西安石油大学

课 程 设 计

电子工程  学院自动化  专业

自动化0802班

题    目       根轨迹法校正              

学    生         周金慧                  

指导老师         霍爱清                 

     二零一零年十二月

                                                                             目录

1.1课程设计任务书... 2

2.1 课程设计的题目... 3

2.2 设计思想及内容... 3

2.3编制的程序... 8

2.4设计结论... 8

2.5设计总结... 8

参考文献... 8

《自动控制理论I 》

               课程设计任务书

自动控制理论课程设计

2.1 课程设计的题目

6.已知某系统的开环传递函数为：                   试用bode图设计法对系统进行超前-滞后串联校正设计，使之满足：

                （1）在单位斜坡信号r(t)作用下，系统的速度误差系数       

（2)系统校正后剪切频率

    （3）系统校正后相角稳定裕度；。

    （4）计算校正后系统的时域指标：。

2.2 设计思想及内容

设计思想：

当系统的性能指标给定为时域指标（如超调量、阻尼系数、自然频率等）时用根轨迹法对系统进行校正比较方便。这是因为系统的动态性能取决于它闭环零、极点在S平面上的分布。

      因此，根轨迹法校正的特点就是：如何选择控制器的零、极点，去促使系统的根轨迹朝有利于提高系统性能的方向变化，从而满足设计要求。

设计内容：

(1) 求校正装置的放大系数

      根据已知条件  放大系数rad/s

      则该系统的开环传函可写为 

  (2)校验原系统的阶跃响应超调量是否满足要求.

用以下程序绘制未校正系统的Bode图与单位阶跃响应曲线。

   

k=10 ;  n1=1;                               %由稳态误差求得；

d1=conv(conv([1 0],[1 1]),[0.5 1]);         %分子用conv表示卷积；       

 s1=tf(k*n1,d1);                             %转换成传递函数；

  figure(1);margin(s1);hold on                %绘制Bode图；

   figure(2);sys=feedback(s1,1);step(sys)      %绘制系统阶跃响应；

 sisotool(s1)                                 %绘制根轨迹

程序运行后，可得到下图所示未校正系统的Bode图和阶跃给定响应曲线。

图1 未校正系统的Bode图

由图可知系统的频域性能指标：

幅值稳定裕度：dB     rad/s

相角稳定裕度：          剪切频率：rad/s

图2 未校正系统的阶跃响应曲线

由图可知系统的时域指标均未达到要求。

 

              图3 系统未校正的根轨迹图

（3）由期望极点位置确定校正装置传递函数

为使系统时域性能指标达到要求，需确定期望闭环主导极点的位置；设计系统参数达到题目要求，添加零、极点到根轨迹上，调节主导极点位置达到理想位置，得校正后系统的Bode图和单位阶跃响应曲线。

图4 校正后系统的Bode图

校正后系统的频域性能指标：

 幅值稳定裕度：dB     rad/s

相角稳定裕度：          剪切频率： rad/s

相角稳定裕度：  

剪切频率：=rad/s

已达到题目要求。

图5 校正后的阶跃响应曲线

由图可知校正后的时域性能指标：             

已达到题目要求。

添加的零极点:

图6 添加的零极点图

 所以系统的校正装置传递函数为:

2.3编制的程序

k=10 ;  n1=1;                               %由稳态误差求得；

d1=conv(conv([1 0],[1 1]),[0.5 1]);         %分子用conv表示卷积；       

 s1=tf(k*n1,d1);                             %转换成传递函数；

  figure(1);margin(s1);hold on                %绘制Bode图；

   figure(2);sys=feedback(s1,1);step(sys)      %绘制系统阶跃响应；

 sisotool(s1)                                 %绘制根轨迹

2.4设计结论

时域性能品质指标均已基本达到题目要求。

2.5设计总结

在本次课程设计中，我了解并掌握了在Matlab环境下建立系统模型以及按照要求实现控制系统的根轨迹的设计。 利用Matlab绘制根轨迹，可以使绘制的图形更加准确，而且可以通过改变参数来调节根轨迹的主导极点使其达到理想状态。

