数列型不等式放缩技巧八法
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一 利用重要不等式放缩
1.均值不等式法
例1 设
求证
解析 此数列的通项为
，
，
即
注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式
，若放
成
则得
，就放过“度”了！
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
其中，
等的各式及其变式公式均可供选用。
例2 已知函数
，若
，且
在[0，1]上的最小值为
，求证：
（02年全国联赛山东预赛题）
简析
例3 已知
为正数，且
，试证：对每一个
，
.（88年全国联赛题）
简析 由
得
，又
，故
，而
，
令
，则
=
，
因为
，倒序相加得
=
，
而
，则=
，所以
，即对每一个，.
例4 求证
.
简析 不等式左边
=
，原结论成立.
2．利用有用结论
例5 求证
简析 本题可以利用的有用结论主要有：
法1 利用假分数的一个性质
可得
即
法2 利用贝努利不等式
的一个特例
(此处
)得
注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国
高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：
证明
(可考虑用贝努利不等式
的特例)
例6已知函数
求证：
对任意且
恒成立。（90年全国卷压轴题）
简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（
）不等
式
的简捷证法：
而由不等式得
(
时取等号)
（
），得证！
例7 已知
用数学归纳法证明
；
对
对
都成立，证明
（无理数
）（05年辽宁卷第22题）
解析 结合第问结论及所给题设条件
（）的结构特征，可得放缩思路：
。于是
，
即
注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论
来放缩：
，
即
例8 已知不等式
表示不超过
的最大整数。设正数数列
满足：
求证
（05年湖北卷第（22）题）
简析 当时
，即
于是当
时有
注：①本题涉及的和式
为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论
来进行有效地放缩；
②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利
于培养学生的学习能力与创新意识。
例9 设
，求证：数列单调递增且
解析 引入一个结论：若
则
（证略）
整理上式得
（
）
以
代入（）式得
即单调递增。
以
代入（）式得
此式对一切正整数
都成立，即对一切偶数有
，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有
。
注：①上述不等式可加强为
简证如下：
利用二项展开式进行部分放缩：
只取前两项有
对通项作如下放缩：
故有
②上述数列的极限存在，为无理数
；同时是下述试题的背景：
已知
是正整数，且
（1）证明
；（2）证明
（01年全国卷理科第20题）
简析 对第（2）问：用
代替得数列
是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列
递减，且
故
即
。
当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文[1]。
二部分放缩
例10 设
求证：
解析 
（只将其中一个
变成
，进行部分放缩），
，
于是
例11 设数列
满足
，当
时证明对所有
有
；
（02年全国高考题）
解析
用数学归纳法：当
时显然成立，假设当
时成立即
，则当
时
，成立。
利用上述部分放缩的结论
来放缩通项，可得
注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：
；证明就直接使用了部分放缩的结论。
三添减项放缩
上述例5之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。
例12 设
，求证
.
简析 观察
的结构，注意到
，展开得
，
即
，得证.
例13 设数列
满足
（Ⅰ）证明
对一切正整数
成立；（Ⅱ）令
，判定
与
的大小，并说明理由（04年重庆卷理科第（22）题）
简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有
法1 用数学归纳法（只考虑第二步）
；
法2 
则
四利用单调性放缩
1.构造数列
如对上述例1，令
则
，
递减，有
，故
再如例5，令
则
，
即
递增，有
，得证！
注：由此可得例5的加强命题
并可改造成为探索性问题：求对任意
使
恒成立的正整数的最大值；同理可得理科姊妹题的加强命题及其探索性结论，读者不妨一试！
2．构造函数
例14已知函数
的最大值不大于
，又当
时
（Ⅰ）求
的值；（Ⅱ）设
，证明
（04年辽宁卷第21题）
解析 （Ⅰ）=1 ；（Ⅱ）由
得
且
用数学归纳法（只看第二步）：
在
是增函数，则得
例15 数列
由下列条件确定：
，
．（I）证明：对总有
；(II)证明：对总有
（02年北京卷第（19）题）
解析 构造函数
易知在
是增函数。
当时
在递增故
对(II)有
，构造函数
它在上是增函数，故有
，得证。
注：①本题有着深厚的科学背景：是计算机开平方设计迭代程序的根据；同时有着高等数学背景—数列单调递减有下界因而有极限：
②
是递推数列
的母函数，研究其单调性对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。
五换元放缩
例16求证
简析 令
，这里
则有
，从而有
注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。
例17 设
，
，求证
.
简析 令
，则
，
，应用二项式定理进行部分放缩有
，注意到，则
（证明从略），因此
六递推放缩
递推放缩的典型例子，可参考上述例11中利用部分放缩所得结论 进行递
推放缩来证明，同理例7中所得
和
、例8中
、 例13（Ⅰ）之法2所得
都是进行递推放缩的关键式。
七转化为加强命题放缩
如上述例11第问所证不等式右边为常数，难以直接使用数学归纳法，我们可以通过从特值入手进行归纳探索、或运用逆向思维探索转化为证明其加强命题：
再用数学归纳法证明此加强命题，就容易多了（略）。
例18 设
，定义
，求证：对一切正整数有
解析 用数学归纳法推时的结论
，仅用归纳假设
及递推式
是难以证出的，因为
出现在分母上！可以逆向考虑：
故将原问题转化为证明其加强命题：
对一切正整数有
（证明从略）
例19 数列满足
证明
（01年中国西部数学奥林匹克试题）
简析 将问题一般化：先证明其加强命题
用数学归纳法，只考虑第二步：
因此对一切
有
八分项讨论
例20 已知数列的前项和
满足
（Ⅰ）写出数列的前3项
；（Ⅱ）求数列
的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数
，有
（04年全国卷Ⅲ）
简析 （Ⅰ）略，（Ⅱ） 
；
（Ⅲ）由于通项中含有
，很难直接放缩，考虑分项讨论：
当且为奇数时
（减项放缩），于是
①当
且
为偶数时
②当且为奇数时
（添项放缩）由①知
由①②得证。