苏教版九年级数学上册基本知识点

第一章图形与证明（二）

1.1 等腰三角形的性质定理：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。

等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。

等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。

1.2 直角三角形全等的判定定理：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。

     角平分线的性质：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

     角平分线的判定：

角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

直角三角形中，30°的角所对的直角边事斜边的一半。

1.3 平行四边形的性质与判定：

定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

定理1：平行四边形的对边相等。

定理2：平行四边形的对角相等。

定理3：平行四边形的对角线互相平分。

判定——从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

              2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

              3两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

        从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

        对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

    矩形的性质与判定：

定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形。

定理1：矩形的4个角都是直角。

定理2：矩形的对角线相等。

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

判定：1有三个角是直角的四边形是矩形。

      2对角线相等的平行四边形是矩形。

     菱形的性质与判定：

定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

定理1：菱形的4边都相等。

定理2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

判定：1四条边都相等的四边形是菱形。

      2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

     正方形的性质与判定：

正方形的4个角都是直角，4条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。

判定：1有一个角是直角的菱形是正方形。

      2有一组邻边相等的平行四边形是正方形。

1.4 等腰梯形的性质与判定

定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

定理1：等腰梯形同一底上的两底角相等。

定理2：等腰梯形的两条对角线相等。

判定：1在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

      2对角线相等的梯形是等腰梯形。

1.5 中位线

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底的一半。

中点四边形：依次连接一个四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形（中点四边形一定是平行四边形）。

第二章数据的离散程度

2.1 极差：

一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。计算公式：极差=最大值-最小值。

极差是刻画数据离散程度的一个统计量，可以反映一组数据的变化范围。一般说，极差越小，则说明数据的波动幅度越小。

2.2 方差

各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差，记作S²。

巧用方差公式：

1、基本公式：S²=[(X₁-X(—))²+(X₂-X(—))²+……+(X_n-X(—))²]

2、简化公式：S²=[(X₁²+X₂²+……+X_n²)-nX(—)²]

也可写成：S²=(X₁²+X₂²+……+X_n²)-X(—)²

3、简化②：S²=[(X’₁²+X’₂²+……+X’_n²)-nX(—)²]

   也可写成: S²=(X’₁²+X’₂²+……+X’_n²)-X(—)²

标准差:

方差的算术平方根叫做这组数据的标准差,记作S。

意义：

1、极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征，常用来比较两组数据的波动大小，我们通常研究的是这组数据的个数相等、平均数相等或比较接近的情况。

2、方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。

3、方差大，标准差就大，方差小，标准差就小。因此标准差同样反映数据的波动大小。

注意：对两组数据来说，极差大的那一组不一定方差大，反过来，方差大的极差也不一定大。

第三章二次根式

3.1 二次根式

定义：一般地，式子（a≧0）叫做二次根式，a叫做被开方数。

有意义条件：当a≧0时，有意义；当a≦0时，无意义。

性质：1、≧0（a≧0）

      2、（）²=a（a≧0）

3、²=∣a∣=   a（a≧0）

                a（a＜0）

3.2 二次根式的乘除法

法则：√a·√b=√ab(a≧0,b≧0)

      =√（a≧0,b＞0）

化简：①√ab=√a·√b(a≧0,b≧0)

      ②√=（a≧0,b＞0）

      ③== （a≧0,b＞0）

第四章一元二次方程

4.1 概念：

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式是aX²+bX+c=0(a、b、c是常数，a≠0)，其中aX²称为二次项，a称为二次项系数，bX称为一次项，b称为一次项系数，c称为常数项。

4.2 解法：

1、直接开平方

2、配方法：先把一元二次方程变形为（X+h）²=k的形式（其中h,k都是常数），如果k≧0，再通过直接开平方法求出方程的解

3、公式法（求根公式）：一元二次方程aX²+bX+c=0 （a≠0），当b²-4ac≧0时，它的根是（≧0）

4、因式分解法

根的判别式

一元二次方程aX²+bX+c=0 （a≠0）的根的情况可由b²-4ac来判定，因此b²-4ac叫做一元二次方程根的判别式。

当b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根

当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根X₁=X₂=

当b²-4ac＜0时，方程没有实数根。反之，也成立。

一元二次方程应用题步骤：“设、找、列、解、验、答”