参考文献

薛朝妹，霍爱清．《自动控制理论》课程设计指导书．西安：西安石油大学电子工程学院，2007

第二篇：自控课设——高阶系统时域分析

武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书

目 录

1系统稳定性分析....................................................2

2单位阶跃响应......................................................4

2.1求单位阶跃响应................................................4

2.2系统性能分析..................................................5

3单位斜坡响应......................................................6

3.1求单位斜坡响应................................................6

3.2系统性能分析..................................................7

4单位加速度响应....................................................8

4.1求单位加速度响应..............................................8

4.2系统性能分析..................................................9

5系统根轨迹........................................................9

6心得体会.........................................................11

参考文献...........................................................12

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武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书

高阶系统时域分析

1 系统稳定性分析

任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。所谓稳定性，是指系统在扰动消失之后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件无关。线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均位于S左半平面。

对于高阶系统，要计算出全部特征根一般来说都很不方便。利用劳斯—赫尔维茨判据则不必求出特征根，就可以方便的判断出系统稳定性。给定系统的闭环特征方程为：D(s)=s4+(4+a)s3+(8+4a)s2+(8a+K)s+Kb=0，由此可列出劳斯表如表1所示。

表1 劳斯表

按照劳斯稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件为：劳斯表中第一列各值均为正。否则系统就不稳定，且第一列各系数符号改变次数即为特征方程正实部根的数目。

当K=10，a=1，b=4时，可得到系统闭环传递函数为：

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武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书

Φ(s)=10(s+4) s4+5s3+12s2+18s+40

此时系统的闭环特征方程为：D(s)=s4+5s3+12s2+18s+40=0. 按劳斯判据可以列出如下劳斯表（表2）：

表2

由于劳斯表第一列数值符号有两次变化，故系统不稳定，且存在2个正实部根。用MATLAB求出全部特征根如下：

>> y=roots([1 5 12 18 40])

y =

-2.6823 + 1.6526i

-2.6823 - 1.6526i

0.1823 + 1.9992i

0.1823 - 1.9992i

由此结果可以发现与劳斯判据的结果一致。闭环系统此时不稳定必须对参数加以修改。根据劳斯判据，令表1中第一列全为正。

?4+a>0?(4+a)(8+4a)?(8a+K)?>04+a?? 2[(4a)(84a)(8aK)](8aK)Kb(a4)++?++?+?>0?(4+a)(8+4a)?(8a+K)??Kb>0

即K、a和b必须满足下式：

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?4+a>0?2?4a+16a+32?K>0?3 22aKKbaKKbaKKbK32+(128+4?)+(256+8?8)+32?16?>0??Kb>0?

该系统才能稳定。因此重新为系统参数赋值：K=15 ，a=b此时系统由四阶变为三阶，开环传递函数变为

Φ(s)=15(s+2)15= 4322s+6s+16s+31s+30(s+3)(s+s+5)

经分析可知，此时K、a、b的值满足要求，系统稳定。

2单位阶跃响应

2.1求单位阶跃响应

单位阶跃响指的是系统在单位阶跃信号r(t)=1(t)作用下的响应。取其拉氏

变换即R(s)=1/s。此时，系统输出为:

115(s+2)15C(s)=R(s)?Φ(s)=?4= 322ss+6s+16s+31s+30s(s+3)(s+s+5)

对上式进行部分分式展开：

10.45450.5455s+1.9092 C(s)=??2ss+3s+s+5

对部分分式进行拉普拉斯反变换，并设初始条件全部为零，即得系统的单位

阶跃响应：

c(t)=L?1[C(s)]=1?0.4545e?3t?0.5455e?0.5tcos(2.1794t)?0.7509e?0.5tsin(2.1794t)

