简单线性规划高考题型总结

麒麟高级中学  包水艳

关键词：线形规划 约束条件 可行域  最值

摘要：理解线形规划的相关概念，会画可行域，求目标函数的最值，对各种题型进行归纳总结。

一．基础知识：

(一)二元一次不等式表示的区域

二元一次不等式表示直线某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.

由于在直线同一侧的所有点（x,y）,把它的坐标（x,y）代入，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（），从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。通常代特殊点（0，0）。

（二）线性规划

(1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.

另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.

(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.

(3)那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（）和（）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.

    线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行

(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.

2.设z=0，画出直线l₀.

3.观察、分析，平移直线l₀，从而找到最优解.

4.最后求得目标函数的最大值及最小值.

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高中简单线性规划基础题型总结

简单线性规划属于操作性知识，是高考必考知识点，历年不变，必有一选择或填空题。下面结合例题，总结高中简单线性规划问题的基础题型，方便同学们快速掌握相关内容。

线性规划问题的基础题型，可根据目标函数的特点，将其分为三类：

类型一（直线）：

【理论】点到直线的距离。

【步骤】①作出可行域；②作出直线；③判断可行域顶点到直线的距离：和

【例题】已知满足不等式组，求的最值。

【解析】分三步走：

①作出可行域：

   

②作出直线

③判断直线到可行域顶点间的距离：平移、目测或代点都能判断，得；。

类型二（圆）：

【理论】两点之间的距离。

【步骤】①作出可行域；②作出圆；③判断可行域上的点到圆心的距离（即半径）：和

【例题】已知满足不等式组，求的最值。

【解析】分三步走：

①作出可行域：

②作出圆：且半径由小到大逐渐作圆。

③判断圆心到可行域上点间的距离，也就是与可行域有交点的圆中半径的大小：目测或用圆规作圆都能判断，得；

.

类型三（斜率）：

【理论】两点确定的直线的斜率。

【步骤】①作出可行域；②作出可行域上某些特殊点与定点确定的直线；③求这些直线斜率的大小（注意斜率不存在的情况）：和

【例题】已知满足不等式组，求的取值范围。

【解析】分三步走：

①作出可行域：

   

②作出定点与可行域上某些特殊点确定的直线：

③求直线和直线的斜率：根据计算的结果能判断斜率大小，得，

；，即取值范围.

1、不等式表示的平面区域在直线的（  ）

A．右下方     B．右上方     C．左上方      D．左下方

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线性规划，想说懂你很容易

线性规划是近两年高考的必考内容。学习简单线性规划的有关知识其最终目的就是运用它们去解决在线性约束条件下目标函数的最值（最大值或最小值）问题。而有关的题型种类较多，变化多样，应用线性规划的思想解题不能完全拘泥于课本中的z=ax+by的形式，下面就从规划思想出发探讨常见的简单线性规划求最值问题。

1、目标函数形如z=ax+by型：

例1（2008.全国Ⅱ）设变量满足约束条件：，则的最小值是（    ）

A．       B．      C．     D．

解：画出可行域（如图1），由可得，所以表示直线的纵截距，由图可知当直线过点A（-2，2）时，z的最小值是-8，选D.

2、目标函数形如型：

例2（2007.辽宁）已知变量满足约束条件

则的取值范围是（    ）

A．  B．   C．   D．

解：画出可行域（如图2），表示可行域内的点（x,y）与原点连线的斜率，求得A（1，6），C（）, 且求得K_OA=6，K_OC=，所以，选A.

3、目标函数形如z=a^bx+cy型：

例3.（2008.北京）若实数满足则的最小值是（    ）A．0     B．1       C．     D．9

解：画出可行域（如图3），令u=x+2y,当x=y=0时u最小为0，则的最小值是1.故选B.

4.目标函数形如z=型：

例4．已知x、y满足，则的取值范围是（  ）

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【2014山东，9，5分】

【2014课标I，11，5分】

【2014安徽，5，5分】

【2014课标I，9，5分】

2014湖南，14

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线性规划基本知识点

1．线性规划：

（1）二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。

确定步骤： (1)直线定界，(2)特殊点定域；若C≠0，由原点定域； （2）基本概念

（3）解线性规划问题的步骤：

（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；

（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行

域有公共点且纵截距最大或最小的直线；

（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。

注意点：（1）线性目标函数最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数。

1

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线性规划

?y?x,?

已知实数x、y 满足不等式组?x?y?1,

?y??1.?

（1） （2）求z=2x+y的最大值；3 （3）求z=

3

4

轾1y

的取值范围；犏-1,

犏x+2臌5

（4）求z=x+1

()+(y-1)

22

的取值范围；

[2,13]

变式训练：

?y?x,?

已知实数x、y 满足不等式组?x?y?1,

?y??1.?

（1）求z=2x+y+的取值范围；0,4 （2）求z=

[]

2y-x-2

的取值范围；

x+2

轾3-3,- 犏犏臌5

（3）已知定点A1,2，Px,y为不等式组对应区域内任意一点，

()()

①求AP

的取值范围；臌

????????轾3

-3, OP的取值范围；犏②求OA?

犏臌2

?x?y?11?0

?x

1.设不等式组 ?3x?y?3?0 表示的平面区域为D，若指数函数y=a的图像上存在区

?5x?3y?9?0?

域D上的点，则a 的取值范围是Ａ

（A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ??]

?x?1?2.设不等式组?x-2y+3?0所表示的平面区域是?1,平面区域是?2与?1关于直线

?y?x?

3x?4y?9?0对称,对于?1中的任意一点A与?2中的任意一点B, |AB|的最小值等于B

A．2812 B．4 C． D．2 55

?x?3y?3?0,?3.若实数x，y满足不等式组?2x?y?3?0,且x?y的最大值为9，则实数m?C

?x?my?1?0,?

（A）?2 （B）?1 （C）1 （D）2

?x?0?y?0?4.在约束条件?下，当3?s?5时，目标函数z?3x?2y的最大值的变化范围是x?y?s???y?2x?4

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线性规划问题

一. 线性目标函数的最值

?y?2?1.已知变量x,y满足约束条件?x?y?4，则z?3x?y的最大值为_________________ ?x?y?1?

?x?y?1?0??2.若x,y满足约束条件?x?y?3?0，则z?3x?y的最小值为 ???x?3y?3?0

二. 目标函数中含参数

?x?y?1?3.若x,y满足约束条件?x?y??1，目标函数z?ax?2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范?2x?y?2?

围是___________________

?y?x?4.设m?1，在约束条件?y?mx下，目标函数z?x+my的最大值小于2，则m的取值范围为__________ ?x?y?1?

?x?y?5?5.已知x,y满足以下约束条件?x?y?5?0，使z?x?ay(a?0)取得最小值的最优解有无?x?3?

数个，则a的值为_______________

三. 约束条件中含参数—最值的逆应用

?x?y?3?0?x6.若直线y?2上存在点(x,y)满足约束条件?x?2y?3?0，则实数m的最大值为_____________ ?x?m?

?y?1?7.已知实数x,y满足?y?2x?1，如果目标函数z?x?y的最小值为?1，则实数m?________________ ?x?y?m?

?x?3y?3?0,?8.若实数x，y满足不等式组?2x?y?3?0,且x?y的最大值为9，则实数m?___________________ ?x?my?1?0,?

1

四. 平面区域的面积

9.在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A?{(x,y)|x?y?1,且x?0,y?0}，则平面区域

B?{(x?y,x?y)|(x,y)?A}的面积为__________

?x?04?y?kx?10.若不等式组?x?3y?4所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值3?3x?y?4?是__________________

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