第五章中心对称图形（二）

5.1 圆

定义：圆是定点的距离等于定长的点的集合。其中，定点叫做圆心，定长叫做半径。

与圆有关的概念：

1、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

3、定点在圆上的角叫做圆心角。

4、圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。能够互相重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

  

点与圆的位置关系：

在平面内，点与圆有3中位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外。如果设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么“点P在圆内 ←→d＜r;点P在圆上←→d=r；点P在圆外←→d＞r”

5.2 圆的对称性

圆是中心对称图形，圆心是对称中心。

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

圆心角、弧、弦之间的关系（等对等定理）：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

5.3 圆周角

概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。（圆心与圆周角的位置关系分为三种情况：圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部）

推论：1、直径（或半圆）所对的圆周角是直角。

      2、90°的圆周角对的弦是直径。

5.4 确定圆的条件

条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

三角形的外接圆：

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，这个点叫做三角形的外心。这个三角形叫做圆的内接三角形

5.5 直线与圆的位置关系

1、直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。（d＜r）

2、直线与圆有唯一的公共点，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。（d=r）

3、直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。（d＞r）

直线与圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来区分，它们的结果是一致的。

切线的性质与判定：

判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线式圆的切线。

性质：（圆的切线垂直于过切点的半径）

1、  经过圆心且垂直于切线的直接必经过切点。

2、   经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

3、  切线与圆只有一个公共点；切线与圆心的距离等于半径；切线垂直于过切点的半径。

内心：

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形的三条角平分线的交点。

这个三角形叫做圆的外切三角形。

5.6 圆与圆的位置关系

性质与判定：

如果两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么

两圆外离←→d＞R+r

两圆外切←→d=R+r

两圆相交←→R-r＜d＜R+r（R＞r）

两圆内切←→d=R-r(R＞r)

两圆内含←→0≤d＜R-r（R＞r）

连心线的性质：

圆是轴对称图形，从上表中可以看出它们都是轴对称图形。沿O₁、O₂所在直线（连心线）对折，发现：两圆相切，直线O₁O₂必过切点；两圆相交，连心线垂直平分它们的公共弦。

5.7 正多边形与圆

正多边形概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。

性质：正多边形都是对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，没条对称轴都通过正n边形的中心。一个正多边形如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。

1、 边数相同的正多边形相似。

2、   任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

 

友情提醒：（1）边数相同的正多边形相似，这是解与正多边形有关问题常用到的知识。

         （2）任何三角形都有外接圆和内切圆，但只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆。过正多边形任意三个顶点的圆就是这个正多边形的外接圆。

作正多边形：作半径为R的正n边形的关键是n等分圆。这就要学习两种方法：

（1）       用量角器等分圆，可以作任意正多边形，这是近似作法。具体地说先计算出顶点在圆心的角的度数，即正n边形的圆心角为，然后依次用量角器将圆等分，顺次连接各分点，就作出正n边形。

（2）       用尺规等分圆，作正方形和正六边形。具体地说：先作出两条互相垂直的直径，将圆四等分，顺次连接各分点，就做出正方形；用圆规从圆上一点顺次截取等与半径的弦，将圆六等分，顺次连接各等分点，就作出正六边形。

友情提醒：在作正多边形时，要从圆周上某一点开始连续截取等弧，否则，易产生误差。

5.8 弧长及扇形的面积

圆的周长公式C=2πR，其中π是圆的周长与直径的比值，π称为圆周率。

弧长公式：l=，其中，表示1°的圆心角的倍数，它不带单位，R为圆的半径，l为n°的圆心角所对的弧长。

扇形面积公式：

一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

①圆心角为n°的扇形面积的计算公式为S_扇形=。

②弧长为l的扇形面积的计算公式为S_扇形=lR。

公式①中的n应理解为1°的圆心角的倍数，不带单位，同时要注意与弧长：l=公式进行比较，避免混淆。公式②与三角形面积公式相类似，在S=lR中，把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R看作高，这样对比，有助于理解与记忆公式。

