广东商学院试题专用纸

20##－20##学年第一学期

课程：空间解析几何（A）

班号：041541                                                共2面

一.   填空（每空5分，共40分）

1，空间中，直线L为，点A（2，0，3），点B（－1，2，0），在L上到A和B距离相同的点的坐标是              。

2，点A（2，3，2），点B（3，4，5），点C（0，1，3），点D（－1，－2，2），向量 由点A指向点B，向量由点C指向点D，则 与的夹角为          。

3，经过原点且垂直于平面和的平面方程为        。

4，和是向量，已知，，，则        。

5，通过两个圆：和的球面方程是               。

6，空间曲线   在XY平面的投影是                 。

7，单叶双曲面  上经过点（2，－3，1）的直母线有            。

8，是空间上的仿射变换，、、三点共线，（0，0，0），（2，3，－1），

（6，9，－3），向量由点指向点，向量由点指向点，

则        。

二，四面体ABCD，已知顶点坐标为A（1，0，1），B（－1，1，5），C（－1，－3，－3），D（0，3，4），利用内积和外积求四面体ABCD的体积。  （15分）

三，某空间柱面S，已知其一条准线为C :  ，且S的母线平行于向量（2，－1，1），求S的方程。   （15分）

四，空间中，已知A、B、C三点不共线，O、A、B、C四点不共面。

证明：点D落在平面ABC中的充分必要条件是：

，其中。   （15分）

五，证明：在仿射变换下，两个不动点的连线上的每个点都是不动点。 （15分）

第二篇：线性代数与空间解析几何试题

20##年线性代数与空间解析几何试题（A）

一. 填空题（每小题3分，共15分）

1．设矩阵，，则行列式.

2．设，若3阶非零方阵满足，则.

3．已知3阶方阵的行列式，则行列式

4．设3阶方阵的三个特征值分别为1、2、3，又方阵，则方阵的特征值为.

5．若矩阵为正定矩阵，则的取值范围是.

二. 单项选择题（每小题3分，共15分）

1． 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件【  】

(A)的行向量组线性相关;          (B) 的列向量组线性相关;

(C) 的行向量中有一个为零向量;   (D)为方阵且其行列式为零.

2． 设维行向量，矩阵，，其中为

阶单位阵，则【  】

(A) 0；    (B)；     (C)；       (D) .

3． 设是齐次方程组的基础解系，则下列向量组中也可作为的基础解系的是【  】

(A);      (B) ;

(C) ;(D) .

4．  已知线性方程组有无穷多个解，则【   】

(A)  2；       (B) ；      (C)  1；        (D).

5．  设矩阵的秩，下述结论中正确的是.【   】

(A)的任意个列向量必线性无关；(B)的任意一个阶子式不等于零；

(C)齐次方程组只有零解；(D)非齐次方程组必有无穷多解.

三. (10分)已知方阵，试求行列式及逆矩阵.

四.（10分）设方阵，已知，求.

五. (12分)讨论为何值时，方程组

（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解.

六.(10分)设向量组：，，，，

试求此向量组秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示.

七. (12分)用正交变换化二次型为标准型，

并求出所用的正交变换及的标准型.

八. (8分)已知3阶方阵满足：，，其中为元素的代数余子式，求

九.(8分)设两向量组：，的秩为，证明：

向量组的秩为3.

20##年线性代数与空间解析几何试题（B）

一、填空题（每小题3分，共15分）

1．设矩阵，，则行列式.

2．设，若3阶非零方阵满足，则.

3．齐次线性方程组的基础解系为_.

4．曲线绕轴旋转一周所得旋转面的方程为.

5．若矩阵为正定矩阵，则的取值范围是.

二. 单项选择题（每小题3分，共15分）

1．  齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是【   】

(A)的行向量组线性相关;            (B) 的列向量组线性相关;

(C) 的行向量中有一个为零向量;      (D)为方阵且其行列式为零.

2．  设维行向量，矩阵，，其中为阶单位阵，则【   】

(A) 0；    (B)；(C)； (D) .

3．  设是齐次方程组的基础解系，则下列向量组中也可作为的基础解系的是【   】

(A);      (B) ;

(C) ;(D) .

6．  已知线性方程组有无穷多个解，则【   】

(A)  2；       (B) ；      (C)  1；        (D).

7．  设矩阵的秩，下述结论中正确的是【   】

(A)的任意个列向量必线性无关；(B)的任意一个阶子式不等于零；

(C)齐次方程组只有零解；(D)非齐次方程组必有无穷多解.

三. (10分)已知3阶方阵可逆且，试求的伴随矩阵的逆矩阵.

四.（12分）证明直线与直线在同一平面上，并求与交点的坐标，及平面的方程.

五. (12分)设向量，，，

，，问取何值时，向量可由向量组线性表示？并在可以线性表示时求出此线性表示式.

六.(8分)设两向量组：，的秩为，证明：

向量组的秩为3.

七. (10分)已知方阵的特征值为

（1）   求的值；

（2）   是否可以对角化？若可以，求可逆矩阵及对角矩阵，使得.

一.  (12分)用正交变换化二次型

为标准型，并求出所用的正交变换及的标准型

九. 证明题（6分）（两题中选做一题）

1．  设3维欧几里德有两个标准正交基，.已知可由线性表示为，试证：矩阵为正交矩阵.

2．  设为阶方阵，表示矩阵的秩，试证：

20##年线性代数与空间解析几何试题（C）

一. 填空题（每小题3分，共30分）

1. 已知3阶方阵的行列式，则行列式.

2. 已知3阶方阵，其中为的列向量组，若行

列式，则行列式.

