立体几何知识点总结
1．棱柱、棱锥、棱（圆）台的本质特征
⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面平行且全等），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都平行且相等）。
⑵棱锥：①有一个面（即底面）是多边形，②其余各面（即侧面）是有一个公共顶点的三角形。
⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点，②两底面是平行且相似的多边形。
⑷圆台：①平行于底面的截面都是圆，②过轴的截面都是全等的等腰梯形，③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点。
2．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式
3.线线平行常用方法总结
（1）定义：在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。
（2）公理：在空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行。
（3）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。
（4）线面垂直的性质：如果两条直线同时垂直于同一平面，那么两直线平行。
（5）面面平行的性质：若两个平行平面同时与第三个平面相交，那么两条交线平行。
4.线面平行的判定方法。
（1）定义：直线和平面没有公共点。
（2）判定定理：若不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（3）面面平行的性质：两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。
（4）线面垂直的性质：平面外于已知平面的垂线垂直的直线平行于已知平面。
5.判定两平面平行的方法。
（1）依定义采用反证法；
（2）利用判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（3）利用判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面内的两条直线，则这两平面平行。
（4）垂直于同一条直线的两个平面平行。
（5）平行于同一个平面的两个平面平行。
6.证明线线垂直的方法
（1）利用定义。
（2）线面垂直的性质：如果一条直线垂直于这个平面，那么这条直线垂直于这个平面的任何一条直线。
7.证明线面垂直的方法
（1）线面垂直的定义。
（2）线面垂直的判定定理1：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，那么，这条直线与这个平面垂直。
（3）线面垂直的判定定理2：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于平面。
（4）面面垂直的性质：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
（5）若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，那么这条直线必定垂直于另一个平面。
8.判定两个平面垂直的方法
（1）利用定义。
（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。
9．其他定理
夹在两平行平面之间的平行线段相等。
经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行。
两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。
10．空间直线和平面的位置关系
直线与平面相交、直线在平面内、直线与平面平行
直线在平面外——直线和平面相交或平行，记作aα包括a∩α=A和a∥α
11．空间平面与平面的位置关系
⑶垂直于同一个平面的所有直线（即平面的垂线）互相平行；
⑷垂直于同一条直线的所有平面（即直线的垂面）互相平行。
空间向量在立体几何中的应用
1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．
对于垂直问题，一般是利用
进行证明；
对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．
2.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式
。
要点诠释：
平面的法向量的求法：
设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面
的一个法向量（如图）。
线线角的求法：
设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为
。
（注意：线线角的范围[00,900]）
线面角的求法：
设n是平面的法向量，
是直线
的方向向量，则直线与平面所成的角为
（如图）。
二面角的求法：
设n1，n2分别是二面角
的两个面，
的法向量，则
就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）
3.用向量法求距离的公式
设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为
（如图）。
要点诠释：
（1）点A到平面的距离：
，其中
，
是平面的法向量。
（2）直线
与平面之间的距离：
，其中
，是平面的法向量。
（3）两平行平面
之间的距离：
，其中
， 是平面的法向量。
第二篇：高一立体几何知识点总结(学生版)
第二章知识点总结 一、平面
通常用一个平行四边形来表示.
平面常用希腊字母α、β、γ?或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.
在立体几何中，大写字母A，B，C，?表示点，小写字母，a,b,c,?l,m,n,?表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：
a) A∈l—点A在直线l上；A?α—点A不在平面α内；
b) l?α—直线l在平面α内；
c) a?α—直线a不在平面α内；
d) l∩m=A—直线l与直线m相交于A点；
e) α∩l=A—平面α与直线l交于A点；
f) α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l. 二、平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.
根据上面的公理，可得以下推论.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行
)
直线在平面内—有无数个公共点
(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点
直线在平面外相交—有且只有一公共点
(3)平面与平面(无数个公共点)
五、异面直线的判定
证明两条直线是异面直线通常采用反证法.
有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.
六、线面平行与垂直的判定
(1)两直线平行的判定
①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.
②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ
④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b（线面垂直的性质定理）
⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b（面面平行的性质公理）
⑥中位线定理、平行四边形、比例线段??，α∩β=b,则a∥b.（线面平行的判定定理）
③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.（公理4）
(2)两直线垂直的判定
①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.
②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c
③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b?α，a⊥b.
④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.
⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.
(3)直线与平面平行的判定
①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.
②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a?α,b?α，a∥b,则a∥α.（线面平行的判定定理）
③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l?α，则l∥β.
练习、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M,N分别是SA,BD上的点，且
求证：MN//平面SBC
(4)直线与平面垂直的判定
①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m?α，n?α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.（线面垂直判定定理）
③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α. ④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.
⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l?β，l⊥a,则l⊥α.(面面垂直的性质定理)
练习、已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．
（1）求证：EF⊥平面GMC．
（2）若AB＝4，GC＝2，求点B到平面EFG的距离
AMBN=， SMNDC
内心：到四个面的距离相等
外心：到四个顶点的距离相等
垂心：四个顶点到底面的高的交点
重心：顶点与底面重心的连线的交点
(5)两平面平行的判定
①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点?α∥β.
②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b?α，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.（面面平行判定定理）
推论：一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b?α,c,d?β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.
(6)两平面垂直的判定
①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°?α⊥β.
②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l?α，则α⊥β. （面面垂直判定定理）
七、空间中的各种角
等角定理及其推论
定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.
推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
1、异面直线所成的角
(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
(2)取值范围：0°＜θ≤90°.
(3)求解方法
①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；
②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.
2、直线和平面所成的角——斜线和射影所成的锐角
(1)取值范围0°≤θ≤90°
(2)求解方法
①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.
②解含θ的三角形，求出其大小.
3、二面角及二面角的平面角
(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.
(2)二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.
若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.
二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是
0°＜θ≤180°
(3)二面角的平面角
①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.
②二面角的平面角具有下列性质：
(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.
(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延
长线)上.
(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.
③找(或作)二面角的平面角的主要方法.
(i)定义法
(ii)垂面法
(iii)三垂线法
(Ⅳ)根据特殊图形的性质
(4)求二面角大小的常见方法
先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.
练习、在正四面体ABCD中，E为AD的中点，求直线CE与平面BCD所成角的正弦值.
八.空间的各种距离
点到平面的距离
(1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
(2)求点面距离常用的方法：
1)直接利用定义求
①找到(或作出)表示距离的线段；
②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.
2)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=1S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构3
造合适的三棱锥以便于计算.
直线和平面的距离、平行平面的距离
将线面、面面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.