5.9圆锥侧面积和全面积

圆锥的侧面展开：

圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长l=2πr。

这个扇形的半径等于圆锥的母线长l_母线=

这个扇形的圆心角α=·360°

这个扇形的面积等于圆锥的侧面积S_侧面积=S_扇形=·2πr·l=πr·l

圆锥与圆柱的比较

第二篇：苏教版小学二年级数学(上)第五章知识点总结

苏教版数学二年级（上）知识点整理

五  口诀求商

教学目标：

在探索除法计算方法的具体实践中，理解用乘法口诀求商的方法，经历将实际问题抽象为除法解决的简单数学问题的过程；掌握并熟练运用2～6的乘法口诀口算有关的除法试题，深入理解除法的意义，根据除法算式，正确地找到相应的乘法口诀。

重、难点

重点：体会乘法和除法的关系，掌握用乘法口诀求商的方法。

难点：掌握用乘法口诀求商的方法。

知识点归纳及解题技巧

知识点：口诀求商

   

10个小朋友打球，每2人一组，分成了几组？

解析：要求“分成了几组”，可以用除法计算。

求商的方法：1.运用平均分的方法求商。可以借鉴前面平均分的方法，利用10个原片具体分一分。如下图，5个2是10，可以分成5组。

     

（2）用减法求商。从10中每次减去2，看看能减几次，减几次就是分成了几个2，即可以分成几组。10-2=8，8-2=6，6-2=4，4-2=2，2-2=0，一共减了5次正好分完。

（3）用乘法算式求商。2×1=2，2×2=4，2×3=6，2×4=8，2×5=10，所以分成了5组。

（4）口诀求商。除法算式的商，可以直接利用乘法口诀求出。10÷2=□，利用乘法口诀，想二（五）一十，商是5.

知识拓展：用口诀求商的方法：除数是几，就想几的乘法口诀，用补充口诀的形式求得除法算式的商。

随堂练习与解题技巧

1.   ( )×2=4                 3×( )=9              ( ）×4=4

   4÷2=                    9÷3=                  4÷4=

二（ ）得四               三（ ）得九          （ ）四得四

    解析：这道题乘法算式、除法算式与乘法口诀有效的联系起来。在求商的时候要有效的利用乘法口诀。除数是几，就想几的乘法口诀，用补充口诀的形式求得除法算式的商。

答案：

     (2)×2=4                 3×(3)=9              (1）×4=4

      4÷2=2                   9÷3=3                  4÷4=1

   二（二）得四              三（三）得九         （一）四得四

2.

 

（1）每只兔吃5个，可以分给几只兔？

    20÷5=□

（2）平均分给4只兔，每只兔吃多少个？

    20÷4=□

解析：（1）中一共有20个罗卜，每只兔吃5个，要求“可以分给几只兔”可以用除法计算。（2）中一共有20个罗卜，平均分给4只兔，要求“每只兔吃多少个”可以用除法计算。除法算式可以直接利用乘法口诀求商

答案：4；5。

3.看样子，填数据。

 

解析：方法一：由第一幅图中的数据我们可以发现，向日葵的顶部是乘法的积，下边是两个乘数。发现规律后运用乘法口诀即可填出后面的数据。

方法二：由第一幅图中的数据我们可以发现，向日葵的顶部是除法的被除数，下边是两个分别是除数和商。发现规律后运用乘法口诀即可填出后面的数据。

答案：2；2；2；3、3。

小升初考试典型例题

1.把一根长木料锯开，锯成两段要用3分钟，请问锯成8段要用多少分钟？

    答案：2-1=1（次）

      3÷1=3（分钟）

      8-1=7（次）

      7×3=21（分钟）

答：锯成8段要用21分钟。

2.王师傅把一根钢筋锯成了10段，一共用了27分钟，如果他将这根钢筋锯成2段，请问需要多少分钟？

    答案：10-1=9（次）

          27÷9=3（分钟）

          2-1=1（次）

          1×3=3（分钟）

    答：需要3分钟.