点到平面的距离的几种求法
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云南会泽实验高中 方 强
摘 要 线面距离及面面距离通常都是转化为点面距离进行求解.异面直线的距离也常常须转化为线面距离，进而转化为点面距离求解.所以点面距离是学习其它空间距离的基础.弄清点到平面的距离的概念及理解一些相关定理是掌握点面距离的前提条件,在教学过程中让学生掌握点面距离与线面距离、面面距离之间的相互转化是教学的重点.
关键词 点 平面 距离
Abstract The distance between a line and a plane or two planes is always turned into the distance btween a point and a plane to solve. The distance between two to lines which are in different planes is also need to be turend into the distance between line and planes,and then point and plane to solve.so the distance between point and plane is the basic of learning other kinds of space distance,Clarifying the conception of the distance between point and plane and understanding some relatice theoms of it are the supposition of mastering the distance between point and lane.During teaching process,it is the focal point to let students master the transform the transform of distances between point and plane ,line and plane , plane and plane.
Key words point plane distance
1引言
立体几何中的距离是建立在弄清概念、恰当作图、严格论证的基础上的.空间中的距离有八种点与点、点到直线、点到平面、两平行直线、两异面直线、平行平面、平行于平面的直线与该平面、两点间的球面距离；其中点与点、点到直线、点到平面的距离是基础，而异面直线的距离、线面平行的距离一般均可通过化为点到平面的距离来求.这些知识点及处理能力均为高考的重要内容，因此熟练掌握求点到平面的距离的常用方法是立体几何中应重视的课题.
点到平面的距离的求法是研究得比较多的一个问题，也是一个很陈旧的问题，在国内外探索“点面距离求法”通常是建立在定义的基础之上.通过一些例题进而总结出一些基本方法.
2 基本概念
从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长.
例：（如图1）若PA⊥α于A，则P点到平面α的距离就是线段PA的长．
点到平面的距离有如下三条性质：
(1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点
都存在着距离.
(2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的.
(3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值.
3 例题求解
已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离.
3.1 直接用定义求点到平面的距离
3.1.1 直接作出所求距离求其长
解法一：（如图2）为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交CB的延长线于Ｍ， 连 结GM，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ
∴ＢＮ⊥平面ABCD
∴ＢＮ⊥ＥＭ
作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM于P
∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG
作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ
∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ
∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG的距离
易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝
， 
在
中
3.1.2 不直接作出所求距离间接求之
(1) 利用二面角的平面角
引理1：（如图3）若二面角
的大小为α，
，
，
点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ， 则有
（1）
其中的α也就是二面角的大小，而并不强
求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角.
解法二：（如图4）过点Ｂ作
，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知
，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ
易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．
∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝
，ＡＨ＝
，
∴ ＣＨ＝
，ＧＨ＝
∴ 
，
于是由（1）得所求之距离
(2) 利用斜线和平面所成的角
引理2 （如图5）OP为平面α的一条斜线，
，
，OP与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有
（2）
注：经过OP与α垂直的平面与α相交，交线
与OP所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB得θ．
解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作
，Ｒ为垂足．
又
∵平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ
又ＥＲ为它们的交线
∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ
由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得
，
在Ｒｔ△ＲＥＢ中
于是由（2）得所求之距离
（3）利用三棱锥的体积公式
解法四：（如图7）设点B到平面EFG的距离为d,连结BF，则有体积关系：
连结BF，则
，于是有
，
3.1.3 利用点到平面的距离公式
引理3 (如图8)PO为平面
的垂线段，PA为斜线段，
是平面的法向量，则有：
证明：
又
即： 
解法五：（如图9）以C为原点，CB所在直线为X轴，DC所在直线为Y轴，CG所在直线为Z轴建立空间直角坐标系
.
设B（4，0，0），则E（4，-2，0），F（2，-4，0），G（0，0，2），从而有
（0，-2，0），
（4，-2，-2）
（2，-4，-2）
设=（X，Y，Z）为平面EFG的法向量，则由
，有
，即2X-4Y-2Z=0
，有
，即4X-2Y-2Z=0
得X=-Y而
，故得=（
）.
故点B到平面DEF的距离 
3.2 不经过该点间接确定点到平面的距离
(1) 利用直线到平面的距离确定
解法六（如图10）连结BD，AC，EF.BD分别交EF于H,O.因为ABCD是正方形.
E,F分别为AB和AD的中点,故EF//BD,H为AO的中点
∴BD//平面EFG
BD和平面EFG的距离就是点B
到平面EFG的距离
平面ABCD
平面HCG
∴面EFG
面HCG,HGS是这两个垂直平面的交线
作OKHG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK平面EFG
∴线段OK的长就是点B到平面EFG的距离
正方形ABCD的边长为4,GC=2
AC=
,HO=,HC=
∴在
中
∴
(2) 利用平行平面的距离确定
解法七(如图11)把平面EFG补成一个正四棱柱的截面所在的平面.则面GMT是正四棱柱ABCD—A1B1C1D1经过F、E、G的截面所在的平面.MG交BB1于N，TG交DD1于Q.作BP//MG，交CG于P，连结DP.则有
平面GTM//平面PDB
它们之间的距离就是所求之距离.于是可以把点B平移到平面PDB上任何一个位置.
而这两个平行平面的距离d又同三棱柱GQN—PDB的体积有关，所以可以利用三棱柱的体积确定所求之距离.则有三棱柱GQN—PDB的体积V的关系式：
（3）
易求出
BN=2/3，CP=4/3，PB=PD=
BD=，
，
由关系式（3）可得
于是平行平面间的距离
即点B到面EFG的距离为
4 方法总结
求点到平面的距离的常用方法有：
(1) 定义法 过平面外一点作平面的垂线，直接求出这点到垂足的距离.
（2）射影定位法 根据已知条件，确定平面外一点在平面内射影的位置.再求这两点的距离.
(3) 转化法 通常情况下求点到平面的距离可转化为下面三种形式
10 点线距离 在平面内找出（或作出）一条直线使平面外的点和这条直线所确定的新平面和原平面垂直，则这点到这条直线的距离.即为点到平面的距离.
20 线面距离 若能够找出过一点的一条直线与平面平行，则这条直线到平面的距离等于点到平面的距离.
30 面面距离 过平面外一点作出一个平面和已知平面平行，则这两平行平面的距离等于点到平面的距离.
(4) 等体积法 将点到平面的距离视为一个几何体的高，又能够容易求出这个几何体的体积及高所对的底面面积.则可求出点到平面的距离.
（5）公式法 建立恰当的坐标系，能够确定平面的方程及点的坐标.运用点到平面的距离公式即可求出距离.
参考文献
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第二篇：点到平面的距离的七种求法
