数列难题放缩法的技巧
一、基本方法
1.“添舍”放缩
通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。
例1. 设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证
。
例2. 已知a、b、c不全为零，求证：
[变式训练]已知
求证：
2. 分式放缩
一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。
例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：
。
3. 裂项放缩
若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例4. 已知n∈N*，求
。
例5. 已知
且
，求证：
对所有正整数n都成立。
4. 公式放缩
利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。
例6. 已知函数
，证明：对于且
都有
。
例7. 已知
，求证：当
时
。
5. 换元放缩
对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。
例8. 已知
，求证
。
例9. 已知a，b，c为△ABC的三条边，且有
，当
且
时，求证：
。
6. 单调函数放缩
根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。
例10. 已知a，b∈R，求证
。
7.放大或缩小“因式”；
例4、已知数列
满足
求证：
8.固定一部分项，放缩另外的项；
例6、求证：
9.利用基本不等式放缩
例7、已知
，证明：不等式
对任何正整数
都成立.
10.先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩
例8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.(1)证明：niA
＜miA
；(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m
二、放缩法综合问题
（一）、先求和后放缩
例1．正数数列
的前
项的和
，满足
，试求：
（1）数列的通项公式；
（2）设
，数列
的前项的和为
，求证：
。
（二）、先放缩再求和（或先求和再放缩）
例、函数f（x）=
，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+
.
1．放缩后成等差数列，再求和
例2．已知各项均为正数的数列的前项和为
,且
.
(1) 求证：
；
(2) 求证：
2．放缩后成等比数列，再求和
例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：
；
（2）等比数列{an}中，
，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设
，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜
．
3．放缩后为差比数列，再求和
例4．已知数列满足：
，
．求证：
4．放缩后为裂项相消，再求和
例5、已知an=n ，求证：nk=1＜3．
第二篇：数列不等式放缩技巧八法
