解三角形

一．正弦定理：

===2R，其中R是三角形外接圆半径.

正弦定理的如下变形常在解题中用到

1.(1)   a=2RsinA

  (2)   b=2RsinB

  (3)   c=2RsinC

2.(1)   sinA=a/2R

  (2)   sinB=b/2R

  (3)   sinC=c/2R

3.a：b：c=sinA：sinB:sinC

适用类型

（1）AAS

（2）SSA

二．余弦定理：

1.                a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosA  

2.                b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB  

3.                c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC  

余弦定理的如下变形常在解题中用到

1.                cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)  

2.                cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c)  

3.                cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c）

适用类型

1.SSA

2.SAS

3.SSS

三．余弦定理和正弦定理的面积公式

S_△ABC=absinC=bcsinA=acsinB

（常用类型：已知三角形两边及其夹角）

判断解的个数

判断三角形的形状

有两种途径：

（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解

（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解

三．解三角形的实际应用

测量中相关的名称术语

仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。

俯角：  视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角

方向角：从指定方向线到目标方向的水平角

测距离的应用

测高的应用

(一)已知两角及一边解三角形

例1　已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.

∠B=180°-30°-45°=105°

a=10sin45°/sin30°=10√2

sin105°=sin(60+45)=√2/2(√3/2+1/2)=(√6+√2)/4

1/sin105=√6-√2

b=10sin45°/sin105°=5√2(√6-√2)=10(√3-1)

（二）已知两边和其中一边对角解三角形

例2　在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b=√6，A=45°，求边长C

由余弦定理，得

b²+c²-2bccosA-a²=0

6+c²-2√3c-12=0

c²-2√3c-6=0

根据求根公式，得

c=√3±3

又c>0

所以c=3+√3

（三）已知两边及夹角，解三角形

例3　△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，角C和边a.

解：由余弦定理
得
∴a²-9a+18=0，得a=3或6
当a=3时，A=30°，
∴C=120°
当a=6时，由正弦定理
∴A=90°
∴C=60°。

例四：在△ABC中，若∠B=30°, AB=2, AC=2, 则△ABC的面积是         

解：由，
∴，
∴C=60°或120°，
当C=60°时，A=90°，S_△ABC=；
当C=120°时，A=30°，S_△ABC=AB·ACsinA。

例五.判断三角形的形状

（1）正弦定理判断

在△ABC中，若a²tanB＝b²tanA，试判断△ABC的形状．

解：sin^2A*sinB/cosB=sin^2B*sinA/cosA.

∵sinA≠0,cosB≠0,∴等式两边同约去sinA*sinB公因式。

∴sinA/cosB=sinB/cosA.

sinAcosA=sinBcosB.

∵sinAcosA=(1/2)*(2sinAcosA)=(1/2)sin2A.【2sinAcosA=sin2A(公式)】

同理，sinBsinB=(1/2)*2sinBcosB=(1/2)sin2B.

∴（1/2)sin2A=(1/2)sin2B. 【两边约去（1/2)]】后得：

∴sin2A=sin2B.

2A=2B.（1）；sin2A=sin(180°-2B)  (2) 【同名三角函数值相等，其角度相等，或互补】

由（1)式得： A=B.

∴△ABC为等腰三角形；

由(2)式得：2A=180-2B,2A+2B=180°,A+B=90°.

∴△ABC为直角三角形。

（2）余弦定理判断

在△ABC中，若b²sin²C＋c²sin²B＝2bccosBcosC，试判断三角形的形状．

由正弦定理得sin2C/c2=sin2B/b2得b2sin2C=c2sin2B
sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC
∵ sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,
即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90°, A=90°,
故△ABC是直角三角形.

例六 判断解得个数

不解三角形，判断下列三角形的解的个数：
（1）a=5,b=4,A=120度

有一解
（2）a=7,b=14,A=150度

无解
（3）a=9,b=10,A=60度

有两解
（4）c=50,b=72,C=135度

无解

例七

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则OQ≤10t+60.

由余弦定理知OQ²=PQ²+PO²-2PQ·PO cos∠OPQ.由于PO=300,PQ=20t,

cos∠OPQ=cos(θ-45°)=cosθcos45°+sinθsin45°=.

=20²t²-9600t+300².

∴20²t²-9600t+300²≤(10t+60)².

即t²-36t+288≤0,解得12≤t≤24.

故12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

例八。某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

例九。如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是（ D ）

A.20   B.20   C.40   D.20

例十如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。

由A向BC作垂线，垂足为E，

∵AB=AC

∴BE= 1 2 BC= 3

∵AB=2

∴cosB= BE   AB =  3       2

∴B=30°

∴AE=BE?tan30°=1

∵∠ADC=45°

∴AD= AE     sin∠ADC = 2

故答案为： 2

                                                       

第二篇：三解三促个人总结

“三解三促”活动个人总结

卞建英

为深入贯彻实践科学发展观，深入推进创先争优活动，融合党群干群关系，我院在党员中广泛开展了“三解三促”活动，每位党员和一名群众“结对子”，切实帮助和解决实际困难。

作为一名教师党员，我与尚德光伏学院光电1103班范广东“结对子”，在实际的交流、帮扶和共同学习期间，收获了一定的心得体会。

首先，我和“结对子”对象一起认真学习了“三解三促”活动的重要意义，思想上重视起来。从20xx年x月份开始至今，我们坚持每个月进行一次谈话交流，以便及时沟通，相互了解存在的困难和问题，从而能够及时解决这些问题。在实际的学习和工作中，我们相互帮助，共同解决实际困难。“结对”过程中，我们共解决了4件实际问题：帮助该同学解决异地生活习惯上的困难；帮助他思想上、行动上积极向党组织靠拢；帮助该同学解决学生干部工作与学习上的矛盾；和他一起学习“十八大”的重要精神，并以此来指导我们的工作、学习。在此期间，我们都得到了相互很大的帮助，使党群关系得到了很好的融合。同时，结对对象也表示要在今后的实际工作中认真践行科学发展观，积极向党组织靠拢，争取早日加入中国共 产 党。

密切联系群众是我党一贯优良作风，“三解三促”活动只是个开始，我们应当将其精神坚持下去。我们要以开展“三解三促”活动为契机，深入到学生中去，促进干群关系和谐，将密切联系群众制度化常规化，更多地了解社情民意，更多地帮助基层解决实际问题，从而进一步密切党群干群关系，更好地促进社会和谐发展。

20xx年x月