高等数学(数二)

                    

一.  重点知识标记

高等数学

科目       大纲章节               知识点   题型       重要度等级

高等数学              

第一章   函数、极限、连续              

1 .等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式         求函数的极限       ★★★★★

                 2 .函数连续的概念、函数间断点的类型     

3  .判断函数连续性与间断点的类型                                          ★★★

第二章 一元函数微分学   

1 .导数的定义、可导与连续之间的关系      

按定义求一点处的导数，可导与连续的关系                    ★★★★

               2 .函数的单调性、函数的极值         讨论函数的单调性、极值  ★★★★

               3.闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理  微分中值定理及其应用              ★★★★★

第三章 一元函数积分学   

1 .积分上限的函数及其导数            变限积分求导问题              ★★★★★

               2 .有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分              

计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分           ★★

第四章 多元函数微分学   

1 .隐函数、偏导数、的存在性以及它们之间的因果关系           

2 .函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系        ★★

             3 .多元复合函数、隐函数的求导法   求偏导数，全微分              ★★★★★

第五章 多元函数积分学   

1. 二重积分的概念、性质及计算      

2.二重积分的计算及应用      ★★

第六章 常微分方程           

1.一阶线性微分方程、齐次方程，

2.微分方程的简单应用，用微分方程解决一些应用问题                   ★★★★

一、函数、极限、连续部分：

极限的运算法则、极限存在的准则(单调有界准则和夹逼准则)、未定式的极限、主要的等价无穷小、函数间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质(尤其是介值定理)，这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。

二、微分学部分：

主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础亦是重点。

一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。微分中值定理也是重点掌握的内容，这一部分可以出各种各样构造辅助函数的证明，包括等式和不等式的证明，这种类型题目的技巧性比较强，应多加练习。函数的凹凸性、拐点及渐近线，也是一个重点内容，在近几年考研中常出现。　　

多元函数微分学，掌握连续性、偏导性、可微性三者之间的关系，重点掌握各种函数求偏导的方法。多元函数的应用也是重点，主要是条件极值和最值问题。

　　三、积分学部分：

一元函数积分学

一个重点是不定积分与定积分的计算。在计算过程中，会用到不定积分/定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法。其中，换元积分法是重点，会涉及到三角函数换元、倒代换，如何准确地进行换元从而得到最终答案，却是需要下一番工夫的。定积分的应用同样是重点，常考的是面积、体积的求解，多练掌握解题技巧。对于定积分在物理上的应用(数二有要求)，如功、引力、压力、质心、形心等，近几年考试基本都没有涉及，考生只要记住求解公式即可。

多元函数积分学的一个重点是二重积分的计算，其中要用到二重积分的性质，以及直角坐标与极坐标的相互转化。这部分内容，每年都会考到，考生要引起重视，需要明白的是，二重积分并不是难点。

四、微分方程：

　　这里有两个重点：一阶线性微分方程;二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程。

线    性

第一章 行列式    

1.行列式的运算        

2.计算抽象矩阵的行列式        ★★★

第二章   矩阵        

1.    矩阵的运算

2.    求矩阵高次幂等        ★★★

3. 矩阵的初等变换、初等矩阵    与初等变换有关的命题      ★★★★★

              

第三章   向量        

1.    向量组的线性相关及无关的有关性质及判别法      

2.    向量组的线性相关性     ★★★★★

             3.  线性组合与线性表示     判定向量能否由向量组线性表示     ★★★★

              

第四章   线性方程组           

1.    齐次线性方程组的基础解系和通解的求法              

2.    求齐次线性方程组的基础解系、通解        ★★★★★

              

第五章   矩阵的特征值和特征向量  

1.    实对称矩阵特征值和特征向量的性质，化为相似对角阵的方法         

2.    有关实对称矩阵的问题 ★★★★★

             3. 相似变换、相似矩阵的概念及性质             相似矩阵的判定及逆问题  ★★★

              

第六章   二次型    

1.    二次型的概念  求二次型的矩阵和秩          ★★

2.    合同变换与合同矩阵的概念         判定合同矩阵       ★★

 

