高中数学第十一章-概率

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数学探索©版权所有www.delve.cn随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验．
数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求：
数学探索©版权所有www.delve.cn（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．
数学探索©版权所有www.delve.cn（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。
数学探索©版权所有www.delve.cn（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．
数学探索©版权所有www.delve.cn（4）会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生κ次的概率．
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§11. 概率  知识要点

  

1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率.

3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：.

②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.

注意：i.对立事件的概率和等于1：.

ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.

③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A：“抽到老K”；B：“抽到红牌”则 A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但.又事件AB表示“既抽到老K对抽到红牌”即“抽到红桃老K或方块老K”有，因此有.

推广：若事件相互独立，则.

注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与与B，与也都相互独立.

ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.

iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.

④独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：.

4. 对任何两个事件都有

第十二章-概率与统计

考试内容：

抽样方法.总体分布的估计．
数学探索©版权所有www.delve.cn总体期望值和方差的估计．
数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求：
数学探索©版权所有www.delve.cn（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样．
数学探索©版权所有www.delve.cn（2）会用样本频率分布估计总体分布．
数学探索©版权所有www.delve.cn（3）会用样本估计总体期望值和方差．

§12. 概率与统计  知识要点

一、随机变量.

1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为：

ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

有性质①；  ②.

注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：[其中] 

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p为参数，并记.

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4. 几何分布：“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量ξ的概率分布列.

我们称ξ服从几何分布，并记，其中

5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定＜时，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为.

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把个产品编号，则抽取n次共有个可能结果，等可能：含个结果，故，即～.[我们先为k个次品选定位置，共种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.

二、数学期望与方差.

1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2. ⑴随机变量的数学期望： 

①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.

③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.

⑵单点分布：其分布列为：.

⑶两点分布：，其分布列为：（p + q = 1）

⑷二项分布： 其分布列为～.（P为发生的概率）

⑸几何分布：  其分布列为～.（P为发生的概率）

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差. 显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.

4.方差的性质.

⑴随机变量的方差.（a、b均为常数）

⑵单点分布： 其分布列为

⑶两点分布： 其分布列为：（p + q = 1）

⑷二项分布：

⑸几何分布：  

5. 期望与方差的关系.

⑴如果和都存在，则

⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则

⑶期望与方差的转化：    ⑷（因为为一常数）.

三、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积

（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为

图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“”

是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：. （为常数，且），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若～，则ξ的期望与方差分别为：.

⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交.

②曲线关于直线对称.

③当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

④当＜时，曲线上升；当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.

⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分布. 即～有，求出，而P（a＜≤b）的计算则是.

注意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有.比如则必然小于0，如图. 

⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～则ξ的分布函数通

常用表示，且有.

4.⑴“3”原则.

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.②确定一次试验中的取值是否落入范围.③做出判断：如果，接受统计假设. 如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布则 ξ落在内的概率为99.7％ 亦即落在之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.

第二篇：高中数学概率与统计知识点

高中数学之概率与统计

求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率

解此类题目常应用以下知识:

(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝＝;

等可能事件概率的计算步骤：

计算一次试验的基本事件总数;

设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数;

依公式求值;

答，即给问题一个明确的答复.

(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);

   特例：对立事件的概率：P(A)＋P()＝P(A＋)＝1.

(3)相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);

  特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝.其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项.

 (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：

求概率的步骤是：

第一步，确定事件性质

即所给的问题归结为四类事件中的某一种.

第二步，判断事件的运算

即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.

第三步，运用公式求解

第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.

例1．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是                         （结果用数值表示）．

 [解答过程]0.3提示:

例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为        ．

 [解答过程]提示:

例3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）

[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.

 [解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为

.

故填0.94.

离散型随机变量的分布列

1.随机变量及相关概念

①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.

②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

①离散型随机变量的分布列的概念和性质

一般地，设离散型随机变量可能取的值为，，……，，……，取每一个值（1，2，……）的概率P（）=，则称下表.

为随机变量的概率分布，简称的分布列.

由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：

（1），1，2，…;（2）…=1.

②常见的离散型随机变量的分布列：

（1）二项分布

次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n，并且，其中，，随机变量的分布列如下：

称这样随机变量服从二项分布，记作，其中、为参数，并记： .

（2） 几何分布

在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量，“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.

随机变量的概率分布为：

例1．

厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.

（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；

（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数的分布列及期望,并求出该商家拒收这批产品的概率.

 [解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A

    用对立事件A来算，有

（Ⅱ）可能的取值为．

 ，

，

．

记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率

．

所以商家拒收这批产品的概率为．

例12．

某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、,且各轮问题能否正确回答互不影响.

（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;

（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望.

