【人教版】初中数学九年级知识点总结：27相似

【编者按】相似以及相似三角形是初中数学的基础内容，也是重要内容，运用相似三角形求解线段和角的问题是常见题型。通过本章内容对相似三角形的学习，培养学生认识和观察事物的能力和利用所学知识解决实际问题的能力。

一、目标与要求

1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．
3．通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义, 领会特殊与一般的关系．
4．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．
5．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．
6．通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系．

二、知识框架

                                                                   

三、重点、难点

1．理解并相似三角形的判定与性质

2．位似图形的有关概念、性质与作图．

3．利用位似将一个图形放大或缩小．

4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．

5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．

四、知识点、概念总结

1.相似：

每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形。

相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．

若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．

2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形

相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。

成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

黄金分割：用一点P将一条线段AB分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。这种分割称为黄金分割，分割点P叫做线段AB的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。

3.相似三角形的判定方法:

根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）
　 1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；
　 2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；
　 3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；
　 4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；

4.直角三角形相似判定定理:
　1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
　2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

5. 一定相似的三角形

（1）两个全等的三角形一定相似。（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1）

（2）两个等腰直角三角形一定相似（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。）

（3）两个等边三角形一定相似。

6. 三角形相似的判定定理推论

推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

7. 相似的性质

（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例。

（2）相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

（3）相似三角形周长的比等于相似比。

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

（5）相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方

（6）若a:c =c:b，即c²=ab,则c叫做a,b的比例中项

（7）c/d=a/b 等同于ad=bc.

9.相似的应用：位似

（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．

（2）掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．

（3）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．

（4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．

（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题．作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。

（参考教材：初中数学九年级人教版）

第二篇：【人教版】初中数学九年级知识点总结：29投影与视图

【人教版】初中数学九年级知识点总结：29投影与视图

【编者按】本章中我们将了解投影的基础知识，并借助投影的原理认识视图，然后进一步讨论：如何由立体图画出三视图，如何由三视图想象出立体图。通过本章学习，要求学生经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念；会画事物的三视图，学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。

一、目标与要求

通过本章知识点的归纳总结，同学们应该熟练掌握以下内容。

1.会从投影的角度理解视图的概念

2.会画简单几何体的三视图

3.通过观察探究等活动使学生知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图中位置关系、大小关系

4.明确正投影与三视图的关系

5.经历探索简单立体图形的三视图的画法，能识别物体的三视图

6.培养动手实践能力，发展空间想象能力。

二、知识框架

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三、重点、难点

重点：从投影的角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图，能够做出简单立体图形的三视图的画法。

难点：对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图，三视图中三个位置关系的理解。

四、知识点、概念总结

1.投影：从初中数学的角度来说，一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影。

中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影。

平行投影与中心投影的区别与联系：

正投影：投影线垂直于投影面产生的投影。物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关。

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斜投影：投影线不平行于投影面产生的投影。

2.三视图：三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。

视图：将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。

一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——

能反映物体的前面形状。

从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形

状。

从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形

状。还有其它三个视图不是很常用。

三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。

3. 投影规则：主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等 即：

主视图和俯视图的长要相等

主视图和左视图的高要相等

左视图和俯视图的宽要相等。

在许多情况下，只用一个投影不加任何注解，是不能完整清晰地表达和确

定形体的形状和结构的。如图所示，三个形体在同一个方向的投影完全相同，但三个形体的空间结构却不相同。可见只用一个方向的投影来表达形体形状是不行的。一般必须将形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。

一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。

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4. 三视图-画法：在画组合体三视图之前，首先运用形体分析法把组合体分解为若干个形体，确定它们的组合形式，判断形体间邻接表面是否处于共面、相切和相交的特殊位置；然后逐个画出形体的三视图；最后对组合体中的垂直面、一般位置面、邻接表面处于共面、相切或相交位置的面、线进行投影分析。当组合体中出现不完整形体、组合柱或复合形体相贯时，可用恢复原形法进行分析。 （1）进行形体分析

把组合体分解为若干形体，并确定它们的组合形式，以及相邻表面间的相互位置，

（2）确定主视图

三视图中，主视图是最主要的视图。

a.确定放置位置

要确定主视投影方向，首先解决放置问题。选择组合体的放置位置以自然平稳为原则。并使组合体的表面相对于投影面尽可能多地处于平行或垂直的位置。

b.确定主视投影方向

选最能反映组合体的形体特征及各个基本体之间的相互位置，并能减少俯、左视图上虚线的那个方向，作为主视图投影方向。图9-10(a)中箭头所指的方向，即为选定的主视图投影方向。

（3）选比例，定图幅

画图时，尽量选用1:1的比例。这样既便于直接估量组合体的大小，也便于画图。按选定的比例，根据组合体长、宽、高预测出三个视图所占的面积，并在视图之间留出标注尺寸的位置和适当的间距，据此选用合适的标准图幅。

（4）布图、画基准线

先固定图纸，然后，画出各视图的基准线。每个视图在图纸上的具体位置就确定了。基准线是指画图时测量尺寸的基准，每个视图需要确定两个方向的基准线。一般常用对称中心线，轴线和较大的平面作为基准线，

逐个画出各形体的三视图

（5）画法

根据各形体的投影规律，逐个画出形体的三视图。画形体的顺序：一般先实（实形体）后空（挖去的形体）；先大（大形体）后小（小形体）；先画轮廓，后画细节。画每个形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征的视图画起，再按投影规律画出其他两个视图。对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线，回转体一定要画出轴线。对称中心线和轴线用细点划线画出。 （参考教材：初中数学九年级人教版）

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