二.高数（数学二）各种题总结

复习阶段

1.  基础阶段（7月之前）（从薄到厚）

全面复习，打好基础——书本为主，以本为本

2.  强化阶段（7月-11月底）（从厚到薄）

总结归纳：知识点，重点，难点，题型，方法

把握整体，形成体系

3.  冲刺阶段（12月开始）（查缺补漏，实战演练）【踩点复习】

高等数学（整本书三大块：极限，导数，积分）

第一章：函数，连续，极限

1.函数

1.函数的概念（定义域，对应法则，值域）

2.★函数的性态（单调性，奇偶性，周期性，有界性）

3.★复合函数  和  反函数

4.基本初等函数和初等函数

2.极限【每年必考大题▲】

1.  极限的概念（数列极限和函数极限）

  函数极限：左极限，右极限

2.  极限性质：

1.  局部有界性

2.  ★保号性

3.  ★有理运算的性质

4.  极限值与无穷小之间的关系

3.  Δ极限存在准则

1.  夹逼准则

2.  单调有界准则

4.无穷小量

1.无穷小的比较（选择）

2. ▲常用等价无穷小代换及其原则（混合）

3.连续

  1.左连续，右连续

  2.间断点及其分类

（1）☆☆☆第一类间断点（左右极限均存在）

      1. 可去间断点（左右极限都存在且相等）

      2. 跳跃间断点（左右极限都存在但不相等）

 （2）第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）

3.连续函数的性质

★有界闭区间上连续函数的性质

  1.有界性，最值性，介值性，★零点定理

补充：

第二章 一元函数微分学

1.导数和微分的概念（左导数，右导数）

 ★连续，可导，可微之间的关系

2.微分法

  1.求导法则（核心：有理运算法则和复合函数求导法则）

     Δ复合函数求导法，隐函数求导法，，参数方程求导法

3.▲微分中值定理（实质：建立了f^‘（x）和f（x）的关系）

      罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理[f^‘（x）和f（x）]

      泰勒公式（高阶）

4.导数应用

   1.洛比达法则

   2.单调性▲

   3.函数的极值与最值（充分条件和必要条件）

   4.曲线的凹向与Δ拐点

   5. Δ渐近线（水平，垂直，斜渐近线）

6.曲率和曲率半径（数二考）

补充：

第三章 一元函数积分学

1.基本积分公式

2.三种主要积分法（考研不考特殊技巧的题目，下面三类即可）

（1）第一类换元法（凑微分法）

（2）第二类换元法

（3）分部积分法

3.定积分的应用（可积性的充分条件，必要条件）

4.定积分的性质：（1）不等式 （2）▲积分中值定理

5.变上限积分（必考）

5反常积分（只要求掌握定义，会最基本的就好，计算是重点）

6▲定积分的应用（实质：掌握 微元法）

1.  ▲几何应用（面积，体积，曲线弧长，旋转体体积）

2.  物理应用（1.压力  2.变力做功 3引力）

补充：

第四章 多元微分学

1.  一元和多元 连续，可导，可微的判定，联系和区别

2.  ▲偏导数求导法（1.复合函数求导法   2.隐函数求导法）

3.  ▲多元极值和最值

1.（无条件）极值的充分条件和必要条件

2.（条件极值）：拉格朗日乘法

3. 最大最小值

补充：

第五章 ▲ 二重积分（直角坐标和极坐标，及奇偶性，对称性）

补充：

第六章 微分方程（掌握定理就好）

补充：

 

线性代数：（自己的总结）

总体来说，这部分内容相对容易，考试的时候出题的套路比较固定。但线代的考题对考生对基本概念的理解要求很高，很多考生往往是读完了题却不知道题目的实际含义是什么。

总论：线性代数实质上只讲了矩阵（我只讲实质）  （为了不变化改用图片）

一、行列式

行列式的性质、行列式按行(列)展开定理是重点，但不是难点。在行列式的计算题目中，尤其是抽象行列式的计算，常用到矩阵的相关知识，应提高对知识的综合运用能力。

l  题型分析：

1.  行列式求解：按行展开，每行和相等；拉普拉斯；范德蒙德；分块含O题；爪型；2或3斜对角线

2.  抽象行列式计算：1.E的活用；AA^*=|A|E应用   【难点：Aˊ=-A 等价于 AˊxA=0】

                Δ2.|A|=∏a_ii  Σa_ii=Σλ_ii    3.相似

                Δ 4. 矩阵ζζ^T的R=1  迹（对角线之和）=ζ^Tζ

3.某行代数余子式Aij之和的计算

　　