3. 已知阶方阵，满足，为单位阵，则.

4．设矩阵，为的伴随阵，则_____.

5．设，若3阶非零方阵满足，则____.

6. 设向量组：，，线性相关，则___.

7.设是维向量，令，，，则

向量组的线性相关性是.

8. 设为的矩阵且秩为2，又3维向量是方程组的两个

不等的解，则对应的齐次方程组的通解为.

9. 设3阶可逆方阵有特征值2，则方阵必有一个特征值为.

10. 若二次型为正定二次型，则

的取值范围是______________.

二. (8分)已知方阵，试求行列式.

三.(12分)设方阵，又已知，求

以及.

四. (12分)讨论为何值时，方程组

(1) 有唯一解？(2) 无解？(3) 有无穷多解？并在此时求出其通解.

五.(10分)设向量组：，，，，试求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示.

六. (12分)用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换及的标准型.

七. (8分)设方阵为阶正交阵且，为阶单位阵，试求行列式

八.(8分)设两向量组：，的秩为，证明：可由向量组线性表出.

20##年线性代数与空间解析几何试题（A）

符号说明：指方阵的行列式；指方阵的伴随矩阵；指矩阵的转置矩阵；指矩阵的秩；为单位矩阵；指次数不超过的一元多项式全体构成的线性空间.

一、填空题 (每小题3分，共12分)

(1) 若3阶方阵、的行列式分别为，

则__________.

  (2) 设4阶可逆方阵按列分块为，方阵，已知线性方程组有唯一解为，则方程组的解为=__________ .

(3) 设3阶实对称矩阵的特征值为，及均为的对应于特征值2的特征向量，则的对应于特征值的特征值向量为_________________.

(4) 设矩阵，已知线性方程组无解，则常数与满足的关系式是____________.

二、单项选择题(每小题3分，共12分)

(1) 设阶方阵的秩为，矩阵的秩为，则

         (A) .           (B) .

         (C) .           (D) .             【   】

(2) 设方阵与相似，即存在可逆方阵，使，已知为的对应于特征值的特征向量，则的对应于特征值的特征向量为

       (A) .        (B) .       (C) .      (D) .     【   】

(3) 设为实对称矩阵，则是为正定矩阵的

(A) 充分而非必要条件.    (B) 必要而非充分条件.

(C) 充分必要条件.        (D) 既非充分又非必要的条件.     【   】

(4) 设是齐次线性方程组的基础解系，则向量组

       (A) 不能作为的基础解系.

       (B) 可作为的基础解系.

(C) 可作为的基础解系.

(D) 不能作为的基础解系.   【   】

三、(12分) 已知方阵的第1行元素分别为，，，且知，求及.

四、（12分）设有向量组(I)：，，，.问向量能否表示成向量组(I)的线性组合？若能，求出此表示式.

五、（12分）求直线：在平面：上的投影直线（即上各点在上的垂足点全体所形成的直线）的方程.

六、(13分) 已知矩阵相似于对角矩阵.

(1) 求常数、的值；(2) 求一个可逆矩阵，使.

七、（13分）求一个正交变换，将二次型化成标准形，并指出二次曲面的名称.

八、(8分)（注意：学习过第8章“线性变换”者做第2题，其余的做第1题）.

   1. 设矩阵，，，.

证明：元素组线性无关，而线性相关，并指出数域上线性空间+|的基与维数.

2. 设为上的线性算子，定义为,

求在的基：下的矩阵，并指出的秩及的零度.

九、（6分）设阶方阵的秩为. 证明：的伴随矩阵相似于对角矩阵的充要条件是，其中为的元素的代数余子式.

20##年线性代数与空间解析几何试题（B）

符号说明：指方阵的行列式；指方阵的伴随矩阵；指矩阵的转置矩阵；指矩阵的秩；为单位矩阵；指次数不超过的一元多项式全体构成的线性空间.

一、填空题 (每小题3分，共12分)

(1) 若3阶方阵的行列式为，则________.

(2) 设为的矩阵，秩，已知方程组有两个不等的特解，则方程组的通解为=__________ .

(3) 设3阶实对称矩阵的特征值为，又为的对应于特征值1的特征向量，则为_________________.

(4) 设，已知非零矩阵满足，则=_________.

二、单项选择题(每小题3分，共12分)

    (1) 设阶方阵的秩为，则矩阵的秩为

        (A) .   (B).   (C) .  (D) 0.                     【   】

(2) 设三阶方阵可逆，且各行元素之和均为2，则A必有特征值

         (A) 1.         (B) 2.       (C) -1.      (D) -2.          【   】

(3) 是线性无关的

        (A) 充分而非必要条件.    (B) 必要而非充分条件.

(C) 充分必要条件.        (D) 既非充分又非必要的条件.   【   】

(4) 设为矩阵且，则下述结论正确的是

       (A) 必有解.    (B) 必有无穷多组解.

(C) 只有零解.        (D) 必无解.       【   】

三、(12分) 已知，又三阶方阵满足

，求.

四、（12分）已知方程组，讨论为何值时方程组

（1）   有解？（2）无解？并在有解时求出其通解.

五、（12分）求过点(1,2,3)且与直线：垂直相交的直线方程.

六、(13分) 已知矩阵可以相似于对角矩阵，

(1) 求常数的值；(2) 求一个可逆矩阵，使为对角阵.

七、（13分）求一个正交变换，将二次型化成标准形，并指出二次曲面的名称.

八、(8分)（注意：学习过第8章“线性变换”者做第2题，其余的做第1题）.

1.设矩阵，，，.

试求数域上线性空间+|的基与维数.