周长之比等于位似比的平方；

C.分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形；     A.     B.     C.     D.

D.位似多边形中对应对角线之比等于位似比

13. 如果一个直角三角形的两条直角边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（   ）

A.只有1个     B.可以有2个    C.有2个以上，但有限     D.有无数个

14. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=√6，AC=3，则CD的长为(   )

A.1         B.          C.2           D.     

15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，且AD⊥BD=9:4，则AC:BC的值为（   ）

A.9:4     B. 9:2    C.3:4     D.3:2 

二、    填空题（每题2分，共20分）

16.                    _____,      _____.

17. 如果x:y:z=1:3:5,那么          _____.

18. E、F为线段AB的黄金分割点，已知AB=10cm，则EF的长度为_____cm.

19. 在阳光下，身高1.68m的小强在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗在地面上的影长为18m.则旗杆的高度为_____（精确到0.1m）.

20. 两个相似三角形对应高的比为1:√2,则它们的周长之比为_____;面积之比为_____.

21. △ABC的三边长分别为√5、√10、√15，△      的两边长分别为1和√2，如果△ABC∽△       ，那么△       的第三边长为_____.

22. 如图，在平行四边形ABCD中，延长AB到E,

使AB=2BE，延长CD到F，使DF=DC，EF交BC于G，

交AD于H.则S△BEG:S△CFG=______.

23. 如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，

梯脚B距墙1.4m，梯墙一点D距强1.2m，       

BD长0.5m，则梯长为_____.

                                       （23题）        (24题)

24. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则△BAE相似于______.

25. 如图，在△ABC中，M、N是AB、BC的中点，      

AN、CM交于点O，那么△MOC∽△AOC面积的比为_____.

三、作图题（5分）

26. 三角形的顶点坐标分别是A（2,2），B(4,2)，C(6,4)，试将△ABC缩小，使缩小后的△DEF与△ABC的对应边比为1:2，并且直接写出点D、E、F的坐标.

四、解答题（27题、28题5分，29题10分，共20分）

27. 如图，DE∥BC，DF∥AC，AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm，

求线段BF的长.

28. 如图，已知△ABC中，AE:EB=1:3，BD:DC=2:1,AD与CE相交于F.

求         的值.

29.如图，已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC.取AB的中点F，连接FD交AC于点E.

（1）求     的值

（2）若AB=a,FB=EC，求AC的长.

五、证明题（30题5分，31题、32题10分，共25分）

30.如图，平行四边形ABCD中，过A作直线交BD于P，交BC于Q，交DC的延长线于R.

求证：AP²=PQ·PR.

31. 如图，△ACB中，∠ACB=90°，D在BC边上，连AD，过B作BE⊥AB，∠BAE=∠CAD，过E作EF⊥CB于F.

求证：BF=CD.

32. 如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F.

（1）求证：△CEB≌△ADC；

（2）若AD=9㎝，DE=6㎝，求BE及EF的长.