（注：本小题结果可用分数表示）

 [解答过程]解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，

该选手被淘汰的概率

．

（Ⅱ）的可能值为，，

，

．

的分布列为

．

解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，．

该选手被淘汰的概率．

（Ⅱ）同解法一．

离散型随机变量的期望与方差

随机变量的数学期望和方差

         (1)离散型随机变量的数学期望：…；期望反映随机变量取值的平均水平.

⑵离散型随机变量的方差：……；

方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.

⑶基本性质：；.

(4)若～B(n，p)，则   ;  D =npq（这里q=1-p） ; 

如果随机变量服从几何分布，，则，D =其中q=1-p.

例1．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：

则比较两名工人的技术水平的高低为     .

思路：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.

解答过程：工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：

，

；

工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：

，

由Eε=Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dε>Dη，可见乙的技术比较稳定.

小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.

例2.

某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．

（Ⅰ）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；

（Ⅱ）求的分布列及期望．

 [解答过程]（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．

知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

， ．

（Ⅱ）的可能取值为元，元，元．

，

，

．

的分布列为

（元）．

抽样方法与总体分布的估计

抽样方法

1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.

2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.

3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.

总体分布的估计

由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.

总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.

当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.

当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.

总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.

典型例题

例1.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n=     .

解答过程：A种型号的总体是，则样本容量n=.

例2．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为，那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同，若，则在第7组中抽取的号码是           ．

解答过程：第K组的号码为 ，，…，，当m=6时，第k组抽取的号的个位数字为m+k的个位数字，所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ，所以抽取号码为63．

正态分布与线性回归

1.正态分布的概念及主要性质

（1）正态分布的概念

如果连续型随机变量 的概率密度函数为     ，x  其中、为常数，并且＞0，则称服从正态分布，记为（，）.

（2）期望E =μ，方差.

（3）正态分布的性质

正态曲线具有下列性质:

①曲线在x轴上方，并且关于直线x＝μ对称.

②曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.

③曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”.

三σ原则即为
数值分布在（μ—σ,μ+σ)中的概率为0.6526
数值分布在（μ—2σ,μ+2σ)中的概率为0.9544
数值分布在（μ—3σ,μ+3σ)中的概率为0.9974

（4）标准正态分布

当=0，=1时服从标准的正态分布，记作（0，1）

（5）两个重要的公式

①,② .

（6）与二者联系.

若，则  ;

②若，则.

2.线性回归

简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.

变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.

具体说来，对n个样本数据（），（），…，（），其回归直线方程，或经验公式为：.其中，其中分别为||、||的平均数.

例1.如果随机变量ξ～N（μ，σ2），且Eξ=3，Dξ=1，则P（－1＜ξ≤1＝等于(   )

A.2Φ（1）－1                                 B.Φ（4）－Φ（2）

C.Φ（2）－Φ（4）                       D.Φ（－4）－Φ（－2）

解答过程：对正态分布，μ=Eξ=3，σ2=Dξ=1，故P（－1＜ξ≤1）=Φ（1－3）－Φ（－1－3）=Φ（－2）－Φ（－4）=Φ（4）－Φ（2）.

答案：B

例2. 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d ℃，液体的温度ξ（单位：℃）是一个随机变量，且ξ～N（d，0.52）.

（1）若d=90°，则ξ<89的概率为     ；

（2）若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99，则d至少是     ?（其中若η～N（0，1），则Φ（2）=P（η<2）=0.9772，Φ（－2.327）=P（η<－2.327）=0.01）.

解答过程：（1）P（ξ<89）=F（89）=Φ（）=Φ（－2）=1－Φ（2）=1－0.9772=0.0228.

（2）由已知d满足0.99≤P（ξ≥80），

即1－P（ξ<80）≥1－0.01，∴P（ξ<80）≤0.01.

∴Φ（）≤0.01=Φ（－2.327）.

∴≤－2.327.

∴d≤81.1635.

故d至少为81.1635.

小结：（1）若ξ～N（0，1），则η=～N（0，1）.（2）标准正态分布的密度函数f（x）是偶函数，x<0时，f（x）为增函数，x>0时，f（x）为减函数.

1、分类加法计数原理

发现新知：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第n类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.（也称加法原理）

分类加法计数原理特点：

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事的办法要分为若干类，各类的办法法相互独立，各类办法中的各种方法也相对独立，用任何一类办法中的任何一种方法都可以单独完成这件事.

分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.（也称乘法原理）

分步乘法计数原理的特点：

分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.

思考：分类加法计数原理与分步乘法计数原理有什么异同点？要注意什么问题？

相同点：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法；

不同点：分类加法计数原理分类完成一件事，任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事；分步乘法计数原理分步完成一件事，这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。

（１）分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是什么？不同点什么？

相同点：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法；

不同点：分类加法计数原理分类完成一件事，任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事；分步乘法计数原理分步完成一件事，这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。

（２）分类加法原理、分布乘法原理的特点是什么?

加法原理：完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成.

乘法原理：完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事.