《导数与恒成立问题》教学设计

南宁二中   黄邵华

教学背景分析：

    《导数》是高中数学教学中非常重要的一个章节，在每年的高考当中也几乎是必考题，而恒成立问题则是导数大题中常见的一种类型.在前段时间的学习中，学生已经学习和掌握了导数的定义及其基本应用（如求切线，求单调区间，求极值和最值等），故在此段内容的学习后，应当注重知识的深化和综合.恒成立问题是导数的综合应用中的常见问题，并且与刚刚结束的导数的基本应用的相关知识结合较为紧密，故特选此题作为一个专题进行教学.

    高二（25）班的学生是我校高二年级的一个普通班，此班学生头脑灵活，反应比较灵敏，但学生性格普遍沉闷，虽然大脑在积极思考，但在课上不善于表达.因此在教学方式上以教师问题为引导，通过由简到难的变式训练，让学生自主学习和发现解决恒成立问题的常用办法.

教学目标：

知识与技能：掌握利用导数解决恒成立问题的方法；

过程与方法：通过多次变式训练的过程，体会将复杂问题化为简单问题，将陌生

            问题化为熟悉问题的转化数学思想，体会导数的工具性作用；

情感态度与价值观：通过对相关数学问题的思考和分析，感受事物是普通联系的

                  辩证主义思想，发现数学之美，培养数学钻研精神.

教学重点：

1、将恒成立问题转化为最值问题

2、分离变量法求解含参的恒成立问题

教学难点：

如何将其他问题转化为恒成立问题

…… …… 余下全文

利用导数求函数最值

● 基础知识总结和逻辑关系

一、            函数的单调性

求可导函数单调区间的一般步骤和方法:

1) 确定函数的的定义区间；

2) 求，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；

3) 把函数的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些    点把函数的定义区间分成若干个小区间；

4) 确定在各个区间内的符号，由的符号判定函数在每个相应小区间内的单调性.

二、            函数的极值

求函数的极值的三个基本步骤

1)        求导数；

2)        求方程的所有实数根；

3)        检验在方程的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则在这个根处取得极大（小）值.

三、    求函数最值

1)        求函数在区间上的极值；

2)        将极值与区间端点函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.

四  利用导数证明不等式

1） 利用导数得出函数单调性来证明不等式

我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式：

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《导数与恒成立问题》教学设计

南宁二中   黄邵华

教学背景分析：

    《导数》是高中数学教学中非常重要的一个章节，在每年的高考当中也几乎是必考题，而恒成立问题则是导数大题中常见的一种类型。在前段时间的学习中，学生已经学习和掌握了导数的定义及其基本应用（如求切线，求单调区间，求极值和最值等），故在此段内容的学习后，应当注重知识的深化和综合。恒成立问题是导数的综合应用中的常见问题，并且与刚刚结束的导数的基本应用的相关知识结合较为紧密，故特选此题作为一个专题进行教学。

    高二（25）班的学生是我校高二年级的一个普通班，此班学生头脑灵活，反应比较灵敏，但学生性格普遍沉闷，虽然大脑在积极思考，但在课上不善于表达。因此在教学方式上以教师问题为引导，通过由简到难的变式训练，让学生自主学习和发现解决恒成立问题的常用办法。

