简单线性规划高考题型总结

麒麟高级中学  包水艳

关键词：线形规划 约束条件 可行域  最值

摘要：理解线形规划的相关概念，会画可行域，求目标函数的最值，对各种题型进行归纳总结。

一．基础知识：

(一)二元一次不等式表示的区域

二元一次不等式表示直线某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.

由于在直线同一侧的所有点（x,y）,把它的坐标（x,y）代入，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（），从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。通常代特殊点（0，0）。

（二）线性规划

(1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.

另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.

(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.

(3)那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（）和（）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.

    线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行

(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.

2.设z=0，画出直线l₀.

3.观察、分析，平移直线l₀，从而找到最优解.

4.最后求得目标函数的最大值及最小值.

(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：

首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.

然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.

最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.

二．常考题型和方法指导：

题型1. 求约束条件及平面区域的面积

例1 .双曲线的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（    ）

A.      B.                C.                D.

【解题思路】依据平面区域的画法求解.

[解析]双曲线的两条渐近线方程为，两者与直线围成一个三角形区域时有，故选A。

【思路点拨】本题考查了双曲线的渐近线方程以及平面区域画法。

例2.不等式组表示的平面区域的面积为________

【解题思路】作出平面区域,再由平面几何知识求面积.

 

[解析]不等式表示直线上及右上方的平面区域,表示直线 上及右上方的平面区域,表示直线上及左边的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分,其中

,,故所求面积

【思路点拨】准确无误作出平面区域是解这类题的关键.

题型2. 线性规划中求线形目标函数的最值问题

例1. 设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值.

【解题思路】按解题步骤求解.

[解析]作出可行域如图8-3-6所示,作直线:上,

  作一组平行于的直线：，，

可知:直线往右平移时，随之增大。

由图象可知,当直线经过点时，对应的最大，

当直线经过点时，对应的最小，

所以， ， ．

【思路点拨】要注意到线性目标函数的最大(小)值往往是在边界处取到.

例2. 已知满足不等式组，求使取最大值的整数．

【解题思路】先作平面区域,再作一组平行线：平行于：

进一步寻找整点.

[解析]不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，则坐标分别为，，，

作一组平行线：平行于：，

当往右上方移动时，随之增大，

∴当过点时最大为，但不是整数解，

又由知可取，

当时，代入原不等式组得， ∴；

当时，得或， ∴或；

当时，， ∴，故的最大整数解为或．

【思路点拨】在平行域内找整点最优解，一般采用平移找解法，即打网格，描整点，平移直线，找出最优解

题型3  求非线性目标函数的最大（小）值

例1. 已知，求：（1）的最小值;

（2）的范围．

【解题思路】分别联想距离公式和斜率公式求解

【解析】作出可行域，并求出顶点的坐标、、．

（1）表示可行域内任一点到定点的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故的最小值是．

（2）   

表示可行域内任一点到定点连线斜率的两倍；

因为，．故的取值范围为．

【思路点拨】求非线性目标函数的最大（小）值问题的关键是从目标函数联想到相对应的几何意义.最常见的是两点间的距离和斜率公式.

题型4 线性规划在实际问题中的应用

题型:在线性规划模型下的最优化问题.

.例1.(2008·揭阳一模) 为迎接20##年奥运会召开，某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该厂所用的主要原料为A、B两种贵重金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？

【解题思路】将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型.

解析:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为套，月利润为元，由题意得

 （）

目标函数为

作出可行域如图所示

目标函数可变形为，

∴当通过图中的点A时，最大，这时Z最大。

解得点A的坐标为（20,24），   …………10分

将点代入得元

答:该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20，24套时月利润最大，最大利润为42800元.

【思路点拨】要注意到生产的产品数量是整数这一隐含条件.

第二篇：高考线性规划常见题型(学生)

线性规划常见题型

1．图中的平面区域（阴影部分包括边界）可用不等式组表示为 （     ）

   

A．                        B．

    C．                       D．

2．不等式组，表示的区域为D，点P₁（0，-2），P₂（0，0），则（     ）

A．                  B．

C．                  D．

3．已知点P（x₀，y₀）和点A（1，2）在直线的异侧，则（     ）

A．                    B．0  

C．                     D． 

一、求线性目标函数的取值范围

4.若x、y满足约束条件　，则z=x+2y的取值范围是（     ）

A、[2,6]　B、[2,5]　C、[3,6]　D、（3,5]

5.已知变量x、y满足约束条件，则的取值范围是（     ）

A.      B.      C.      D.

6. 实数满足，则的取值范围是（     ）

（A）    （B）     （C）   （D）

二、求可行域的面积

7.不等式组表示的平面区域的面积为（     ）

　A、4　   B、1　    C、5　      D、无穷大

8.已知，则不等式组 表示的平面区域的面积是________.

9.不等式组表示的平面区域的面积是____，平面区域内的整点坐标            .

三、求可行域中整点个数

10.满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（     ）

　　A、9个　B、10个　C、13个　D、14个

四、求线性目标函数中参数的取值范围

11.已知x、y满足以下约束条件　，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（     ）

　　　A、－3　     B、3　    C、－1　     D、1

五、求非线性目标函数的最值

12.已知x、y满足以下约束条件　，则z=x²+y²的最大值和最小值分别是（　  ）

　　A、13，1　   B、13，2　   C、13，　     D、，

13.若变量满足约束条件，则的最小值为（     ）

A.    2        B.     3          C.      5          D.    6

14.设满足约束条件,则的最大值为（     ）

A． 5            B. 3           C. 7           D. -8

15.已知x ，y满足条件则z=的最大值是（     ）

A.3            B.              C.                 D.-

16．若实数满足，则的最大值为（     ） 

（A）      （B）          （C）0          （D）

17．在约束条件下，则目标函数的最优解是（     ）

   A．（0，1），（1，0）                B．（0，1），（0，-1）

C．（0，-1），（0，0）               D．（0，-1），（1，0）

18．某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为45个、50个，所用原料为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2m²、3 m²，用A种金属板可造甲产品3个，乙产品5个，用B种金属板可造甲、乙产品各6个，则A、B两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用料面积最省？                           （     ）

A．A用3张，B用6张                B．A用4张，B用5张

C．A用2张，B用6张                D．A用3张，B用5张

六、求约束条件中参数的取值范围

19.已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（     ）

　A、（-3,6）　B、（0,6）　C、（0,3）　D、（-3,3）

七、线性规划的实际应用

20.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m³，第二种有56m³，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?

21.某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg,问饲料怎样混合,才使成本最低.