补充：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

二、矩阵

逆矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的秩是重点。逆矩阵的计算，以及矩阵是否可逆的判定属于常考内容。矩阵的初等变换常以选择题形式出现，如2012考研。（kA）^*=k^n-1A    （A^*）^-1=A/|A|  （A^*）^*=|A|^n-2 A

* 题型分析：

1.矩阵ζζ^T的R=1  迹（对角线之和）=ζ^Tζ

2.求Aⁿ：（1） A=αβ^T 做法 —> R（A）=1，Aⁿ=（∑aii）^n-1A

        （2）拆 A=E+B  而B是对角线及其以上（下）均为0，若斜k行，则B^k=O，二项展开Aⁿ=（E+B）ⁿ

               （3）分块应用  和 相似

       *（4）若Aⁿ+A^k+cE=0形式 其特征方程为：λⁿ+λ^k+c=0，并A的特征值只能在这结果中可能有重根

3.A的逆 两种方法：1.伴随矩阵 2.初等行变化（不能掺杂列变换且向量按列排，初等行变换）

4. 求某抽象表达式的逆或可不可逆：只要构造AB=E的形式

5.相关证明用解题思路模板@就好，其他特殊不好直接证明的可用 定义法，元素法（每个均为0），反证法

补充：

　　三、向量

向量组的线性相关与线性无关是一个重点，要求掌握向量组线性相关、线性无关的性质及判别法，常以选择题、解答题形式出现。正交矩阵也可以作为一个重点掌握。考查最多的是施密特正交化法。

题型：本质看有多少个有效向量，即R（A)=极大线性无关组中向量个数

1.  矩阵等价（秩相同）不同于向量组等价（不仅秩相同，而且要“对应”）

2.  证明题两个思路：1.定义k₁α+k₂β+…+k_sγ=0，根据条件做成A或A-E或α^T等使k全为0；

2.设出各自极大线性无关组，用极大线性无关组去相关证明

                3.特殊公式：若AB=O，则R（A）+R(B)<=n（n为A的列）

                4.R(AA^T)=R(A)：AA^TX和AX同解；

    3.将C的列向量看着BX=O①的解和ABX=O（A可逆）②的解；①②同解；R(①解空间)<=R(②解空间)

4. α不等于0时，向量内积α^Tα>0 例如：AX （AX）^T>0

5.是对称矩阵一定可以对角化，又R（A）=R（Λ），所以R（A）=非0特征值得个数（其他矩阵不行）

6.注意不同矩阵的不同特征值的特征向量一定线性无关（要Schmidt正交化），其中正交矩阵不同特征值的特征向量是正交！

补充：

　　

 

 

 

四、线性方程组

方程组解的讨论、待定参数的解的讨论问题是重点考查内容。掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

实质：AX=O和AX=β（注意 R（A|β）=R(A)）有效方程的个数R（A）与变量n（n为A的列向量个数）关系

题型分析：

1.  A的行分块和列分块，来转化为 向量组线性相关，无关问题

2.  AX=O的解R=n-R（A）和AX=β的解R=n-R(A)+1[因为多了个特解]

3.  这是前提：R（A|β）=R(A)

补充：

　　五、矩阵的特征值和特征向量

矩阵的特征值、特征向量的计算以及矩阵的对角化是重点。对于抽象矩阵，要会用定义求解;对于具体矩阵，一般通过特征方程 求特征值，再利用 求特征向量。相似对角化要掌握对角化的条件，注意一般矩阵与实对称矩阵在对角化方面的联系与区别。

