自主梳理

1．幂函数的概念

形如________的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数．

2．幂函数的性质

(1)五种常见幂函数的性质，列表如下：

(2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第____象限无图象．

(3)α>0时，幂函数的图象通过点____________，并且在区间(0，＋∞)上是________，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象______原点．

1．已知幂函数y＝f(x)的图像经过点，则f(2)＝(　　)

A.　　　　　　　　　　                         B．4

C.                                                        D.

2．下列函数中，其定义域与值域不同的函数是(　　)

A．y＝x                                                 B．y＝x^－1

C．y＝x                                                  D．y＝x²

3．已知f(x)＝x，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是(　　)

A．f(a)<f(b)<f<f

B．f<f<f(b)<f(a)

C．f(a)<f(b)<f<f

D．f<f(a)<f<f(b)

4．已知f(x)＝x²＋bx＋c且f(－1)＝f(3)，则(　　)

A．f(－3)<c<f                                      B．f<c<f(－3)

C．f<f(－3)<c                                      D．c<f<f(－3)

5．(2013·蚌埠二中调研)设二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c，如果f(x₁)＝f(x₂)(x₁≠x₂)，则f(x₁＋x₂)＝(　　)

A．－                                                   B．－

C．c                                                         D.

6．若f(x)＝x²－x＋a，f(－m)＜0，则f(m＋1)的值(　　)

A．正数                                                   B．负数

C．非负数                                               D．与m有关

7．对于函数y＝x²，y＝x有下列说法：

①两个函数都是幂函数；

②两个函数在第一象限内都单调递增；

③它们的图像关于直线y＝x对称；

④两个函数都是偶函数；

⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；

⑥两个函数的图像都是抛物线型．

其中正确的有________．

8．(2012·北京西城二模)已知函数f(x)＝x²＋bx＋1是R上的偶函数，则实数b＝________，不等式f(x－1)<x的解集为________．

9．(2012·无锡联考)设函数f(x)＝mx²－mx－1，若f(x)<0的解集为R，则实数m的取值范围是________．

10．如果幂函数f(x)＝x－p²＋p＋(p∈Z)是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式．

11．已知二次函数f(x)的图像过点A(－1,0)、B(3,0)、C(1，－8)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在x∈[0,3]上的最值；

(3)求不等式f(x)≥0的解集．

12．设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图像是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分．

(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；

(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；

(3)写出函数f(x)的值域．

1．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)²，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为(　　)

A.                                                          B.

C.                                                           D．1

2．(2013·青岛质检)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x²－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．

3．(2012·滨州模拟)已知函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．

(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；

(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．

答  案

课时跟踪检测(九)

A级

1．选C　设f(x)＝x^α，因为图像过点，代入解析式得：α＝－，

∴f(2)＝2－＝.

2．选D　对A，定义域、值域均为[0，＋∞)；对B，定义域、值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)；对C，定义域值域均为R；对D，定义域为R，值域为[0，＋∞)．

3．选C　因为函数f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函数，又0<a<b<<，故f(a)<f(b)<f<f.

4．选D　由已知可得二次函数图像关于直线x＝1对称，又f(－3)＝f(5)，c＝f(0)＝f(2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f(－3)＝f(5)>f>f(2)＝f(0)＝c.

5．选C　由题意得：a≠0，＝－，x₁＋x₂＝－.得f(x₁＋x₂)＝f＝a·－＋c＝c.

6．选B　法一：∵f(x)＝x²－x＋a的对称轴为x＝，

而－m，m＋1关于对称，

∴f(m＋1)＝f(－m)＜0.

法二：∵f(－m)＜0，∴m²＋m＋a＜0，

∴f(m＋1)＝(m＋1)²－(m＋1)＋a＝m²＋m＋a＜0.

7．①②⑤⑥

8．解析：因为f(x)＝x²＋bx＋1是R上的偶函数，所以b＝0，则f(x)＝x²＋1，解不等式(x－1)²＋1<x，即x²－3x＋2<0得1<x<2.

答案：0　{x|1<x<2}

9．解析：若m＝0，显然－1<0恒成立，

若m≠0，

则∴－4<m<0.

故所求范围为：－4<m≤0.

答案：(－4,0]

10．解：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴－p²＋p＋>0，

即p²－2p－3<0.