对于一般的高阶系统来说，用这种方法来求取单位阶跃响应都比较麻烦，有

时候甚至很难完成。但利用MATLAB软件则可以很方便的得到响应，并绘制出响应曲线。单位阶跃响应曲线绘制程序如下：

Gp=tf([15],[1 4 8 0]); %建立开环传递函数

sys=feedback(Gp,1,-1); %建立单位负反馈的闭环传递函数

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step(sys)； %绘制单位阶跃响应曲线

title('单位阶跃响应')； %添加曲线标题

xlabel('t')；ylabel('c(t)')； %添加坐标轴标注

grid %添加栅格

图1 单位阶跃响应曲线

2.2系统性能分析

由MATLAB绘制的曲线（如图1）上可以直接读出系统的一些动态性能参数。 延迟时间td=0.78s；峰值时间tp=1.8s；超调量δ%=37.1%；若取终值的10%到90%，则上升时间tr=0.694s，若取终值从0到100%，则上升时间tr=1.17s；若取2%的误差带，则调节时间ts=7.66s，若取5%的误差带，则调节时间ts=5.12s。 系统的稳态性能指标指的是当时间t→∞时，系统输出响应值。为了方便起见，一般可以使用静态误差系数法。由K=15，a=b时的开环传递函数可知υ=1，该系统为Ⅰ型系统，其静态位置误差系数为：

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Kp=limGp(s)=lims→0s→015=∞ 2s(s+4s+8)

所以单位阶跃输入作用下系统的稳态误差：

ess(∞)=1=0 1+Kp

3单位斜坡响应

3.1求单位斜坡响应

单位斜坡响指的是系统在单位斜坡信号r(t)=t作用下的响应。取其拉氏变换 R(s)= 1/S2。此时，系统输出为:

C(s)=R(s)?Φ(s)=

展开为部分分式： 15 s2(s+3)(s2+s+5)

C(s)=10.53330.15150.3818s?0.1636?++ 2sss+3s2+s+5

对部分分式进行拉普拉斯反变换，并设初始条件全部为零，得系统的单位斜坡响应：

c(t)=t?0.5333+0.1515e?3t+0.3818e?0.5tcos(2.1794t)?0.1627e?0.5tsin(2.1794t) 利用MATLAB软件绘制该系统在单位斜坡响应曲线。由于MATLAB没有专用的单位斜坡响应函数，故使用任意输入响应函数lsim（）。当取lsim（sys,t,t,0）时，即表示单位斜坡响应。程序如下：

Gp=tf([15],[1 4 8 0]); %建立开环传递函数

sys=feedback(Gp,1,-1); %建立单位负反馈的闭环传递函数

t=0:0.5:10; %建立时间段

u=t; %单位斜坡信号

lsim(sys,u,t,0); %绘制单位斜坡响应曲线

title('单位斜坡响应'); %添加曲线标题

xlabel('t')；ylabel('c(t)')； %添加坐标轴标注

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grid %添加栅格

图2 单位斜坡响应曲线

3.2系统性能分析

由系统的开环传递函数可知，υ=1，该系统为Ⅰ型系统，其静态位置误差系数为：

1515= s→0s→os2+4s+88

故系统在单位斜坡输入作用下的稳态误差为： Kv=limsGp(s)=lim

ess(∞)=18=≈0.5333 Kv15

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4单位加速度响应

4.1求单位加速度响应

单位加速度响指的是系统在单位加速度信号r(t)= t2/2作用下的响应。取其拉氏变换R(s)= 1/s3。此时，系统输出为:

15C(s)=R(s)?Φ(s)=3s(s+3)(s2+s+5)

展开为部分分式形式：

0.01780.533310.05050.0327s+0.4145?+3?+C(s)= 22ssss+3s+s+5

对部分分式进行拉普拉斯反变换，并设初始条件全部为零，得系统的单位加速度响应：

2?3t?0.5t?0.5tct()=0.0178?0.5333t+0.5t?0.0505e+0.0327ecos(2.1794)t+0.1827esin(2.1794)t

利用MATLAB软件绘制该系统在单位加速度响应曲线。由于MATLAB没有专用的单位加速度响应函数，故使用任意输入响应函数lsim（）。令输入信号u= t2/2,此时lsim（sys,u,t,0）即表示单位加速度响应。程序如下：