题型分析：

1.|A|=∏a_ii  Σa_ii=Σλ_ii 快速确定对角线上的参数a；

2.实对称矩阵的对角化：注意（λE-A）X=0；若λ为k重根，必有R（λE-A）=n-k个线性无关的特征向量；

3.为什么求实对称矩阵的正交矩阵

补充：

　　六、二次型

　　这部分需要掌握两点：一是用正交变换和配方法化二次型为标准形，重点是正交变换法。需要注意的是对于有多重特征值时，解方程组所得的对应的特征向量可能不一定正交，这时要正交规范化。二是二次型的正定性，掌握判定正定性的方法。

重点分析：

1.二次型是一个数值，而不是矩阵（矩阵是二次型所对应的矩阵），所以（X^TAX）^T=（X^TAX）

   2.正定性判别：1.定义法：构造 X^T A^TAX=(AX) ^T >=0

                 2.特征值：正定则所有特征值都大于0

                 3.各阶顺序主子式均大于0

                 4.合同于E（注意：不一定是正交矩阵）

5.合同于已知矩阵

6.正惯性指数p=n（可用配方法：本质还是因为定义，因为平方和大于0（对于任意非0向量））

   3.求二次型的标准型：1.配方法  2.特征向量矩阵法：什么时候求正交矩阵？当需要求P^-1时，因为正交矩阵有如下性质：P^-1=P^T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^{2013大题考试题型预测}

20##考研高等数学二六大必考题型总结

第一：求极限。

每年必考的内容。区别在于有时以4分小题形式出现，题目简单;有时以大题出现，需要使用的方法综合性强。比如大题可能需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因子、重要极限等中的几种方法。另外，分段函数个别点处的导数，函数图形的渐近线，以极限形式定义的函数的连续性、可导性的研究等也需要使用极限手段达到目的，须引起注意!

第二：利用中值定理证明等式或不等式，利用函数单调性证明不等式。

证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及。等式的证明包括使用4个微分中值定理，1个积分中值定理;不等式的证明有时既可使用中值定理，也可使用函数单调性。这里泰勒中值定理的使用是一个难点，但考查的概率不大。

第三：一元函数求导数，多元函数求偏导数。

　一元函数求导可能会以参数方程求导、变限积分求导或应用问题中涉及求导，甚或高阶导数，证明不等式成立，一般都要求到3阶的时候;多元函数(主要为二元函数)的偏导数基本上每年都会考查是隐函数(包括方程组确定的隐函数)。

另外，二元函数的极值与条件极值与实际问题联系极其紧密，是一个考查重点。极值的充分条件、必要条件均涉及二元函数的偏导数。

第四：二重积分的几何应用。

主要是积分顺序不同变换和奇偶性，对称性应用，面积计算与旋转体积计算及直角坐标，极坐标的应用求解

第五：微分方程问题。

解常微分方程方法固定，无论是一阶线性方程、可分离变量方程、齐次方程还是高阶常系数齐次与非齐次方程，记住常用形式.注意：研究生考试对微分方程的考查常有一种反向方式，即平常给出方程求通解或特解，现在给出通解或特解求方程。这需要考生对方程与其通解、特解之间的关系熟练掌握。

第六：线性代数（3选2）

1.向量组线性相关性及无关性证明

1.特征值特征向量 ：通过条件先求带参矩阵的参数（注意其中不为0的k阶子式），再求特征值特征向量

2.二次型应用。

　　这六大题型可以说是考试的重点考查对象，考生可以根据自己的实际情况围绕重点题型复习，争取达到高分甚至满分!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第二篇：高等数学考研知识点总结8

第八讲   多元函数微分学

一、考试要求

1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2. 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

5. 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

6. 了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

7. 了解二元函数的二阶泰勒公式(数一)。

8. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

二、 内容提要

     1、 多元函数的概念：z=f(x,y), (x,y)ÎD

     2、 二元函数的极限定义、连续

          

     3、 偏导数的定义、高阶偏导、全微分

       z=f(x,y)

       = ,

       =

    若

则 

     4、偏导连续可微  可导(偏导)

