高中简单线性规划基础题型总结

简单线性规划属于操作性知识，是高考必考知识点，历年不变，必有一选择或填空题。下面结合例题，总结高中简单线性规划问题的基础题型，方便同学们快速掌握相关内容。

线性规划问题的基础题型，可根据目标函数的特点，将其分为三类：

类型一（直线）：

【理论】点到直线的距离。

【步骤】①作出可行域；②作出直线；③判断可行域顶点到直线的距离：和

【例题】已知满足不等式组，求的最值。

【解析】分三步走：

①作出可行域：

   

②作出直线

③判断直线到可行域顶点间的距离：平移、目测或代点都能判断，得；。

类型二（圆）：

【理论】两点之间的距离。

【步骤】①作出可行域；②作出圆；③判断可行域上的点到圆心的距离（即半径）：和

【例题】已知满足不等式组，求的最值。

【解析】分三步走：

①作出可行域：

②作出圆：且半径由小到大逐渐作圆。

③判断圆心到可行域上点间的距离，也就是与可行域有交点的圆中半径的大小：目测或用圆规作圆都能判断，得；

.

类型三（斜率）：

【理论】两点确定的直线的斜率。

【步骤】①作出可行域；②作出可行域上某些特殊点与定点确定的直线；③求这些直线斜率的大小（注意斜率不存在的情况）：和

【例题】已知满足不等式组，求的取值范围。

【解析】分三步走：

①作出可行域：

   

②作出定点与可行域上某些特殊点确定的直线：

③求直线和直线的斜率：根据计算的结果能判断斜率大小，得，

；，即取值范围.

1、不等式表示的平面区域在直线的（  ）

A．右下方     B．右上方     C．左上方      D．左下方

2、在不等式表示的平面区域内的点是（  ）

A．（1，－1）     B．（0，1）     C．（1，0）    D．（－2，0）

3、已知满足约束条件若的最大值为4，则 （    ）

A．        B．         C．         D．

4、设满足约束条件，则的最大值是（     ）

A．10           B．8         C．3          D．2

5、若满足，若目标函数的最小值为－2，则实数的值为（　　）

A．0               B．2             C．8               D．－1

6、在约束条件下，目标函数的最大值为            ．

7、设实数满足约束条件则的最大值为      ．

8、不等式组表示的平面区域的面积是       ．

9、某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜，总面积不超过亩，总成本不超过万元．甲、乙两种蔬菜的成本分别是每亩元和每亩元．假设种植这两个品种的蔬菜，能为该农场带来的收益分别为每亩万元和每亩万元．问该农场如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积，可使农场的总收益最大，最大收益是多少万元？

第二篇：高中数学线性规划题型总结

高考线性规划归类解析

　

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题

例1、设变量x、y满足约束条件，则的最大值为　　　。　

解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18

点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

例2、已知则的最小值是    .

解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

例3、在约束条件下，当时，目标函数

的最大值的变化范围是（）

A.     B.      C.     D.

解析：画出可行域如图3所示,当时, 目标函数在处取得最大值, 即;当时, 目标函数在点处取得最大值,即,故,从而选D;

点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。

四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）

(A) (B)   (C)    (D)

解析：双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域（如图4所示）时有。

点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。

五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。

例5已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为               。

解析：如图5作出可行域，由其表示为斜率为，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数（其中）仅在点处取得最大值。则直线过Ａ点且在直线（不含界线）之间。即则的取值范围为。

点评：本题通过作出可行域，在挖掘的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。

六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题

例６在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）(A) (B)4 (C)   (D)2

解析：如图６，作出可行域，易知不等式组表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：从而选Ｂ。

点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。

七、研究线性规划中的整点最优解问题

例7、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则的最大值是(A)80  (B) 85 (C) 90   (D)95

解析：如图７，作出可行域，由，它表示为斜率为，纵截距为的平行直线系,要使最得最大值。当直线通过取得最大值。因为，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，

点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。