∴－1<p<3.

又∵f(x)是偶函数且p∈Z，

∴p＝1，故f(x)＝x².

11．解：(1)由题意可设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，

将C(1，－8)代入得－8＝a(1＋1)(1－3)，得a＝2.

即f(x)＝2(x＋1)(x－3)＝2x²－4x－6.

(2)f(x)＝2(x－1)²－8，

当x∈[0,3]时，由二次函数图像知，

f(x)_min＝f(1)＝－8，f(x)_max＝f(3)＝0.

(3)f(x)≥0的解集为{x|x≤－1，或x≥3}．

12．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)²＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，

则y＝－2(x－3)²＋4，

即x>2时，f(x)＝－2x²＋12x－14.

当x<－2时，即－x>2.

又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)²－12x－14，

即f(x)＝－2x²－12x－14.

所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x²－12x－14.

(2)函数f(x)的图像如图，

(3)由图像可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．

B级

1．选D　当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)²，

∵x∈，

∴f(x)_min＝f(－1)＝0，f(x)_max＝f(－2)＝1，

∴m≥1，n≤0，m－n≥1.

2．解析：由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x²－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y＝m与y＝x²－5x＋4(x∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知，当x∈[2,3]时，y＝x²－5x＋4∈，故当m∈时，函数y＝m与y＝x²－5x＋4(x∈[0,3])的图像有两个交点．

答案：

3．解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，

解得a＝1，b＝2.则f(x)＝(x＋1)².

则F(x)＝

故F(2)＋F(－2)＝(2＋1)²＋[－(－2＋1)²]＝8.

(2)由题意得f(x)＝x²＋bx，原命题等价于－1≤x²＋bx≤1在(0,1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．

又当x∈(0,1]时，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2，

故－2≤b≤0.

第二篇：幂函数知识总结

幂  函  数  复  习

一、幂函数定义：形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数。

注意：幂函数与指数函数有何不同？

【思考·提示】　本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．

观察图：

归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下：

二、幂函数的性质

归纳：幂函数在第一象限的性质：

，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（）上单调递增。

，图像过定点（1,1），在区间（）上单调递减。

探究：整数m,n的奇偶与幂函数的定义域以及奇偶性有什么关系？

结果：形如的幂函数的奇偶性

  （1）当m，n都为奇数时，f（x）为奇函数，图象关于原点对称；

  （2）当m为奇数n为偶数时，f（x）为偶函数，图象关于y轴对称；

  （3）当m为偶数n为奇数时，f（x）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.

三、幂函数的图像画法：

关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。

指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）；

指数等于1,在第一象限为上升的射线；

指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）；

指数等于0,在第一象限为水平的射线；

指数小于0,在第一象限为双曲线型；

四、规律方法总结：

1、幂函数的图像：

2、幂函数的图像：

3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：

　　（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；

　　（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；

（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．

题型一：幂函数解析式特征

例1.下列函数是幂函数的是（  ）

A．y=x        B.y=3x          C.y=x+1           D.y=x

练习1：已知函数是幂函数，求此函数的解析式．

练习2：若函数是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式．

题型二：幂函数性质

例2：下列命题中正确的是（     ）
A．当时，函数的图象是一条直线     

B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点   

C．幂函数的图象不可能在第四象限内       

D．若幂函数为奇函数，则在定义域内是增函数

练习3：如图，曲线c1, c2分别是函数y＝x^m和y＝xⁿ在第一象限的图象，那么一定有（    ）

A．n<m<0       B．m<n<0        C．m>n>0       D．n>m>0

练习4：．（1）函数y＝的单调递减区间为（   ）

A．（－∞，1） B．（－∞，0） C．［0，＋∞) D．（－∞，＋∞）

（2）．函数y＝x在区间上         是减函数．

（3）．幂函数的图象过点(2,), 则它的单调递增区间是          ．             

题型三：比较大小

.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：

（1），;

（2），；

（3），；

（4），．

.经典例题：

例1、已知函数为偶函数，且，求m的值，并确定的解析式．

例2、若，试求实数m的取值范围．

例3、若，试求实数m的取值范围．

例4、若，试求实数m的取值范围．

例5、函数的定义域是全体实数，求m的取值范围。