 

连续      极限存在

     5、   复合函数求导法则

（1）多元与一元复合：设在t可微，

在与t对应的点可微，则在t处可微，且

    

（2）多元与多元复合：设在点存在偏导数，在与对应的点可微，则在点存在偏导数，且

      ，   

     6、  隐函数求导法则

        要求掌握三种情形：

        1）F(x,y,z)=0,   

        2）

3） Þ 

 7、  二元函数的二阶泰勒公式

  设z=f(x,y)在点的某个邻域内具有二阶连续偏导数，为此邻域内一点，则有

 

                +

                 

       

     8、多元函数的极值

        1) 定义

        2) 可能极值点

        3) 取极值的必要条件

        4) 取极值的充分条件

        设   

        ,   ,

      

     若, 则为z=f(x,y)的一个极值点

      

9、条件极值

           

      构造拉格朗日函数：

      由  解得可能极值点，再由实际问题判断极值。

 10、最值：区域内部或边界上达到

三、典型题型与例题

题型一、基本概念题（讨论偏导、连续、可微之间的关系）

 例1、 设，求

例2考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质：

   ① 在点处连续，

   ② 在点处的两个偏导数连续，

   ③ 在点处可微，

   ④ 在点处的两个偏导数存在.

    若用“”表示可由性质P推出性质Q, 则有

（A） ②③①.    （B） ③②①.

（C） ③④①.    （D） ③①④.     

例3、 设

1）在（0，0）点，函数是否连续？是否偏导数存在？是否可微？一阶偏导数是否连续？

2）求

题型二、求多元函数的偏导数和全微分

本题型包括如下几个方面的问题

1、初等函数的偏导数和全微分

2、求抽象函数的复合函数的偏导数

3、由方程所确定的隐函数的偏导数和全微分

4、含抽象函数的方程所确定的隐函数的偏导数和全微分

5、由方程组所确定的隐函数的偏导数

 方法：直接求导法；公式法；微分形式不变性。

例4、 设，求

例5、设，求

*例6、已知函数z=z(x,y)满足

设        对函数 求证.

   

例7、 设，有二阶连续偏导数，求

例8、 设有连续偏导数，和分别由方程和确定，试求

例9设函数z = z (x, y)由方程确定, 其中F为可微函数, 且f¢₂¹0, 则

___________ .

 (A)  x.         (B)  z .        (C) - x.        (D) - z .　        

例10 设，函数由方程

确定，其中可微，连续，求

例11、 设求

题型三：变量替换下表达式的变形

*例12、设具有二阶连续偏导数，而 ，

证明 

题型四  反问题

解题思路：由已知满足的关系式或条件，利用多元函数微分学的方法和结论，

求出待定的函数、参数等。

例13、 已知为某一函数的全微分，求

例14、 设满足，求

例15、设函数 满足 , 试求函数f的表达式.

题型五、  多元函数的应用

1、极值的求法

步骤：1) 解方程组，，得所有驻点；

2) 对每一个驻点，求，

，的值；

3）由的符号确定是否为极值点，是极大值点还是极小值点。

2、最值的求法

闭区域上连续多元函数的最值可能在区域内部或边界上达到，先求出在区域内部的所有驻点以及偏导数不存在的点，比较这些点与边界上点的函数值，最大者即为最大值，最小者即为最小值。对于实际问题一般根据实际背景来确定是否取最值（如可能极值点唯一，则极小（大）值点即最小（大）值点）。条件极值还可用拉格朗日乘数法来求。

例16、讨论二元函数的极值。

例17 求椭圆与直线之间的最短距离。

*例18、（054）求f(x,y)=在椭圆域上的最大值和最小值.

*例19、(99 34)设生产某种产品必须投入两种要素，x₁和x₂分别为两种要素的投入量，Q为产出量；若生产函数为Q=,  其中 假设两种要素的价格分别为. 试问：当产出量为12时，两要素各投入多少时可以使得投入总费用最小？

   

例20 （103）求函数u = xy+2 yz 在约束条件 x ²+ y ² +z ²=10下的最大值和最小值 .