相似三角形题型总结

一、填空

1、已知:.(1)当a=1时,b=___,c=____. (2).当a≠0时 ,=_______.

2.两个三角形的周长之和为20,且这两个三角形的相似比为3.(1)则它们的面积比为_____.

(2)它们的周长分别为_____,_____.

                                                      

3、、已知点C为线段AB的黄金分割点且AB = 2，则AC ≈                     ；线段2cm、8cm的比例中项为      cm．

4、如图所示，已知第一个三角形周长为1，依次取三角形三边中点画三角形，在第n个图形中，最小三角形的周长是               。

                                                                       

                                                                       

                                                                          

                                                                         

                                     

                                      

       （ n=1）                 (n=2)                      (n=3)

5．如图，点P是RtΔABC斜边AB上的任意一点（A、B两点除外）过点P作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC相似，这样的直线可以作　　　条．

                                                                                              

         5题图

6、如图，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P，使得以P，A，D为顶点的三角形以P，B，C的顶点的三角形相似，这样的点P有              个。

7、如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为               。

8、如图，ΔABC与ΔDEF是位似三角形，且AC＝2DF，则OE∶OB＝　　　　．

二、选择题

1、过三角形一边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画这样的直线的条数是    (      )

A  1条   B  2条   C  3条    D  4条

2、在相似三角形中,已知其中一个三角形三边的长是4,6,8,另一个三角形的一边长是2,则另一个三角形的周长是    (    )

A  4.5   B  6   C  9   D  以上答案都有可能

3．如图，正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，AF与DE相交于点O，则等于（  ）．

A．         B．         C．          D．

                           

     3题图

4、如图，已知ΔABC和ΔABD都是⊙O的内接三角形，AC和BD相交于点E，则与ΔADE相似的三角形是（　　）

　A．ΔBCE　　　B．ΔABC　　　　C．ΔABD　　　　D．ΔABE

三、解答题

1、已知△ABC中，AC=10，AB=16，问在AB边上是否存在这样的点P，使△APC∽△ACB，若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由．

                     1题图                         2题图

2、已知∠ACB=∠CBD=90°，且BD=a，BC=b，当AC与a，b满足什么关系时，△ACB∽△CBD？

3、如图，A，B两村在河L的同侧，A，B到河L的距离分别为1.5km和2km，AB=1.3km，现要在河边建一供水厂，同时向A，B两村供水．若铺设水管的工程费用为每千米1.8万元，问水厂与A村的水平距离为多远时，能使铺设费用最省，并求出总费用约多少万元．

                                                 3题图                                    4题图

4、如图，已知五边形A＇B＇C＇D＇E＇是五边形ABCDE的位似图形，但被小明擦去了一部分，你能将它补完整吗？

6、阅读以下文字并解答问题：

在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：

小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．

小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．                  

小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．

小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1．6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m．

 

（1）在横线上直接填写甲树的高度为         米．

（2）求出乙树的高度（画出示意图）．

（3）请选择丙树的高度为                                （     ）

A、6.5米               B、5.75米            C、6.05米           D、7.25米

（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看．

7、如图所示,小华在晚上由路灯A走向路灯B,当他走到点P时, 发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部,当他向前再步行12m到达点Q时, 发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部,已知小华的身高是1.6m,两个路灯的高度都是9.6m,且AP=QB.

­  (1)求两个路灯之间的距离;

­  (2)当小华走到路灯B时,他在路灯A下的影长是多少?

选做题：

1、在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P′在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．

（1）填空：

  ①如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，

再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（            ，       ）；

②如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换，

得到△ADE，则线段BD的长为                      cm；

（2）如图3，分别以锐角三角形ABC的三边AB，BC，CA为

边向外作正方形ADEB，BFCG，CHIA，点O₁，O₂，O₃分别是

这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO₁O₃与△A BI，

△CIB与△CAO₂之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明

线段O₁O₃与AO₂之间的关系．

2、阅读：如图1把两块全等的含45°的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q,易说明△APD∽△CDQ．

猜想（1）：如图2，将含30°的三角板DEF（其中∠EDF=30°）的锐角顶点D与等腰三角形ABC（其中∠ABC = 120°）的底边中点O重合，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q．写出图中的相似三角形               （直接填在横线上）；

验证（2）：其它条件不变，将三角板DEF旋转至两边分别与线段AB的延长线、边BC相交于点P、Q．上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形,并说明理由．

连结PQ，△APD与△DPQ是否相似？为什么?

探究（3）：根据（1）（2）的解答过程，你能将两三角板改为一个更为一般的条件，使得（1）

第二篇：相似三角形专题小结

《相似三角形》专题  小结与练习

班级_______________姓名 _____________得分______________

课前导语

1、  全等与相似是初中平面几何中的两大支柱，全等是基础，相似是在全等的基础上的拓广和发展。

2、  相似是深圳中考中必考的知识点，多以中档题或压轴题的题型出现。

知识回顾

(1)判别

1如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角 _______________，那么这两个三角形相似

                                          

                                               ∠A =  A′      

∵     ∠B = ∠B′  ∴ △ABC∽△ A′B′C′

          

        

2如果一个三角形两条边分别与另一个三角形的两条边__________，并且______相等，那么这两个三角形相似

 

                                                 ∠A =  A′ 

∵        ∴ △ABC∽△ A′B′C′                                                    

3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边 ____________，那么这两个三角形相似

                                                

∵    ∴  △ABC∽△ A′B′C′

（2）性质

如果两个三角形相似，则：1它们的__________成比例, ________相等；

2它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于___________；

3它们的周长比等于____________，面积比等于______________。

简单应用

1、 如果△AFE∽△BDC,那么：DC=_________ ;  AF=_______ ;    ∠F=_______ ;  ∠BDC=_________    

2、 某班同学想测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，测得某一同学的身高为1.5米，影长为1米，旗杆的影长为8米，则旗杆的高度为______________

解题过程：

3、 两个相似三角形的周长比为2∶3，那么它们的对应中线比为_________，面积比为___________

4、如果两个相似三角形的相似比为1：3，这两个三角形的面积和是50,求最小的三角形的面积是__________

解题过程：

 

5、下图中每个小正方形的边长均为1，则与右图中△ABC相似的三角形是________,

 

相似当中几种常见的重要模型

（1）平行型：（A型， X型）                (2)交错型：

                                              

（3）旋转型                            （4）母子型  （双垂直）

 

针对性练习

1、  如左下图：已知DE∥BC，AD＝5cm，DB＝3cm, BC=9cm,∠B=50°, 则（1）∠ADE=______°；DE=_______________ ；s△ADE: s△ABC=______________

第1题图

2、如图，请添加一个条件：______________   使得DAEF和DACB相似  (开放题)

3、如图，∠B=∠D, 你能证明AC·DC=BC·EC吗？

4、  如右图:在Rt△ABC中，∠ACB=90°, CD⊥AB，

(1)你能找出图中所有相似的三角形 吗？

 (2)若AC=6,AB=10, 则BC=_________BD=__________  

第4题图

走近中考前沿

1、（2006北京市中考试题）已知△ABC∽△DEF,若∠A=55°, ∠B=100°,则∠F=(    ) °

A、55             B、100           C、25             D、30

2、（2008绍兴中考试题）如果△ABC各边之比为2：5：6，与其相似的△ A′B′C′的最长边为18 cm，

那么它的最小边为____________ cm      

A、4             B、6            C、8                D、10

3、（深圳中考）如图，王华晚上由路灯下的处走到处时， 测得影子孙的长为1米，继续往前走3米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度是多少？