Gp=tf([15],[1 4 8 0]); %建立开环传递函数

sys=feedback(Gp,1,-1); %建立单位负反馈的闭环传递函数 t=0:0.5:10; %建立时间段

u=t.^2/2; %单位加速度信号

lsim(sys,u,t,0); %绘制单位加速度响应曲线

title('单位加速度响应'); %添加曲线标题

xlabel('t')；ylabel('c(t)')； %添加坐标轴标注

grid %添加栅格

单位加速度响应曲线如下图所示：

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图3 单位加速度响应曲线

4.2系统性能分析

由系统的开环传递函数可知，υ=1，该系统为Ⅰ型系统，其静态位置误差系数为：

15sKa=limsGp(s)=lim2=0 s→0s→0s+4s+82

故系统在单位加速度信号输入作用下的稳态误差为：

1ess(∞)==∞ Ka

5系统根轨迹

根轨迹表示K值从0变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。根轨迹与系统性能之间有着密切的关系。当a=1，b=4时，系统开环传

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递函数为：

Gp(s)=K(s+4) 2s(s+4s+8)(s+1)

MATLAB提供有专门绘制根轨迹的函数rlocus(),该函数是针对开环传递函数的，因此可以直接用rlocus(Gp)绘制出系统的根轨迹。程序如下：

num=[1 4]; %开环零点

den=conv([1 0],conv([1 4 8],[1 1])); %开环极点

Gp=tf(num,den); %建立开环传递函数

rlocus(GP)； %绘制根轨迹

title('根轨迹')； %添加标题

xlabel(‘实轴’); ylabel(‘虚轴’); %添加坐轴标注

图4 根轨迹图

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由系统根轨迹图分析可以很方便的系统性能。例如，根轨迹与虚轴交点处显示根轨迹增益的临界值为6.64，由于是单位反馈系统，故根轨迹增益就等于开环增益，即当0<K<6.64时，根轨迹在s平面的左半平面，系统闭环稳定；而当K>6.64时，根轨迹在s平面的右半平面，系统不稳定。另外从根轨迹在s平面原点处有一个极点可知υ=1，即该系统为Ⅰ型系统。

6心得体会

对于高阶系统的时域分析，运用经典解析方法，采用拉普拉斯反变换求解瞬态响应时域表达式比较复杂，要计算出各项动态性能指标也很困难。但对于许多高阶系统，利用主导极点法可以简化系统的分析和性能指标的估算。而利用MATLAB软件可以方便地对高阶系统时域响应进行准确分析。

通过本次课程设计，加深了对所学自动控制原理课程知识的理解，特别是系统稳定性分析，系统各项动态性能指标，稳态误差以及系统根轨迹等相关知识的理解。设计时借助MATLAB软件进行控制系统分析，进一步熟悉了MATLAB语言及其应用，例如MATLAB中部分分式展开函数residue()，计算单位阶跃响应函数step()，计算任意输入响应函数lism()，二维绘图函数plot()，根轨迹绘制函数rlocus()等等。书写课程设计说明书时使用WORD软件，使我掌握了许多WORD编辑和排版技巧。

在此次课程设计中，我觉得查阅各类书籍是很重要的，通过查阅图书馆的书籍可以开拓我们的视野，使我们的思维不仅仅局限在一个很小的圈子里，对同一个问题有多种分析思路、解决方法。另外，我认为光靠自己一个人的力量是远远不够的，当自己遇到问题实在解决不了时，可以和同学共同探讨，寻找解决办法。正所谓“三人行，则必有我师”。

总之，这次课程设计不仅增加了我的知识积累，为将来的毕业设计打下了基础，还让我懂得自主学习的重要性，还有做什么事情都要有恒心，有信心，动脑子去想，就一定有所收获。

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武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书

参考文献

【1】薛定宇. 控制系统计算机辅助设计. 北京：清华大学出版社，2006

【2】胡寿松. 自动控制原理(第五版). 北京：科学出版社，2007

【3】李道根. 自动控制原理. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2007

【4】吴晓燕，张双选. MATLAB在自动控制中的应用. 西安：西安电子科技大

学出版社，2006

【5】王正林，王胜开等. MATLAB/Simulink与控制系统仿真(第2版). 北京：电

子工业出版社，2008

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