导数的恒成立
蔡 华
数学思想：函数思想
方法：分离系数，求最值
思路1、
思路2、
例题1 当
，
恒成立，求
的取值范围
当
，恒成立，求的取值范围
当
，恒成立，求的取值范围
自测训练
1已知函数
对任意
恒成立，试求m的取值范围。
2．若不等式
对任意的
恒成立，求实数的取值范围。
3．若不等式
对任意的
恒成立，求实数c的取值范围。
例2、（1）已知函数
，函数
在
上是减函数，求
的取值范围
变式：如果把上述条件中区间改为
，的取值范围呢？
（2）．已知函数
（a为实数）
（I）若
在
处有极值，求a的值；
（II）若在
上是增函数，求a的取值范围
自测训练
1 设函数
,其中为实数．
(I)已知函数,在
处取得极值，求的值：
(Ⅱ)已知不等式
对任意
都成立，求实数
的取值范围
例题3 已知函数
(I)当
时，讨论的单调性
(II)设
．当
时，若对任意
,存在
,使
,求实数取值范围．
已知函数
(I)讨论函数
的单调性：
(II)设
,证明：对任意
,
例题4设函数
(I)求函数的单调区间；
(II)已知
,对任意
成立，求实数的取值范围。
已知函数 
在处的切线方程为
。
(1) 若函数
在区间
上单调递增，求的取值范围。
法二：将
转化为
在恒成立，
时
时，可变为
，则可设
，分离常数可求其最大值为0
第二篇：导数的应用二——恒成立问题的解题策略
导数的应用二
——恒成立问题的解题策略
一．典例分析 提炼方法
例1．若不等式
，对任意的
恒成立，求实数
的取值范围。
变式训练
1．若不等式
对任意的
恒成立，求实数的取值范围。
2．若不等式
对任意的
恒成立，求实数c的取值范围。
3．若不等式
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围以及与满足的关系式。
二．考题训练 形成能力
1．设函数
(I)求
的单凋区间：
(Ⅱ)求所有实数，使
，
对
恒成立。注；为自然对数的底数。
2．设函数
，若对所有的
都有
成立，求实数的取值范围.
3．设函数
对任意
，
恒成立，则实数m的取值范围是___________
4.已知函数
其中
(I)若
在
处取得极值，求的值.
（Ⅱ）求的单凋区间.
（Ⅲ）若的最小值为1.求的取值范围.
三．反馈练习 总结提升
1.设
,且曲线
在处的切线与
轴平行．
(I)求的值，并讨论的单调性：
(II)证明：对
,不等式
恒成立。
2．设函数
,其中为实数．
(I)已知函数,在处取得极值，求的值：
(Ⅱ)已知不等式
对任意
都成立，求实数的取值范围．
3．已知函数
(I)当
时，讨论的单调性
(II)设
．当
时，若对任意
,存在
,使
,求实数取值范围．
4．已知函数
(I)讨论函数
的单调性：
(II)设
,证明：对任意
,
5.设函数
(I)求函数的单调区间；
(II)已知
,对任意
成立，求实数的取值范围。
6.已知
在区间[-1，1]上是增函数。
(I)求实数的值组成的集合A：
(II)设关于的方程,
的两个非零实根为
,试问：是否存在实数m。使得不等式
对任意的
及
恒成立?若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．典例分析 提炼方法
例1．(分离参数)
,因为
，所以
的最大值为1
所以
变式l、
或
或
解得：
或
变式2、
，，当
时．
为极大值．而
，则为最大值，要使
恒成立，只需
，解得
或
变式3、
，
二．考题训练 形成能力
1、(I)解：因为
，其中
所以
由于，所以的增区间为
，减区间为
(Ⅱ)证明：由题意得，
即
由(I)知在[1,e]内单调递增．要使
，对
恒成立，只要
解得
2、令
对函数
求导数：
令
解得
……5分
(i）当
时，对所有，
，所以
在[0，+∞)上是增函数，
又
，所以对
，都有
即当
时，对于所有，都有
……9分
（ii）当
时，对于
，
所以在
是减函数
又所以对，都有
即当时，不是对所有的，都有成立
综上，的取值范围是：（-∞，1] ……12分
3、由题意知
在上恒成立，
在上恒成立，当
时，函数
取得最小值
，
所以
，即
解得
或
4、解(I)
在x=1处取得极值，
，即
，解得
(II)
，
①当
时，在区间(0，+∞)上，
，
的单调增区间为(0，+∞)．
②当
时，由解得
．由
，解得
的单调减区间为
，单调增区间为
（Ⅲ）、当时，由(Ⅱ)①知．的最小值为
当时，由(Ⅱ)②知，在
处取得最小值
综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞)．
三、课后练习
l、解：(I)
．有条件知，
故
，于是
故当
时，，当
时，
从而在(-∞，-2)，(1，+∞)单调减少，在(-2，1)单调增加．
(II)由(I)知在[0，1]单调增加，故在[0，l]的最大值为
最小值为
,从而对任意
有
而当
时，
,从而
2、解(1)
由于函数在时取得极值，所以
,即
(2) 由题设知：
对任意
都成立,即
对任意都成立
设
,则对任意
为单调递增函数
所以对任意,
恒成立的充分必要条件是
,即
,于是的取值范围是
3、解：(I)因为
所以
令
(1)当
时，
所以，当时,
此时,
,函数单调递减
当
时，
,此时,,函数单调递增．
(2)当
时，由
,即
,解得
①当
时，
恒成立，此时
,函数在(0，+∞)上递减
②当
时，
,时，
,此时
,函数
单调递减；
时,
,此时
,函数单调递增；
时，
,此时
,函数单调递减：
③当
时，由于
,
,,此时
,函数单调递减；
时，,此时
,函数单调递增．
综上所述：当
时，函数在(0，1)上单调调递减；
函数在(1，+∞上单调递增；
当时，函数在(0，+∞)上单调递减，
当
时，函数在(0，1)上单调递减；
函数在
上单调递增；
函数在
上单调递减．
(II)因为
,由(I)知，
,
,当时，
函数单调递减;
当
时，,函数
单调递增,
所以在(0，2)上的最小值为
由于“对任意,存在
,使"等价于在[1，2]上的最小值不大于在(0，2)上的最小值
”(*)
又
，所以
①当b < l时，因为
此时与(*)矛盾
②当b∈[l，2]时，因为
同样与(*)矛盾
③当b∈(2，+∞时，因为
，解不等式
，可得
综上，b的取值范围是
6、解：(I)
在[-1，l]上是增函数，
对恒成立，即
对恒成立。 ①
设
方法一：
①
∵对
，
是连续函数，且只有当时，
，
以及当
时，，
方法二：
①
或
或
∵对
是连续函数，且只有当时，以及当时， 
(Ⅱ)由
，得
， 
是方程的两非零实根
从而
， 
要使不等式
对任意及恒成立，
当且仅当
对任意
恒成立
即
，对任意恒成立． ②
设
方法一：
②
，
或
所以，存在实数
使不等式
对任意及
恒成立，其取值范围是
方法二：
当m=0时，②显然不成立：
当
时，②
或
或
所以，存在实数m，使不等式，对任意及恒成立，其取值范围是