教学目标：

知识与技能：掌握利用导数解决恒成立问题的方法；

过程与方法：通过多次变式训练的过程，体会将复杂问题化为简单问题，将陌生

            问题化为熟悉问题的转化数学思想，体会导数的工具性作用；

情感态度与价值观：通过对相关数学问题的思考和分析，感受事物是普通联系的

                  辩证主义思想，发现数学之美，培养数学钻研精神。

教学重点：

1、将恒成立问题转化为最值问题

2、分离变量法求解含参的恒成立问题

教学难点：

如何将其他问题转化为恒成立问题

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求函数的最大值

设（1）求函数的单调区间；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

已知不等式对恒成立，那么的取值范围为              k<e

已知（1）若都有，求的范围；

（2）若都有，求的范围；

已知函数，若都有恒成立，

则实数的取值范围为                      

若使得成立，则实数的取值范围为                     

已知是实数，函数（1）求函数的单调区间，

（2）设为在区间上的最小值，1写出的表达式，2若，

求的取值范围

已知函数（1）若上有与轴平行的切线，求实数的取值范围；

（2）若函数在时取得极值，且时，恒成立，求实数的取值范围；

已知（1）若都有，求的范围；

（2）若都有，求的范围；

已知函数（1）若，求的单调区间；

（2）若恒成立，求实数的取值范围；

已知函数（1）求函数在区间上的最小值；

（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；

已知函数（1）若曲线在处切线为，求

（2）讨论函数的单调性；（3）若对任意，不等式在区间上恒成立，

求实数的取值范围；

设函数（1）当时，求曲线在处的切线；

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导数恒成立问题：

1. 设函数f(x)?ex?e?x．

（Ⅰ）证明：f(x)的导数f?(x)≥2；

（Ⅱ）若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围．

解：

（Ⅰ）f(x)的导数f?(x)?ex?e?x．

由于e?e≥x-x?2，故f?(x)≥2．

（当且仅当x?0时，等号成立）．

（Ⅱ）令g(x)?f(x)?ax，则

x?xg?(x)?f?(x)?a?e?e?a，

（ⅰ）若a≤2，当x?0时，g?(x)?ex?e?x?a?2?a≥0，

故g(x)在(0，?∞)上为增函数，

所以，x≥0时，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax．

2（ⅱ）若a?2，方程g?(x)?

0的正根为x1?ln，

此时，若x?(0，x1)，则g?(x)?0，故g(x)在该区间为减函数．

所以，x?(0，x1)时，g(x)?g(0)?0，即f(x)?ax，与题设f(x)≥ax相矛盾．

2?． 综上，满足条件的a的取值范围是??∞，

2. 已知函数f(x)?x?a

x?b(x?0)，其中a，b?R．

（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y?3x?1，求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性； ?1

????1???（Ⅲ）若对于任意的a??，2?，不等式f(x)≤10在?，1?上恒成立，求b的取值范围． 24

20．本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：f?(x)?1?a

x2，由导数的几何意义得f?(2)?3，于是a??8．

由切点P(2，f(2))在直线y?3x?1上可得?2?b?7，解得b?9． 所以函数f(x)的解析式为f(x)?x?

（Ⅱ）解：f?(x)?1?a

x28x?9． ．

当a≤0时，显然f?(x)?0(x?0)，这时f(x)在(?∞，0)，(0，?∞)内是增函数． 当a?0时，令f?(x)?

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导数的恒成立

蔡   华

数学思想：函数思想

方法：分离系数，求最值

思路1、 

思路2、

例题1  当，恒成立，求的取值范围

当，恒成立，求的取值范围

当，恒成立，求的取值范围

自测训练

1已知函数对任意恒成立，试求m的取值范围。

 2．若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围。

3．若不等式对任意的恒成立，求实数c的取值范围。

例2、（1）已知函数，函数在上是减函数，求的取值范围

变式：如果把上述条件中区间改为，的取值范围呢？

（2）．已知函数（a为实数）

    （I）若在处有极值，求a的值；

（II）若在上是增函数，求a的取值范围

自测训练

1 设函数,其中为实数．

(I)已知函数,在处取得极值，求的值：

(Ⅱ)已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围

例题3  已知函数

(I)当时，讨论的单调性

(II)设．当时，若对任意,存在,使,求实数取值范围．

已知函数

(I)讨论函数的单调性：

(II)设,证明：对任意,

例题4设函数

(I)求函数的单调区间；

(II)已知,对任意成立，求实数的取值范围。

已知函数 在处的切线方程为。

(1)    若函数在区间上单调递增，求的取值范围。

法二：将转化为在恒成立，

时

时，可变为，则可设，分离常数可求其最大值为0

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培优（一）导数恒成立问题

方法：分离参数法；转化思想（恒成立---最值）

例1．已知函数（a为实数）

    （I）若在处有极值，求a的值；

（II）若在上是增函数，求a的取值范围。

练习1．设函数.

（Ⅰ）若时，取得极值，求的值；

（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求的取值范围；

例2．设函数.

（Ⅰ）求f (x)的单调区间；

（Ⅱ）若当时，不等式f (x)<m恒成立，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）若关于x的方程在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

练习2．已知函数.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.

课后练习：

1. 已知函数．

    （Ⅰ）若在上单调递增，求实数的取值范围；

2.已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围．

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